I denne artikel finder vi svar på spørgsmål om, hvordan man laver en projektion af et punkt på et plan, og hvordan man bestemmer koordinaterne for denne projektion. I den teoretiske del vil vi støtte os på begrebet projektion. Vi vil give definitioner af begreber, ledsage oplysningerne med illustrationer. Lad os konsolidere den erhvervede viden ved at løse eksempler.

Projektion, typer af projektion

For at lette overvejelse af rumlige figurer, anvendes tegninger, der afbilder disse figurer.

Definition 1

Projektion af en figur på et fly- en tegning af en rumlig figur.

Det er klart, at der er en række regler, der bruges til at konstruere en projektion.

Definition 2

projektion- processen med at konstruere en tegning af en rumlig figur på et plan ved hjælp af konstruktionsregler.

Projektionsplan er det plan, som billedet er bygget i.

Brugen af ​​visse regler bestemmer typen af ​​projektion: central eller parallel.

Et særligt tilfælde af parallel projektion er vinkelret projektion eller ortogonal projektion: i geometri bruges det hovedsageligt. Af denne grund udelades selve adjektivet "vinkelret" ofte i talen: i geometri siger de blot "projektion af en figur" og mener dermed konstruktionen af ​​en projektion ved hjælp af metoden med vinkelret projektion. I særlige tilfælde kan der naturligvis fastsættes andet.

Vi bemærker det faktum, at projektionen af ​​en figur på et plan i virkeligheden er projektionen af ​​alle punkter i denne figur. For at kunne studere en rumlig figur i en tegning er det derfor nødvendigt at tilegne sig den grundlæggende færdighed i at projicere et punkt på et plan. Hvad vi vil tale om nedenfor.

Husk på, at oftest i geometri, når vi taler om projektion på et plan, betyder de brugen af ​​vinkelret projektion.

Vi vil lave konstruktioner, der gør os i stand til at opnå definitionen af ​​projektionen af ​​et punkt på et plan.

Antag, at der er givet et tredimensionelt rum, og i det - et plan α og et punkt M 1, der ikke hører til planet α. Tegn en ret linje gennem et givet punkt M 1 EN vinkelret på det givne plan α. Skæringspunktet for linjen a og planet α vil blive betegnet som H 1 , ved konstruktion vil det tjene som basis for vinkelret faldet fra punktet M 1 til planet α .

Hvis et punkt M 2 er givet, der hører til et givet plan α, så vil M 2 tjene som en projektion af sig selv på planet α.

Definition 3

er enten selve punktet (hvis det hører til et givet plan), eller bunden af ​​vinkelret faldet fra et givet punkt til en given plan.

Find koordinaterne for projektionen af ​​et punkt på et plan, eksempler

Lad i tredimensionelt rum givet: rektangulært koordinatsystem O x y z, plan α, punkt M 1 (x 1, y 1, z 1) . Det er nødvendigt at finde koordinaterne for projektionen af ​​punktet M 1 på et givet plan.

Løsningen følger naturligvis af ovenstående definition af projektionen af ​​et punkt på et plan.

Vi betegner projektionen af ​​punktet M 1 på planet α som H 1 . Ifølge definitionen er H 1 skæringspunktet for det givne plan α og linjen a gennem punktet M 1 (vinkelret på planet). De der. koordinaterne for projektionen af ​​punktet M 1, vi skal bruge, er koordinaterne for skæringspunktet for linjen a og planet α.

For at finde koordinaterne for projektionen af ​​et punkt på et plan er det således nødvendigt:

Få ligningen for planet α (i tilfælde af at den ikke er indstillet). En artikel om typerne af planligninger vil hjælpe dig her;

Bestem ligningen for linjen a, der går gennem punktet M 1 og vinkelret på planen α (studer emnet for ligningen for den rette linje, der går gennem et givet punkt vinkelret på en given plan);

Find koordinaterne for skæringspunktet for linjen a og planen α (artikel - find koordinaterne for skæringspunktet mellem planen og linjen). De opnåede data vil være koordinaterne for projektionen af ​​punktet M 1 på det plan α, som vi har brug for.

Lad os overveje teorien om praktiske eksempler.

Eksempel 1

Bestem koordinaterne for projektionen af ​​punktet M 1 (- 2, 4, 4) på ​​planet 2 x - 3 y + z - 2 \u003d 0.

Løsning

Som vi kan se, er flyets ligning givet til os, dvs. der er ingen grund til at komponere det.

Lad os skrive de kanoniske ligninger for den rette linje a, der går gennem punktet M 1 og vinkelret på den givne plan. Til disse formål bestemmer vi koordinaterne for retningsvektoren for den rette linje a. Da linjen a er vinkelret på det givne plan, så er retningsvektoren for linjen a normalvektoren for planen 2 x - 3 y + z - 2 = 0. Dermed, a → = (2 , - 3 , 1) – retningsvektor for linjen a .

Nu sammensætter vi de kanoniske ligninger for en ret linje i rummet, der går gennem punktet M 1 (- 2, 4, 4) og har en retningsvektor a → = (2 , - 3 , 1):

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1

For at finde de ønskede koordinater er næste trin at bestemme koordinaterne for skæringspunktet for linjen x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 og planet 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . Til dette formål går vi fra de kanoniske ligninger til ligningerne for to skærende planer:

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 (x + 2) = 2 (y - 4) 1 (x + 2) = 2 (z - 4) 1 (y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0

Lad os lave et ligningssystem:

3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2

Og løs det ved hjælp af Cramers metode:

∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 32 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ - z . 140 - 28 = 5

Således vil de ønskede koordinater for et givet punkt M 1 på et givet plan α være: (0, 1, 5) .

Svar: (0 , 1 , 5) .

Eksempel 2

Punkterne А (0 , 0 , 2) er givet i et rektangulært koordinatsystem O x y z af tredimensionelt rum; I (2, - 1, 0); C (4, 1, 1) og M1 (-1, -2, 5). Det er nødvendigt at finde koordinaterne for projektionen M 1 på planet A B C

Løsning

Først og fremmest skriver vi ligningen for et plan, der passerer gennem tre givne punkter:

x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6y + 6z - 12 = 0 ⇔ x - 2y + 2z - 4 = 0

Lad os skrive de parametriske ligninger for den rette linje a, som vil passere gennem punktet M 1 vinkelret på planen A B C. Planen x - 2 y + 2 z - 4 \u003d 0 har en normalvektor med koordinater (1, - 2, 2), dvs. vektor a → = (1 , - 2 , 2) – retningsvektor for linjen a .

Nu, med koordinaterne for punktet på linjen M 1 og koordinaterne for retningsvektoren for denne linje, skriver vi de parametriske ligninger for linjen i rummet:

Derefter bestemmer vi koordinaterne for skæringspunktet for planet x - 2 y + 2 z - 4 = 0 og linjen

x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ

For at gøre dette, erstatter vi i flyets ligning:

x = - 1 + λ , y = - 2 - 2 λ , z = 5 + 2 λ

Nu, ved hjælp af de parametriske ligninger x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ, finder vi værdierne af variablerne x, y og z ved λ = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 (- 1) z = 5 + 2 (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3

Således vil projektionen af ​​punktet M 1 på planet A B C have koordinater (- 2, 0, 3) .

Svar: (- 2 , 0 , 3) .

Lad os dvæle separat ved spørgsmålet om at finde koordinaterne for projektionen af ​​et punkt på koordinatplanerne og planer, der er parallelle med koordinatplanerne.

Lad punkterne M 1 (x 1, y 1, z 1) og koordinatplanerne O x y , O x z og O y z være givet. Projektionskoordinaterne for dette punkt på disse planer vil være henholdsvis: (x 1 , y 1 , 0 ), (x 1 , 0 , z 1) og (0 , y 1 , z 1) . Overvej også planerne parallelt med de givne koordinatplaner:

C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B

Og projektionerne af det givne punkt M 1 på disse planer vil være punkter med koordinater x 1 , y 1 , - D C , x 1 , - D B , z 1 og - D A , y 1 , z 1 .

Lad os demonstrere, hvordan dette resultat blev opnået.

Lad os som et eksempel definere projektionen af ​​punktet M 1 (x 1, y 1, z 1) på planet A x + D = 0. Resten af ​​sagerne ligner hinanden.

Den givne plan er parallel med koordinatplanen O y z og i → = (1 , 0 , 0) er dens normalvektor. Den samme vektor tjener som retningsvektor for den rette linje vinkelret på planet O y z . Så vil de parametriske ligninger for en ret linje trukket gennem punktet M 1 og vinkelret på en given plan se ud:

x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1

Find koordinaterne for skæringspunktet for denne linje og det givne plan. Vi erstatter først i ligningen A x + D = 0 ligheder: x = x 1 + λ, y = y 1, z = z 1 og får: A (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - x 1

Derefter beregner vi de ønskede koordinater ved hjælp af de parametriske ligninger for den rette linje for λ = - D A - x 1:

x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1

Det vil sige, at projektionen af ​​punktet M 1 (x 1, y 1, z 1) på planet vil være et punkt med koordinater - D A , y 1 , z 1 .

Eksempel 2

Det er nødvendigt at bestemme koordinaterne for projektionen af ​​punktet M 1 (- 6 , 0 , 1 2) på koordinatplanet O x y og på planet 2 y - 3 = 0 .

Løsning

Koordinatplanen O x y vil svare til den ufuldstændige generelle ligning for planen z = 0 . Projektionen af ​​punktet M 1 på planet z \u003d 0 vil have koordinater (- 6, 0, 0).

Planligningen 2 y - 3 = 0 kan skrives som y = 3 2 2 . Skriv nu blot koordinaterne for projektionen af ​​punktet M 1 (- 6 , 0 , 1 2) på planet y = 3 2 2:

6 , 3 2 2 , 1 2

Svar:(- 6 , 0 , 0) og - 6 , 3 2 2 , 1 2

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

Denne artikel er svaret på to spørgsmål: "Hvad er" og "Sådan finder du koordinater for projektionen af ​​et punkt på et plan"? Først gives den nødvendige information om projektion og dens typer. Dernæst gives definitionen af ​​projektionen af ​​et punkt på et plan, og der gives en grafisk illustration. Derefter blev der opnået en metode til at finde koordinaterne for projektionen af ​​et punkt på et plan. Afslutningsvis analyseres løsninger af eksempler, hvor koordinaterne for projektionen af ​​et givet punkt på et givet plan beregnes.

Sidenavigation.

Projektion, typer af projektion - nødvendige oplysninger.

Når man studerer rumlige figurer, er det praktisk at bruge deres billeder i tegningen. Tegningen af ​​en rumlig figur er en såkaldt projektion denne figur til flyet. Processen med at konstruere et billede af en rumlig figur på et plan sker i henhold til visse regler. Så processen med at konstruere et billede af en rumlig figur på et plan sammen med et sæt regler, som denne proces udføres efter, kaldes projektion figurer på dette fly. Planet som billedet er bygget i kaldes projektionsplan.

Afhængig af de regler, som fremskrivningen udføres efter, er der central Og parallel projektion. Vi vil ikke gå i detaljer, da dette er uden for rammerne af denne artikel.

I geometri bruges hovedsageligt et særligt tilfælde af parallel projektion - vinkelret projektion, som også kaldes ortogonal. I navnet på denne type projektion er adjektivet "vinkelret" ofte udeladt. Det vil sige, at når de i geometri taler om projektion af en figur på et plan, betyder de normalt, at denne projektion blev opnået ved hjælp af vinkelret projektion (medmindre andet selvfølgelig er angivet).

Det skal bemærkes, at projektionen af ​​en figur på et plan er et sæt af projektioner af alle punkter af denne figur på projektionsplanet. Med andre ord, for at få projektionen af ​​en bestemt figur, er det nødvendigt at være i stand til at finde projektionerne af punkterne i denne figur på planet. Det næste afsnit i artiklen viser bare, hvordan man finder projektionen af ​​et punkt på et plan.

Projektion af et punkt på et plan - definition og illustration.

Vi understreger endnu en gang, at vi vil tale om den vinkelrette projektion af et punkt på et plan.

Lad os lave konstruktioner, der vil hjælpe os med at definere projektionen af ​​et punkt på et plan.

Lad os i det tredimensionelle rum få et punkt M 1 og et plan. Lad os tegne en lige linje a gennem punktet M 1, vinkelret på planet. Hvis punktet M 1 ikke ligger i planet, så betegner vi skæringspunktet for linjen a og planet som H 1. Ved konstruktion er punktet H 1 således bunden af ​​den perpendikulære, der falder fra punktet M 1 til planet.

Definition.

Projektion af punkt M 1 på et plan er selve punktet M 1, hvis , eller punktet H 1, hvis .

Den følgende definition svarer til denne definition af projektionen af ​​et punkt på et plan.

Definition.

Projektion af et punkt på et plan- dette er enten selve punktet, hvis det ligger i et givet plan, eller bunden af ​​vinkelret faldet fra dette punkt til et givet plan.

På tegningen nedenfor er punktet H 1 projektionen af ​​punktet M 1 på planet; punktet M 2 ligger i planet, derfor er M 2 projektionen af ​​selve punktet M 2 på planet.

At finde koordinaterne for projektionen af ​​et punkt på et plan - løsning af eksempler.

Lad Oxyz blive introduceret i tredimensionelt rum, et punkt og fly. Lad os sætte os selv opgaven: at bestemme koordinaterne for projektionen af ​​punktet M 1 på planet.

Løsningen af ​​problemet følger logisk ud fra definitionen af ​​projektionen af ​​et punkt på et plan.

Betegn projektionen af ​​punktet M 1 på planet som H 1 . Per definition er projektionen af ​​et punkt på et plan, H 1 skæringspunktet for et givet plan og en ret linje a, der går gennem punktet M 1 vinkelret på planet. De ønskede koordinater for projektionen af ​​punktet M1 på planet er således koordinaterne for skæringspunktet mellem linjen a og planet.

Derfor, at finde projektionskoordinaterne for et punkt på det fly, du skal bruge:

Lad os overveje eksempler.

Eksempel.

Find projektionskoordinaterne for et punkt til flyet .

Løsning.

I problemets tilstand får vi en generel ligning for formens plan , så det behøver ikke at blive kompileret.

Lad os skrive de kanoniske ligninger af den rette linje a, som går gennem punktet M 1 vinkelret på den givne plan. For at gøre dette får vi koordinaterne for retningsvektoren for den rette linje a. Da linjen a er vinkelret på det givne plan, er retningsvektoren for linjen a planetens normalvektor . Det er, - retningsvektor af ret linje a . Nu kan vi skrive de kanoniske ligninger for en ret linje i rummet, der går gennem punktet og har en retningsvektor :
.

For at opnå de nødvendige koordinater for projektionen af ​​et punkt på et plan, er det tilbage at bestemme koordinaterne for linjens skæringspunkt og fly . For at gøre dette går vi fra de kanoniske ligninger af den rette linje til ligningerne for to skærende planer, vi sammensætter et ligningssystem og finde dens løsning. Vi bruger:

Altså projektionen af ​​punktet til flyet har koordinater.

Svar:

Eksempel.

I et rektangulært koordinatsystem Oxyz i tredimensionelt rum, punkter og . Bestem koordinaterne for projektionen af ​​punktet M 1 på planet ABC.

Løsning.

Lad os først skrive ligningen for et plan, der passerer gennem tre givne punkter:

Men lad os se på en alternativ tilgang.

Lad os få de parametriske ligninger for den rette linje a , som går gennem punktet og vinkelret på planet ABC. Den normale vektor af planet har koordinater, derfor vektoren er retningsvektoren for linjen a . Nu kan vi skrive de parametriske ligninger for en ret linje i rummet, da vi kender koordinaterne til et punkt på en ret linje ( ) og koordinaterne for dens retningsvektor ( ):

Det er tilbage at bestemme koordinaterne for linjens skæringspunkt og fly. For at gøre dette, erstatter vi i flyets ligning:
.

Nu ved parametriske ligninger beregn værdierne af variablerne x , y og z ved :
.

Projektionen af ​​punktet M 1 på planet ABC har således koordinater.

Svar:

Afslutningsvis, lad os diskutere at finde koordinaterne for projektionen af ​​et eller andet punkt på koordinatplanerne og planer parallelt med koordinatplanerne.

punktprojektioner til koordinatplanerne Oxy , Oxz og Oyz er punkterne med koordinater og tilsvarende. Og punktets projektioner på flyet og , som er parallelle med koordinatplanerne henholdsvis Oxy , Oxz og Oyz, er punkter med koordinater Og .

Lad os vise, hvordan disse resultater blev opnået.

Lad os f.eks. finde fremskrivningen af ​​et punkt på flyet (andre tilfælde ligner dette).

Dette plan er parallelt med koordinatplanet Oyz og er dets normalvektor. Vektoren er retningsvektoren af ​​linjen vinkelret på Oyz-planet. Så har de parametriske ligninger for den rette linje, der går gennem punktet M 1 vinkelret på den givne plan, formen .

Find koordinaterne for skæringspunktet mellem linjen og planet. For at gøre dette erstatter vi først i lighedsligningen: , og projektionen af ​​punktet

Overvej projektionerne af punkter på to planer, for hvilke vi tager to vinkelrette planer (fig. 4), som vi vil kalde de vandrette frontale og planer. Disse planers skæringslinje kaldes projektionsaksen. Vi projicerer et punkt A på de betragtede planer ved hjælp af en flad projektion. For at gøre dette er det nødvendigt at sænke perpendikulærerne Aa og A fra det givne punkt til de betragtede planer.

Projektion på et vandret plan kaldes plan oversigt point EN, og projektionen EN? på frontalplanet kaldes frontprojektion.

Punkter, der skal projiceres i beskrivende geometri, er normalt angivet med store latinske bogstaver. A, B, C. Små bogstaver bruges til at betegne vandrette projektioner af punkter. a, b, c... Frontprojektioner er angivet med små bogstaver med et streg øverst a?, b?, c?…

Betegnelsen af ​​punkter med romertal I, II, ... bruges også, og til deres projektioner - med arabiske tal 1, 2 ... og 1?, 2? ...

Når det vandrette plan drejes 90°, kan der fås en tegning, hvor begge planer er i samme plan (fig. 5). Dette billede kaldes punkt plot.

Gennem vinkelrette linjer Ah Og ah? tegne et plan (fig. 4). Det resulterende plan er vinkelret på de frontale og vandrette planer, fordi det indeholder vinkelrette på disse planer. Derfor er dette plan vinkelret på skæringslinjen mellem planerne. Den resulterende lige linje skærer det vandrette plan i en lige linje aa x, og frontalplanet - i en lige linje hva'? X. Lige aah og hva'? x er vinkelret på planernes skæringsakse. Det er Aaah? er et rektangel.

Ved kombination af vandrette og frontale projektionsplaner EN Og EN? vil ligge på en vinkelret på planernes skæringsakse, da når det vandrette plan roterer, vil segmenternes vinkelrethed aa x og hva'? x er ikke i stykker.

Det får vi på projektionsdiagrammet EN Og EN? et eller andet punkt EN altid ligge på samme vinkelret på planernes skæringsakse.

To fremspring a og EN? af et eller andet punkt A kan entydigt bestemme sin position i rummet (fig. 4). Dette bekræftes af, at når man konstruerer en vinkelret fra projektionen a til det vandrette plan, vil den passere gennem punkt A. På samme måde vil vinkelret fra projektionen EN? til frontalplanet vil passere gennem punktet EN, dvs. punkt EN ligger på to bestemte linjer på samme tid. Punkt A er deres skæringspunkt, dvs. det er bestemt.

Overvej et rektangel Aaa x EN?(Fig. 5), for hvilke følgende udsagn er sande:

1) Punktafstand EN fra frontplanet er lig med afstanden af ​​dets vandrette projektion a fra planernes skæringsakse, dvs.

ah? = aa X;

2) punktafstand EN fra det vandrette plan af projektioner er lig med afstanden af ​​dets frontale projektion EN? fra planernes skæringsakse, dvs.

Ah = hva'? X.

Med andre ord, selv uden selve punktet på plottet, ved kun at bruge dets to projektioner, kan du finde ud af, i hvilken afstand fra hvert af projektionsplanerne dette punkt er placeret.

Skæringspunktet mellem to projektionsplaner deler rummet i fire dele, som kaldes kvartaler(Fig. 6).

Planernes skæringsakse deler det vandrette plan i to fjerdedele - for- og bagside, og frontplan - i øvre og nedre fjerdedele. Den øvre del af frontalplanet og den forreste del af det vandrette plan betragtes som grænserne for det første kvartal.

Ved modtagelse af diagrammet roterer det vandrette plan og falder sammen med frontplanet (fig. 7). I dette tilfælde vil forsiden af ​​det vandrette plan falde sammen med bunden af ​​frontalplanet, og bagsiden af ​​det vandrette plan med toppen af ​​frontalplanet.

Figur 8-11 viser punkterne A, B, C, D, placeret i forskellige kvarterer af rummet. Punkt A er i første kvartal, punkt B er i andet, punkt C er i tredje, og punkt D er i fjerde.

Når punkterne er placeret i første eller fjerde kvartal af deres vandrette projektioner placeret på forsiden af ​​det vandrette plan, og på diagrammet vil de ligge under planernes skæringsakse. Når et punkt er placeret i andet eller tredje kvartal, vil dets vandrette projektion ligge på bagsiden af ​​det vandrette plan, og på diagrammet vil det være over planernes skæringsakse.

Frontprojektioner punkter, der er placeret i første eller andet kvartal, vil ligge på den øverste del af frontplanet, og på diagrammet vil de være placeret over skæringsaksen mellem flyene. Når et punkt er placeret i tredje eller fjerde kvartal, er dets frontale projektion under planernes skæringsakse.

Oftest, i rigtige konstruktioner, er figuren placeret i den første fjerdedel af rummet.

I nogle særlige tilfælde er punktet ( E) kan ligge på et vandret plan (fig. 12). I dette tilfælde vil dens vandrette projektion e og selve punktet falde sammen. Den frontale projektion af et sådant punkt vil være på aksen for skæringspunktet mellem flyene.

I det tilfælde, hvor punktet TIL ligger på frontplanet (fig. 13), dets vandrette projektion k ligger på skæringsaksen mellem flyene og fronten k? viser den faktiske placering af dette punkt.

For sådanne punkter er tegnet på, at det ligger på et af projektionsplanerne, at et af dets projektioner er på planernes skæringsakse.

Hvis et punkt ligger på projektionsplanernes skæringsakse, falder det og begge dets projektioner sammen.

Når et punkt ikke ligger på projektionsplanerne, kaldes det punkt i den generelle holdning. I det følgende, hvis der ikke er særlige mærker, er det punkt, der behandles, et generelt punkt.

For at forklare, hvordan man på modellen opnår projektioner af et punkt på vinkelrette projektionsplaner (fig. 4), er det nødvendigt at tage et stykke tykt papir i form af et aflangt rektangel. Det skal bøjes mellem fremspring. Foldelinjen vil afbilde aksen for skæringspunktet mellem flyene. Hvis det bøjede stykke papir derefter rettes ud igen, får vi et diagram svarende til det, der er vist på figuren.

Ved at kombinere to projektionsplaner med tegneplanet kan du ikke vise foldelinjen, dvs. ikke tegne skæringsaksen for planerne på diagrammet.

Når du bygger på et diagram, bør du altid placere projektioner EN Og EN? punkt A på én lodret linje (fig. 14), som er vinkelret på planernes skæringsakse. Derfor, selvom positionen af ​​aksen for skæringspunktet mellem planerne forbliver udefineret, men dens retning er bestemt, kan aksen for skæringspunktet mellem planerne kun være vinkelret på den rette linje på diagrammet ah?.

Hvis der ikke er nogen projektionsakse på punktdiagrammet, som i den første figur 14a, kan du forestille dig positionen af ​​dette punkt i rummet. For at gøre dette skal du tegne et hvilket som helst sted vinkelret på linjen ah? projektionsakse, som i den anden figur (fig. 14), og bøj tegningen langs denne akse. Hvis vi genskaber perpendikulerne ved punkterne EN Og EN? før de krydser hinanden, kan du få et point EN. Ved ændring af projektionsaksens position opnås forskellige positioner af punktet i forhold til projektionsplanerne, men usikkerheden på projektionsaksens position påvirker ikke den relative position af flere punkter eller figurer i rummet.

Overvej profilplanet for projektioner. Projektioner på to vinkelrette planer bestemmer normalt figurens position og gør det muligt at finde ud af dens reelle dimensioner og form. Men der er tidspunkter, hvor to projektioner ikke er nok. Anvend derefter konstruktionen af ​​den tredje fremspring.

Det tredje projektionsplan udføres, så det er vinkelret på begge projektionsplaner på samme tid (fig. 15). Det tredje plan kaldes profil.

I sådanne konstruktioner kaldes den fælles linie af det vandrette og frontale plan akse x , den fælles linje for vandret plan og profilplan - akse på , og den fælles lige linje af frontal- og profilplanet - akse z . Prik OM, som hører til alle tre planer, kaldes oprindelsespunktet.

Figur 15a viser punktet EN og tre af dens fremskrivninger. Projektion på profilplanet ( EN??) hedder profilprojektion og betegne EN??.

For at få et diagram over punkt A, som består af tre projektioner a, a a, er det nødvendigt at skære trihedronen dannet af alle planer langs y-aksen (fig. 15b) og kombinere alle disse planer med planet for frontprojektionen. Det vandrette plan skal drejes om aksen x, og profilplanet er nær aksen z i retningen angivet af pilen i figur 15.

Figur 16 viser fremspringenes position ah, hva'? Og EN?? point EN, opnået som et resultat af at kombinere alle tre planer med tegneplanet.

Som et resultat af snittet optræder y-aksen på diagrammet to forskellige steder. På et vandret plan (fig. 16) indtager den en lodret position (vinkelret på aksen) x), og på profilplanet - vandret (vinkelret på aksen z).

Figur 16 viser tre projektioner ah, hva'? Og EN?? Punkterne A har en strengt defineret position på diagrammet og er underlagt utvetydige betingelser:

EN Og EN? skal altid være placeret på én lodret ret linje vinkelret på aksen x;

EN? Og EN?? skal altid være placeret på samme vandrette linje vinkelret på aksen z;

3) når tegnet gennem et vandret fremspring og en vandret linje, men gennem et profilfremspring EN??- en lodret ret linje, vil de konstruerede linjer nødvendigvis skære på halveringslinjen af ​​vinklen mellem projektionsakserne, da figuren Oa på EN 0 EN n er en firkant.

Når man konstruerer tre projektioner af et punkt, er det nødvendigt at kontrollere opfyldelsen af ​​alle tre betingelser for hvert punkt.

Positionen af ​​et punkt i rummet kan bestemmes ved hjælp af tre tal kaldet dens koordinater. Hver koordinat svarer til afstanden af ​​et punkt fra et projektionsplan.

Punktafstand EN til profilplanet er koordinaten x, hvori x = hva'?(fig. 15), afstanden til frontalplanet - ved koordinaten y, og y = hva'?, og afstanden til det vandrette plan er koordinaten z, hvori z = aA.

I figur 15 optager punkt A bredden af ​​en rektangulær boks, og målingerne af denne boks svarer til koordinaterne for dette punkt, dvs. hver af koordinaterne er præsenteret i figur 15 fire gange, dvs.

x \u003d a? A \u003d Oa x \u003d a y a \u003d a z a?;

y \u003d a? A \u003d Oa y \u003d a x a \u003d a z a?;

z = aA = Oa z = a x a? = a y a?.

På diagrammet (fig. 16) forekommer x- og z-koordinaterne tre gange:

x \u003d a z a? \u003d Oa x \u003d a y a,

z = a x a? = Oa z = a y a?.

Alle segmenter, der svarer til koordinaten x(eller z) er parallelle med hinanden. Koordinere på repræsenteret to gange af den lodrette akse:

y \u003d Oa y \u003d a x a

og to gange - placeret vandret:

y \u003d Oa y \u003d a z a?.

Denne forskel opstod på grund af det faktum, at y-aksen er til stede på diagrammet i to forskellige positioner.

Det skal bemærkes, at positionen af ​​hver projektion er bestemt på diagrammet af kun to koordinater, nemlig:

1) vandret - koordinater x Og på,

2) frontal - koordinater x Og z,

3) profil - koordinater på Og z.

Brug af koordinater x, y Og z, kan du bygge projektioner af et punkt på diagrammet.

Hvis punkt A er givet ved koordinater, er deres registrering defineret som følger: A ( X; y; z).

Ved konstruktion af punktprojektioner EN følgende forhold skal kontrolleres:

1) vandrette og frontale fremspring EN Og EN? x x;

2) frontal- og profilfremspring EN? Og EN? skal være placeret på samme vinkelret på aksen z, da de har en fælles koordinat z;

3) vandret projektion og også fjernet fra aksen x, ligesom profilprojektionen EN væk fra aksen z, da projektionen ah? og hva'? have en fælles koordinat på.

Hvis punktet ligger i et af projektionsplanerne, så er en af ​​dets koordinater lig med nul.

Når et punkt ligger på projektionsaksen, er dets to koordinater nul.

Hvis et punkt ligger ved origo, er alle tre koordinater nul.

Ved rektangulær projektion består systemet af projektionsplaner af to indbyrdes vinkelrette projektionsplaner (fig. 2.1). Den ene gik med til at blive placeret vandret, og den anden lodret.

Projektionsplanet, der er placeret vandret, kaldes vandret projektionsplan og betegne sch, og planet vinkelret på det frontal projektionsplanl 2. Selve systemet af projektionsplaner er betegnet s/s 2. Brug normalt forkortede udtryk: plan L[, fly n 2. Skæringslinje mellem fly sch Og til 2 hedder projektions akseÅh. Den deler hvert projektionsplan i to dele - gulve. Det vandrette plan af projektioner har en anterior og posterior etage, mens frontalplanet har en øvre og nedre etage.

fly sch Og p 2 opdel rummet i fire dele kaldet kvartaler og betegnet med romertal I, II, III og IV (se fig. 2.1). Den første fjerdedel kaldes den del af rummet, der er afgrænset af de øvre hule frontale og forreste hule vandrette projektionsplaner. For de resterende fjerdedele af rummet svarer definitionerne til den foregående.

Alle tekniske tegninger er billeder bygget på samme plan. På fig. 2.1 systemet af projektionsplaner er rumligt. For at flytte til billeder på samme plan blev vi enige om at kombinere projektionsplanerne. Normalt fly p 2 venstre ubevægelig, og flyet P drej i retningen angivet af pilene (se fig. 2.1), rundt om aksen Åh i en vinkel på 90°, indtil den er på linje med planet n 2. Med en sådan drejning går det forreste gulv af det vandrette plan ned, og det bagerste stiger. Efter justering har flyene den afbildede form

hun i fig. 2.2. Det menes, at projektionsplanerne er uigennemsigtige, og observatøren er altid i det første kvartal. På fig. 2.2 er betegnelsen for planer, der er usynlige efter justering, taget i parentes, som det er sædvanligt for at fremhæve usynlige figurer i tegningerne.

Det projicerede punkt kan være i et hvilket som helst kvarter eller på et hvilket som helst projektionsplan. I alle tilfælde, for at bygge projektioner, trækkes projicerende linjer igennem det, og deres mødepunkter findes med plan 711 og 712, som er projektioner.

Overvej projektionen af ​​et punkt placeret i første kvartal. Systemet af projektionsplaner 711/712 og punktet EN(Fig. 2.3). Der trækkes to lige LINJER gennem den, vinkelret på PLANE 71) OG 71 2. En af dem vil skære plan 711 på punktet A", hedder vandret projektion af punkt A, og den anden er planet 712 ved punktet A", hedder frontal projektion af punkt A.

Projicerende linjer AA" Og AA" Bestem projektionsplanet a. Det er vinkelret på flyene Kip 2, da den passerer vinkelret på dem og skærer projektionsplanerne langs lige linjer A "Ah og A" A x. Projektionsakse Åh vinkelret på planet oc, som skæringslinjen mellem to planer 71| og 71 2 vinkelret på det tredje plan (a), og dermed på enhver linje, der ligger i det. I særdeleshed, 0X1A "A x Og 0X1A "A x.

Ved kombination af fly, segmentet A "Ah, flad til 2, forbliver stationær, og segmentet En "A x sammen med plan 71) vil blive drejet rundt om aksen Åh indtil den er på linje med planet 71 2 . Visning af kombinerede projektionsplaner sammen med projektioner af et punkt EN vist i fig. 2.4, EN. Efter justering af punktet A", A x og A" vil være placeret på én lige linje vinkelret på aksen Åh. Dette indebærer, at to projektioner af samme punkt

ligge på en fælles vinkelret på projektionsaksen. Denne vinkelrette forbinder to projektioner af det samme punkt kaldes projektionslinje.

Tegningen i fig. 2.4, EN kan forenkles meget. Betegnelserne for de kombinerede projektionsplaner i tegningerne er ikke markeret, og de rektangler, der betinget begrænser projektionsplanerne, er ikke afbildet, da planerne er ubegrænsede. Forenklet punkttegning EN(Fig. 2.4, b) også kaldet diagram(Fra fransk ?ren - tegning).

Vist i fig. 2,3 firkantet AE4 "A X A" er et rektangel, og dets modstående sider er lige store og parallelle. Derfor er afstanden fra punktet EN op til flyet P, målt ved et segment AA", på tegningen er bestemt af segmentet A "Ah. Segmentet A "A x = AA" giver dig mulighed for at bedømme afstanden fra et punkt EN op til flyet til 2. Tegningen af ​​et punkt giver således et komplet billede af dets placering i forhold til projektionsplanerne. F.eks. ifølge tegningen (se fig. 2.4, b) det kan hævdes, at pointen EN placeret i første kvartal og fjernet fra flyet p 2 til en kortere afstand end fra planet ts b siden En "A x A "Ah.

Lad os gå videre til at projicere et punkt i det andet, tredje og fjerde kvartal af rummet.

Når du projicerer et punkt I, placeret i andet kvartal (fig. 2.5), efter at have kombineret flyene, vil begge dets projektioner være over aksen Åh.

Den vandrette projektion af punktet C, givet i tredje kvartal (fig. 2.6), er placeret over aksen Åh, og fronten er lavere.

Punkt D afbildet i fig. 2.7 ligger i fjerde kvartal. Efter at have kombineret projektionsplanerne, vil begge dets projektioner være under aksen Åh.

Ved at sammenligne tegningerne af punkter placeret i forskellige områder af rummet (se fig. 2.4-2.7), kan du se, at hver er karakteriseret ved sin egen placering af fremspring i forhold til projektions akse Åh.

I særlige tilfælde kan det projicerede punkt ligge på projektionsplanet. Så falder en af ​​dens projektioner sammen med selve punktet, og den anden vil være placeret på projektionsaksen. For eksempel for et punkt E, liggende på et fly sch(Fig. 2.8), den vandrette projektion falder sammen med selve punktet, og frontalprojektionen er på aksen Åh. På punktet E, placeret på flyet til 2(Fig. 2.9), vandret projektion på aksen Åh, og forsiden falder sammen med selve punktet.

Positionen af ​​et punkt i rummet kan specificeres ved dets to ortogonale projektioner, for eksempel vandret og frontalt, frontalt og profil. Kombinationen af ​​to ortogonale projektioner giver dig mulighed for at finde ud af værdien af ​​alle koordinater for et punkt, bygge en tredje projektion, bestemme oktanten, hvori den er placeret. Lad os overveje nogle typiske opgaver fra forløbet af beskrivende geometri.

Ifølge den givne komplekse tegning af punkt A og B er det nødvendigt:

Lad os først bestemme koordinaterne for punkt A, som kan skrives på formen A (x, y, z). Den vandrette projektion af punkt A er punkt A ", der har koordinaterne x, y. Tegn fra punkt A" vinkelret på x-, y-akserne og find henholdsvis A x, A y. X-koordinaten for punkt A er lig med længden af ​​segmentet A x O med et plustegn, da A x ligger i området af positive x-akseværdier. Under hensyntagen til tegningens skala finder vi x \u003d 10. Y-koordinaten er lig med længden af ​​segmentet A y O med et minustegn, da t. A y ligger i området af negative y-akseværdier . Givet skalaen på tegningen, y = -30. Den frontale projektion af punkt A - punkt A"" har x- og z-koordinater. Lad os slippe vinkelret fra A"" til z-aksen og finde A z . Z-koordinaten for punkt A er lig med længden af ​​segmentet A z O med et minustegn, da A z ligger i området med negative værdier af z-aksen. Givet skalaen på tegningen er z = -10. Koordinaterne for punkt A er således (10, -30, -10).

Koordinaterne for punkt B kan skrives som B (x, y, z). Overvej den vandrette projektion af punkt B - punkt B. "Da det ligger på x-aksen, så B x \u003d B" og koordinaten B y \u003d 0. Abscissen x af punkt B er lig med længden af ​​segmentet B x O med et plustegn. Under hensyntagen til tegningens målestok er x = 30. Frontprojektionen af ​​punktet B - punkt B˝ har koordinaterne x, z. Tegn en vinkelret fra B"" til z-aksen, og find dermed B z . Den anvendte z af punkt B er lig med længden af ​​segmentet B z O med et minustegn, da B z ligger i området for negative værdier af z-aksen. Under hensyntagen til tegningens skala bestemmer vi værdien z = -20. Så B-koordinaterne er (30, 0, -20). Alle nødvendige konstruktioner er vist i figuren nedenfor.

Konstruktion af projektioner af punkter

Punkterne A og B i P3-planet har følgende koordinater: A""" (y, z); B""" (y, z). I dette tilfælde ligger A"" og A""" på samme vinkelret på z-aksen, da de har en fælles z-koordinat. På samme måde ligger B"" og B""" på en fælles vinkelret til z-aksen. For at finde profilprojektionen af ​​t. A afsætter vi langs y-aksen værdien af ​​den tilsvarende koordinat fundet tidligere. På figuren gøres dette ved hjælp af en bue af en cirkel med radius A y O. Derefter tegner vi en vinkelret fra A y til skæringspunktet med vinkelret gendannet fra punktet A "" til z-aksen. Skæringspunktet for disse to perpendikulære bestemmer positionen for A""".

Punkt B""" ligger på z-aksen, da y-ordinaten for dette punkt er lig med nul. For at finde profilprojektionen af ​​punkt B i denne opgave er det kun nødvendigt at tegne en vinkelret fra B"" til z-aksen. Skæringspunktet for denne vinkelrette med z-aksen er B """.

Bestemmelse af punkters position i rummet

Visualisering af det rumlige layout, sammensat af projektionsplanerne P 1, P 2 og P 3, placeringen af ​​oktanterne, samt rækkefølgen af ​​transformation af layoutet til diagrammer, kan du direkte bestemme, at t. A er placeret i III oktant, og t. B ligger i planet P 2 .

En anden mulighed for at løse dette problem er metoden med undtagelser. For eksempel er koordinaterne for punkt A (10, -30, -10). Den positive abscisse x gør det muligt at bedømme, at punktet er placeret i de første fire oktanter. En negativ y-ordinat angiver, at punktet er i anden eller tredje oktant. Endelig indikerer den negative anvendelse af z, at punkt A er i den tredje oktant. Den givne begrundelse er tydeligt illustreret af følgende tabel.

Punkt B-koordinater (30, 0, -20). Da ordinaten af ​​t. B er lig med nul, er dette punkt placeret i projektionsplanet П 2 . Den positive abscisse og den negative anvendelse af punkt B indikerer, at den er placeret på grænsen mellem tredje og fjerde oktant.

Konstruktion af et visuelt billede af punkter i systemet af planer P 1, P 2, P 3

Ved at bruge den frontale isometriske projektion byggede vi et rumligt layout af den tredje oktant. Det er en rektangulær trihedron, hvis flader er planerne P 1, P 2, P 3, og vinklen (-y0x) er 45 º. I dette system vil segmenter langs x-, y- og z-akserne blive plottet i fuld størrelse uden forvrængning.

Konstruktionen af ​​et visuelt billede af punkt A (10, -30, -10) vil begynde med dets vandrette projektion A ". Efter at have afsat de tilsvarende koordinater langs abscissen og ordinaterne, finder vi punkterne A x og A y. skæringspunktet mellem perpendikulært gendannet fra henholdsvis A x og A y til x- og y-akserne bestemmer positionen af ​​punktet A". Sætter vi fra A" parallelt med z-aksen mod dens negative værdier segmentet AA", hvis længde er lig med 10, finder vi positionen af ​​punktet A.

Et visuelt billede af punkt B (30, 0, -20) er konstrueret på lignende måde - i P 2-planet skal de tilsvarende koordinater plottes langs x- og z-akserne. Skæringspunktet mellem perpendikulerne rekonstrueret fra B x og B z vil bestemme positionen af ​​punkt B.