Hvad er symmetriakser. Symmetriakser

"Symmetri omkring os" - Alle former for aksial symmetri. Rotationer. Det græske ord symmetri betyder "proportionalitet", "harmoni". Vilkårlig. Midtpunkt. Symmetri i rummet. Rotation (drejning). I geometri er der figurer, der har. Symmetri. Aksial. En slags symmetri. Omkring os. Central.

"I symmetriens verden" - Ornamenter, friser er baseret på et periodisk gentaget mønster. Formerne på billen, ormen, svampen, bladet, blomsten osv. er symmetriske De fleste bygninger er spejlsymmetriske. Skal alt i livet være symmetrisk? Hvorfor skal du vide om symmetri, når du læser ingeniør? Hvad er symmetri? Symmetri i natur og teknologi.

"Symmetri i kunst" - Central aksial symmetri i arkitektur. II.1. proportion i arkitekturen. Palazzo Spada (Rom). I kraft af deres kreative muligheder er periodicitet et universelt fænomen. III. Le Corbuier. Rytme er et af hovedelementerne i en melodis udtryksevne. R. Descartes. J. A. Fabre. Geometriske metoder til afbildning af rumlige figurer:

"Symmetripunkt" - Figurer, der ikke har symmetriakser. Punktet O kaldes symmetriens centrum. To punkter A og A1 kaldes symmetriske i forhold til O, hvis O er midtpunktet af segmentet AA1. Et ligebenet trapez har kun aksial symmetri. Symmetri i naturen. Et rektangel og en rombe, som ikke er firkanter, har to symmetriakser.

"Matematisk symmetri" - Men komplekse molekyler mangler som regel symmetri. palindromer. Aksial. central symmetri. Aksial symmetri. Symmetri typer. Symmetri i biologi. rotationssymmetri. Symmetri i kunsten. HAR MEGET TIL FÆLLES MED OVERSÆTTELSESSYMMETRI I MATEMATIK. Spiral symmetri. Oversættelse.

"Typer of symmetri" - Central symmetri er bevægelse. Spejltvillingen viser sig at være "inverteret" langs retningen vinkelret på spejlets plan. Aksial symmetri er også bevægelse. Sætning. Parallel overførsel. central symmetri. Bevægelsestyper. Begrebet bevægelse. Parallel overførsel er en af ​​bevægelsestyperne.

Der er i alt 11 oplæg i emnet

Symmetriaksen er en lige linje, når den drejes rundt om den i en bestemt vinkel, kombineres figuren med sig selv.

Den mindste rotationsvinkel, der bringer figuren til selvjustering kaldes elementær rotationsvinkel for aksen. Den elementære rotationsvinkel for aksen  indeholder et helt antal gange 360 ​​:

hvor n er et heltal.

Tallet n, der viser, hvor mange gange aksens elementære rotationsvinkel er indeholdt i 360 0 , kaldes akse rækkefølge.

Akser af enhver rækkefølge kan være til stede i geometriske figurer, startende fra aksen af ​​den første orden og slutter med aksen af ​​uendelig orden.

Den elementære rotationsvinkel for førsteordensaksen (n = 1) er lig med 360 0 . Da hver figur, der roteres rundt i en hvilken som helst retning med 360 0, er kombineret med sig selv, så har enhver figur et uendeligt antal førsteordens akser. Sådanne økser er ikke karakteristiske, så de er normalt ikke nævnt.

En akse af uendelig orden svarer til en uendelig lille elementær rotationsvinkel. Denne akse er til stede i alle rotationsfigurer som rotationsaksen.

Eksempler på akser af tredje, fjerde, femte, sjette osv. orden er vinkelrette på figurens plan, der går gennem centrum af regulære polygoner, trekanter, firkanter, femkanter osv.

I geometri er der således et uendeligt antal akser af forskellig rækkefølge.

I krystallinske polyedre er der dog ikke nogen symmetriakser mulige, men kun akser af første, anden, tredje, fjerde og sjette orden.

Symmetriakser af den femte og over den sjette orden i krystaller er umulige. Denne position er en af ​​de grundlæggende love for krystallografi og kaldes lov om krystalsymmetri.

Ligesom andre geometriske love for krystallografi, er symmetriloven for krystaller forklaret af gitterstrukturen af ​​et krystallinsk stof. Da symmetrien af ​​en krystal er en manifestation af symmetrien af ​​dens indre struktur, så er kun sådanne symmetrielementer mulige i krystaller, der ikke modsiger egenskaberne af det rumlige gitter.

Lad os bevise, at femteordens akse ikke opfylder lovene for det rumlige gitter og dermed bevise dens umulighed i krystallinske polyedre.

Lad os antage, at en femteordens akse i det rumlige gitter er mulig. Lad denne akse være vinkelret på tegningens plan og krydse den ved punktet O (fig. 2.9). I et bestemt tilfælde kan punktet O falde sammen med en af ​​gitterknuderne.

Ris. 2.9. En femteordens symmetriakse er umulig i rumlige gitter

Lad os tage gitterknuden A 1 tættest på aksen, der ligger i tegningens plan. Da alt gentages fem gange omkring femteordens akse, skal de nærmeste knudepunkter til det i tegningens plan kun være fem A 1, A 2, A 3, A 4, A 5. Placeret i lige store afstande fra punktet O ved spidserne af en regulær femkant, kombineres de med hinanden, når de drejes rundt om O med 360/5=72°.

Disse fem noder, der ligger i samme plan, danner et fladt gitter af et rumligt gitter, og derfor er alle de grundlæggende egenskaber af gitteret gældende for dem. Hvis knudepunkterne A 1 og A 2 tilhører en række af et fladt gitter med et mellemrum A 1 A 2 , så er det gennem en hvilken som helst knude i gitteret muligt at tegne en række parallelt med rækken A 1 A 2 . Lad os tegne sådan en serie gennem node A 3. Denne række, der passerer gennem A 5-knuden, skal have et mellemrum svarende til A 1 A 2, da alle parallelle rækker i det rumlige gitter har samme tæthed.

Derfor skal der i en afstand A 3 A x \u003d A 1 A 2 fra knude A 3 være en anden knude A x. Det yderligere knudepunkt A x viser sig dog at være tættere på punktet O end knudepunktet A 1 , som antages at være tættest på aksen af ​​femte orden.

Vores antagelse om muligheden for en femteordens akse i rumlige gitter har således ført os til en åbenlys absurditet og er derfor fejlagtig.

Da eksistensen af ​​en femteordens akse er uforenelig med de grundlæggende egenskaber af et rumligt gitter, er en sådan akse også umulig i krystaller.

På samme måde bevises umuligheden af ​​eksistensen af ​​symmetriakser over sjette orden i krystaller, og omvendt muligheden for akser af anden, tredje, fjerde og sjette orden i krystaller, hvis tilstedeværelse ikke modsiger egenskaberne af rumlige gitter.

Bogstavet L bruges til at angive symmetriakserne, og rækkefølgen af ​​aksen er angivet med et lille tal placeret til højre for bogstavet (for eksempel er L 4 aksen i fjerde orden).

I krystallinske polyedre kan symmetriakserne passere gennem centrene af modstående flader vinkelret på dem, gennem midtpunkterne af modsatte kanter vinkelret på dem (kun L 2) og gennem polyederens toppunkter. I sidstnævnte tilfælde hælder de symmetriske flader og kanter lige meget til den givne akse.

En krystal kan have flere symmetriakser af samme orden, hvis nummer er angivet med koefficienten foran bogstavet. For eksempel er der i et rektangulært parallelepipedum 3L 2, dvs. tre symmetriakser af anden orden; i en terning er der 3L 4 , 4L 3 og 6L 2 , dvs. tre symmetriakser af fjerde orden, fire akser af tredje orden og seks akser af anden orden osv.

Friedrich V.A. 1

Dementieva V.V. 1

1 Kommunal budgetuddannelsesinstitution "Secondary school No. 6", Aleksandrovsk, Perm Territory

Værkets tekst er placeret uden billeder og formler.
Den fulde version af værket er tilgængelig i fanen "Jobfiler" i PDF-format

Introduktion

”Står foran en sort tavle og tegner på den

kridt forskellige former,

Jeg blev pludselig ramt af tanken:

Hvorfor er symmetri en fryd for øjet?

Hvad er symmetri?

Det er en medfødt følelse, svarede jeg selv.

L.N. Tolstoj

I 6. klasses matematiklærebog, forfatter Nikolsky S.M., på side 132 - 133 afsnit Yderligere opgaver til kapitel nr. 3 er der opgaver til at studere figurer på et plan, der er symmetriske om en ret linje. Jeg var interesseret i dette emne, jeg besluttede at fuldføre opgaverne og studere dette emne mere detaljeret.

Undersøgelsens genstand er symmetri.

Emnet for forskning er symmetri som universets grundlæggende lov.

Hvilken hypotese vil jeg teste?

Jeg mener, at aksial symmetri ikke kun er et matematisk og geometrisk begreb, og kun bruges til at løse relevante problemer, men også er grundlaget for harmoni, skønhed, balance og stabilitet. Princippet om symmetri bruges i næsten alle videnskaber, i vores daglige liv og er en af ​​de "hjørne" love, som universet som helhed er baseret på.

Emnets relevans

Begrebet symmetri løber gennem hele den menneskelige kreativitets århundreder gamle historie. Den findes allerede i begyndelsen af ​​sin udvikling. I vores tid er det sandsynligvis svært at finde en person, der ikke ville have en ide om symmetri. Den verden, vi lever i, er fyldt med symmetri af huse, gader, kreationer af naturen og mennesket. Vi møder symmetri bogstaveligt talt ved hvert trin: i teknologi, kunst, videnskab.

Derfor er viden og forståelse af symmetri i verden omkring os obligatorisk og nødvendig, hvilket vil være nyttigt i fremtiden til studiet af andre videnskabelige discipliner. Dette er relevansen af ​​det emne, jeg har valgt.

Mål og opgaver

Målet med arbejdet: finde ud af hvilken rolle symmetri spiller i hverdagen af ​​mennesker, i naturen, arkitekturen, hverdagen, musik og andre videnskaber.

For at nå dette mål skal jeg udføre følgende opgaver:

1. Find den nødvendige information, litteratur og fotografier. Etabler den maksimale mængde data, der er nødvendig for mit arbejde, ved at bruge de kilder, der er tilgængelige for mig: lærebøger, encyklopædier eller andre medier, der er relevante for det givne emne.

2. Giv et generelt begreb om symmetri, typer af symmetri og historien om udtrykkets oprindelse.

3. For at bekræfte din hypotese, lav håndværk og udfør et eksperiment med disse figurer, der har symmetri og ikke er asymmetriske.

4. Demonstrer og fremvis resultaterne af observationer i din undersøgelse.

Til den praktiske del af forskningsarbejdet skal jeg gøre følgende, som jeg har lavet en arbejdsplan for:

1. Opret DIY-håndværk med specificerede egenskaber - symmetriske og ikke-symmetriske modeller, sammensætning ved hjælp af farvet papir, pap, saks, filtpenne, lim osv.;

2. Eksperimenter med mit håndværk, med to symmetrimuligheder.

3. Undersøg, analyser og systematiser de opnåede resultater ved at udarbejde en tabel.

4. For en visuel og interessant konsolidering af den opnåede viden, brug "Paint 3 D"-applikationen, lav tegninger for klarhed, samt tegn billeder, med opgaver - tegn en symmetrisk halvdel (startende med enkle tegninger og slutter med komplekse tegninger ) og kombinere dem ved at oprette en elektronisk bog.

Forskningsmetoder:

1. Analyse af artikler og al information om symmetri.

2. Computermodellering (fotobehandling ved hjælp af en grafisk editor).

3. Generalisering og systematisering af de opnåede data.

Hoveddel.

Aksial symmetri og begrebet perfektion

Siden oldtiden har mennesket udviklet ideer om skønhed og forsøgt at forstå betydningen af ​​perfektion. Alle kreationer af naturen er smukke. Mennesker er smukke på deres egen måde, dyr og planter er dejlige. Synet af en ædelsten eller en saltkrystal glæder øjet, det er svært ikke at beundre en snefnug eller en sommerfugl. Men hvorfor sker det? Det forekommer os, at udseendet af objekter er korrekt og fuldstændigt, hvis højre og venstre halvdel ser ens ud.

Tilsyneladende var kunstfolk de første til at tænke på essensen af ​​skønhed.

Dette koncept blev først underbygget af kunstnere, filosoffer og matematikere fra det antikke Grækenland. Gamle billedhuggere, der studerede menneskekroppens struktur tilbage i det 5. århundrede f.Kr. begyndte at bruge begrebet "symmetri". Dette ord er af græsk oprindelse og betyder harmoni, proportionalitet og lighed i arrangementet af de bestanddele. Den antikke græske tænker og filosof Platon hævdede, at kun det, der er symmetrisk og proportionalt, kan være smukt.

Og faktisk er de fænomener og former, der har proportionalitet og fuldstændighed, "behagelige for øjet". Vi kalder dem rigtige.

Typer af symmetri

I geometri og matematik betragtes tre typer symmetri: aksial symmetri (med hensyn til en ret linje), central (med hensyn til et punkt) og spejl (med hensyn til et plan).

Aksial symmetri som et matematisk begreb

Punkter er symmetriske om en bestemt linje (symmetriakse), hvis de ligger på en linje vinkelret på denne linje og i samme afstand fra symmetriaksen.

En figur anses for at være symmetrisk i forhold til en linje, hvis for hvert punkt på figuren, der er tale om, det symmetriske punkt for den i forhold til den givne linje også er placeret på denne figur. Den rette linje er i dette tilfælde figurens symmetriakse.

Figurer, der er symmetriske om en ret linje, er ens. Hvis en geometrisk figur er karakteriseret ved aksial symmetri, kan definitionen af ​​spejlpunkter visualiseres ved blot at bøje den langs aksen og folde lige halvdele "ansigt til ansigt". De ønskede punkter vil røre hinanden.

Eksempler på en symmetriakse: halveringslinjen af ​​en ikke-udvidet vinkel i en ligebenet trekant, enhver ret linje trukket gennem midten af ​​en cirkel osv. Hvis en geometrisk figur er karakteriseret ved aksial symmetri, kan definitionen af ​​spejlpunkter visualiseres ved blot at bøje den langs aksen og folde lige halvdele "ansigt til ansigt". De ønskede punkter vil røre hinanden.

Figurer kan have flere symmetriakser:

en vinkels symmetriakse er den rette linje, hvorpå dens halveringslinje ligger;

symmetriaksen for en cirkel og en cirkel er enhver ret linje, der går gennem deres diameter;

En ligebenet trekant har én symmetriakse, en ligesidet trekant har tre symmetriakser;

Et rektangel har 2 symmetriakser, et kvadrat har 4, en rombe har 2 symmetriakser.

Symmetriaksen er en imaginær linje, der deler et objekt i symmetriske dele. På min tegning er det vist for overskuelighed.

Der er figurer, der ikke har nogen symmetriakse. Sådanne figurer inkluderer et parallelogram, forskelligt fra et rektangel og en rombe, en skala-trekant.

Aksial symmetri i naturen

Naturen er klog og rationel, derfor har næsten alle hendes kreationer en harmonisk struktur. Det gælder både levende væsener og livløse genstande.

Omhyggelig observation viser, at grundlaget for skønheden i mange former skabt af naturen er symmetri. Blade, blomster, frugter har udtalt symmetri. Deres spejl, radiale, centrale, aksiale symmetri er indlysende. I høj grad skyldes det fænomenet tyngdekraften.

Krystallernes geometriske former med deres flade overflader er et fantastisk naturfænomen. Imidlertid manifesteres den sande fysiske symmetri af en krystal ikke så meget i dens udseende som i den indre struktur af det krystallinske stof.

Aksial symmetri i dyreverdenen

Symmetri i de levende væseners verden manifesteres i det regelmæssige arrangement af de samme dele af kroppen i forhold til midten eller aksen. Aksial symmetri er mere almindelig i naturen. Det bestemmer ikke kun den generelle struktur af organismen, men også mulighederne for dens efterfølgende udvikling. Hver type dyr har en karakteristisk farve. Hvis der vises et mønster i farven, så duplikeres det som regel på begge sider.

Aksial symmetri og menneske

Hvis du ser på et hvilket som helst levende væsen, fanger symmetrien af ​​kroppens struktur straks dit øje. Mand: to arme, to ben, to øjne, to ører og så videre.

Dette betyder, at der er en vis linje, langs hvilken dyr og mennesker visuelt kan "opdeles" i to identiske halvdele, det vil sige, at deres geometriske struktur er baseret på aksial symmetri.

Som det kan ses af ovenstående eksempler, skaber naturen enhver levende organisme ikke tilfældigt og meningsløst, men i henhold til verdensordenens generelle love, fordi intet i universet har et rent æstetisk, dekorativt formål. Dette skyldes naturlig nødvendighed.

Selvfølgelig er matematisk præcision sjældent iboende i naturen, men ligheden mellem elementerne i en organisme er stadig slående.

Symmetri i arkitektur

Siden oldtiden har arkitekter været godt klar over den matematiske proportion og symmetri og brugt dem i konstruktionen af ​​arkitektoniske strukturer. For eksempel arkitekturen af ​​russisk-ortodokse kirker og katedraler i Rusland: Kreml, Frelserens Kristus-katedral i Moskva, Kazan- og St. Isaks katedraler i Skt. Petersborg osv.

Ud over andre verdensberømte seværdigheder, hvoraf mange er i alle verdens lande, kan vi se nu: de egyptiske pyramider, Louvre, Taj Mahal, Kölnerdomen osv. Alle af dem, som vi ser, har symmetri.

Symmetri i musik

Jeg studerer på en musikskole, det var interessant for mig at finde eksempler på symmetri på dette område. Ikke kun musikinstrumenter har en klar symmetri, men dele af musikværker lyder i en bestemt rækkefølge, i overensstemmelse med partituret og komponistens hensigt.

For eksempel gentage - (fransk reprise, fra reprendre - for at genoptage). Gentagelse af et emne eller en gruppe af emner efter fase af dets (deres) udvikling eller præsentation af nyt tematisk materiale.

Også i en-dimensionel gentagelse i tid med jævne mellemrum er det musikalske princip om rytme.

Symmetri i teknik

Vi lever i et hurtigt skiftende højteknologisk informationssamfund, og vi tænker ikke over, hvorfor nogle genstande og fænomener omkring os fremkalder en følelse af skønhed, mens andre ikke gør. Vi bemærker dem ikke, vi tænker ikke engang på deres egenskaber.

Men udover dette vil disse tekniske og mekaniske enheder, dele, mekanismer, enheder slet ikke være i stand til at fungere ordentligt og fungere, hvis symmetri ikke observeres, eller rettere, en bestemt akse, i mekanikken er dette tyngdepunktet.

Balance i midten, i dette tilfælde, er et obligatorisk teknisk krav, hvis overholdelse er strengt reguleret af GOST eller TU og skal overholdes.

Symmetri og rumobjekter

Men måske det mest mystiske, spændende sind hos mange, siden oldtiden, er rumobjekter. Som også har symmetri - solen, månen, planeterne.

Denne kæde kan fortsættes, men vi taler nu om noget enkelt: at aksial symmetri er universets grundlæggende lov, er grundlaget for skønhed, harmoni og proportionalitet og i dets forhold til matematik.

Praktisk del

Efter at have fundet de nødvendige oplysninger, efter at have studeret litteraturen, var jeg overbevist om rigtigheden af ​​min hypotese og konkluderede, at i en persons øjne er asymmetri oftest forbundet med uregelmæssighed eller mindreværd. Derfor kan symmetri og harmoni spores i de fleste af menneskelige hænders frembringelser, som et nødvendigt og obligatorisk krav.

Det ses tydeligt på min tegning, som forestiller en pattegrise med uforholdsmæssigt store dele af kroppen, som straks fanger øjet!

Og først når du har vænnet dig til ham længere, vil du da betragte ham som sød?

På trods af det faktum, at dette emne er kendt og velundersøgt, men alle disse data betragtes separat i hver disciplin. Generaliserede data, at princippet om symmetri bruges, og det er på det, at mange andre videnskaber er baseret, og jeg har ikke mødt deres forhold til matematik.

Derfor besluttede jeg at bevise mit udsagn ved at bruge den enkleste og mest tilgængelige måde for mig. Den løsning tror jeg ville være at gennemføre et forsøg med forsøg.

For klart at bevise, at asymmetriske modeller ikke er stabile, ikke har de nødvendige krav og vitale færdigheder, og for at bekræfte min hypotese, skal jeg lave håndværk, tegninger og komposition:

Mulighed 1 - symmetrisk om aksen;

Mulighed 2 - med en klar krænkelse af symmetri.

Da jeg tror, ​​at en sådan ubalance vil være tydeligt synlig i de følgende eksempler, for hvilke jeg skabte origami-håndværk (fly og frø) fra farvet papir. For forsøgets renhed er de lavet af det samme farvede papir og testet under de samme forhold. Og sammensætningen "Fyrtårnet", hvor fyret er lavet af en tom plastikflaske, klistret over med farvet papir. For at dekorere sammensætningen, legetøjsfigurer af en person, modeller af en sejlbåd og en båd, blev dekorative sten brugt, og for at simulere lys brugte jeg et element, der glødede fra et batteri.

Jeg udførte test med disse håndværk, registrerede alle indikatorerne og indtastede dem i en tabel (alle indikatorer kan ses i bilag nr. 1, side 18 - 21).

Alt håndværk blev lavet i overensstemmelse med sikkerhedsbestemmelserne. (Bilag nr. 2 s. 21)

Jeg analyserede alle de modtagne data, det er hvad jeg fik.

Dataanalyse

Eksperiment #1

Forsøg- længdespring af frøer, der måler denne afstand.

Den grønne (symmetriske) frø hopper jævnt over en større afstand, og den røde (ikke symmetriske) frø hoppede aldrig lige, altid med en vending eller flip til siden, en afstand 2 - 3 gange mindre.

Således kan vi konkludere, at et sådant dyr ikke vil være i stand til at jage hurtigt eller tværtimod løbe væk, effektivt få mad, hvilket reducerer chancerne for overlevelse, dette beviser, at alt i naturen er afbalanceret, proportionalt, korrekt - symmetrisk .

Eksperiment #2

Type af test- udsendelse af fly i flyvning og måling af afstanden af ​​flyvelængden.

Fly nr. 1 "Pink" (symmetrisk) flyver ud af 10 gange, 8 gange lige og lige, til den maksimale længde, (dvs. hele længden af ​​mit værelse), og flyvevejen for fly nr. 2 "Orange" ( ikke symmetrisk) fra 10 gange - aldrig fløjet ligeud, altid med et sving eller kup, i en kortere distance. Det vil sige, hvis det var et rigtigt fly, så ville det ikke kunne flyve jævnt, i den rigtige retning. En sådan flyvning ville være meget ubelejlig eller endda farlig for en person (såvel som for fugle), og biler og andre køretøjer ville ikke være i stand til at køre, svømme osv. i den ønskede retning.

Eksperiment #3

Type af prøve - kontrol af stabiliteten af ​​Mayak-bygningen med et fald i strukturens hældningsvinkel i forhold til overfladen.

1. Efter at have oprettet sammensætningen af ​​"Fyrtårnet", satte jeg den direkte, dvs. vinkelret (i en vinkel på 90 0) i forhold til strukturens vægge til overfladen. Dette design står præcist, modstår det installerede lyselement og figuren af ​​en person.

2. Til yderligere eksperiment havde jeg brug for at tegne tårnets bund i vinkler lig med 10 0 .

Derefter afskærer jeg en vinkel svarende til 10 0 fra basen.

I en vinkel på 80 0 står bygningen skævt, vakler, men tåler den ekstra belastning.

3. Efter at have skåret yderligere 10 0 af, fik vi en hældningsvinkel på 70 0 , hvorved hele min struktur kollapser.

Denne erfaring viser, at den historisk etablerede tradition for at bygge i rette vinkler og bevare symmetrien i selve bygningen er en nødvendig forudsætning for bæredygtigt, pålideligt byggeri og drift af arkitektoniske bygninger og strukturer.

For et klart eksempel på aksial symmetri og bevis på udsagnet om, at en person opfatter genstande omkring ham, billeder af dyr osv. kun symmetrisk, det vil sige, når begge sider, "halvdele" er ens, lige, lavede jeg en elektronisk malebog, der kan printes ud som en børnemalebog. Denne manual vil hjælpe alle til bedre at forstå emnet, interessant og med fornøjelse at bruge deres fritid. (Titelbladet er vist i denne figur, resten af ​​figurerne findes i bilag nr. 3, s. 21-24).

Mine eksperimenter beviser, at symmetri ikke kun er et matematisk og geometrisk begreb, men er en sfære, vores livsmiljø, en slags teknisk krav, såvel som en nødvendig betingelse for overlevelse generelt, både for mennesker og for dyr. Symmetri bringer det hele sammen og går langt ud over konventionel videnskab!

Konklusion

Konklusioner:

Jeg fandt ud af, at symmetri er en af ​​hovedkomponenterne i en persons hverdag, i husholdningsartikler, i arkitektur, teknologi, natur, musik, videnskab osv.

Resultat:

Jeg fandt den nødvendige information, beviste min hypotese, testede og bekræftede den empirisk. Jeg skabte håndværk, komposition, tegninger og elektronisk farvelægning til et visuelt eksperiment.

Jeg fandt ud af, at alle naturlovene - biologiske, kemiske, genetiske, astronomiske - er forbundet med symmetri. Praktisk talt er alt, hvad der omgiver os, som er skabt af mennesket, underlagt de symmetriprincipper, der er fælles for os alle, da de har et misundelsesværdigt system. Balance, identitet som princip har således en universel rækkevidde.

Kan vi sige, at symmetri er den grundlæggende lov, som videnskabens grundlæggende love er baseret på? Måske ja.

Menneskehedens store tænkere forsøgte at forstå denne hemmelighed. I dag kastede vi os ud i løsningen af ​​dette mysterium.

En af de berømte matematikere Hermann Weyl skrev, at "symmetri er den idé, hvorved mennesket i århundreder har forsøgt at forstå og skabe orden, skønhed og perfektion."

Har vi fundet hemmeligheden bag at skabe skønhed, perfektion eller endda skabe universets grundlæggende love? Måske er det symmetri?

Ansøgninger

Bilag nr. 1 Testtabel:

Ansøgning nr. 2

Ved fremstillingen af ​​mine håndværk blev sikkerhedsforanstaltninger overholdt, nemlig:

Saksen eller kniven skal være godt slebet og justeret.

Det skal opbevares på et bestemt og sikkert sted eller i æske.

Når du bruger en saks (kniv), kan du ikke blive distraheret, du skal være så forsigtig og disciplineret som muligt.

Når du passerer saksen (kniven), skal du holde dem i de lukkede blade (spids).

Sæt en saks (kniv) til højre med lukkede blade (spids) rettet væk fra dig.

Ved klipning skal saksens smalle blad (knivspids) være i bunden.

Vask dine hænder efter brug af lim.

Ansøgning nr. 3

Elektronisk malebog

Symmetri-

Det betyder, at en del af objektet ligner en anden.

Aksial symmetri er symmetri om en ret linje (linje).

Symmetriaksen er en imaginær linje, der deler et objekt i symmetriske dele. Det er vist i figurerne for overskuelighed.

I denne bog skal du færdiggøre tegningerne ved at forbinde prikkerne.

Så kan du farve, hvad du får.

Prøv at afslutte disse tegninger:

hjerte

Trekant lille hus

Asterisk folder

Juletræsmus

HundLåse

TIL Ud over aksial symmetri er der også symmetri om et punkt.

Denne bold er symmetrisk

Og en anden form for symmetri - spejlsymmetri.

Spejlsymmetri-

er symmetri om flyet. For eksempel vedrørende spejlet.

Symmetri er -

Brugte bøger

2. Herman Weil "Symmetry" (Forlaget "Nauka" hovedudgave af fysisk og matematisk litteratur, Moskva, 1968)

4. Mine tegninger og fotografier.

5. Håndbog for en maskinbygger, bind 1, (Statens videnskabelige og tekniske forlag for maskinbygningslitteratur, Moskva, 1960)

6. Fotos og tegninger fra internettet.

point M Og M 1 kaldes symmetrisk med hensyn til en given linje L hvis denne linje er den vinkelrette halveringslinje af segmentet MM 1 (figur 1). Hvert punkt på linjen L symmetrisk med sig selv. Plantransformation, hvor hvert punkt er afbildet til et punkt, der er symmetrisk med det i forhold til en given linje L, Hedder aksialt symmetrisk med L-aksen og betegnet S L :S L (M) = M 1 .

point M Og M 1 er indbyrdes symmetriske mht L, Derfor S L (M 1 )=M. Derfor er transformationens inverse af aksial symmetri den samme aksiale symmetri: S L -1=S L , S L° S L = E. Med andre ord er den aksiale symmetri af et plan involutive transformation.

Billedet af et givet punkt med aksial symmetri kan simpelthen konstrueres ved hjælp af kun et kompas. Lade L- symmetriakse, EN Og B- vilkårlige punkter på denne akse (fig. 2). Hvis S L (M) = M 1 , så har vi ved egenskaben af ​​punkterne i den vinkelrette halveringslinje på segmentet: AM=AM 1 Og BM=BM 1 . Så pointen M 1 hører til to cirkler: cirkler med centrum EN radius ER og cirkler med centrum B radius BM (M- givet punkt). Figur F og hendes billede F 1 med aksial symmetri kaldes symmetriske figurer med hensyn til en ret linje L(Figur 3).

Sætning. Den aksiale symmetri af et plan er bevægelse.

Hvis EN Og I- alle punkter i flyet og S L (A)=A 1 , S L (B)=B 1 , så skal vi bevise det EN 1 B 1 = AB. For at gøre dette introducerer vi et rektangulært koordinatsystem OXY således at aksen OKSE falder sammen med symmetriaksen. point EN Og I har koordinater Økse 1 ,-y 1 ) Og B(x 1 ,-y 2 ) .Points EN 1 og I 1 har koordinater EN 1 (x 1 ,y 1 ) Og B 1 (x 1 ,y 2 ) (Figur 4 - 8). Ved hjælp af formlen for afstanden mellem to punkter finder vi:

Af disse relationer er det klart, at AB=A 1 I 1 , hvilket skulle bevises.

Ud fra en sammenligning af trekantens orientering og dens billede får vi, at planets aksiale symmetri er bevægelse af den anden slags.

Aksial symmetri kortlægger hver linje til en linje. Især er hver af linjerne vinkelret på symmetriaksen afbildet af denne symmetri på sig selv.

Sætning. En anden ret linje end en vinkelret på symmetriaksen og dens billede under denne symmetri skærer på symmetriaksen eller er parallelle med den.

Bevis. Lad en ret linje ikke vinkelret på aksen gives L symmetri. Hvis m? L=P Og S L (m)=m 1, så m 1 ?m Og S L (P)=P, Derfor Pm1(Figur 9). Hvis m || L, At m 1 || L, da ellers den direkte m Og m 1 ville skære et punkt på linjen L, hvilket strider mod betingelsen m||L(Figur 10).

I kraft af definitionen af ​​lige tal, rette linjer, symmetriske om en ret linje L, form med en lige linje L lige store vinkler (figur 9).

Lige L hedder symmetriaksen for figuren F, hvis med symmetri med aksen L figur F vist på sig selv: S L (F)=F. De siger, at figuren F symmetrisk om en ret linje L.

For eksempel er enhver ret linje, der indeholder midten af ​​en cirkel, denne cirkels symmetriakse. Faktisk, lad M- vilkårligt punkt i cirklen sch centreret OM, OL, S L (M)=M 1 . Derefter S L (O)=O Og OM 1 =OM, dvs. M 1 є u. Så billedet af ethvert punkt i en cirkel hører til denne cirkel. Derfor, S L (u)=u.

Symmetriakserne for et par ikke-parallelle linjer er to vinkelrette linjer, der indeholder halveringslinjerne for vinklerne mellem disse linjer. Et segments symmetriakse er den linje, der indeholder det, såvel som den vinkelrette halveringslinje på dette segment.

Aksial symmetri egenskaber

• 1. Med aksial symmetri er billedet af en lige linje en ret linje, billedet af parallelle linjer er parallelle linjer
• 3. Aksial symmetri bevarer det simple forhold mellem tre punkter.
• 3. Med aksial symmetri går segmentet over i et segment, en stråle til en stråle, et halvt plan til et halvt plan.
• 4. Med aksial symmetri går vinklen ind i en lige stor vinkel.
• 5. Med aksial symmetri med d-aksen forbliver enhver ret linje vinkelret på d-aksen på plads.
• 6. Med aksial symmetri går den ortonormale ramme over i den ortonormale ramme. I dette tilfælde går punktet M med koordinaterne x og y i forhold til rammen R til punktet M` med de samme koordinater x og y, men i forhold til rammen R`.
• 7. Planets aksiale symmetri oversætter den højre ortonormale ramme til den venstre og omvendt den venstre ortonormale ramme til den højre.
• 8. Sammensætningen af ​​to aksiale symmetrier af et plan med parallelle akser er en parallel translation af en vektor vinkelret på de givne linjer, hvis længde er det dobbelte af afstanden mellem de givne linjer

Overvej nu symmetriakserne for trekantens sider. Husk, at symmetriaksen for et segment er den vinkelrette hævet til segmentet i midten.

Ethvert punkt på en sådan vinkelret er lige langt fra enderne af segmentet. Lad nu være perpendikulerne trukket gennem midtpunkterne af siderne BC og AC i trekanten ABC (Fig. 220) til disse sider, det vil sige disse to siders symmetriakser. Deres skæringspunkt Q er lige langt fra hjørnerne B og C i trekanten, da det ligger på symmetriaksen af ​​siden BC, på samme måde som det er lige langt fra hjørnerne A og C. Derfor er det lige meget fjernt fra alle tre hjørner af trekanten, inklusive fra hjørnerne A og B. Derfor ligger den på symmetriaksen for trekantens tredje side AB. Så symmetriakserne for de tre sider af trekanten skærer hinanden i et punkt. Dette punkt er lige langt fra trekantens spidser. Derfor, hvis du tegner en cirkel med en radius svarende til afstanden af ​​dette punkt fra trekantens spidser, med centrum i det fundne punkt, så vil den passere gennem alle tre spidser i trekanten. En sådan cirkel (fig. 220) kaldes den omskrevne cirkel. Omvendt, hvis vi forestiller os en cirkel, der går gennem tre hjørner i en trekant, så skal dens centrum være i lige stor afstand fra trekantens spidser og hører derfor til hver af trekantens symmetriakser.

Derfor har en trekant kun én omskrevet cirkel: en cirkel kan omskrives omkring en given trekant, og desuden kun én; dens centrum ligger i skæringspunktet mellem tre perpendikulære punkter, der er hævet til siderne af trekanten ved deres midtpunkter.

På fig. 221 viser cirkler omkranset omkring spidse, rette og stumpe trekanter; midten af ​​den omskrevne cirkel ligger i det første tilfælde inde i trekanten, i det andet - på midten af ​​trekantens hypotenuse, i det tredje - uden for trekanten. Dette følger enklest af egenskaberne for vinkler baseret på en cirkelbue (se punkt 210).

Da alle tre punkter, der ikke ligger på en ret linje, kan betragtes som hjørnerne i en trekant, kan det hævdes, at en enkelt cirkel passerer gennem tre punkter, der ikke hører til en ret linje. Derfor har to cirkler højst to fælles punkter.