Y - lähtömuuttujien vektori, Y = t,

Z - ulkoisten vaikutusten vektori, Z = t,

t - aikakoordinaatti.

Rakennus matemaattinen malli koostuu tiettyjen prosessien ja ilmiöiden välisten yhteyksien määrittämisestä, matemaattisen laitteiston luomisesta, jonka avulla voidaan kvantitatiivisesti ja laadullisesti ilmaista suhde tiettyjen prosessien ja ilmiöiden, asiantuntijaa kiinnostavien fysikaalisten määrien ja lopputulokseen vaikuttavien tekijöiden välillä.

Yleensä niitä on niin paljon, että niiden koko sarjaa ei ole mahdollista esitellä malliin. Rakentaessaan matemaattinen malli ennen tutkimusta tehtävänä on tunnistaa ja jättää huomioimatta tekijät, jotka eivät merkittävästi vaikuta lopputulokseen ( matemaattinen malli sisältää yleensä paljon pienemmän määrän tekijöitä kuin todellisuudessa). Kokeellisten tietojen perusteella esitetään hypoteeseja lopputulosta ilmaisevien määrien ja tutkimuksessa esitettyjen tekijöiden välisestä suhteesta. matemaattinen malli. Tällainen suhde ilmaistaan ​​usein differentiaalijärjestelmillä osittaisdifferentiaaliyhtälöt(esim. kiinteän kappaleen, nesteen ja kaasun mekaniikkaongelmissa, suodatuksen, lämmönjohtavuuden teoriassa, sähköstaattisten ja sähködynaamisten kenttien teoriassa).

Tämän vaiheen perimmäisenä tavoitteena on matemaattisen ongelman muotoilu, jonka ratkaisu ilmaisee tarvittavalla tarkkuudella asiantuntijaa kiinnostavat tulokset.

Esityksen muoto ja periaatteet matemaattinen malli riippuu monesta tekijästä.

Rakennusperiaatteiden mukaan matemaattisia malleja jaettu:

1. analyyttinen;
2. jäljitelmä.

Analyyttisissa malleissa todellisten objektien, prosessien tai järjestelmien toimintaprosessit kirjoitetaan eksplisiittisiin muotoihin. toiminnallisia riippuvuuksia.

Analyyttinen malli on jaettu tyyppeihin matemaattisen ongelman mukaan:

1. yhtälöt (algebrallinen, transsendentaalinen, differentiaali, integraali),
2. approksimaatioongelmia (interpolointi, ekstrapolointi, numeerinen integrointi Ja erilaistuminen),
3. optimointiongelmat,
4. stokastiset ongelmat.

Kuitenkin, kun mallinnusobjekti muuttuu monimutkaisemmaksi, analyyttisen mallin rakentamisesta tulee ratkaisematon ongelma. Sitten tutkija pakotetaan käyttämään simulaatiomallinnus.

SISÄÄN simulaatiomallinnus objektien, prosessien tai järjestelmien toimintaa kuvataan joukko algoritmeja. Algoritmit jäljittelevät todellisia alkeisilmiöitä, jotka muodostavat prosessin tai järjestelmän säilyttäen samalla omansa looginen rakenne ja sekvensointi ajan myötä. Simulointi voit saada tietoa lähdetiedoista prosessin tilat tai järjestelmiin tietyllä hetkellä, mutta objektien, prosessien tai järjestelmien käyttäytymisen ennustaminen on tässä vaikeaa. Sen voi sanoa simulaatiomalleja- Nämä ovat tietokonepohjaisia laskennalliset kokeet Kanssa matemaattisia malleja, jäljittelee todellisten esineiden, prosessien tai järjestelmien käyttäytymistä.

Riippuen tutkittavien reaaliprosessien ja järjestelmien luonteesta matemaattisia malleja voi olla:

1. deterministinen,
2. stokastinen.

Deterministisissa malleissa oletetaan, että satunnaisia ​​vaikutuksia ei ole, mallin elementit (muuttujat, matemaattiset suhteet) ovat melko vakiintuneet ja järjestelmän käyttäytyminen voidaan määrittää tarkasti. Deterministisiä malleja rakennettaessa käytetään useimmiten algebrallisia yhtälöitä, integraaliyhtälöitä, matriisialgebraa.

Stokastinen malli ottaa huomioon tutkittavien kohteiden ja järjestelmien prosessien satunnaisuuden, jota kuvataan todennäköisyysteorian ja matemaattisen tilaston menetelmin.

Syötetietojen tyypin mukaan mallit jaetaan:

1. jatkuva,
2. diskreetti.

Jos tiedot ja parametrit ovat jatkuvia ja matemaattiset suhteet ovat stabiileja, malli on jatkuva. Ja päinvastoin, jos tiedot ja parametrit ovat erillisiä ja yhteydet ovat epävakaita, silloin matemaattinen malli- diskreetti.

Mallien ajallisen käyttäytymisen mukaan ne jaetaan:

1. staattinen,
2. dynaaminen.

Staattiset mallit kuvaavat kohteen, prosessin tai järjestelmän käyttäytymistä milloin tahansa. Dynaamiset mallit heijastavat kohteen, prosessin tai järjestelmän käyttäytymistä ajan kuluessa.

Mukaan vastaavuusaste välillä

Esineen kehityksen dynamiikkaa, sen elementtien suhteiden sisäistä olemusta ja eri tilojen sisäistä olemusta on mahdollista jäljittää suunnitteluprosessissa vain dynaamisen analogian periaatetta käyttävien mallien avulla eli matematiikan avulla. mallit.

Matemaattinen malli on matemaattisten suhteiden järjestelmä, joka kuvaa tutkittavaa prosessia tai ilmiötä. Matemaattisen mallin laatimiseen voit käyttää mitä tahansa matemaattista keinoa - joukkoteoriaa, matemaattista logiikkaa, differentiaali- tai integraaliyhtälöiden kieltä. Matemaattisen mallin laatimisprosessia kutsutaan matemaattinen mallinnus. Muiden mallien tapaan matemaattinen malli esittää tehtävän yksinkertaistetussa muodossa ja kuvaa vain ne ominaisuudet ja kuviot, jotka ovat tärkeimmät tietylle objektille tai prosessille. Matemaattinen malli mahdollistaa monenvälisen kvantitatiivisen analyysin. Alkutietoja, kriteerejä, rajoituksia muuttamalla on joka kerta mahdollista saada optimaalinen ratkaisu annetuille olosuhteille ja määrittää haun jatkosuunta.

Matemaattisten mallien luominen edellyttää niiden kehittäjiltä muodollisten loogisten menetelmien tuntemisen lisäksi tutkittavan kohteen perusteellista analyysiä, jotta pääajatukset ja säännöt voidaan muotoilla tarkasti sekä tunnistaa riittävä määrä luotettavia faktoja, tilastolliset ja normatiiviset tiedot.

On huomattava, että kaikki tällä hetkellä käytetyt matemaattiset mallit viittaavat ohjeellinen. Preskriptiivisten mallien kehittämisen tavoitteena on osoittaa ratkaisun etsinnän suunta ja kehittämisen tavoite kuvaava mallit - heijastus ihmisen ajattelun todellisista prosesseista.

On melko laajalle levinnyt näkemys, että matematiikan avulla on mahdollista saada vain vähän numeerista tietoa tutkittavasta kohteesta tai prosessista. ”Tietenkin monet matemaattiset aineet tähtäävät lopullisen numeerisen tuloksen saamiseen. Mutta matemaattisten menetelmien pelkistäminen vain luvun saamisen ongelmaksi tarkoittaa matematiikan loputonta köyhdyttämistä, sen tehokkaan aseen mahdollisuutta köyhdyttää, joka on tutkijoiden käsissä nykyään ...

Tietyllä kielellä kirjoitettu matemaattinen malli (esimerkiksi differentiaaliyhtälöt) heijastaa todellisten fyysisten prosessien tiettyjä ominaisuuksia. Matemaattisten mallien analyysin tuloksena saamme ennen kaikkea laadullisia ideoita tutkittavien prosessien ominaisuuksista, muodostamme malleja, jotka määrittävät peräkkäisten tilojen dynaamisen sarjan, saamme mahdollisuuden ennustaa prosessin kulkua ja määrittää sen määrälliset ominaisuudet.

Matemaattisia malleja käytetään monissa tunnetuissa mallinnusmenetelmissä. Niitä ovat kohteen staattista ja dynaamista tilaa kuvaavien mallien kehittäminen, optimointimallit.

Esimerkkinä kohteen staattista ja dynaamista tilaa kuvaavista matemaattisista malleista voivat olla erilaiset perinteisten rakennelaskelmien menetelmät. Laskentaprosessi, joka esitetään matemaattisten operaatioiden sarjana (algoritmi), antaa mahdollisuuden sanoa, että matemaattinen malli on koottu tietyn mallin laskemiseksi.

SISÄÄN optimointi Malleissa on kolme elementtiä:

Hyväksytyn laatukriteerin mukainen tavoitetoiminto;

Säädettävät parametrit;

Asetetut rajoitukset.

Kaikki nämä elementit on kuvattava matemaattisesti yhtälöiden, loogisten ehtojen jne. muodossa. Optimointiongelman ratkaisu on prosessi, jossa löydetään tavoitefunktion pienin (maksimi) arvo määritettyjen rajoitusten mukaisesti. Ratkaisutulos katsotaan optimaaliseksi, jos tavoitefunktio saavuttaa ääriarvonsa.

Esimerkki optimointimallista on matemaattinen kuvaus "sidoksen pituus" -kriteeristä teollisuusrakennusten vaihtoehtosuunnittelumenetelmässä.

Tavoitefunktio heijastaa kaikkien toiminnallisten suhteiden painotettua kokonaispituutta, jonka pitäisi olla minimissä:

missä on elementin painoarvo ;

– elementtien välisen yhteyden pituus;

on sijoitettujen elementtien kokonaismäärä.

Koska tilojen sijoitettujen elementtien pinta-alat ovat kaikissa suunnitteluratkaisun muunnelmissa yhtä suuret, vaihtoehdot eroavat toisistaan ​​vain elementtien eri etäisyyksillä ja niiden sijainnilla toisiinsa nähden. Siksi ohjatut parametrit ovat tässä tapauksessa pohjapiirroksiin sijoitettujen elementtien koordinaatit.

Asetetut rajoitukset elementtien sijainnille (ennalta määrätylle suunnitelman paikalle, ulkokehälle, päällekkäin jne.) ja linkkien pituudelle (linkkien pituuden arvot ja th:n välillä) elementit asetetaan tiukasti, arvojen minimi- tai enimmäisrajat asetetaan, muutosrajat ovat asetettuja arvoja) kirjoitetaan muodollisesti.

Varianttia pidetään optimaalisena (tämän kriteerin mukaan), jos tälle muunnelmalle lasketun tavoitefunktion arvo on minimaalinen.

Erilaisia ​​matemaattisia malleja - taloudellinen ja matemaattinen malli- on malli taloudellisten ominaisuuksien ja järjestelmän parametrien välisestä suhteesta.

Esimerkkinä talousmatemaattisista malleista on kustannuskriteerien matemaattinen kuvaus edellä mainitussa teollisuusrakennusten varianttisuunnittelumenetelmässä. Matemaattisten tilastojen menetelmien avulla saadut matemaattiset mallit kuvastavat yksi- ja monikerroksisten teollisuusrakennusten rungon, perustusten, maanrakennustöiden sekä niiden korkeuden, jännevälin ja tukirakenteiden askelman riippuvuutta.

Sen mukaan, miten satunnaistekijöiden vaikutus päätöksentekoon otetaan huomioon, matemaattiset mallit jaetaan deterministisiin ja probabilistisiin. deterministinen malli ei ota huomioon satunnaisten tekijöiden vaikutusta järjestelmän toimintaprosessiin ja perustuu toimintamallien analyyttiseen esitykseen. Todennäköisyys (stokastinen) malli ottaa huomioon satunnaisten tekijöiden vaikutuksen järjestelmän toimintaprosessissa ja perustuu tilastolliseen, ts. massailmiöiden kvantitatiivinen arviointi, jolloin voidaan ottaa huomioon niiden epälineaarisuus, dynamiikka ja eri jakautumislakien kuvaamat satunnaiset häiriöt.

Yllä olevien esimerkkien avulla voidaan sanoa, että kriteeriä "yhteyksien pituus" kuvaava matemaattinen malli on deterministinen ja kriteeriryhmää "kustannukset" kuvaavat matemaattiset mallit ovat todennäköisyysmalleja.

Kielelliset, semanttiset ja informaatiomallit

Matemaattisilla malleilla on ilmeisiä etuja, koska tehtävän näkökohtien määrällinen arviointi antaa selkeän kuvan tavoitteiden prioriteeteista. On tärkeää, että asiantuntija voi aina perustella päätöksenteon esittämällä asiaankuuluvat numeeriset tiedot. Suunnittelutoiminnan täydellinen matemaattinen kuvaus on kuitenkin mahdotonta, joten suurin osa arkkitehti- ja rakennussuunnittelun alkuvaiheessa ratkaistavista tehtävistä liittyy puolirakenteinen.

Yksi puolistrukturoitujen tehtävien piirteistä on niissä käytettyjen kriteerien sanallinen kuvaus. Luonnollisella kielellä kuvattujen kriteerien käyttöönotto (sellaisia ​​kriteerejä kutsutaan kielellinen), voit käyttää vähemmän monimutkaisia ​​menetelmiä optimaalisten suunnitteluratkaisujen löytämiseen. Tällaisten kriteerien ollessa kyseessä suunnittelija tekee päätöksen tuttujen, kiistattomien tavoitteiden ilmaisujen perusteella.

Ongelman kaikkien näkökohtien mielekäs kuvaus tuo toisaalta systematisoinnin sen ratkaisuprosessiin ja toisaalta helpottaa suuresti asiantuntijoiden työtä, jotka voivat rationaalisemmin ratkaista matematiikan asianomaisia ​​osia tutkimatta. heidän ammatillisia ongelmiaan. Kuvassa 5.2 annetaan kielellinen malli, joka kuvaa mahdollisuuksia luoda olosuhteet luonnolliselle ilmanvaihdolle erilaisissa leipomon suunnitteluratkaisuissa.

Muita mielekkäiden ongelmakuvausten etuja ovat:

Kyky kuvata kaikki kriteerit, jotka määrittävät suunnitteluratkaisun tehokkuuden. Samalla on tärkeää, että kuvaukseen voidaan tuoda monimutkaisia ​​käsitteitä, ja kvantitatiivisten, mitattavissa olevien tekijöiden ohella laadulliset, ei-mitattavat tulevat asiantuntijan näkökenttään kvantitatiivisten, mitattavissa olevien tekijöiden ohella. Näin ollen päätöksen tekohetkellä käytetään kaikkea subjektiivista ja objektiivista tietoa;

Riisi. 5.2 Kriteerin "tuuletus" sisällön kuvaus kielellisen mallin muodossa

Mahdollisuus arvioida yksiselitteisesti tavoitteen saavutusastetta tämän ominaisuuden vaihtoehdoissa asiantuntijoiden hyväksymän sanamuodon perusteella, mikä varmistaa saatujen tietojen luotettavuuden;

Kyky ottaa huomioon epävarmuutta, joka liittyy epätäydelliseen tietoon kaikista tehtyjen päätösten seurauksista, sekä ennakoivaa tietoa.

Semanttiset mallit kuuluvat myös malleihin, jotka käyttävät luonnollista kieltä kuvaamaan tutkimuskohdetta.

Semanttinen malli- esineestä on sellainen esitys, joka heijastaa objektin eri komponenttien, aspektien ja ominaisuuksien välisen yhteyden astetta (läheisyys). Yhteydellä ei tarkoiteta suhteellista spatiaalista sijaintia, vaan merkityksellistä yhteyttä.

Joten semanttisessa mielessä luonnollisen valaistuksen kertoimen ja läpinäkyvien aitojen valoalueen välinen suhde esitetään lähempänä kuin ikkuna-aukkojen ja niiden vieressä olevien seinän sokeiden osien välinen suhde.

Yhteyssuhteiden joukko näyttää, mitä kukin objektissa erotettu elementti ja objekti kokonaisuutena edustavat. Samanaikaisesti semanttinen malli heijastaa objektin eri näkökohtien yhteysasteen lisäksi myös käsitteiden sisältöä. Luonnollisella kielellä ilmaistut käsitteet toimivat perusmalleina.

Semanttisten mallien rakentaminen perustuu periaatteisiin, joiden mukaan käsitteet ja suhteet eivät muutu koko mallin käyttöajan; yhden käsitteen sisältö ei siirry toiseen; kahden käsitteen välisillä yhteyksillä on tasa-arvoinen ja suuntautumaton vuorovaikutus niiden suhteen.

Jokainen mallin analyysi pyrkii valitsemaan mallin elementtejä, joilla on yhteinen tietty laatu. Tämä antaa perusteita rakentaa algoritmi, joka ottaa huomioon vain suorat yhteydet. Mallin muuntaminen suuntaamattomaksi graafiksi etsii kahden elementin välistä polkua, joka jäljittää liikkeen elementistä toiseen käyttämällä kutakin elementtiä vain kerran. Elementtien järjestystä kutsutaan näiden kahden elementin sekvenssiksi. Jaksot voivat olla eripituisia. Lyhyimpiä näistä kutsutaan elementtisuhteiksi. Kahden elementin sarja on myös olemassa, jos niiden välillä on suora yhteys, mutta tässä tapauksessa yhteyttä ei ole.

Esimerkkinä semanttisesta mallista kuvataan asunnon pohjaratkaisu sekä viestintälinkit. Konsepti on asunnon tilat. Suoralla yhteydellä tarkoitetaan kahden huoneen toiminnallista yhdistämistä esimerkiksi ovella (katso Taulukko 5.1).

Mallin muuntaminen suuntaamattoman graafin muotoon mahdollistaa elementtijonon saamisen (kuva 5.3).

Esimerkkejä elementin 2 (kylpyhuone) ja elementin 6 (ruokakomero) välisestä järjestyksestä on esitetty taulukossa. 5.2. Kuten taulukosta voidaan nähdä, sekvenssi 3 edustaa näiden kahden elementin suhdetta.

Taulukko 5.1

Kuvaus asunnon pohjaratkaisusta

Riisi. 5.3 Suunnittelupäätöksen kuvaus suuntaamattoman graafin muodossa

Ensimmäinen taso

Matemaattiset mallit OGE:ssä ja Unified State Examinationissa (2019)

Matemaattisen mallin käsite

Kuvittele lentokone: siivet, runko, häntä, kaikki tämä yhdessä - todellinen valtava, valtava, kokonainen lentokone. Ja voit tehdä lentokoneen mallin, pienen, mutta kaikki on todellista, samat siivet jne., mutta kompakti. Samoin on matemaattinen malli. Siinä on tekstiongelma, raskas, sitä voi katsoa, ​​lukea, mutta ei aivan ymmärrä sitä, ja vielä enemmän on epäselvää, kuinka se ratkaistaan. Mutta entä jos teemme siitä pienen mallin, matemaattisen mallin, suuresta sanallisesta ongelmasta? Mitä tarkoittaa matemaattinen? Joten, käyttämällä matemaattisen merkinnän sääntöjä ja lakeja, tee teksti uudelleen loogisesti oikeaksi esitykseksi käyttämällä numeroita ja aritmeettisia merkkejä. Niin, Matemaattinen malli on todellisen tilanteen esitys matemaattista kieltä käyttäen.

Aloitetaan yksinkertaisella: numero on suurempi kuin numero. Meidän on kirjoitettava se muistiin käyttämättä sanoja, vain matematiikan kieltä. Jos enemmän, niin käy ilmi, että jos vähennämme, niin näiden lukujen ero pysyy samana. Nuo. tai. Ymmärsitkö olemuksen?

Nyt se on monimutkaisempaa, nyt tulee teksti, joka sinun pitäisi yrittää esittää matemaattisen mallin muodossa, kunnes luet kuinka teen sen, kokeile itse! Numeroita on neljä: , ja. Tuote ja enemmän tuotteita ja kaksi kertaa.

Mitä tapahtui?

Matemaattisen mallin muodossa se näyttää tältä:

Nuo. tuote liittyy kahteen yhteen, mutta tätä voidaan yksinkertaistaa entisestään:

No, yksinkertaisilla esimerkeillä ymmärrät varmaan pointin. Siirrytään täysimittaisiin tehtäviin, joissa nämä matemaattiset mallit on myös ratkaistava! Tässä on tehtävä.

Matemaattinen malli käytännössä

Tehtävä 1

Sateen jälkeen kaivon vedenpinta voi nousta. Poika mittaa pikkukivien putoamisajan kaivoon ja laskee etäisyyden veteen kaavalla, jossa on etäisyys metreinä ja putoamisaika sekunneissa. Ennen sadetta kivien putoamisen aika oli s. Kuinka paljon vedenpinnan pitää nousta sateen jälkeen, jotta mitattu aika muuttuisi s:ksi? Ilmaise vastauksesi metreinä.

Voi luoja! Mitä kaavoja, millainen kaivo, mitä tapahtuu, mitä tehdä? Luinko ajatuksesi? Rentoudu, tämän tyyppisissä tehtävissä olosuhteet ovat vielä kauheammat, tärkeintä on muistaa, että tässä tehtävässä olet kiinnostunut kaavoista ja muuttujien välisistä suhteista, ja mitä tämä kaikki tarkoittaa useimmissa tapauksissa, ei ole kovin tärkeää. Mitä hyödyllistä näet tässä? Itse näen. Näiden ongelmien ratkaisemisen periaate on seuraava: otat kaikki tunnetut suuret ja korvaat ne.Mutta joskus pitää miettiä!

Noudattamalla ensimmäistä neuvoani ja korvaamalla yhtälöön kaikki tunnetut, saamme:

Minä vaihdoin toisen ajan ja löysin korkeuden, jolla kivi lensi ennen sadetta. Ja nyt meidän on laskettava sateen jälkeen ja löydettävä ero!

Kuuntele nyt toinen neuvo ja mieti sitä, kysymys tarkentaa "kuinka paljon vedenpinnan pitää nousta sateen jälkeen, jotta mitattu aika muuttuisi s:llä". Se pitää ottaa heti selvää, noh, sateen jälkeen vedenpinta nousee, mikä tarkoittaa, että aika kiven putoamiseen vedenpinnalle on vähemmän, ja tässä menee koristeellinen lause "niin että mitattu aika muuttuu" tietyllä merkityksellä: putoamisaika ei kasva, mutta se lyhenee ilmoitetuilla sekunneilla. Tämä tarkoittaa, että kun kyseessä on heitto sateen jälkeen, meidän on vain vähennettävä c alkuperäisestä ajasta c, ja saadaan yhtälö korkeudelle, jolla kivi lentää sateen jälkeen:

Ja lopuksi, jotta voit selvittää, kuinka paljon vedenpinnan tulisi nousta sateen jälkeen, jotta mitattu aika muuttuisi s:llä, sinun tarvitsee vain vähentää toinen pudotuksen ensimmäisestä korkeudesta!

Saamme vastauksen: per metri.

Kuten näette, siinä ei ole mitään monimutkaista, mikä tärkeintä, älä välitä liikaa, mistä tällainen käsittämätön ja joskus monimutkainen yhtälö on peräisin olosuhteissa ja mitä kaikki siinä oleva tarkoittaa, ota sanani, suurin osa näistä yhtälöistä on otettu fysiikasta, ja siellä viidakko on pahempi kuin algebrassa. Joskus minusta tuntuu, että nämä tehtävät on keksitty pelotellakseen opiskelijaa kokeessa monimutkaisilla kaavoilla ja termeillä, ja useimmissa tapauksissa ne eivät vaadi juuri mitään tietoa. Lue vain ehto huolellisesti ja korvaa tunnetut arvot kaavassa!

Tässä on toinen ongelma, ei enää fysiikassa, vaan talousteorian maailmasta, vaikka täällä ei taaskaan vaadita tietoa muista tieteistä kuin matematiikasta.

Tehtävä 2

Monopoliyrityksen tuotteiden kysynnän määrän (yksikköä kuukaudessa) riippuvuus hinnasta (tuhatta ruplaa) saadaan kaavalla

Yrityksen kuukausitulot (tuhansina ruplina) lasketaan kaavalla. Määritä korkein hinta, jolla kuukausitulot ovat vähintään tuhat ruplaa. Anna vastaus tuhansina ruplina.

Arvaa mitä teen nyt? Joo, alan korvata sitä, mitä tiedämme, mutta jälleen kerran, sinun on vielä mietittävä hieman. Mennään lopusta, meidän on löydettävä missä. Joten, on olemassa, yhtä kuin jotkut, löydämme mitä muuta se on yhtä suuri, ja se on yhtä suuri, ja kirjoitamme sen ylös. Kuten näette, en erityisesti välitä kaikkien näiden määrien merkityksestä, katson vain ehdoista, mikä on yhtä kuin mitä, se on mitä sinun on tehtävä. Palataan tehtävään, sinulla on se jo, mutta kuten muistat, yhdestä yhtälöstä, jossa on kaksi muuttujaa, kumpaakaan ei löydy, mitä tehdä? Kyllä, meillä on vielä käyttämätön hiukkanen kunnossa. Täällä on jo kaksi yhtälöä ja kaksi muuttujaa, mikä tarkoittaa, että nyt molemmat muuttujat löytyvät - hienoa!

Voitko ratkaista tällaisen järjestelmän?

Ratkaisemme korvaamalla, olemme jo ilmaisseet sen, mikä tarkoittaa, että korvaamme sen ensimmäiseen yhtälöön ja yksinkertaistamme sitä.

Osoittautuu, että tässä on sellainen toisen asteen yhtälö: , ratkaisemme, juuret ovat näin, . Tehtävässä on löydettävä korkein hinta, jolla kaikki ehdot, jotka olemme huomioineet järjestelmää laatiessamme, täyttyvät. Ai, kävi ilmi, että se oli hinta. Hienoa, joten löysimme hinnat: ja. Korkein hinta, sanotko? Okei, suurimman niistä tietysti kirjoitamme vastauksena. No onko vaikeaa? Mielestäni ei, eikä sinun tarvitse perehtyä siihen liikaa!

Ja tässä on sinulle pelottava fysiikka, tai pikemminkin toinen ongelma:

Tehtävä 3

Tähtien tehollisen lämpötilan määrittämiseen käytetään Stefan–Boltzmannin lakia, jonka mukaan missä on tähden säteilyteho, on vakio, on tähden pinta-ala ja on lämpötila. Tiedetään, että tietyn tähden pinta-ala on yhtä suuri ja sen säteilyteho on yhtä suuri kuin W. Etsi tämän tähden lämpötila Kelvin-asteina.

Missä se on selvää? Kyllä, ehto sanoo, mikä on yhtä kuin mitä. Aikaisemmin suosittelin, että kaikki tuntemattomat korvataan välittömästi, mutta tässä on parempi ilmaista ensin etsitty tuntematon. Katsokaa kuinka yksinkertaista kaikki on: siellä on kaava ja ne tunnetaan siinä, ja (tämä on kreikkalainen kirjain "sigma". Yleensä fyysikot rakastavat kreikkalaisia ​​kirjaimia, tottukaa siihen). Lämpötila on tuntematon. Ilmaistaan ​​se kaavan muodossa. Miten se tehdään, toivottavasti tiedät? Tällaiset tehtävät GIA:lle luokassa 9 antavat yleensä:

Nyt on vain korvattava numerot kirjainten sijaan oikealla puolella ja yksinkertaistettava:

Tässä on vastaus: Kelvin-asteita! Ja mikä kauhea tehtävä se oli!

Jatkamme fysiikan ongelmien piinaamista.

Tehtävä 4

Ylösheitetyn pallon korkeus maanpinnasta muuttuu lain mukaan, missä korkeus metreinä on aika sekunteina, joka on kulunut heitosta. Kuinka monta sekuntia pallo on vähintään kolmen metrin korkeudella?

Nämä olivat kaikki yhtälöt, mutta tässä on tarpeen määrittää, kuinka paljon pallo oli vähintään kolmen metrin korkeudella, mikä tarkoittaa korkeutta. Mitä aiomme tehdä? Eriarvoisuus, kyllä! Meillä on funktio, joka kuvaa kuinka pallo lentää, missä on täsmälleen sama korkeus metreinä, tarvitsemme korkeuden. Keinot

Ja nyt vain ratkaiset epätasa-arvon, mikä tärkeintä, älä unohda muuttaa epätasa-arvomerkkiä suuremmasta tai yhtä suuresta pienempään tai yhtä suureen kuin kerrot eriarvoisuuden molemmilla osilla päästäksesi eroon edessä olevasta miinuksesta.

Tässä ovat juuret, rakennamme välit epätasa-arvolle:

Olemme kiinnostuneita aikavälistä, jossa merkki on miinus, koska epäyhtälö ottaa sieltä negatiiviset arvot, tämä on alkaen molempiin. Ja nyt kytketään aivot päälle ja mietitään tarkkaan: epätasa-arvoon käytimme yhtälöä, joka kuvaa pallon lentoa, se jotenkin lentää paraabelia pitkin, ts. se nousee, saavuttaa huipun ja putoaa, kuinka ymmärtää kuinka kauan se kestää vähintään metrin korkeudessa? Löysimme 2 käännekohtaa, ts. hetki, jolloin se kohoaa metrien yläpuolelle, ja hetki, jolloin se saavuttaa saman merkin pudotessaan, nämä kaksi pistettä ilmaistaan ​​muodossamme ajan muodossa, ts. tiedämme millä sekunnilla lennosta se tuli meille kiinnostavalle vyöhykkeelle (metrien yläpuolelle) ja mihin se lähti (pudotti metrimerkin alapuolelle). Kuinka monta sekuntia hän oli tällä alueella? On loogista, että otamme vyöhykkeeltä poistumisajan ja vähennämme siitä tälle vyöhykkeelle saapumisajan. Näin ollen: - niin paljon hän oli metrien yläpuolella, tämä on vastaus.

Olet niin onnekas, että suurin osa tämän aiheen esimerkeistä voidaan ottaa fysiikan tehtävien kategoriasta, joten nappaa vielä yksi, se on viimeinen, joten työnnä itseäsi, enää on hyvin vähän jäljellä!

Tehtävä 5

Tietyn laitteen lämmityselementille saatiin kokeellisesti lämpötilariippuvuus käyttöajasta:

Missä on aika minuutteina. Tiedetään, että lämmityselementin lämpötilassa laitteen yläpuolella voi heiketä, joten se on sammutettava. Etsi enimmäisaika työn aloittamisen jälkeen laitteen sammuttamiseen. Ilmaise vastauksesi minuuteissa.

Toimimme vakiintuneen järjestelmän mukaan, kaikki, mitä annetaan, kirjoitamme ensin:

Nyt otamme kaavan ja vertaamme sen lämpötila-arvoon, johon laite voidaan lämmittää mahdollisimman paljon, kunnes se palaa, eli:

Nyt korvaamme numerot kirjainten sijasta siellä, missä ne tunnetaan:

Kuten näette, lämpötilaa laitteen käytön aikana kuvataan toisen asteen yhtälöllä, mikä tarkoittaa, että se jakautuu paraabelia pitkin, ts. laite lämpenee tiettyyn lämpötilaan ja jäähtyy sitten. Saimme vastauksia ja siksi lämmityksen minuuttien aikana ja aikana lämpötila on kriittinen, mutta minuuttien välillä jopa rajaa korkeampi!

Joten sinun on sammutettava laite minuutin kuluttua.

MATEMAATISET MALLIT. LYHYESTI TÄRKEISTÄ

Useimmiten matemaattisia malleja käytetään fysiikassa: loppujen lopuksi jouduit todennäköisesti muistamaan kymmeniä fyysisiä kaavoja. Ja kaava on matemaattinen esitys tilanteesta.

OGE:ssä ja Unified State Examinationissa on tehtäviä juuri tästä aiheesta. USE:ssa (profiilissa) tämä on tehtävä numero 11 (aiemmin B12). OGE:ssä - tehtävä numero 20.

Ratkaisukaavio on ilmeinen:

1) Ehdon tekstistä on tarpeen "eristää" hyödyllinen tieto - mitä kirjoitamme fysiikan ongelmiin sanalla "annettu". Tämä hyödyllinen tieto on:

• Kaava
• Tunnetut fyysiset suuret.

Eli jokaiselle kaavan kirjaimelle on annettava tietty numero.

2) Ota kaikki tunnetut suureet ja korvaa ne kaavassa. Tuntematon arvo säilyy kirjaimena. Nyt sinun tarvitsee vain ratkaista yhtälö (yleensä melko yksinkertainen), ja vastaus on valmis.

No, aihe on ohi. Jos luet näitä rivejä, olet erittäin siisti.

Koska vain 5% ihmisistä pystyy hallitsemaan jotain itse. Ja jos olet lukenut loppuun, olet 5 %:ssa!

Nyt se tärkein asia.

Olet keksinyt teorian tästä aiheesta. Ja toistan, se on... se on vain super! Olet jo parempi kuin suurin osa ikäisistäsi.

Ongelmana on, että tämä ei ehkä riitä...

Minkä vuoksi?

Kokeen onnistuneesta läpäisystä, instituutin budjetille pääsystä ja, TÄRKEIMMÄN, elinikäiseksi.

En vakuuta sinua mistään, sanon vain yhden asian ...

Hyvän koulutuksen saaneet ansaitsevat paljon enemmän kuin ne, jotka eivät ole saaneet sitä. Tämä on tilastoa.

Mutta tämä ei ole pääasia.

Pääasia, että he ovat ONNELISEMME (sellaisia ​​tutkimuksia on). Ehkä siksi, että heille avautuu paljon enemmän mahdollisuuksia ja elämästä tulee valoisampaa? En tiedä...

Mutta ajattele itse...

Mitä tarvitaan, jotta voit olla varmasti parempi kuin muut kokeessa ja lopulta... onnellisempi?

TÄYTÄ KÄSI RATKAISEMME ONGELMIA TÄSTÄ AIHESTA.

Kokeessa sinulta ei kysytä teoriaa.

Tarvitset ratkaista ongelmat ajoissa.

Ja jos et ole ratkaissut niitä (PALJON!), teet varmasti tyhmän virheen jossain tai et yksinkertaisesti tee sitä ajoissa.

Se on kuin urheilussa - sinun täytyy toistaa monta kertaa voittaaksesi varmasti.

Löydä kokoelma mistä tahansa välttämättä ratkaisuilla, yksityiskohtaisella analyysillä ja päätä, päätä, päätä!

Voit käyttää tehtäviämme (ei välttämätöntä) ja suosittelemme niitä ehdottomasti.

Jotta pääset käsiksi tehtäviimme, sinun on autettava pidentämään parhaillaan lukemasi YouClever-oppikirjan käyttöikää.

Miten? Vaihtoehtoja on kaksi:

1. Avaa pääsy kaikkiin tämän artikkelin piilotettuihin tehtäviin - 299 hieroa.
2. Avaa pääsy kaikkiin piilotettuihin tehtäviin kaikissa opetusohjelman 99 artikkelissa - 999 hieroa.

Kyllä, meillä on 99 tällaista artikkelia oppikirjassa ja pääsy kaikkiin tehtäviin ja kaikkiin niissä oleviin piiloteksteihin voidaan avata välittömästi.

Toisessa tapauksessa me annamme sinulle simulaattori "6000 tehtävää ratkaisuineen ja vastauksineen, kullekin aiheelle, kaikille monimutkaisuustasoille." Se riittää varmasti käsiisi ongelmien ratkaisemiseen mistä tahansa aiheesta.

Itse asiassa tämä on paljon enemmän kuin pelkkä simulaattori - koko koulutusohjelma. Tarvittaessa voit käyttää sitä myös ILMAISEKSI.

Pääsy kaikkiin teksteihin ja ohjelmiin tarjotaan sivuston koko elinkaaren ajan.

Tiivistettynä...

Jos et pidä tehtävistämme, etsi muita. Älä vain lopeta teoriaan.

"Ymmärretty" ja "tiedän kuinka ratkaista" ovat täysin erilaisia ​​taitoja. Tarvitset molemmat.

Etsi ongelmia ja ratkaise!

Matemaattisten mallien tyypit

Riippuen siitä, millä keinoilla, millä ehdoilla ja suhteessa mihin kognitiokohteisiin mallien kyky heijastaa todellisuutta toteutuu, syntyy niiden suuri monimuotoisuus ja sen mukana luokitukset. Yleistämällä olemassa olevia luokituksia erottelemme sovelletun matemaattisen laitteiston mukaiset perusmallit, joiden perusteella kehitetään erityismalleja (kuva 8.1).

Kuva 8.1 - Mallien muodollinen luokittelu

Matemaattiset mallit esittävät tutkitut kohteet (prosessit, järjestelmät) eksplisiittisten funktionaalisten suhteiden muodossa: algebralliset yhtäläisyydet ja epäyhtälöt, integraalit ja differentiaalit, äärelliset erot ja muut matemaattiset lausekkeet (satunnaismuuttujan jakautumislaki, regressiomallit jne.) , sekä suhteiden matemaattinen logiikka.

Riippuen kahdesta matemaattisen mallin rakentamisen peruspiirteestä - syy-seuraus-suhteiden kuvauksen tyypistä ja niiden muutoksista ajan myötä - on olemassa deterministisiä ja stokastisia, staattisia ja dynaamisia malleja (kuva 8.2).

Kuvassa esitetyn kaavion tarkoitus on näyttää seuraavat ominaisuudet:

1) matemaattiset mallit voivat olla sekä deterministisiä että stokastisia;

2) deterministiset ja stokastiset mallit voivat olla sekä staattisia että dynaamisia.

Matemaattinen malli on ns deterministinen (deterministinen), jos kaikki sen parametrit ja muuttujat ovat yksiselitteisesti määritettyjä arvoja ja myös tiedon täydellisen varmuuden ehto täyttyy. Muutoin tiedon epävarmuuden olosuhteissa, kun mallin parametrit ja muuttujat ovat satunnaismuuttujia, mallia kutsutaan ns. stokastinen (todennäköisyys).

Kuva 8.2 - Matemaattisten mallien luokat

Malli on ns dynaaminen jos ainakin yksi muuttuja muuttuu ajan kuluessa, ja staattinen jos hyväksytään hypoteesi, että muuttujat eivät muutu ajan myötä.

Yksinkertaisimmassa tapauksessa tasapainomallit toimi saldoyhtälön muodossa, jossa mahdollisten tulojen summa sijaitsee vasemmalla puolella ja menopuoli on myös summan muodossa oikealla puolella. Esimerkiksi tässä muodossa esitetään organisaation vuosibudjetti.

Tilastotietojen perusteella voidaan rakentaa paitsi tasapaino-, myös korrelaatio-regressiomalleja.

Jos funktio Y ei riipu pelkästään muuttujista x 1 , x 2 , ... x n, vaan myös muista tekijöistä, suhde Y:n ja x 1 , x 2 , ... x n välillä on epätarkka tai korrelaatio, toisin kuin tarkka tai toiminnallinen suhde. Korrelaatioina ovat esimerkiksi useimmissa tapauksissa havaitut yhteydet OPS:n lähtöparametrien ja sen sisäisen ja ulkoisen ympäristön tekijöiden välillä (katso aihe 5).

Korrelaatio-regressiomallit saatu tutkittaessa kokonaisen tekijöiden kompleksin vaikutusta tietyn ominaisuuden arvoon käyttämällä tilastollista laitteistoa. Tässä tapauksessa tehtävänä ei ole vain muodostaa korrelaatiosuhde, vaan myös ilmaista tämä suhde analyyttisesti, eli valita yhtälöt, jotka kuvaavat tätä korrelaatioriippuvuutta (regressioyhtälö).

Regressioyhtälön parametrien numeerisen arvon löytämiseksi käytetään pienimmän neliösumman menetelmää. Tämän menetelmän ydin on valita sellainen suora, jossa yksittäisten pisteiden ordinaattien Y neliöpoikkeamien summa siitä olisi pienin.

Korrelaatio-regressiomalleja käytetään usein ilmiöiden tutkimuksessa, kun on tarpeen luoda suhde vastaavien ominaisuuksien välille kahdessa tai useammassa sarjassa. Tässä tapauksessa muodon pari- ja moninkertainen lineaarinen regressio

y \u003d a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + a n x n + b.

Pienimmän neliösumman menetelmän soveltamisen tuloksena asetetaan parametrien a tai a 1 , a 2 , …, a n ja b arvot ja sitten suoritetaan arviot saadun regressioyhtälön approksimaatiotarkkuudesta ja merkityksestä.

Erikoisryhmässä ovat graafiset analyyttiset mallit . Ne käyttävät erilaista grafiikkaa ja siksi niillä on hyvä näkyvyys.

Graafiteoria - yksi diskreetin matematiikan teorioista, tutkii kaavioita, jotka ymmärretään joukoksi pisteitä ja niitä yhdistäviä viivoja. Graafi on itsenäinen matemaattinen objekti (ensin esitteli Koenig D.). Graafiteorian pohjalta rakennetaan useimmiten puumaisia ​​ja verkkomalleja.

Puumalli (puu) on suuntaamaton yhdistetty graafi, joka ei sisällä silmukoita ja syklejä. Esimerkki tällaisesta mallista on tavoitepuu.

Verkkomalleja käytetään laajasti työnhallinnassa. Verkkomallit (kaaviot) kuvaavat töiden järjestystä ja kunkin työn kestoa (kuva 8.3).

Kuva 8.3 - Työn suorituskyvyn verkkomalli

Verkkokaavion jokainen rivi on jonkinlainen työ. Sen vieressä oleva numero tarkoittaa sen suorittamisen kestoa.

Verkkomallien avulla voit löytää ns. kriittisen polun ja optimoida työn tuotannon aikataulun muiden resurssien rajoituksin.

Verkkomallit voivat olla deterministisiä ja stokastisia. Jälkimmäisessä tapauksessa työn kesto määräytyy satunnaismuuttujien jakautumislakien mukaan.

Optimointimallit määrittävät järjestelmän optimaalisen liikeradan asetetun tavoitteen saavuttamiseksi, kun sen käyttäytymisen ja liikkeen hallintaan on asetettu joitain rajoituksia. Tässä tapauksessa optimointimallit kuvaavat erilaisia ​​ongelmia jonkin tavoitefunktion ääripään löytämisessä (optimointikriteeri).

Tunnistaakseen paras tapa saavuttaa johtamisen tavoite rajallisten resurssien - teknisten, materiaalisten, työvoiman ja taloudellisten - olosuhteissa käytetään tutkimustoiminnan menetelmiä. Näitä ovat matemaattisen ohjelmoinnin menetelmät (lineaarinen ja epälineaarinen, kokonaisluku, dynaaminen ja stokastinen ohjelmointi), analyyttiset ja todennäköisyysstatistiset menetelmät, verkkomenetelmät, jonoteorian menetelmät, peliteoria (konfliktitilanteiden teoria) jne.

Optimointimalleja käytetään volyymi- ja aikataulutukseen, varastonhallintaan, resurssien ja töiden jakamiseen, laitteiden vaihtoon, parametrointiin ja standardointiin, tavarantoimitusten jakamiseen kuljetusverkossa ja muihin hallintatehtäviin.

Yksi toimintateoriatutkimuksen tärkeimmistä saavutuksista on ohjausmallien ja ongelmanratkaisumenetelmien tyypistäminen. Esimerkiksi kuljetusongelman ratkaisemiseksi sen ulottuvuudesta riippuen on kehitetty tyypillisiä menetelmiä - Vogel-menetelmä, potentiaalimenetelmä, simpleksimenetelmä. Myös varastonhallintaongelmaa ratkaistaessa voidaan sen muotoilusta riippuen käyttää analyyttisiä ja todennäköisyystilastollisia menetelmiä, dynaamisen ja stokastisen ohjelmoinnin menetelmiä.

Johtamisessa kiinnitetään erityistä huomiota verkostosuunnittelun menetelmiin. Nämä menetelmät mahdollistivat uuden ja erittäin kätevän kielen löytämisen monimutkaisten monivaiheisten teosten ja projektien kuvaamiseen, mallintamiseen ja analysointiin. Toimintatutkimuksessa merkittävä paikka on monimutkaisten järjestelmien ohjauksen parantamiselle jonoteorian menetelmillä (ks. luku 8.3) ja Markovin prosessien laitteistolla.

Markovin stokastisten prosessien mallit- Differentiaaliyhtälöjärjestelmä, joka kuvaa järjestelmän tai sen prosessien toimintaa järjestysten tilojen joukkona järjestelmän tietyllä liikeradalla. Tätä malliluokkaa käytetään laajalti monimutkaisten järjestelmien toiminnan matemaattisessa mallintamisessa.

Peliteorian mallit valita optimaalinen strategia rajoitetun satunnaisen tiedon tai täydellisen epävarmuuden olosuhteissa.

Peli on matemaattinen malli todellisesta konfliktitilanteesta, jonka ratkaiseminen suoritetaan tiettyjen sääntöjen, algoritmien mukaan, jotka kuvaavat tietyn strategian päätöksen tekevän henkilön käyttäytymiselle epävarmuuden olosuhteissa.

On olemassa "pelejä luonnon kanssa" ja "pelejä vihollisen kanssa". Päätöksenteon arvioinnin menetelmät ja kriteerit määritellään tilanteen perusteella. Joten "luonnon kanssa leikkiessä" käytetään seuraavia kriteerejä: Laplace, maximin (Wald-kriteeri) ja minimax, Hurwitz ja Savage sekä joukko muita algoritmisia sääntöjä. ”Peleissä vihollisen kanssa” päätösten tekemiseen käytetään voittomatriiseja, maksimi- ja minimax-kriteerejä sekä erityisiä matemaattisia muunnoksia, jotka johtuvat siitä, että päätöksentekijää vastustaa epäystävällinen vastustaja.

Tarkasteltavat matemaattisten mallien tyypit eivät kata kaikkea mahdollista monimuotoisuuttaan, vaan karakterisoivat vain yksittäisiä tyyppejä luokituksen hyväksytystä näkökulmasta riippuen. V.A. Kardash yritti luoda järjestelmän mallien luokitteluun neljän yksityiskohdan mukaan (kuva 8.4).

A - mallit ilman parametrien spatiaalista eriyttämistä;

B - mallit, joissa parametrien alueellinen erottelu

Kuva 8.4 - Mallien luokittelu neljän yksityiskohtien mukaan

Laskentatyökalujen kehittyessä yksi yleisimmistä päätöksentekomenetelmistä on bisnespeli, joka on numeerinen kokeilu, jossa ihminen on aktiivisesti mukana. Yrityspelejä on satoja. Niitä käytetään useiden johtamisen, talouden, organisaatioteorian, psykologian, rahoituksen ja kaupan ongelmien tutkimiseen.

Esimerkki 1.5.1.

Tuottakoon jokin talousalue useita (n) tyyppisiä tuotteita yksinomaan yksin ja vain tämän alueen väestölle. Oletetaan, että tekninen prosessi on kehitetty ja väestön kysyntää näille tavaroille on tutkittu. Tuotteiden vuotuinen tuotantomäärä on määritettävä ottaen huomioon, että tämän määrän on tarjottava sekä loppu- että teollinen kulutus.

Tehdään tästä ongelmasta matemaattinen malli. Sen kunnon mukaan annetaan: tuotetyypit, niiden kysyntä ja teknologinen prosessi; etsi kunkin tuotetyypin tuotantomäärä.

Merkitään tunnetut suuret:

c i- julkinen kysyntä i- tuote ( i=1,...,n); a ij- määrä i-th tuote, joka tarvitaan tuottamaan yksikkö j:nnestä tuotteesta tällä teknologialla ( i=1,...,n ; j=1,...,n);

X i - tuotannon määrä i- tuote ( i=1,...,n); kokonaisuus Kanssa =(c 1 ,..., c n ) kutsutaan kysyntävektoriksi, numeroiksi a ij– teknologiset kertoimet ja joukko X =(X 1 ,..., X n ) on vapautumisvektori.

Ongelman ehdon mukaan vektori X on jaettu kahteen osaan: loppukulutukseen (vektori Kanssa ) ja lisääntyminen (vektori x-s ). Laske vektorin se osa X joka menee lisääntymiseen. Tuotantomerkintöjemme mukaan X j j:nnen tuotteen määrä menee a ij · X j määriä i-tuote.

Sitten summa a i1 · X 1 +...+ a sisään · X n näyttää arvon i-th tuote, jota tarvitaan koko tuottoon X =(X 1 ,..., X n ).

Siksi tasa-arvon tulee olla voimassa:

Laajentamalla tämän päättelyn kaikkiin tuotteisiin pääsemme haluttuun malliin:

Tämän n lineaarisen yhtälön järjestelmän ratkaiseminen suhteessa X 1 ,...,X n ja etsi tarvittava lähtövektori.

Tämän mallin kirjoittamiseksi kompaktimpaan (vektori)muotoon otamme käyttöön merkinnän:

Neliö (
) -matriisi A kutsutaan teknologiamatriiksi. On helppo tarkistaa, että mallimme kirjoitetaan nyt näin: x-s = Ah tai

(1.6)

Meillä on klassinen malli" Input - Output ”, jonka kirjoittaja on kuuluisa amerikkalainen taloustieteilijä V. Leontiev.

Esimerkki 1.5.2.

Öljynjalostamolla on kaksi öljylaatua: laatu A määrässä 10 yksikköä, arvosana SISÄÄN- 15 yksikköä. Öljyä prosessoitaessa saadaan kaksi materiaalia: bensiini (merkitsimme B) ja polttoöljy ( M). Käsittelytekniikalle on kolme vaihtoehtoa:

minä: 1 yksikkö A+ 2 kpl SISÄÄN antaa 3 yksikköä. B+ 2 kpl M

II: 2 yksikköä A+ 1 yksikkö SISÄÄN antaa 1 yksikön. B+ 5 yksikköä M

III: 2 yksikköä A+ 2 kpl SISÄÄN antaa 1 yksikön. B+ 2 kpl M

Bensiinin yksikköhinta on 10 dollaria, polttoöljyn 1 dollari yksikköltä.

On määritettävä edullisin teknisten prosessien yhdistelmä käytettävissä olevan öljymäärän käsittelemiseksi.

Ennen mallintamista selvitämme seuraavat seikat. Ongelman ehdoista seuraa, että laitoksen teknologisen prosessin "kannattavuus" on ymmärrettävä siten, että se saa maksimaalisen tulon valmiiden tuotteidensa (bensiini ja polttoöljy) myynnistä. Tältä osin on selvää, että laitoksen "valinta (tekevä) päätös" on määrittää, mitä tekniikkaa ja kuinka monta kertaa sovelletaan. On selvää, että tällaisia ​​mahdollisuuksia on monia.

Merkitään tuntemattomat suuret:

X i- käyttömäärä i- tekninen prosessi (i=1,2,3). Muut mallin parametrit (öljylaatuvarastot, bensiinin ja polttoöljyn hinnat) tiedossa.

Nyt yksi kasvin tietty päätös on rajoitettu yhden vektorin valintaan X =(x 1 ,X 2 ,X 3 ) , josta laitoksen tuotto on yhtä suuri (32x 1 +15x 2 +12x 3 ) Tässä 32 dollaria on tulot, jotka saadaan yhdestä ensimmäisen teknologisen prosessin sovelluksesta (10 dollaria 3 yksikköä. B+ $1 2 yksikköä M= 32 dollaria). Kertoimilla 15 ja 12 on samanlainen merkitys toiselle ja kolmannelle teknologiselle prosessille, vastaavasti. Öljyvarannon huomioon ottaminen johtaa seuraaviin ehtoihin:

monipuolisuuden vuoksi A:

monipuolisuuden vuoksi SISÄÄN:,

jossa ensimmäisessä epäyhtälössä kertoimet 1, 2, 2 ovat A-luokan öljyn kulutusasteita teknisten prosessien kertakäyttöä varten minä,II,III vastaavasti. Toisen epäyhtälön kertoimilla on samanlainen merkitys luokan B öljylle.

Matemaattinen malli kokonaisuudessaan on muotoa:

Etsi tällainen vektori x = (x 1 ,X 2 ,X 3 ) maksimoimaan

f(x) = 32x 1 +15x 2 +12x 3

kun ehdot täyttyvät:

Tämän merkinnän lyhennetty muoto on seuraava:

rajoitusten alla

(1.7)

Meillä on niin sanottu lineaarinen ohjelmointiongelma.

Malli (1.7.) on esimerkki deterministisen tyyppisestä optimointimallista (jossa on tarkasti määritellyt elementit).

Esimerkki 1.5.3.

Sijoittajan on määritettävä paras joukko osakkeita, joukkovelkakirjoja ja muita arvopapereita ostaakseen ne tietyllä summalla saadakseen tietyn voiton minimaalisella riskillä itselleen. Tuotto jokaisesta arvopaperiin sijoitetusta dollarista j-th tyyppi, jolle on tunnusomaista kaksi indikaattoria: odotettu voitto ja todellinen voitto. Sijoittajan kannalta on toivottavaa, että odotettu voitto dollaria kohden koko arvopaperijoukolle ei ole pienempi kuin annettu arvo b.

Huomaa, että tämän ongelman oikeaan mallintamiseen matemaatikko vaatii tiettyjä perustietoja arvopaperisalkkuteorian alalla.

Merkitään ongelman tunnetut parametrit:

n- arvopaperityyppien lukumäärä; A j– todellinen voitto (satunnaisluku) j:nnen tyyppisestä arvopaperista; on odotettu voitto j turvallisuuden tyyppi.

Merkitse tuntemattomat suuret :

y j - tällaisten arvopapereiden ostoon osoitetut varat j.

Merkinnöissämme sijoitetun kokonaissumma ilmaistaan ​​muodossa . Mallin yksinkertaistamiseksi otamme käyttöön uusia määriä

.

Täten, X i- tämä on osuus kaikista varoista, jotka on varattu tyyppisten arvopapereiden ostoon j.

Se on selvää

Ongelman ehdosta voidaan nähdä, että sijoittajan tavoitteena on saavuttaa tietty voittotaso minimaalisella riskillä. Pohjimmiltaan riski on mitta todellisen voiton poikkeamaa odotetusta. Siksi se voidaan tunnistaa tyypin i ja j:n arvopapereiden voittokovarianssilla. Tässä M on matemaattisen odotuksen nimitys.

Alkuperäisen ongelman matemaattinen malli on muotoa:

rajoitusten alla

,
,
,
. (1.8)

Arvopaperisalkun rakenteen optimointiin on hankittu tunnettu Markowitz-malli.

Malli (1.8.) on esimerkki stokastisen tyyppisestä optimointimallista (satunnaisuuselementeillä).

Esimerkki 1.5.4.

Ammattiorganisaation perusteella yhdestä valikoiman minimituotteesta on n tyyppiä. Vain yksi tämän tuotteen tyypeistä tulee toimittaa myymälään. On valittava, minkä tyyppiset tavarat on suositeltavaa tuoda myymälään. Jos tuotetyyppi j on kysyntää, niin kauppa hyötyy myynnistään R j, jos sille ei ole kysyntää - tappio q j .

Ennen mallintamista keskustelemme joistakin peruskysymyksistä. Tässä ongelmassa päätöksentekijä (DM) on kauppa. Lopputulos (maksimivoiton saaminen) ei kuitenkaan riipu pelkästään hänen päätöksestään, vaan myös siitä, onko tuontitavaroilla kysyntää, eli ostavatko ne ihmiset pois (oletetaan, että kauppa jostain syystä tekee niin) ei ole mahdollisuutta tutkia väestön kysyntää ). Siksi väestöä voidaan pitää toisena päätöksentekijänä, joka valitsee tavaratyypin mieltymystensä mukaan. Väestön pahin "päätös" myymälälle on: "tuodatuilla tuotteilla ei ole kysyntää." Kaikenlaisten tilanteiden huomioon ottamiseksi kaupan on siis pidettävä väestö "vastustajanaan" (ehdollisesti) ja pyrkiä päinvastaiseen tavoitteeseen - minimoida kaupan voitto.

Meillä on siis päätösongelma kahden osallistujan kanssa, jotka pyrkivät vastakkaisiin tavoitteisiin. Selvennetään, että kauppa valitsee yhden myytävistä tavaratyypeistä (ratkaisuja on n), ja väestö valitsee yhden eniten kysytyistä tavaratyypeistä ( n ratkaisuvaihtoehdot).

Matemaattisen mallin laatimiseksi piirrämme taulukon n linjat ja n sarakkeet (yhteensä n 2 solut) ja sovitaan, että rivit vastaavat myymälän valintaa ja sarakkeet vastaavat perusjoukon valintaa. Sitten häkki (i, j) vastaa tilannetta, jossa kauppa valitsee i- tavaratyyppi ( i-. rivi), ja väestö valitsee j- tavaratyyppi ( j- sarake). Jokaiseen soluun kirjoitetaan numeerinen arvio (voitto tai tappio) vastaavasta tilanteesta myymälän näkökulmasta:

Numerot q i kirjoitettu miinuksella, joka kuvastaa myymälän menetystä; kussakin tilanteessa väestön "voitto" on (ehdollisesti) yhtä suuri kuin kaupan "voitto" päinvastaisella merkillä otettuna.

Tämän mallin lyhennetty näkymä on seuraava:

(1.9)

Meillä on niin sanottu matriisipeli. Malli (1.9.) on esimerkki pelin päätöksentekomalleista.