Hvilken figur er i bunden af ​​en regulær firkantet pyramide. Pyramide

Når man løser opgave C2 ved hjælp af koordinatmetoden, står mange elever med samme problem. De kan ikke beregne punktkoordinater inkluderet i den skalære produktformel. De største vanskeligheder er pyramider. Og hvis basispunkterne betragtes som mere eller mindre normale, så er toppene et sandt helvede.

I dag vil vi beskæftige os med en almindelig firkantet pyramide. Der er også en trekantet pyramide (aka - tetraeder). Dette er et mere komplekst design, så en separat lektion vil blive afsat til det.

Lad os starte med definitionen:

En almindelig pyramide er en, hvor:

1. Basen er en regulær polygon: trekant, firkant osv.;
2. Højden trukket til basen passerer gennem dens centrum.

Især basen af ​​en firkantet pyramide er firkant. Ligesom Cheops, kun lidt mindre.

Nedenfor ses beregningerne for en pyramide med alle kanter lig med 1. Hvis dette ikke er tilfældet i din opgave, ændres beregningerne ikke – blot bliver tallene anderledes.

Toppunkter i en firkantet pyramide

Så lad en regulær firkantet pyramide SABCD gives, hvor S er toppen, bunden af ​​ABCD er en firkant. Alle kanter er lig med 1. Det er påkrævet at indtaste et koordinatsystem og finde koordinaterne for alle punkter. Vi har:

Vi introducerer et koordinatsystem med oprindelsen i punkt A:

1. Aksen OX er rettet parallelt med kanten AB ;
2. Akse OY - parallel med AD. Da ABCD er et kvadrat, AB ⊥ AD ;
3. Endelig er OZ-aksen rettet opad, vinkelret på planet ABCD.

Nu overvejer vi koordinaterne. Ekstra konstruktion: SH - højde trukket til bunden. For nemheds skyld tager vi bunden af ​​pyramiden ud i en separat figur. Da punkterne A, B, C og D ligger i OXY-planet, er deres koordinat z = 0. Vi har:

1. A = (0; 0; 0) - falder sammen med oprindelsen;
2. B = (1; 0; 0) - trin for 1 langs OX-aksen fra origo;
3. C = (1; 1; 0) - trinvis 1 langs OX-aksen og med 1 langs OY-aksen;
4. D = (0; 1; 0) - trin kun langs OY-aksen.
5. H \u003d (0,5; 0,5; 0) - midten af ​​firkanten, midten af ​​segmentet AC.

Det er tilbage at finde koordinaterne til punktet S. Bemærk, at x- og y-koordinaterne for punkterne S og H er de samme, fordi de ligger på en ret linje parallelt med OZ-aksen. Det er tilbage at finde z-koordinaten for punktet S .

Overvej trekanter ASH og ABH:

1. AS = AB = 1 ved betingelse;
2. Vinkel AHS = AHB = 90°, da SH er højden og AH ⊥ HB som diagonalerne af et kvadrat;
3. Side AH - almindelig.

Derfor retvinklede trekanter ASH og ABH lige et ben og en hypotenuse. Så SH = BH = 0,5 BD. Men BD er diagonalen af ​​et kvadrat med side 1. Derfor har vi:

Samlede koordinater for punkt S:

Afslutningsvis nedskriver vi koordinaterne for alle hjørnerne af en regulær rektangulær pyramide:

Hvad skal man gøre, når ribbenene er anderledes

Men hvad hvis pyramidens sidekanter ikke er lig med bundens kanter? I dette tilfælde skal du overveje trekant AHS:

Trekant AHS- rektangulær, og hypotenusen AS er også en sidekant af den oprindelige pyramide SABCD. Benet AH er let at overveje: AH = 0,5 AC. Find det resterende ben SH ifølge Pythagoras sætning. Dette vil være z-koordinaten for punkt S.

Opgave. Givet en regulær firkantet pyramide SABCD , ved hvis basis ligger et kvadrat med side 1. Sidekant BS = 3. Find koordinaterne til punktet S .

Vi kender allerede x- og y-koordinaterne for dette punkt: x = y = 0,5. Dette følger af to fakta:

1. Projektionen af ​​punktet S på OXY-planet er punktet H;
2. Samtidig er punktet H midten af ​​kvadratet ABCD, hvor alle sider er lig med 1.

Det er tilbage at finde koordinaten til punktet S. Overvej trekant AHS. Det er rektangulært, med hypotenusen AS = BS = 3, benet AH er halvdelen af ​​diagonalen. For yderligere beregninger har vi brug for dens længde:

Pythagoras sætning for trekant AHS: AH 2 + SH 2 = AS 2. Vi har:

Så koordinaterne for punktet S:

Når en person hører ordet "pyramide", husker han straks de majestætiske egyptiske strukturer. De gamle stengiganter er dog kun en af ​​repræsentanterne for pyramideklassen. I denne artikel overvejer vi fra et geometrisk synspunkt egenskaberne af en almindelig firkantet pyramide.

Hvad er en pyramide generelt?

I geometri forstås det som en tredimensionel figur, som kan opnås ved at forbinde alle hjørnerne af en flad polygon med ét enkelt punkt, der ligger i et andet plan end denne polygon. Nedenstående figur viser 4 figurer, der opfylder denne definition.

Vi ser, at den første figur har en trekantet base, den anden - en firkantet. De sidste to er repræsenteret af en fem- og sekskantet base. Sidefladen af ​​alle pyramider er dog dannet af trekanter. Deres antal er nøjagtigt lig med antallet af sider eller hjørner af polygonen ved bunden.

En særlig type pyramider, der adskiller sig fra andre repræsentanter for klassen i perfekt symmetri, er almindelige pyramider. For at figuren er korrekt, skal følgende to forudsætninger være opfyldt:

• basen skal være en regulær polygon;
• figurens sideflade skal bestå af ligebenede trekanter.

Bemærk, at den anden obligatoriske betingelse kan erstattes af en anden: vinkelret tegnet til basen fra toppen af ​​pyramiden (skæringspunktet for sidetrekanterne) skal skære denne base i dets geometriske centrum.

Lad os nu gå videre til artiklens emne og overveje, hvilke egenskaber ved en almindelig firkantet pyramide karakteriserer den. Lad os først vise i figuren, hvordan denne figur ser ud.

Dens base er en firkant. Siderne repræsenterer 4 identiske ligebenede trekanter (de kan også være ligesidede med et vist forhold mellem længden af ​​kvadratets side og figurens højde). Højden sænket fra toppen af ​​pyramiden vil skære firkanten i dens centrum (diagonalernes skæringspunkt).

Denne pyramide har 5 flader (en firkant og fire trekanter), 5 hjørner (fire af dem hører til basen) og 8 kanter. af fjerde orden, der passerer gennem pyramidens højde, oversætter den til sig selv ved at dreje 90 o .

De egyptiske pyramider i Giza er regelmæssige firkantede.

Fire grundlæggende lineære parametre

Lad os begynde overvejelsen af ​​de matematiske egenskaber af en regulær firkantet pyramide med formlerne for højde, længde på siden af ​​basen, sidekant og apotem. Lad os sige med det samme, at alle disse mængder er relateret til hinanden, så det er nok kun at kende to af dem for utvetydigt at beregne de resterende to.

Antag at højden h af pyramiden og længden a af siden af ​​kvadratbasen er kendt, så vil sidekanten b være lig med:

b = √(a 2 / 2 + h 2)

Nu giver vi formlen for længden a b af apotemet (højden af ​​trekanten, sænket til siden af ​​basen):

a b = √(a 2 / 4 + h 2)

Det er klart, at sidekanten b altid er større end apotemet a b .

Begge udtryk kan bruges til at bestemme alle fire lineære karakteristika, hvis de to andre parametre er kendte, for eksempel a b og h.

Areal og rumfang af en figur

Disse er to vigtigere egenskaber ved en almindelig firkantet pyramide. Basen af ​​figuren har følgende areal:

Hver elev kender denne formel. Arealet af sidefladen, som er dannet af fire identiske trekanter, kan bestemmes gennem pyramidens apotem a b som følger:

Hvis a b er ukendt, så kan det bestemmes af formlerne fra det foregående afsnit gennem højden h eller kanten b.

Det samlede overfladeareal af den betragtede figur er summen af ​​arealerne So og S b:

S = So + S b = a 2 + 2 × a × a b = a (a + 2 × a b)

Det beregnede areal af alle pyramidens flader er vist i figuren nedenfor som dens sweep.

Beskrivelsen af ​​egenskaberne for en almindelig firkantet pyramide vil ikke være fuldstændig, hvis du ikke overvejer formlen til bestemmelse af dens volumen. Denne værdi for den betragtede pyramide beregnes som følger:

Det vil sige, at V er lig med den tredje del af produktet af figurens højde og arealet af bits base.

Egenskaber for en regulær afkortet firkantet pyramide

Du kan få denne figur fra den originale pyramide. For at gøre dette er det nødvendigt at afskære den øverste del af pyramiden med et fly. Den figur, der er tilbage under det afskårne plan, vil blive kaldt en afkortet pyramide.

Det er mest bekvemt at studere karakteristikaene for en afkortet pyramide, hvis dens baser er parallelle med hinanden. I dette tilfælde vil bund- og topbasen være lignende polygoner. Da basen i en firkantet regulær pyramide er en firkant, vil sektionen, der dannes under snittet, også være en firkant, men af ​​en mindre størrelse.

Den laterale overflade af den trunkerede figur er ikke dannet af trekanter, men af ​​ligebenede trapezoider.

En af de vigtige egenskaber ved denne pyramide er dens volumen, som beregnes med formlen:

V = 1/3 × h × (S o1 + S o2 + √(S o1 × S o2))

Her er h afstanden mellem baserne på figuren, S o1, S o2 er arealet af de nederste og øvre baser.

Denne videotutorial hjælper brugerne med at få en idé om Pyramid-temaet. Korrekt pyramide. I denne lektion vil vi stifte bekendtskab med begrebet en pyramide, give det en definition. Overvej, hvad en almindelig pyramide er, og hvilke egenskaber den har. Derefter beviser vi sætningen på sidefladen af ​​en regulær pyramide.

I denne lektion vil vi stifte bekendtskab med begrebet en pyramide, give det en definition.

Overvej en polygon A 1 A 2...En n, som ligger i planet α, og et punkt P, som ikke ligger i planet α (fig. 1). Lad os forbinde prikken P med toppe A 1, A 2, A 3, … En n. Få n trekanter: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R og så videre.

Definition. Polyeder RA 1 A 2 ... A n, består af n-gon A 1 A 2...En n Og n trekanter RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1, kaldet n- kulpyramide. Ris. 1.

Ris. 1

Overvej en firkantet pyramide PABCD(Fig. 2).

R- toppen af ​​pyramiden.

ABCD- bunden af ​​pyramiden.

RA- side rib.

AB- bundkant.

Fra et punkt R slip vinkelret RN på jordplanet ABCD. Den tegnede vinkelrette er pyramidens højde.

Ris. 2

Den samlede overflade af pyramiden består af den laterale overflade, det vil sige arealet af alle sideflader og basisarealet:

S fuld \u003d S side + S hoved

En pyramide kaldes korrekt, hvis:

• dens base er en regulær polygon;
• segmentet, der forbinder toppen af ​​pyramiden med midten af ​​basen, er dens højde.

Forklaring på eksemplet med en regulær firkantet pyramide

Overvej en regulær firkantet pyramide PABCD(Fig. 3).

R- toppen af ​​pyramiden. bunden af ​​pyramiden ABCD- en regulær firkant, det vil sige en firkant. Prik OM, diagonalernes skæringspunkt, er midten af ​​kvadratet. Midler, RO er pyramidens højde.

Ris. 3

Forklaring: til højre n-gon, er midten af ​​den indskrevne cirkel og midten af ​​den omskrevne cirkel sammenfaldende. Dette center kaldes polygonens centrum. Nogle gange siger de, at toppen er projiceret ind i midten.

Højden af ​​sidefladen af ​​en regulær pyramide, tegnet fra dens top, kaldes apotem og betegnet h a.

1. alle sidekanter af en regulær pyramide er lige store;

2. sideflader er lige store trekanter.

Lad os bevise disse egenskaber ved at bruge eksemplet med en regulær firkantet pyramide.

Givet: RABCD- almindelig firkantet pyramide,

ABCD- firkantet,

RO er pyramidens højde.

Bevise:

1. RA = PB = PC = PD

2.∆ATP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP Se fig. 4.

Ris. 4

Bevis.

RO er pyramidens højde. Altså lige RO vinkelret på planet ABC, og dermed direkte AO, VO, SO Og GØR ligger i den. Altså trekanter ROA, ROV, ROS, ROD- rektangulær.

Overvej en firkant ABCD. Det følger af et kvadrats egenskaber, at AO = BO = CO = GØR.

Så de rette trekanter ROA, ROV, ROS, ROD ben RO- generelt og ben AO, VO, SO Og GØR ens, så disse trekanter er lige i to ben. Fra trekanters lighed følger ligheden af ​​segmenter, RA = PB = PC = PD. Punkt 1 er bevist.

Segmenter AB Og Sol er ens, fordi de er sider af samme firkant, RA = RV = PC. Altså trekanter AVR Og VCR - ligebenet og lige på tre sider.

På samme måde får vi, at trekanter ABP, BCP, CDP, DAP er ligebenede og lige, hvilket var påkrævet for at bevise i punkt 2.

Arealet af den laterale overflade af en regulær pyramide er lig med halvdelen af ​​produktet af omkredsen af ​​basen og apotemet:

Til beviset vælger vi en almindelig trekantet pyramide.

Givet: RAVS er en regulær trekantet pyramide.

AB = BC = AC.

RO- højde.

Bevise: . Se fig. 5.

Ris. 5

Bevis.

RAVS er en regulær trekantet pyramide. Det er AB= AC = BC. Lade OM- midten af ​​trekanten ABC, Derefter RO er pyramidens højde. Grunden af ​​pyramiden er en ligesidet trekant. ABC. Læg mærke til det .

trekanter RAV, RVS, RSA- ens ligebenede trekanter (efter egenskab). En trekantet pyramide har tre sideflader: RAV, RVS, RSA. Så arealet af pyramidens laterale overflade er:

S side = 3S RAB

Sætningen er blevet bevist.

Radius af en cirkel indskrevet i bunden af ​​en regulær firkantet pyramide er 3 m, pyramidens højde er 4 m. Find arealet af pyramidens sideflade.

Givet: regulær firkantet pyramide ABCD,

ABCD- firkantet,

r= 3 m,

RO- højden af ​​pyramiden,

RO= 4 m.

Find: S side. Se fig. 6.

Ris. 6

Løsning.

Ifølge den beviste sætning,.

Find siden af ​​basen først AB. Vi ved, at radius af en cirkel indskrevet i bunden af ​​en regulær firkantet pyramide er 3 m.

Så m.

Find kvadratets omkreds ABCD med en side på 6 m:

Overvej en trekant BCD. Lade M- midterste side DC. Fordi OM- midten BD, At (m).

Trekant DPC- ligebenet. M- midten DC. Det er, RM- medianen, og dermed højden i trekanten DPC. Derefter RM- apotem af pyramiden.

RO er pyramidens højde. Så lige RO vinkelret på planet ABC, og dermed den direkte OM ligger i den. Lad os finde et apotem RM fra en retvinklet trekant Rom.

Nu kan vi finde sidefladen af ​​pyramiden:

Svar: 60 m2.

Radius af en cirkel, der er afgrænset nær bunden af ​​en regulær trekantet pyramide, er m. Det laterale overfladeareal er 18 m 2. Find apotemets længde.

Givet: ABCP- almindelig trekantet pyramide,

AB = BC = SA,

R= m,

S-side = 18 m 2.

Find: . Se fig. 7.

Ris. 7

Løsning.

I en retvinklet trekant ABC givet radius af den omskrevne cirkel. Lad os finde en side AB denne trekant ved hjælp af sinussætningen.

Når vi kender siden af ​​en regulær trekant (m), finder vi dens omkreds.

Ifølge sætningen om arealet af den laterale overflade af en regulær pyramide, hvor h a- apotem af pyramiden. Derefter:

Svar: 4 m.

Så vi undersøgte, hvad en pyramide er, hvad en regulær pyramide er, vi beviste sætningen på den laterale overflade af en regulær pyramide. I den næste lektion vil vi stifte bekendtskab med den afkortede pyramide.

Bibliografi

1. Geometri. Klasse 10-11: en lærebog for studerende på uddannelsesinstitutioner (grund- og profilniveauer) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. udg., Rev. og yderligere - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill.
2. Geometri. Klasse 10-11: En lærebog for almene uddannelsesinstitutioner / Sharygin I. F. - M .: Bustard, 1999. - 208 s.: ill.
3. Geometri. 10. klasse: Lærebog for almene uddannelsesinstitutioner med dybde- og profilstudier i matematik / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. udg., stereotype. - M.: Bustard, 008. - 233 s.: ill.

1. Internetportal "Yaklass" ()
2. Internetportal "Festival for pædagogiske ideer "første september" ()
3. Internetportal "Slideshare.net" ()

Lektier

1. Kan en regulær polygon være bunden af ​​en uregelmæssig pyramide?
2. Bevis, at ikke-skærende kanter af en regulær pyramide er vinkelrette.
3. Find værdien af ​​den dihedriske vinkel ved siden af ​​bunden af ​​en regulær firkantet pyramide, hvis pyramidens apotem er lig med siden af ​​dens base.
4. RAVS er en regulær trekantet pyramide. Konstruer den lineære vinkel af den dihedriske vinkel ved bunden af ​​pyramiden.

Her er samlet grundlæggende information om pyramiderne og relaterede formler og begreber. Alle studeres med en vejleder i matematik som forberedelse til eksamen.

Overvej et plan, en polygon ligger i det og et punkt S ikke ligger i det. Forbind S til alle hjørner af polygonen. Det resulterende polyeder kaldes en pyramide. Segmenterne kaldes laterale kanter. Polygonen kaldes basen, og punktet S kaldes toppen af ​​pyramiden. Afhængigt af tallet n kaldes pyramiden trekantet (n=3), firkantet (n=4), femkantet (n=5) og så videre. Alternativt navn til den trekantede pyramide - tetraeder. Højden af ​​en pyramide er vinkelret trukket fra dens top til grundplanet.

En pyramide kaldes korrekt if en regulær polygon, og bunden af ​​pyramidens højde (bunden af ​​vinkelret) er dens centrum.

Underviserens kommentar:
Forveksle ikke begrebet "almindelig pyramide" og "regelmæssig tetraeder". I en regulær pyramide er sidekanterne ikke nødvendigvis lig med basens kanter, men i et regulært tetraeder er alle 6 kanter ens. Dette er hans definition. Det er let at bevise, at ligheden indebærer, at polygonens centrum P med en højdebase, så et regulært tetraeder er en regulær pyramide.

Hvad er et apotem?
En pyramides apotem er højden af ​​dens sideflade. Hvis pyramiden er regulær, så er alle dens apotemer ens. Det omvendte er ikke sandt.

Matematikunderviser om sin terminologi: arbejde med pyramider er 80 % bygget gennem to typer trekanter:
1) Indeholder apotem SK og højde SP
2) Indeholder sidekanten SA og dens fremspring PA

For at forenkle referencer til disse trekanter er det mere bekvemt for en matematikvejleder at nævne den første af dem apotemisk, og andet kyst. Desværre finder du ikke denne terminologi i nogen af ​​lærebøgerne, og læreren skal introducere den ensidigt.

Formel for pyramidevolumen:
1) , hvor er arealet af bunden af ​​pyramiden, og er højden af ​​pyramiden
2) , hvor er radius af den indskrevne kugle, og er det samlede overfladeareal af pyramiden.
3) , hvor MN er afstanden mellem to krydsende kanter, og er arealet af parallelogrammet dannet af midtpunkterne af de fire resterende kanter.

Pyramidehøjdebaseegenskab:

Punkt P (se figur) falder sammen med midten af ​​den indskrevne cirkel ved bunden af ​​pyramiden, hvis en af ​​følgende betingelser er opfyldt:
1) Alle apotemer er lige
2) Alle sideflader er lige skråtstillede mod bunden
3) Alle apotemer er lige tilbøjelige til pyramidens højde
4) Pyramidens højde hælder lige meget til alle sideflader

Matematikvejleders kommentar: bemærk at alle punkter er forenet af en fælles egenskab: på en eller anden måde deltager sideflader overalt (apotemer er deres elementer). Derfor kan vejlederen tilbyde en mindre præcis, men mere bekvem formulering til memorering: punktet P falder sammen med midten af ​​den indskrevne cirkel, bunden af ​​pyramiden, hvis der er nogen lige information om dens sideflader. For at bevise det er det tilstrækkeligt at vise, at alle apotemiske trekanter er lige store.

Punktet P falder sammen med midten af ​​den omskrevne cirkel nær bunden af ​​pyramiden, hvis en af ​​de tre betingelser er sand:
1) Alle sidekanter er ens
2) Alle sideribber er lige skråtstillede mod bunden
3) Alle sideribber er lige skråtstillede i forhold til højden

Vigtige bemærkninger!
1. Hvis du i stedet for formler ser abracadabra, skal du rydde cachen. Hvordan du gør det i din browser er skrevet her:
2. Før du begynder at læse artiklen, skal du være opmærksom på vores navigator for den mest nyttige ressource til

Hvad er en pyramide?

Hvordan ser hun ud?

Du kan se: ved pyramiden nedenfor (de siger " ved basen"") en polygon, og alle hjørnerne af denne polygon er forbundet til et eller andet punkt i rummet (dette punkt kaldes " toppunkt»).

Hele denne struktur har sideflader, side ribben Og basis ribben. Endnu en gang, lad os tegne en pyramide sammen med alle disse navne:

Nogle pyramider kan se meget mærkelige ud, men de er stadig pyramider.

Her f.eks. ret "skrå" pyramide.

Og lidt mere om navnene: hvis der er en trekant i bunden af ​​pyramiden, så hedder pyramiden trekantet;

På samme tid det punkt, hvor det faldt højde, Hedder højde base. Bemærk, at i de "skæve" pyramider højde kan endda være uden for pyramiden. Sådan her:

Og der er ikke noget forfærdeligt i dette. Det ligner en stump trekant.

Korrekt pyramide.

Mange svære ord? Lad os dechifrere: "I bunden - korrekt" - dette er forståeligt. Og husk nu, at en regulær polygon har et centrum - et punkt, der er midten af ​​og , og .

Nå, og ordene "toppen projiceres ind i midten af ​​basen" betyder, at bunden af ​​højden falder nøjagtigt ind i midten af ​​basen. Se hvor glat og sød det ser ud højre pyramide.

Sekskantet: ved basen - en regulær sekskant, toppunktet projiceres ind i midten af ​​basen.

firkantet: ved bunden - en firkant, toppen er projiceret til skæringspunktet for diagonalerne i denne firkant.

trekantet: ved bunden er en regulær trekant, toppunktet projiceres til skæringspunktet for højderne (de er også medianer og halveringslinjer) af denne trekant.

Meget vigtige egenskaber ved en almindelig pyramide:

I den rigtige pyramide

• alle sidekanter er ens.
• alle sideflader er ligebenede trekanter og alle disse trekanter er lige store.

Pyramidevolumen

Hovedformlen for pyramidens volumen:

Hvor kom det præcist fra? Dette er ikke så enkelt, og først skal du bare huske, at pyramiden og keglen har volumen i formlen, men cylinderen har ikke.

Lad os nu beregne volumenet af de mest populære pyramider.

Lad siden af ​​basen være ens, og sidekanten ens. Jeg skal finde og.

Dette er arealet af en retvinklet trekant.

Lad os huske, hvordan man søger efter dette område. Vi bruger arealformlen:

Vi har "" - dette, og "" - også dette, eh.

Lad os nu finde.

Ifølge Pythagoras sætning for

Hvad nytter det? Dette er radius af den omskrevne cirkel i, fordi pyramidekorrekt og dermed centrum.

Siden - skæringspunktet og medianen også.

(Pythagores sætning for)

Erstat i formlen for.

Lad os sætte alt ind i volumenformlen:

Opmærksomhed: hvis du har et regulært tetraeder (dvs.), så er formlen:

Lad siden af ​​basen være ens, og sidekanten ens.

Der er ingen grund til at søge her; fordi i bunden er en firkant, og derfor.

Lad os finde. Ifølge Pythagoras sætning for

Ved vi det? Næsten. Se:

(det så vi ved at anmelde).

Erstat i formlen for:

Og nu erstatter vi og ind i volumenformlen.

Lad siden af ​​basen være ens, og sidekanten.

Hvordan finder man? Se, en sekskant består af præcis seks identiske regulære trekanter. Vi har allerede søgt efter arealet af en regulær trekant ved beregning af rumfanget af en regulær trekantet pyramide, her bruger vi den fundne formel.

Lad os nu finde (dette).

Ifølge Pythagoras sætning for

Men hvad betyder det? Det er enkelt, fordi (og alle andre også) har ret.

Vi erstatter:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PYRAMIDE. KORT OM HOVEDVEJLEDNINGEN

En pyramide er et polyeder, der består af en hvilken som helst flad polygon (), et punkt, der ikke ligger i bundens plan (toppen af ​​pyramiden) og alle segmenter, der forbinder toppen af ​​pyramiden med basispunkterne (sidekanterne).

En vinkelret faldt fra toppen af ​​pyramiden til bundens plan.

Korrekt pyramide- en pyramide, som har en regulær polygon i bunden, og toppen af ​​pyramiden er projiceret ind i midten af ​​bunden.

Egenskab for en almindelig pyramide:

• I en almindelig pyramide er alle sidekanter lige store.
• Alle sideflader er ligebenede trekanter, og alle disse trekanter er lige store.

Volumen af ​​pyramiden:

Nå, emnet er slut. Hvis du læser disse linjer, så er du meget sej.

Fordi kun 5% af mennesker er i stand til at mestre noget på egen hånd. Og hvis du har læst til ende, så er du i de 5%!

Nu det vigtigste.

Du har fundet ud af teorien om dette emne. Og jeg gentager, det er ... det er bare super! Du er allerede bedre end langt de fleste af dine jævnaldrende.

Problemet er, at det måske ikke er nok...

For hvad?

For en vellykket beståelse af eksamen, for optagelse på instituttet på budgettet og, VIGTIGSTE, for livet.

Jeg vil ikke overbevise dig om noget, jeg vil bare sige en ting ...

Folk, der har fået en god uddannelse, tjener meget mere end dem, der ikke har fået den. Dette er statistik.

Men dette er ikke hovedsagen.

Det vigtigste er, at de er MERE GLADDE (der er sådanne undersøgelser). Måske fordi der åbner sig mange flere muligheder, og livet bliver lysere? Ved ikke...

Men tænk selv...

Hvad skal der til for at være sikker på at være bedre end andre til eksamen og være i sidste ende ... gladere?

FYLD DIN HÅND, LØS PROBLEMER OM DETTE EMNE.

På eksamen bliver du ikke spurgt om teori.

Du får brug for løse problemer til tiden.

Og hvis du ikke har løst dem (MASSER!), vil du helt sikkert lave en dum fejl et eller andet sted eller simpelthen ikke klare det i tide.

Det er ligesom i sport – du skal gentage mange gange for at vinde med sikkerhed.

Find en samling hvor som helst du vil nødvendigvis med løsninger, detaljeret analyse og beslut, beslut, beslut!

Du kan bruge vores opgaver (ikke nødvendigt), og vi anbefaler dem bestemt.

For at få en hånd med ved hjælp af vores opgaver, skal du være med til at forlænge levetiden på den YouClever-lærebog, som du læser i øjeblikket.

Hvordan? Der er to muligheder:

1. Lås op for adgang til alle skjulte opgaver i denne artikel -
2. Lås op for adgang til alle skjulte opgaver i alle 99 artikler i selvstudiet - Køb en lærebog - 499 rubler

Ja, vi har 99 sådanne artikler i lærebogen og adgang til alle opgaver og alle skjulte tekster i dem kan åbnes med det samme.

Adgang til alle skjulte opgaver er givet i hele sitets levetid.

Afslutningsvis...

Hvis du ikke kan lide vores opgaver, så find andre. Bare stop ikke med teori.

"Forstået" og "Jeg ved, hvordan man løser" er helt forskellige færdigheder. Du har brug for begge dele.

Find problemer og løs!