Hvordan man finder symmetriaksen for en figur. A.4 Definition og egenskaber for aksial symmetri af planet

"Symmetri omkring os" - Alle former for aksial symmetri. Rotationer. Det græske ord symmetri betyder "proportionalitet", "harmoni". Vilkårlig. Midtpunkt. Symmetri i rummet. Rotation (drejning). I geometri er der figurer, der har. Symmetri. Aksial. En slags symmetri. Omkring os. Central.

"I symmetriens verden" - Ornamenter, friser er baseret på et periodisk gentaget mønster. Formerne på billen, ormen, svampen, bladet, blomsten osv. er symmetriske De fleste bygninger er spejlsymmetriske. Skal alt i livet være symmetrisk? Hvorfor skal du vide om symmetri, når du læser ingeniør? Hvad er symmetri? Symmetri i natur og teknologi.

"Symmetri i kunst" - Central aksial symmetri i arkitektur. II.1. proportion i arkitekturen. Palazzo Spada (Rom). I kraft af deres kreative muligheder er periodicitet et universelt fænomen. III. Le Corbuier. Rytme er et af hovedelementerne i en melodis udtryksevne. R. Descartes. J. A. Fabre. Geometriske metoder til afbildning af rumlige figurer:

"Symmetripunkt" - Figurer, der ikke har symmetriakser. Punktet O kaldes symmetriens centrum. To punkter A og A1 kaldes symmetriske i forhold til O, hvis O er midtpunktet af segmentet AA1. Et ligebenet trapez har kun aksial symmetri. Symmetri i naturen. Et rektangel og en rombe, som ikke er firkanter, har to symmetriakser.

"Matematisk symmetri" - Men komplekse molekyler mangler som regel symmetri. palindromer. Aksial. central symmetri. Aksial symmetri. Symmetri typer. Symmetri i biologi. rotationssymmetri. Symmetri i kunsten. HAR MEGET TIL FÆLLES MED OVERSÆTTELSESSYMMETRI I MATEMATIK. Spiral symmetri. Oversættelse.

"Typer of symmetri" - Central symmetri er bevægelse. Spejltvillingen viser sig at være "inverteret" langs retningen vinkelret på spejlets plan. Aksial symmetri er også bevægelse. Sætning. Parallel overførsel. central symmetri. Bevægelsestyper. Begrebet bevægelse. Parallel overførsel er en af ​​bevægelsestyperne.

Der er i alt 11 oplæg i emnet

« Symmetri” på græsk betyder “proportion” (gentagelighed). Symmetriske kroppe og objekter består af ækvivalente, korrekt gentagne dele i rummet. Symmetrien af ​​krystaller er særlig forskelligartet. Forskellige krystaller er mere eller mindre symmetriske. Det er deres vigtigste og mest specifikke egenskab, der afspejler den interne strukturs regelmæssighed.

Med en mere præcis definition symmetri- dette er den regelmæssige gentagelse af elementer (eller dele) af en figur eller ethvert legeme, hvor figuren kombineres med sig selv under visse transformationer (rotation omkring en akse, refleksion i et plan). Langt de fleste krystaller er symmetriske.

Begrebet symmetri omfatter komponenter - elementer af symmetri. Disse omfatter symmetriplan, symmetriakse, symmetriens centrum, eller inversionscenter.

Symmetriplanet deler krystallen i to spejllignende lige store dele. Det er angivet med bogstavet R. De dele, som symmetriplanet skærer polyederet ind i, relaterer til hinanden, ligesom et objekt til deres billede i spejlet, forskellige krystaller har et forskelligt antal symmetriplaner, som er placeret foran bogstavet P. Det største antal af sådanne planer i naturlige krystaller er ni 9P. Der er 3P i en svovlkrystal, mens gips kun har en. Det betyder, at der i én krystal kan være flere symmetriplan. Nogle krystaller har ikke et symmetriplan.

Med hensyn til begrænsningselementerne kan symmetriplanet indtage følgende position:

1. passerer gennem ribbenene;
2. ligge vinkelret på ribbenene i deres midtpunkter;
3. gå gennem ansigtet vinkelret på det;
4. skærer facetvinkler i deres spidser.

Følgende antal symmetriplaner er mulige i krystaller: 9P, 7P, 6P, 5P, 4P, 3P, 2P, P, ingen symmetriplan.

Symmetriakse

Symmetriakse- en imaginær akse, når den drejes rundt om hvilken figuren i en bestemt vinkel kombineres med sig selv i rummet. Det er angivet med bogstavet L. I krystaller kan de samme begrænsende elementer (flader, kanter, hjørner) kun gentages 2, 3, 4, 6 gange, når de roterer rundt om symmetriaksen i en hel omgang. Akserne vil derfor blive kaldt symmetriakserne af anden, tredje, fjerde og sjette orden og vil blive betegnet: L2, L3, L4 og L6. Aksens rækkefølge bestemmes af antallet af justeringer, når den drejes med 360⁰С. .

Symmetriaksen af ​​den første orden tages ikke i betragtning, da den slet ikke er besat af figurer, inklusive asymmetriske. Antallet af aksler af samme orden er skrevet før bogstavet L: 6L6, 3L4 osv.

Symmetriens centrum

Symmetriens centrum er et punkt inde i krystallen, hvor linjer skærer hinanden og deler sig i to, der forbinder de samme elementer i krystalgrænsen (flader, kanter, hjørner). Det er betegnet med bogstavet C. I praksis vil tilstedeværelsen af ​​et symmetricenter påvirke det faktum, at hver kant af polyederet har en kant parallel med sig selv, hver flade har den samme spejlvendte flade parallelt med sig selv. Hvis polyederet indeholder flader, der ikke har paralleller til sig selv, så har et sådant polyeder ikke et symmetricenter.

Det er nok at lægge polyederet med dets ansigt på bordet for at bemærke, om der er det samme spejlvendte ansigt parallelt med det ovenfra. Selvfølgelig skal alle typer ansigter kontrolleres for parallelitet.

Der er en række simple mønstre, hvorved symmetrielementer kombineres med hinanden. Betydningen af ​​disse regler gør dem nemme at finde.

1. Skæringslinjen mellem to eller flere planer er symmetriaksen. Rækkefølgen af ​​en sådan akse er lig med antallet af planer, der skærer i den.
2. L6 kan kun være til stede i krystallen i ental.
3. Hverken L4 eller L3 kan kombineres med L6, men L2 kan kombineres med L6 og L2 vinkelrette; i dette tilfælde er 6L2 til stede.
4. L4 kan forekomme i ental eller tre indbyrdes vinkelrette akser.
5. L3 kan forekomme i ental eller med 4L3.

grad af symmetri er helheden af ​​alle symmetrielementer, som en given krystal besidder.

En terningformet krystal har en høj grad af symmetri. Den har tre symmetriakser af fjerde orden (3L4), der går gennem midtpunkterne af terningens flader, fire symmetriakser af tredje orden (4L3), der går gennem hjørnerne af trihedriske vinkler, og seks akser af anden orden (6L2), der passerer gennem kanternes midtpunkter. Ved skæringspunktet mellem symmetriakserne er symmetricentret for terningen (C). Derudover kan ni symmetriplan (9P) tegnes i en terning. Symmetrielementerne i en krystal kan repræsenteres af en krystallografisk formel.

For en terning er formlen: 9P, 3L4, 4L3, 6L2, C.

Den russiske videnskabsmand A.V. Gadolin i 1869 viste, at 32 forskellige kombinationer af symmetrielementer er mulige i krystaller, der udgør klasser (typer) af symmetri. Dermed forener klassen en gruppe krystaller med samme grad af symmetri.

Menneskelivet er fyldt med symmetri. Det er praktisk, smukt, ingen grund til at opfinde nye standarder. Men hvad er hun egentlig, og er hun så smuk i naturen, som man almindeligvis tror?

Symmetri

Siden oldtiden har folk søgt at strømline verden omkring dem. Derfor betragtes noget som smukt, og noget ikke er det. Fra et æstetisk synspunkt betragtes gyldne og sølvsektioner som attraktive, såvel som selvfølgelig symmetri. Dette udtryk er af græsk oprindelse og betyder bogstaveligt talt "proportion". Selvfølgelig taler vi ikke kun om tilfældigheder på dette grundlag, men også om nogle andre. I en generel forstand er symmetri en sådan egenskab ved et objekt, når resultatet som følge af visse formationer er lig med de originale data. Det findes både i den levende og den livløse natur, såvel som i genstande lavet af mennesker.

Først og fremmest bruges udtrykket "symmetri" i geometri, men finder anvendelse på mange videnskabelige områder, og dets betydning forbliver generelt uændret. Dette fænomen er ret almindeligt og betragtes som interessant, da flere af dets typer såvel som elementer er forskellige. Brugen af ​​symmetri er også interessant, fordi den ikke kun findes i naturen, men også i ornamenter på stof, bygningsgrænser og mange andre menneskeskabte genstande. Det er værd at overveje dette fænomen mere detaljeret, for det er ekstremt spændende.

Brug af udtrykket i andre videnskabelige områder

I fremtiden vil symmetri blive betragtet fra et geometris synspunkt, men det er værd at nævne, at dette ord ikke kun bruges her. Biologi, virologi, kemi, fysik, krystallografi - alt dette er en ufuldstændig liste over områder, hvor dette fænomen studeres fra forskellige vinkler og under forskellige forhold. Klassifikationen afhænger for eksempel af, hvilken videnskab dette udtryk refererer til. Således varierer opdelingen i typer meget, selvom nogle grundlæggende måske forbliver uændrede overalt.

Lignende videoer

Klassifikation

Der er flere grundlæggende typer af symmetri, hvoraf tre er mest almindelige:

Derudover skelnes følgende typer også i geometri, de er meget mindre almindelige, men ikke mindre nysgerrige:

• glidende;
• roterende;
• punkt;
• progressiv;
• skrue;
• fraktal;
• etc.

I biologien kaldes alle arter noget forskelligt, selvom de faktisk kan være ens. Opdelingen i bestemte grupper sker på grundlag af tilstedeværelsen eller fraværet, samt antallet af bestemte elementer, såsom centre, planer og symmetriakser. De bør overvejes separat og mere detaljeret.

Grundlæggende elementer

Nogle funktioner skelnes i fænomenet, hvoraf den ene nødvendigvis er til stede. De såkaldte grundelementer omfatter planer, centre og symmetriakser. Det er i overensstemmelse med deres tilstedeværelse, fravær og mængde, at typen bestemmes.

Symmetriens centrum kaldes punktet inde i figuren eller krystallen, hvor linjerne konvergerer og forbinder parvis alle sider parallelt med hinanden. Det eksisterer selvfølgelig ikke altid. Hvis der er sider, hvortil der ikke er et parallelt par, kan et sådant punkt ikke findes, da der ikke er nogen. Ifølge definitionen er det indlysende, at symmetriens centrum er det, hvorigennem figuren kan reflekteres til sig selv. Et eksempel er for eksempel en cirkel og et punkt i midten. Dette element omtales normalt som C.

Symmetriplanet er selvfølgelig imaginært, men det er hende, der deler figuren i to dele, der er lig med hinanden. Den kan passere gennem en eller flere sider, være parallel med den, eller den kan opdele dem. For den samme figur kan flere fly eksistere på én gang. Disse elementer omtales normalt som P.

Men det mest almindelige er måske det, der kaldes "symmetriakser". Dette hyppige fænomen kan ses både i geometri og i naturen. Og det fortjener særskilt overvejelse.

akser

Ofte det element, som figuren kan kaldes symmetrisk i forhold til,

er en ret linje eller et stykke. Under alle omstændigheder taler vi ikke om et punkt eller et fly. Derefter betragtes figurernes symmetriakser. Der kan være mange af dem, og de kan være placeret på enhver måde: opdel sider eller være parallelle med dem, såvel som krydshjørner eller ej. Symmetriakser betegnes normalt som L.

Eksempler er ligebenede og ligesidede trekanter. I det første tilfælde vil der være en lodret symmetriakse, på begge sider af hvilken der er lige store flader, og i det andet vil linjerne skære hvert hjørne og falde sammen med alle halveringslinjer, medianer og højder. Almindelige trekanter har det ikke.

Forresten kaldes helheden af ​​alle ovennævnte elementer i krystallografi og stereometri graden af ​​symmetri. Denne indikator afhænger af antallet af akser, planer og centre.

Eksempler i geometri

Det er betinget muligt at opdele hele sættet af studieobjekter af matematikere i figurer, der har en symmetriakse, og dem, der ikke har. Alle almindelige polygoner, cirkler, ovaler samt nogle specielle tilfælde falder automatisk i den første kategori, mens resten falder i den anden gruppe.

Som i tilfældet, da det blev sagt om trekantens symmetriakse, eksisterer dette element for firkanten ikke altid. For en firkant, rektangel, rombe eller parallelogram er det, men for en uregelmæssig figur er det derfor ikke. For en cirkel er symmetriaksen det sæt af lige linjer, der passerer gennem dens centrum.

Derudover er det interessant at overveje volumetriske tal fra dette synspunkt. Mindst en symmetriakse, ud over alle regulære polygoner og kuglen, vil have nogle kegler, såvel som pyramider, parallelogrammer og nogle andre. Hver sag skal behandles særskilt.

Eksempler i naturen

Spejlsymmetri i livet kaldes bilateral, det er mest almindeligt
tit. Enhver person og rigtig mange dyr er et eksempel på dette. Den aksiale kaldes radial og er meget mindre almindelig som regel i planteverdenen. Og alligevel er de det. For eksempel er det værd at overveje, hvor mange symmetriakser en stjerne har, og har den overhovedet dem? Selvfølgelig taler vi om livet i havet og ikke om emnet for undersøgelse af astronomer. Og det korrekte svar ville være dette: det afhænger af antallet af stråler fra stjernen, for eksempel fem, hvis den er femspids.

Derudover har mange blomster radial symmetri: tusindfryd, kornblomster, solsikker osv. Der er et stort antal eksempler, de er bogstaveligt talt overalt.

Arytmi

Dette udtryk minder først og fremmest mest om medicin og kardiologi, men det har i starten en lidt anden betydning. I dette tilfælde vil synonymet være "asymmetri", det vil sige fravær eller krænkelse af regelmæssighed i en eller anden form. Det kan findes som et uheld, og nogle gange kan det være en smuk enhed, for eksempel i tøj eller arkitektur. Der er trods alt mange symmetriske bygninger, men det berømte skæve tårn i Pisa er lidt skråtstillet, og selvom det ikke er det eneste, er dette det mest berømte eksempel. Det er kendt, at dette skete ved et uheld, men dette har sin egen charme.

Derudover er det indlysende, at ansigter og kroppe på mennesker og dyr heller ikke er helt symmetriske. Der har endda været undersøgelser, ifølge resultaterne af hvilke de "korrekte" ansigter blev betragtet som livløse eller simpelthen uattraktive. Alligevel er opfattelsen af ​​symmetri og dette fænomen i sig selv forbløffende og er endnu ikke fuldt ud undersøgt, og derfor yderst interessant.

Mål:

• pædagogisk:
  • give en idé om symmetri;
  • introducere hovedtyperne af symmetri i planet og i rummet;
  • udvikle stærke færdigheder i at konstruere symmetriske figurer;
  • udvide ideer om berømte figurer ved at introducere dem til egenskaberne forbundet med symmetri;
  • vise mulighederne for at bruge symmetri til at løse forskellige problemer;
  • konsolidere den erhvervede viden;
• almen uddannelse:
  • lære at indstille dig selv til arbejde;
  • lære at kontrollere sig selv og en nabo på skrivebordet;
  • at lære at evaluere dig selv og en nabo på dit skrivebord;
• udvikler:
  • aktivere selvstændig aktivitet;
  • udvikle kognitiv aktivitet;
  • lære at opsummere og systematisere den modtagne information;
• pædagogisk:
  • uddanne eleverne "en følelse af skulder";
  • dyrke kommunikation;
  • indprente en kommunikationskultur.

UNDER UNDERVISNINGEN

Foran hver er en saks og et ark papir.

Øvelse 1(3 min).

- Tag et ark papir, fold det på midten og klip en figur ud. Fold nu arket ud og se på foldelinjen.

Spørgsmål: Hvad er funktionen af ​​denne linje?

Foreslået svar: Denne linje deler figuren i to.

Spørgsmål: Hvordan er alle punkterne i figuren placeret på de to resulterende halvdele?

Foreslået svar: Alle punkter på halvdelene er i lige stor afstand fra foldelinjen og på samme niveau.

- Så foldelinjen deler figuren i to, så 1 halvdel er en kopi af 2 halvdele, dvs. denne linje er ikke enkel, den har en bemærkelsesværdig egenskab (alle punkter i forhold til den er i samme afstand), denne linje er symmetriaksen.

Opgave 2 (2 minutter).

- Klip et snefnug ud, find symmetriaksen, karakteriser det.

Opgave 3 (5 minutter).

- Tegn en cirkel i din notesbog.

Spørgsmål: Bestem, hvordan symmetriaksen passerer?

Foreslået svar: Anderledes.

Spørgsmål: Så hvor mange symmetriakser har en cirkel?

Foreslået svar: En masse.

- Det er rigtigt, cirklen har mange symmetriakser. Den samme vidunderlige figur er bolden (rumlig figur)

Spørgsmål: Hvilke andre figurer har mere end én symmetriakse?

Foreslået svar: Firkant, rektangel, ligebenede og ligesidede trekanter.

– Overvej tredimensionelle figurer: en terning, en pyramide, en kegle, en cylinder osv. Disse figurer har også en symmetriakse Bestem hvor mange symmetriakser en firkant, rektangel, ligesidet trekant og de foreslåede tredimensionelle figurer har?

Jeg deler halvdelene af plasticinefigurer ud til eleverne.

Opgave 4 (3 min).

- Brug de modtagne oplysninger til at afslutte den manglende del af figuren.

Bemærk: figuren kan være både flad og tredimensionel. Det er vigtigt, at eleverne bestemmer, hvordan symmetriaksen går, og udfylder det manglende element. Rigtigheden af ​​udførelsen bestemmes af naboen på skrivebordet, vurderer hvor godt arbejdet er udført.

En linje er lagt ud fra en blonde af samme farve på skrivebordet (lukket, åben, med selvkrydsning, uden selvkrydsning).

Opgave 5 (gruppearbejde 5 min).

- Bestem visuelt symmetriaksen og færdiggør den anden del i forhold til den fra en blonde i en anden farve.

Rigtigheden af ​​det udførte arbejde bestemmes af eleverne selv.

Eleverne præsenteres for elementer af tegninger

Opgave 6 (2 minutter).

Find de symmetriske dele af disse tegninger.

For at konsolidere det dækkede materiale foreslår jeg følgende opgaver, forudsat i 15 minutter:

Navngiv alle lige store elementer i trekanten KOR og KOM. Hvad er typerne af disse trekanter?

2. Tegn i en notesbog flere ligebenede trekanter med en fælles base svarende til 6 cm.

3. Tegn et stykke AB. Konstruer en linje vinkelret på segment AB og går gennem dets midtpunkt. Marker punkterne C og D på den, så den firkantede ACBD er symmetrisk i forhold til linjen AB.

- Vores oprindelige ideer om formen hører til en meget fjern æra af den gamle stenalder - palæolitikum. I hundredtusindvis af år af denne periode boede folk i huler under forhold, der afveg lidt fra dyrenes liv. Folk lavede redskaber til jagt og fiskeri, udviklede et sprog til at kommunikere med hinanden, og i den sene palæolitiske æra dekorerede de deres tilværelse ved at skabe kunstværker, figurer og tegninger, som afslører en vidunderlig formsans.
Da der var en overgang fra simpel indsamling af mad til dens aktive produktion, fra jagt og fiskeri til landbrug, går menneskeheden ind i en ny stenalder, den yngre stenalder.
Den neolitiske mand havde en skarp sans for geometrisk form. Brænding og farvning af lerkar, fremstilling af sivmåtter, kurve, stoffer og senere metalbearbejdning udviklede ideer om plane og rumlige figurer. Neolitiske ornamenter var behagelige for øjet og afslørede lighed og symmetri.
Hvor findes symmetri i naturen?

Foreslået svar: vinger af sommerfugle, biller, træblade...

”Symmetri kan også ses i arkitekturen. Ved konstruktion af bygninger overholder bygherrer tydeligt symmetri.

Det er derfor, bygningerne er så smukke. Også et eksempel på symmetri er en person, dyr.

Lektier:

1. Kom med dit eget ornament, afbild det på et A4-ark (du kan tegne det i form af et tæppe).
2. Tegn sommerfugle, marker, hvor der er elementer af symmetri.

I bred forstand er symmetri bevarelsen af ​​noget uændret under nogle transformationer. Nogle geometriske former har også denne egenskab.

geometrisk symmetri

I forhold til en geometrisk figur betyder det, at hvis denne figur transformeres - for eksempel drejes - vil nogle af dens egenskaber forblive de samme.

Muligheden for sådanne transformationer er forskellig fra figur til figur. For eksempel kan en cirkel roteres så meget som du vil omkring et punkt, der er placeret i dets centrum, den forbliver en cirkel, intet vil ændre sig for den.

Begrebet symmetri kan forklares uden at ty til rotation. Det er nok at tegne en lige linje gennem midten af ​​cirklen og konstruere et segment vinkelret på det hvor som helst i figuren, der forbinder to punkter på cirklen. Skæringspunktet med linjen vil opdeles i to dele, som vil være lig med hinanden.

Med andre ord delte den lige linje figuren i to lige store dele. Punkterne på de dele af figuren, der er placeret på lige linjer vinkelret på den givne, er i samme afstand fra den. Denne rette linje vil blive kaldt symmetriaksen. Symmetri af denne art - - kaldes aksial symmetri.

Antal symmetriakser

Mængden vil være anderledes. For eksempel har en cirkel og en kugle mange sådanne akser. For en ligesidet trekant vil symmetriaksen være en vinkelret faldet til hver af siderne, derfor har den tre akser. Et kvadrat og et rektangel har fire symmetriakser. To af dem er vinkelrette på siderne af firkanterne, og de to andre er diagonaler. Men en ligebenet trekant har kun én symmetriakse, placeret mellem dens lige store sider.

Aksial symmetri findes også i naturen. Den kan ses i to versioner.

Den første type er radial symmetri, hvilket indebærer tilstedeværelsen af ​​flere akser. Det er typisk for eksempel for søstjerner. Mere højtudviklede organismer er karakteriseret ved bilateral eller bilateral symmetri, med en enkelt akse, der deler kroppen i to dele.

Den menneskelige krop har også bilateral symmetri, men den kan ikke kaldes ideel. Benene, armene, øjnene, lungerne er symmetriske, men ikke hjertet, leveren eller milten. Afvigelser fra bilateral symmetri er mærkbare selv udadtil. For eksempel er det ekstremt sjældent, at en person har identiske modermærker på begge kinder.