Hvad er den naturlige værdi af et tal. Materiale om matematik "Tal

1.1 Definition

De tal, folk bruger, når de tæller, kaldes naturlig(for eksempel et, to, tre, ..., et hundrede, et hundrede og et, ..., tre tusinde to hundrede enogtyve, ...) For at skrive naturlige tal bruges specielle tegn (symboler) , hedder tal.

I dag accepteret decimalnotation. Decimalsystemet (eller måden) at skrive tal på bruger arabiske tal. Disse er ti forskellige cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .

Mindst et naturligt tal er et tal en, det skrevet med et decimaltal - 1. Det næste naturlige tal fås fra det foregående (undtagen ét) ved at tilføje 1 (én). Denne tilføjelse kan gøres mange gange (et uendeligt antal gange). Det betyder at Ingen størst naturligt tal. Derfor siges det, at rækken af ​​naturlige tal er ubegrænset eller uendelig, da den ikke har nogen ende. Naturlige tal skrives med decimaltal.

1.2. Tallet "nul"

For at angive fraværet af noget, brug tallet " nul"eller" nul". Det er skrevet med tal. 0 (nul). For eksempel er alle kuglerne røde i en kasse. Hvor mange af dem er grønne? - Svar: nul . Så der er ingen grønne bolde i kassen! Tallet 0 kan betyde, at noget er forbi. For eksempel havde Masha 3 æbler. Hun delte to med venner, den ene spiste hun selv. Så hun er gået 0 (nul) æbler, dvs. ingen tilbage. Tallet 0 kan betyde, at noget ikke skete. For eksempel endte en hockeykamp mellem det russiske hold og det canadiske hold med scoringen 3:0 (læs "tre - nul") til fordel for det russiske hold. Det betyder, at det russiske hold scorede 3 mål, og det canadiske hold 0 mål, ikke kunne score et eneste mål. Vi skal huske at nul ikke er et naturligt tal.

1.3. At skrive naturlige tal

I den decimale måde at skrive et naturligt tal på, kan hvert ciffer betyde forskellige tal. Det afhænger af stedet for dette ciffer i tallets notation. Et bestemt sted i notationen af ​​et naturligt tal kaldes position. Derfor kaldes decimalnotationen positionelle. Overvej decimalnotationen 7777 af tallet syv tusinde syv hundrede og syvoghalvfjerds. Der er syv tusinde, syv hundrede, syv tiere og syv enheder i denne post.

Hver af pladserne (positionerne) i decimalnotationen af ​​et tal kaldes udledning. Hvert tredje cifre kombineres til Klasse. Denne forening udføres fra højre mod venstre (fra slutningen af ​​nummerindtastningen). Forskellige rækker og klasser har deres egne navne. Antallet af naturlige tal er ubegrænset. Derfor er antallet af rækker og klasser heller ikke begrænset ( uendeligt). Overvej navnene på cifre og klasser ved at bruge eksemplet med et tal med decimalnotation

38 001 102 987 000 128 425:

Så klasser, der starter med de yngste, har navne: enheder, tusinder, millioner, milliarder, billioner, quadrillioner, quintillioner.

1.4. Bit-enheder

Hver af klasserne i notationen af ​​naturlige tal består af tre cifre. Hver rang har bit-enheder. Følgende tal kaldes bitenheder:

1 - cifferenhed af cifferet af enheder,

10 - cifret enhed af tiere ciffer,

100 - bit enhed af hundrede ciffer,

1 000 - bit enhed af tusinder sted,

10.000 - cifret enhed på titusinder,

100.000 - bit enhed på hundredtusindvis,

1.000.000 er cifferenheden for cifferet af millioner osv.

Tallet i et af cifrene viser antallet af enheder af dette ciffer. Altså, tallet 9, i hundreder af milliarder, betyder, at tallet 38.001.102.987.000 128.425 inkluderer ni milliarder (det vil sige 9 gange 1.000.000.000 eller 9 bit-enheder af milliarderne). Et tomt hundrede af kvintillioner ciffer betyder, at der ikke er hundreder af kvintillioner i dette tal, eller at deres antal er lig nul. I dette tilfælde kan nummeret 38 001 102 987 000 128 425 skrives som følger: 038 001 102 987 000 128 425.

Du kan skrive det anderledes: 000 038 001 102 987 000 128 425. Nuller i begyndelsen af ​​tallet angiver tomme cifre af høj orden. Normalt skrives de ikke, i modsætning til nuller inde i decimalnotationen, som nødvendigvis markerer tomme cifre. Så tre nuller i klassen millioner betyder, at cifrene på hundreder af millioner, titusinder af millioner og enheder af millioner er tomme.

1.5. Forkortelser ved at skrive tal

Når man skriver naturlige tal, bruges forkortelser. Her er nogle eksempler:

1.000 = 1 tusind (et tusinde)

23.000.000 = 23 millioner (treogtyve millioner)

5.000.000.000 = 5 milliarder (fem milliarder)

203.000.000.000.000 = 203 billioner (to hundrede og tre billioner)

107.000.000.000.000.000 = 107 sqd. (107 quadrillion)

1.000.000.000.000.000.000 = 1 kw. (en kvintillion)

Blok 1.1. Ordbog

Udarbejd en ordliste over nye begreber og definitioner fra §1. For at gøre dette skal du indtaste ordene fra listen over termer nedenfor i de tomme celler. I tabellen (i slutningen af ​​blokken) angives for hver definition nummeret på udtrykket fra listen.

Blok 1.2. Selvtræning

I de store tals verden

Økonomi .

1. Ruslands budget for det næste år vil være: 6328251684128 rubler.
2. Planlagte udgifter for dette år: 5124983252134 rubler.
3. Landets indtægter oversteg udgifterne med 1203268431094 rubler.

Spørgsmål og opgaver

1. Læs alle tre givne tal
2. Skriv cifrene i millionklassen for hvert af de tre tal

1. Hvilket afsnit i hvert af tallene hører til cifferet i den syvende position fra slutningen af ​​talnotationen?
2. Hvor mange bit-enheder viser tallet 2 i det første tal?... i det andet og tredje tal?
3. Navngiv bitenheden for den ottende position fra slutningen i notationen af ​​tre tal.

Geografi (længde)

1. Jordens ækvatoriske radius: 6378245 m
2. Ækvatoromkreds: 40075696 m
3. Verdenshavets største dybde (Marian Trench i Stillehavet) 11500 m

Spørgsmål og opgaver

1. Konverter alle tre værdier til centimeter og aflæs de resulterende tal.
2. For det første tal (i cm), skriv tallene ned i sektionerne:

hundrede tusinder _______

titusindvis af millioner _______

tusindvis af _______

milliarder af _______

hundreder af millioner af _______

1. For det andet tal (i cm) skal du skrive bit-enhederne ned, der svarer til tallene 4, 7, 5, 9 i nummerindtastningen

1. Konverter den tredje værdi til millimeter, læs det resulterende tal.
2. For alle positioner i posten med det tredje tal (i mm), angiv cifrene og cifferenhederne i tabellen:

Geografi (firkant)

1. Arealet af hele jordens overflade er 510.083 tusind kvadratkilometer.
2. Overfladearealet af summer på Jorden er 148.628 tusind kvadratkilometer.
3. Arealet af jordens vandoverflade er 361.455 tusind kvadratkilometer.

Spørgsmål og opgaver

1. Konverter alle tre værdier til kvadratmeter og aflæs de resulterende tal.
2. Navngiv de klasser og rækker, der svarer til ikke-nul-cifre i posten af ​​disse numre (i kvm).
3. I indtastningen af ​​det tredje tal (i sq. M), navngiv bit-enhederne, der svarer til tallene 1, 3, 4, 6.
4. I to indtastninger af den anden værdi (i kvadratkilometer og kvm) skal du angive, hvilke cifre tallet 2 tilhører.
5. Skriv bit-enhederne for tallet 2 ned i posterne for den anden værdi.

Blok 1.3. Dialog med en computer.

Det er kendt, at store tal ofte bruges i astronomi. Lad os give eksempler. Månens gennemsnitlige afstand fra Jorden er 384 tusind km. Jordens afstand fra Solen (gennemsnit) er 149504 tusind km, Jorden fra Mars er 55 millioner km. På en computer skal du ved hjælp af Word-teksteditoren oprette tabeller, så hvert ciffer i posten med de angivne tal er i en separat celle (celle). For at gøre dette skal du udføre kommandoerne på værktøjslinjen: tabel → tilføje tabel → antal rækker (sæt "1" med markøren) → antal kolonner (beregn selv). Opret tabeller for andre tal (blok "Selvforberedelse").

Blok 1.4. Relæ af store tal

Den første række i tabellen indeholder et stort tal. Læs det. Udfør derefter opgaverne: ved at flytte tallene i nummerindtastningen til højre eller venstre, få de næste tal og læs dem. (Flyt ikke nullerne i slutningen af ​​tallet!). I klassen kan stafetten udføres ved at give den videre til hinanden.

Linje 2 . Flyt alle cifrene i tallet i den første linje til venstre gennem to celler. Erstat tallene 5 med tallet efter det. Udfyld tomme celler med nuller. Læs nummeret.

Linje 3 . Flyt alle cifrene i tallet i den anden linje til højre gennem tre celler. Erstat tallene 3 og 4 i nummerindtastningen med følgende tal. Udfyld tomme celler med nuller. Læs nummeret.

Linje 4. Flyt alle cifre i tallet i linje 3 en celle til venstre. Skift tallet 6 i trillionklassen til den forrige, og i milliardklassen til det næste tal. Udfyld tomme celler med nuller. Læs det resulterende tal.

Linje 5 . Flyt alle cifrene i tallet i linje 4 en celle til højre. Erstat tallet 7 på "ti tusinder"-pladsen med den forrige, og i "ti-millioner"-pladsen med den næste. Læs det resulterende tal.

Linje 6 . Flyt alle cifrene i tallet i linje 5 til venstre efter 3 celler. Skift tallet 8 i hundreder af milliarder til det forrige, og tallet 6 i hundreder af millioner til det næste tal. Udfyld tomme celler med nuller. Beregn det resulterende tal.

Linje 7 . Flyt alle cifrene i tallet i linje 6 til højre med én celle. Skift cifrene i titusinder af kvadrillioner og titusinder af milliarder steder. Læs det resulterende tal.

Linje 8 . Flyt alle cifrene i tallet i linje 7 til venstre gennem en celle. Skift cifrene på quintillion og quadrillion pladserne. Udfyld tomme celler med nuller. Læs det resulterende tal.

Linje 9 . Flyt alle cifrene i tallet i linje 8 til højre gennem tre celler. Byt om på to tilstødende tal i talrækken fra million- og billionklasserne. Læs det resulterende tal.

Linje 10 . Flyt alle cifre i tallet i linje 9 en celle til højre. Læs det resulterende tal. Fremhæv tallene, der angiver året for Moskva-olympiaden.

Blok 1.5. Lad os lege

Tænd en ild

Spillepladsen er et billede af et juletræ. Den har 24 pærer. Men kun 12 af dem er tilsluttet elnettet. For at vælge de tilsluttede lamper skal du besvare spørgsmålene korrekt med ordene "Ja" eller "Nej". Det samme spil kan spilles på en computer; det rigtige svar "lyser op" pæren.

1. Er det rigtigt, at tal er specielle tegn for at skrive naturlige tal? (1 - ja, 2 - nej)
2. Er det rigtigt, at 0 er det mindste naturlige tal? (3 - ja, 4 - nej)
3. Er det rigtigt, at det samme ciffer i positionstalsystemet kan betegne forskellige tal? (5 - ja, 6 - nej)
4. Er det rigtigt, at et bestemt sted i decimalnotationen af ​​tal kaldes et sted? (7 - ja, 8 - nej)
5. Givet tallet 543 384. Er det rigtigt, at antallet af de mest signifikante cifre i det er 543, og det laveste 384? (9 - ja, 10 - nej)
6. Er det rigtigt, at i klassen af ​​milliarder er den ældste af bit-enhederne hundrede milliarder, og den yngste er en milliard? (11 - ja, 12 - nej)
7. Der gives tallet 458 121. Er det rigtigt, at summen af ​​antallet af de mest betydende cifre og tallet af de mindst betydende er 5? (13 - ja, 14 - nej)
8. Er det rigtigt, at den ældste af trillionklasseenhederne er en million gange større end den ældste af millionklasseenhederne? (15 - ja, 16 - nej)
9. Givet to tal 637508 og 831. Er det rigtigt, at den mest signifikante 1 af det første tal er 1000 gange den mest signifikante 1 af det andet tal? (17 - ja, 18 - nej)
10. Der gives tallet 432. Er det rigtigt, at den mest signifikante bitenhed af dette tal er 2 gange større end den yngste? (19 - ja, 20 - nej)
11. Givet tallet 100.000.000. Er det rigtigt, at antallet af bit-enheder, der udgør 10.000 i det, er 1000? (21 - ja, 22 - nej)
12. Er det rigtigt, at trillion-klassen er forudgået af quadrillion-klassen, og at quintillion-klassen er forudgået af den klasse? (23 - ja, 24 - nej)

1.6. Fra tallenes historie

Siden oldtiden har mennesket været konfronteret med behovet for at tælle antallet af ting, sammenligne antallet af genstande (for eksempel fem æbler, syv pile ...; der er 20 mænd og tredive kvinder i en stamme, ... ). Der var også behov for at skabe orden inden for et vist antal objekter. For eksempel, når jeg jager, går stammens leder først, den stærkeste kriger af stammen kommer på andenpladsen, og så videre. Til disse formål blev tal brugt. Der blev opfundet særlige navne til dem. I tale kaldes de tal: et, to, tre osv. er kardinaltal, og det første, andet, tredje er ordenstal. Tal blev skrevet ved hjælp af specialtegn - tal.

Med tiden var der talsystemer. Det er systemer, der inkluderer måder at skrive tal på og forskellige handlinger på dem. De ældste kendte talsystemer er de egyptiske, babyloniske og romerske talsystemer. I Rus' i gamle dage blev bogstaver i alfabetet med et særligt tegn ~ (titlo) brugt til at skrive tal. Decimaltalsystemet er i øjeblikket det mest udbredte. Udbredte, især i computerverdenen, er binære, oktale og hexadecimale talsystemer.

Så for at skrive det samme tal, kan du bruge forskellige tegn - tal. Så tallet fire hundrede og femogtyve kan skrives i egyptiske tal - hieroglyffer:

Dette er den egyptiske måde at skrive tal på. Det samme tal i romertal: CDXXV(romersk måde at skrive tal på) eller decimaltal 425 (decimalnotation af tal). I binær notation ser det sådan ud: 110101001 (binær eller binær notation af tal), og i oktal - 651 (oktal notation af tal). I hexadecimal notation vil det blive skrevet: 1A9(hexadecimal notation). Du kan gøre det ganske enkelt: lav, som Robinson Crusoe, fire hundrede og femogtyve hak (eller slag) på en træstang - IIIIIIIII…... III. Dette er de allerførste billeder af naturlige tal.

Så i decimalsystemet for at skrive tal (på den decimale måde at skrive tal på), bruges arabiske tal. Dette er ti forskellige tegn - tal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . I binær, to binære cifre: 0, 1; i oktal - otte oktale cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; i hexadecimal - seksten forskellige hexadecimale cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F; i sexagesimal (babylonsk) - tres forskellige tegn - tal osv.)

Decimaltal kom til europæiske lande fra Mellemøsten, arabiske lande. Deraf navnet - Arabiske tal. Men de kom til araberne fra Indien, hvor de blev opfundet omkring midten af ​​det første årtusinde.

1.7. romersk talsystem

Et af de gamle talsystemer, der er i brug i dag, er det romerske system. Vi giver i tabellen hovedtallene i det romerske talsystem og de tilsvarende tal i decimalsystemet.

Det romerske talsystem er tilføjelsessystem. I det, i modsætning til positionssystemer (for eksempel decimal), angiver hvert ciffer det samme tal. Ja, optag II- angiver tallet to (1 + 1 = 2), notation III- nummer tre (1 + 1 + 1 = 3), notation XXX- tallet tredive (10 + 10 + 10 = 30) osv. Følgende regler gælder for skrivning af tal.

1. Hvis det mindre tal er efter større, så føjes den til den større: VII- nummer syv (5 + 2 = 5 + 1 + 1 = 7), XVII- nummer sytten (10 + 7 = 10 + 5 + 1 + 1 = 17), MCL- tallet et tusind et hundrede og halvtreds (1000 + 100 + 50 = 1150).
2. Hvis det mindre tal er Før større, så trækkes det fra det større: IX- nummer ni (9 = 10 - 1), LM- tallet ni hundrede og halvtreds (1000 - 50 = 950).

For at skrive store tal skal du bruge (opfinde) nye tegn – tal. Samtidig viser indtastningerne af tal sig at være besværlige, det er meget vanskeligt at udføre beregninger med romertal. Så året for opsendelsen af ​​den første kunstige jordsatellit (1957) i romersk notation har formen MCMLVII .

Blok 1. 8. Hulkort

Aflæsning af naturlige tal

Disse opgaver kontrolleres ved hjælp af et kort med cirkler. Lad os forklare dens anvendelse. Efter at have fuldført alle opgaverne og fundet de rigtige svar (de er markeret med bogstaverne A, B, C osv.), læg et ark gennemsigtigt papir på kortet. Marker de rigtige svar med "X"-mærker på det, samt kombinationsmærket "+". Læg derefter det gennemsigtige ark på siden, så justeringsmærkerne matcher. Hvis alle "X"-mærkerne er i de grå cirkler på denne side, så er opgaverne udført korrekt.

1.9. Læserækkefølge af naturlige tal

Når du læser et naturligt tal, skal du fortsætte som følger.

1. Mentalt opdele tallet i tripler (klasser) fra højre mod venstre fra slutningen af ​​nummerindtastningen.

1. Startende fra juniorklassen, fra højre mod venstre (fra slutningen af ​​nummerindtastningen), skriver de klassernes navne ned: enheder, tusinder, millioner, milliarder, trillioner, kvadrillioner, kvintillioner.
2. Læs nummeret, begyndende med gymnasiet. I dette tilfælde kaldes antallet af bit-enheder og navnet på klassen.
3. Hvis cifferet er nul (cifferet er tomt), så kaldes det ikke. Hvis alle tre cifre i den kaldte klasse er nuller (cifrene er tomme), kaldes denne klasse ikke.

Lad os læse (navngive) tallet skrevet i tabellen (se § 1), i henhold til trin 1 - 4. Mentalt opdele tallet 38001102987000128425 i klasser fra højre til venstre: 038 001 102 987 000 128 425. Lad os angive navnet på klasser i dette tal, startende fra slutningen er dets indgange: enheder, tusinder, millioner, milliarder, billioner, quadrillioner, quintillioner. Nu kan du læse tallet, begyndende med seniorklassen. Vi navngiver trecifrede, tocifrede og etcifrede tal og tilføjer navnet på den tilsvarende klasse. Tomme klasser er ikke navngivet. Vi får følgende nummer:

• 038 - otteogtredive kvintillioner
• 001 - en kvadrillion
• 102 - hundrede og to billioner
• 987 - ni hundrede og syvogfirs milliarder
• 000 - navngiv ikke (læs ikke)
• 128 - hundrede otteogtyve tusinde
• 425 - fire hundrede og femogtyve

Som følge heraf læses det naturlige tal 38 001 102 987 000 128 425 som følger: "otteogtredive kvintillioner en kvadrillion et hundrede og to trillioner ni hundrede og syvogfirs milliarder et hundrede og otteogtyve tusind fire hundrede og femogtyve."

1.9. Rækkefølgen af ​​at skrive naturlige tal

Naturlige tal skrives i følgende rækkefølge.

1. Skriv tre cifre ned for hver klasse, begyndende med den højeste klasse til enhedscifferet. I dette tilfælde, for seniorklassen af ​​tal, kan der være to eller en.
2. Hvis klassen eller rang ikke er navngivet, skrives nuller i de tilsvarende cifre.

For eksempel nummer femogtyve millioner tre hundrede to skrevet på formen: 25 000 302 (tusind klasse er ikke navngivet, derfor skrives nuller i alle cifre i tusindklassen).

1.10. Repræsentation af naturlige tal som en sum af bitled

Lad os give et eksempel: 7 563 429 er decimalrepræsentationen af ​​tallet syv millioner fem hundrede treogtres tusinde fire hundrede niogtyve. Dette tal indeholder syv millioner, fem hundrede tusinde, seks titusinder, tre tusinde, fire hundrede, to tiere og ni enheder. Det kan repræsenteres som en sum: 7.563.429 \u003d 7.000.000 + 500.000 + 60.000 + + 3.000 + 400 + 20 + 9. En sådan post kaldes repræsentationen af ​​et naturligt tal som en sum af bittermer.

Blok 1.11. Lad os lege

Dungeon Treasures

På spillepladsen er en tegning til Kiplings eventyr "Mowgli". Fem kister har hængelåse. For at åbne dem skal du løse problemer. Når du samtidig åbner en trækiste, får du ét point. Når du åbner en blikkiste, får du to point, en kobber en - tre point, en sølv en - fire og en guld en - fem. Vinderen er den, der åbner alle kister hurtigere. Det samme spil kan spilles på en computer.

1. træ kiste

Find hvor mange penge (i tusind rubler) der er i denne kiste. For at gøre dette skal du finde det samlede antal af de mindst signifikante bitenheder i millionklassen for nummeret: 125308453231.

1. Blikkiste

Find hvor mange penge (i tusind rubler) der er i denne kiste. For at gøre dette skal du i tallet 12530845323 finde antallet af de mindst signifikante bitenheder i enhedsklassen og antallet af de mindst signifikante bitenheder i millionklassen. Find derefter summen af ​​disse tal, og tilskriv tallet på titusinderpladsen til højre.

1. Kobber kiste

For at finde pengene i denne kiste (i tusinde rubler) skal du i tallet 751305432198203 finde antallet af de laveste cifrede enheder i trillionklassen og antallet af de laveste cifrede enheder i milliardklassen. Find derefter summen af ​​disse tal og tildel til højre de naturlige tal for klassen af ​​enheder af dette tal i rækkefølgen efter deres arrangement.

1. Sølv kiste

Pengene i denne kiste (i millioner rubler) vil blive vist ved summen af ​​to tal: antallet af de laveste cifrede enheder i tusinderklassen og de gennemsnitlige cifferenheder i milliardklassen for tallet 481534185491502.

1. gylden kiste

Givet tallet 800123456789123456789. Hvis vi multiplicerer tallene i de højeste cifre i alle klasser af dette tal, får vi pengene i denne kiste i millioner rubler.

Blok 1.12. Match

Skriv naturlige tal. Repræsentation af naturlige tal som en sum af bitled

For hver opgave i venstre kolonne skal du vælge en løsning fra højre kolonne. Skriv svaret ned i skemaet: 1a; 2g; 3b…

Mulighed 2

Blok 1.13. Facet test

Navnet på testen kommer fra ordet "sammensat øje af insekter." Dette er et sammensat øje, der består af separate "øjne". Opgaverne i den facetterede test er dannet af separate elementer, angivet med tal. Normalt facetterede tests indeholder et stort antal emner. Men der er kun fire opgaver i denne test, men de består af en lang række elementer. Dette gøres for at lære dig at "samle" testproblemer. Hvis du kan sammensætte dem, så kan du sagtens klare andre facettests.

Lad os forklare, hvordan opgaver er sammensat ved hjælp af eksemplet med den tredje opgave. Den består af testelementer nummereret: 1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 9, 10, 16, 17, 22, 21, 25

« Hvis» 1) tage tal fra tabellen (tal); 4) 7; 7) placere det i en kategori; 11) milliard; 1) tag et tal fra bordet; 5) 8; 7) placere det i rækker; 9) snesevis af millioner; 10) hundreder af millioner; 16) hundrede tusinder; 17) titusinder; 22) placer tallene 9 og 6 i tusinder og hundrede steder. 21) udfyld de resterende cifre med nuller; " AT» 26) vi får et tal svarende til tiden (perioden) for planeten Plutos omdrejning omkring Solen i sekunder (s); " Dette nummer er»: 7880889600 s. I svarene er det angivet med bogstavet "V".

Når du løser problemer, skal du skrive tallene i cellerne i tabellen med en blyant.

Facet test. Lav et tal

Tabellen indeholder tallene:

Hvis

1) tag tallet (tallene) fra tabellen:

2) 4; 3) 5; 4) 7; 5) 8; 6) 9;

7) placer dette tal (tal) i kategorien (cifre);

8) hundredvis af kvadrillioner og snesevis af kvadrillioner;

9) titusinder af millioner;

10) hundreder af millioner;

11) mia.

12) kvintillioner;

13) snesevis af kvintillioner;

14) hundredvis af kvintillioner;

15) billioner;

16) hundredtusinder;

17) titusinder;

18) fylde klassen (klasserne) med hende (dem);

19) kvintillioner;

20) mia.

21) udfyld de resterende cifre med nuller;

22) placer tallene 9 og 6 i tusinder og hundrede steder;

23) vi får et tal svarende til Jordens masse i titusindvis af tons;

24) vi får et tal omtrent lig med Jordens rumfang i kubikmeter;

25) vi får et tal svarende til afstanden (i meter) fra Solen til den fjerneste planet i solsystemet Pluto;

26) vi får et tal svarende til tiden (perioden) for planeten Plutos omdrejning omkring Solen i sekunder (s);

Dette nummer er:

a) 5929000000000

b) 99999000000000000000

d) 5980000000000000000

Løse problemer:

1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23

1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24

1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26

1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25

Svar

1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23 - g

1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24 - b

1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26 - i

1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25 - a

Naturlige tal er et af de ældste matematiske begreber.

I en fjern fortid kendte folk ikke tal, og når de skulle tælle genstande (dyr, fisk osv.), gjorde de det anderledes, end vi gør nu.

Antallet af genstande blev sammenlignet med dele af kroppen, for eksempel med fingrene på hånden, og de sagde: "Jeg har lige så mange nødder, som der er fingre på hånden."

Med tiden indså folk, at fem nødder, fem geder og fem harer har en fælles ejendom - deres antal er fem.

Husk!

Heltal er tal, der starter med 1, opnået ved optælling af objekter.

1, 2, 3, 4, 5…

mindste naturlige tal — 1 .

største naturlige tal eksisterer ikke.

Ved optælling bruges tallet nul ikke. Derfor betragtes nul ikke som et naturligt tal.

Folk lærte at skrive tal meget senere end at tælle. Først og fremmest begyndte de at repræsentere enheden med en pind, derefter med to pinde - tallet 2, med tre - tallet 3.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Så dukkede specielle tegn op for at udpege tal - forløberne for moderne tal. De tal, vi bruger til at skrive tal, opstod i Indien for omkring 1.500 år siden. Araberne bragte dem til Europa, så de kaldes Arabiske tal.

Der er ti cifre i alt: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Disse cifre kan bruges til at skrive ethvert naturligt tal.

Husk!

naturlig serie er rækkefølgen af ​​alle naturlige tal:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

I den naturlige serie er hvert tal større end det foregående med 1.

Den naturlige række er uendelig, der er ikke noget største naturlige tal i den.

Det tællesystem vi bruger kaldes decimalpositionelle.

Decimal fordi 10 enheder af hvert ciffer danner 1 enhed af det mest signifikante ciffer. Positionel, fordi værdien af ​​et ciffer afhænger af dets plads i notationen af ​​et tal, det vil sige af det ciffer, det er skrevet i.

Vigtig!

Klasserne efter milliarden er navngivet efter de latinske navne på tal. Hver næste enhed indeholder tusind tidligere.

• 1.000 milliarder = 1.000.000.000.000 = 1 billion (“tre” er latin for “tre”)
• 1.000 billioner = 1.000.000.000.000.000 = 1 quadrillion ("quadra" er latin for "fire")
• 1.000 quadrillion = 1.000.000.000.000.000.000 = 1 quintillion ("quinta" er latin for "fem")

Imidlertid har fysikere fundet et tal, der overgår antallet af alle atomer (de mindste partikler af stof) i hele universet.

Dette nummer har et specielt navn - google. En googol er et tal, der har 100 nuller.

Heltal

Definition af naturlige tal er positive heltal. Naturlige tal bruges til at tælle objekter og til mange andre formål. Her er tallene:

Dette er en naturlig række af tal.
Nul er et naturligt tal? Nej, nul er ikke et naturligt tal.
Hvor mange naturlige tal er der? Der er et uendeligt sæt af naturlige tal.
Hvad er det mindste naturlige tal? Det ene er det mindste naturlige tal.
Hvad er det største naturlige tal? Det kan ikke specificeres, fordi der er et uendeligt sæt af naturlige tal.

Summen af ​​naturlige tal er et naturligt tal. Så tilføjelsen af ​​naturlige tal a og b:

Produktet af naturlige tal er et naturligt tal. Så produktet af naturlige tal a og b:

c er altid et naturligt tal.

Forskel på naturlige tal Der er ikke altid et naturligt tal. Hvis minuenden er større end subtrahenden, så er forskellen mellem naturlige tal et naturligt tal, ellers er det ikke.

Kvotienten af ​​naturlige tal Der er ikke altid et naturligt tal. Hvis for naturlige tal a og b

hvor c er et naturligt tal, betyder det, at a er ligeligt deleligt med b. I dette eksempel er a udbyttet, b er divisor, c er kvotienten.

Divisor for et naturligt tal er det naturlige tal, som det første tal er ligeligt deleligt med.

Hvert naturligt tal er deleligt med 1 og sig selv.

Simple naturlige tal er kun delelige med 1 og sig selv. Her mener vi helt opdelt. Eksempel, nummer 2; 3; 5; 7 er kun deleligt med 1 og sig selv. Disse er simple naturlige tal.

Et betragtes ikke som et primtal.

Tal, der er større end et, og som ikke er primtal, kaldes sammensatte tal. Eksempler på sammensatte tal:

Det ene betragtes ikke som et sammensat tal.

Sættet af naturlige tal består af et, primtal og sammensatte tal.

Sættet af naturlige tal er angivet med det latinske bogstav N.

Egenskaber for addition og multiplikation af naturlige tal:

kommutativ egenskab ved addition

associativ egenskab ved tilføjelse

(a + b) + c = a + (b + c);

kommutativ egenskab ved multiplikation

associativ egenskab ved multiplikation

(ab)c = a(bc);

fordelingsegenskab ved multiplikation

A (b + c) = ab + ac;

Hele tal

Heltal er naturlige tal, nul og det modsatte af naturlige tal.

Tal modsat naturlige tal er negative heltal, for eksempel:

1; -2; -3; -4;...

Heltalssættet er angivet med det latinske bogstav Z.

Rationelle tal

Rationale tal er heltal og brøker.

Ethvert rationelt tal kan repræsenteres som en periodisk brøk. Eksempler:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Det kan ses fra eksemplerne, at ethvert heltal er en periodisk brøk med en periode på nul.

Ethvert rationelt tal kan repræsenteres som en brøk m/n, hvor m er et heltal, og n er et naturligt tal. Lad os repræsentere tallet 3,(6) fra det foregående eksempel som en sådan brøk.

Naturlige tal og deres egenskaber

Naturlige tal bruges til at tælle genstande i livet. Ethvert naturligt tal bruger cifrene $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$

En sekvens af naturlige tal, hvor hvert næste tal er $1$ større end det foregående, danner en naturlig række , som starter med et (fordi et er det mindste naturlige tal) og ikke har den største værdi, dvs. endeløs.

Nul betragtes ikke som et naturligt tal.

Følgende forholdsegenskaber

Alle egenskaber ved naturlige tal og operationer på dem følger af de fire egenskaber ved sekvensrelationer, som blev formuleret i $1891$ af D. Peano:

Det ene er et naturligt tal, der ikke følger noget naturligt tal.

Hvert naturligt tal efterfølges af ét og kun ét tal

Hvert naturligt tal bortset fra $1$ følger et og kun ét naturligt tal

Delmængden af ​​naturlige tal, der indeholder tallet $1$, og sammen med hvert tal tallet efter det, indeholder alle de naturlige tal.

Hvis posten af ​​et naturligt tal består af et ciffer, kaldes den et-cifret (f.eks. $2,6.9$ osv.), hvis posten består af to cifre, kaldes den tocifret (f.eks. $12,18 .45$) osv. Tilsvarende. Tocifret, trecifret, firecifret osv. tal kaldes multiværdi i matematik.

Additionsegenskab for naturlige tal

Kommutativ egenskab: $a+b=b+a$

Summen ændres ikke, når vilkårene omarrangeres

Associativ egenskab: $a+ (b+c) =(a+b) +c$

For at lægge summen af ​​to tal til et tal, kan du først tilføje det første led og derefter, til den resulterende sum, det andet led

Tilføjelse af nul ændrer ikke tallet, og hvis du tilføjer et tal til nul, får du det tilføjede tal.

subtraktionsegenskaber

Egenskaben til at trække summen fra tallet $a-(b+c) =a-b-c$ hvis $b+c ≤ a$

For at trække summen fra et tal, kan du først trække det første led fra dette tal og derefter fra den resulterende forskel, det andet led

Egenskaben til at trække et tal fra summen $(a+b) -c=a+(b-c)$ hvis $c ≤ b$

For at trække et tal fra summen, kan du trække det fra et led og tilføje et andet led til den resulterende forskel

Hvis du trækker nul fra et tal, ændres tallet ikke.

Hvis du trækker det fra selve tallet, får du nul

Multiplikationsegenskaber

Forskydning $a\cdot b=b\cdot a$

Produktet af to tal ændres ikke, når faktorerne omarrangeres

Associativ $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$

For at gange et tal med produktet af to tal, kan du først gange det med den første faktor og derefter gange det resulterende produkt med den anden faktor

Når det ganges med én, ændres produktet ikke $m\cdot 1=m$

Når det ganges med nul, er produktet nul

Når der ikke er nogen parenteser i produktnotationen, udføres multiplikationen i rækkefølge fra venstre mod højre

Egenskaber for multiplikation med hensyn til addition og subtraktion

Distributiv egenskab ved multiplikation med hensyn til addition

$(a+b)\cdot c=ac+bc$

For at gange summen med et tal, kan du gange hvert led med dette tal og tilføje de resulterende produkter

For eksempel $5(x+y)=5x+5y$

Den fordelende egenskab ved multiplikation med hensyn til subtraktion

$(a-b)\cdot c=ac-bc$

For at gange forskellen med et tal skal du gange minuenden og trække det fra med dette tal og trække det andet fra det første produkt

For eksempel $5(x-y)=5x-5y$

Sammenligning af naturlige tal

For alle naturlige tal $a$ og $b$ er kun én af de tre relationer $a=b$, $a

Det mindre tal er det, der optræder tidligere i den naturlige række, og det større, der optræder senere. Nul er mindre end ethvert naturligt tal.

Eksempel 1

Sammenlign tallene $a$ og $555$, hvis det er kendt, at der er et eller andet tal $b$, og følgende relationer gælder: $a

Løsning: Baseret på den angivne egenskab, fordi efter betingelse $a

enhver delmængde af naturlige tal, der indeholder mindst ét ​​tal, har det mindste tal

En delmængde i matematik er en del af et sæt. Et sæt siges at være en delmængde af en anden, hvis hvert element i delmængden også er et element i det større sæt.

For at sammenligne tal finder de ofte deres forskel og sammenligner den med nul. Hvis forskellen er større end $0$, men det første tal er større end det andet, hvis forskellen er mindre end $0$, så er det første tal mindre end det andet.

Afrunding af naturlige tal

Når fuld præcision ikke er nødvendig eller ikke mulig, rundes tallene af, det vil sige, at de erstattes af tætte tal med nuller i enden.

Naturlige tal rundes op til tiere, hundreder, tusinder osv.

Når et tal afrundes til tiere, erstattes det af det nærmeste tal, der består af hele tiere; et sådant tal har cifferet $0$ i enhedspladsen

Når et tal afrundes til hundreder, erstattes det med det nærmeste tal bestående af hele hundrede; et sådant tal skal have cifferet $0$ i tiere og enere. etc

Tallene, som det givne er afrundet til, kaldes den omtrentlige værdi af tallet med en nøjagtighed af de angivne cifre. Hvis du for eksempel afrunder tallet $564$ til tiere, får vi, at du kan afrunde det med en ulempe og få $560 $, eller med et selvrisiko og få $570$.

Afrundingsregel for naturlige tal

Hvis til højre for det ciffer, som tallet er afrundet til, er tallet $5$ eller et tal større end $5$, så tilføjes $1$ til cifferet i dette ciffer; ellers forbliver dette tal uændret.

Alle cifre placeret til højre for det ciffer, som tallet er afrundet til, erstattes af nuller

Definition

Naturlige tal kaldes tal beregnet til at tælle objekter. For at registrere naturlige tal bruges 10 arabertal (0–9), som danner grundlag for det almindeligt accepterede decimaltalssystem til matematiske beregninger.

Rækkefølge af naturlige tal

De naturlige tal udgør en serie, der starter ved 1 og dækker mængden af ​​alle positive heltal. En sådan sekvens består af tallene 1,2,3, ... . Det betyder, at i den naturlige serie:

1. Der er et mindste antal og intet største.
2. Hvert næste tal er 1 større end det foregående (undtagelsen er selve enheden).
3. Når tallene går til det uendelige, vokser de i det uendelige.

Nogle gange indføres også 0 i en række naturlige tal.Det er tilladt, og så taler man om udvidet naturlig serie.

Klasser af naturlige tal

Hvert ciffer i et naturligt tal udtrykker et bestemt ciffer. Den sidste er altid antallet af enheder i tallet, den før den er antallet af tiere, den tredje fra slutningen er antallet af hundreder, den fjerde er antallet af tusinder, og så videre.

• i tallet 276: 2 hundrede, 7 tiere, 6 enheder
• i tallet 1098: 1 tusind, 9 tiere, 8 enere; hundredepladsen er fraværende her, da den er udtrykt som nul.

For store og meget store tal kan du se en stabil tendens (hvis du undersøger tallet fra højre mod venstre, det vil sige fra det sidste ciffer til det første):

• de sidste tre cifre i tallet er enheder, tiere og hundrede;
• de foregående tre er enheder, titusinder og hundredetusinder;
• de tre foran dem (dvs. det 7., 8. og 9. ciffer i tallet, regnet fra slutningen) er enheder, tiere og hundreder af millioner osv.

Det vil sige, hver gang vi har at gøre med tre cifre, hvilket betyder enheder, tiere og hundreder af et større navn. Sådanne grupper danner klasser. Og hvis man mere eller sjældnere skal forholde sig til de tre første klasser i hverdagen, så bør andre stå på listen, for det er ikke alle, der husker deres navne udenad.

• Den 4. klasse, der følger klassen af ​​millioner og repræsenterer tal på 10-12 cifre, kaldes en milliard (eller en milliard);
• 5. klasse - billioner;
• 6. klasse - kvadrillion;
• 7. klasse - kvintillion;
• 8. klasse - sextillion;
• 9. klasse - septillion.

Tilføjelse af naturlige tal

Tilføjelsen af ​​naturlige tal er en aritmetisk operation, der giver dig mulighed for at få et tal, der indeholder lige så mange enheder, som der er i tallene lagt sammen.

Tegnet for tilføjelse er "+" tegnet. Tilføjede tal kaldes termer, resultatet kaldes summen.

Små tal tilføjes (opsummeres) mundtligt, skriftligt skrives sådanne handlinger på en linje.

Flercifrede tal, som er svære at tilføje i sindet, tilføjes normalt i en kolonne. Til dette er tallene skrevet under hinanden, på linje med det sidste ciffer, det vil sige, at de skriver enhedscifferet under enhedscifferet, hundrede cifferet under hundrede cifferet, og så videre. Dernæst skal du tilføje cifrene i par. Hvis tilføjelsen af ​​cifre sker med en overgang gennem en ti, så er denne ti fastsat som en enhed over cifferet til venstre (det vil sige efter det) og lægges sammen med cifrene i dette ciffer.

Hvis ikke 2, men flere tal tilføjes til kolonnen, kan ikke 1 dusin, men flere, være overflødige, når man opsummerer cifrene i kategorien. I dette tilfælde overføres antallet af sådanne tiere til det næste ciffer.

Subtraktion af naturlige tal

Subtraktion er en aritmetisk operation, det omvendte af addition, som bunder i, at du, givet mængden og et af led, skal finde et andet - et ukendt led. Tallet, der trækkes fra, kaldes minuend; det tal, der trækkes fra, er subtrahenden. Resultatet af subtraktionen kaldes forskellen. Tegnet, der angiver subtraktionsoperationen, er "-".

I overgangen til addition bliver subtrahenden og differencen til termer, og den reducerede til summen. Addition kontrollerer normalt rigtigheden af ​​den udførte subtraktion og omvendt.

Her er 74 minuend, 18 er subtrahend, 56 er forskellen.

En forudsætning for at trække naturlige tal fra er følgende: minuenden skal nødvendigvis være større end subtrahenden. Kun i dette tilfælde vil den resulterende forskel også være et naturligt tal. Hvis subtraktionshandlingen udføres for en udvidet naturlig serie, er det tilladt, at minuenden er lig med subtrahenden. Og resultatet af subtraktion i dette tilfælde vil være 0.

Bemærk: hvis subtrahenden er lig nul, så ændrer subtraktionsoperationen ikke værdien af ​​minuenden.

Subtraktion af flercifrede tal udføres normalt i en kolonne. Skriv tallene ned på samme måde som ved addition. Subtraktion udføres for de tilsvarende cifre. Hvis det viser sig, at minuenden er mindre end subtrahenden, tages en fra det forrige (placeret til venstre) ciffer, som efter overførslen naturligt bliver til 10. Denne ti opsummeres med tallet for den reducerede givet ciffer og derefter trukket fra. Yderligere, når du trækker det næste ciffer, er det nødvendigt at tage højde for, at den reducerede er blevet 1 mindre.

Produkt af naturlige tal

Produktet (eller multiplikationen) af naturlige tal er en aritmetisk operation, som er at finde summen af ​​et vilkårligt antal identiske led. For at registrere multiplikationsoperationen skal du bruge tegnet "·" (nogle gange "×" eller "*"). For eksempel: 3 5=15.

Multiplikationshandlingen er uundværlig, når det er nødvendigt at tilføje et stort antal led. For eksempel, hvis du skal tilføje tallet 4 7 gange, så er det nemmere at gange 4 med 7 end at lave denne addition: 4+4+4+4+4+4+4.

De tal, der ganges, kaldes faktorer, resultatet af multiplikation er produktet. Derfor kan udtrykket "arbejde" afhængigt af konteksten udtrykke både multiplikationsprocessen og dens resultat.

Flercifrede tal ganges i en kolonne. For dette tal er skrevet på samme måde som for addition og subtraktion. Det anbefales at skrive først (over) hvilket af de 2 tal, der er længere. I dette tilfælde vil multiplikationsprocessen være enklere og derfor mere rationel.

Når der multipliceres i en kolonne, multipliceres cifrene i hvert af cifrene i det andet tal sekventielt med cifrene i det 1. tal, begyndende fra dets slutning. Efter at have fundet det første sådant arbejde, skriver de antallet af enheder ned og holder antallet af tiere i tankerne. Når cifferet i det 2. tal ganges med det næste ciffer i det 1. tal, tilføjes det tal, der er i tankerne, til produktet. Og igen skriver de ned antallet af enheder af det opnåede resultat og husker antallet af tiere. Når der ganges med det sidste ciffer i det 1. tal, skrives det tal, der opnås på denne måde, helt ned.

Resultaterne af at gange cifrene i det andet ciffer i det andet tal skrives i den anden række og flytter det 1 celle til højre. Og så videre. Som følge heraf opnås en "stige". Alle de resulterende rækker af tal skal tilføjes (i henhold til reglen om tilføjelse i en kolonne). Tomme celler skal betragtes som fyldt med nuller. Den resulterende sum er det endelige produkt.

Bemærk

1. Produktet af ethvert naturligt tal med 1 (eller 1 med et tal) er lig med selve tallet. For eksempel: 376 1=376; 186=86.
2. Når en af ​​faktorerne eller begge faktorer er lig med 0, så er produktet lig med 0. For eksempel: 32·0=0; 0,845=845; 0 0=0.

Division af naturlige tal

Division kaldes en aritmetisk operation, ved hjælp af hvilken der ifølge et kendt produkt og en af ​​faktorerne kan findes en anden - ukendt - faktor. Division er det omvendte af multiplikation og bruges til at kontrollere, om en multiplikation er udført korrekt (og omvendt).

Tallet, der bliver divideret, kaldes det delelige; det tal, som det divideres med, er divisor; resultatet af en division kaldes en kvotient. Divisionstegnet er ":" (nogle gange, sjældnere - "÷").

Her er 48 udbyttet, 6 er divisor og 8 er kvotienten.

Ikke alle naturlige tal kan deles indbyrdes. I dette tilfælde udføres division med en rest. Den består i, at en sådan faktor for divisor er valgt, således at dens produkt af divisor ville være et tal, der i værdi er så tæt som muligt på dividenden, men mindre end det. Divisoren ganges med denne faktor og trækkes fra dividenden. Forskellen vil være resten af ​​divisionen. Produktet af en divisor med en faktor kaldes en ufuldstændig kvotient. Bemærk: resten skal være mindre end den valgte multiplikator! Hvis resten er større, betyder det, at multiplikatoren er valgt forkert, og den bør øges.

Vi vælger en faktor for 7. I dette tilfælde er dette tal 5. Vi finder en ufuldstændig kvotient: 7 5 \u003d 35. Beregn resten: 38-35=3. Siden 3<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).

Flercifrede tal er opdelt i en kolonne. For at gøre dette skrives divisor og divisor side om side, og adskiller divisor med en lodret og vandret linje. I udbyttet vælges det første ciffer eller de første par cifre (til højre), som skal være et tal, der er minimalt nok til at dividere med en divisor (det vil sige, at dette tal skal være større end divisoren). For dette tal vælges en ufuldstændig kvotient, som beskrevet i reglen om division med en rest. Tallet på den multiplikator, der bruges til at finde den partielle kvotient, er skrevet under divisoren. Den ufuldstændige kvotient er skrevet under det tal, der blev delt, højrejusteret. Find deres forskel. Det næste ciffer i udbyttet rives ned ved at skrive det ud for denne forskel. For det resulterende tal findes en ufuldstændig kvotient igen ved at nedskrive tallet for den valgte faktor ved siden af ​​den foregående under divisoren. Og så videre. Sådanne handlinger udføres, indtil tallene for udbyttet løber ud. Herefter betragtes opdelingen som afsluttet. Hvis udbyttet og divisoren deles helt (uden en rest), så vil den sidste forskel give nul. Ellers vil det resterende antal blive returneret.

Eksponentiering

Eksponentiering er en matematisk operation, der består i at gange et vilkårligt antal identiske tal. For eksempel: 2 2 2 2.

Sådanne udtryk er skrevet som: et x,

Hvor -en er et tal ganget med sig selv x er antallet af sådanne faktorer.

Primtal og sammensatte naturlige tal

Ethvert naturligt tal, undtagen 1, kan divideres med mindst 2 tal - et og sig selv. Ud fra dette kriterium opdeles naturlige tal i primtal og sammensatte tal.

Primtal er tal, der kun er delelige med 1 og sig selv. Tal, der er delelige med mere end disse 2 tal, kaldes sammensatte tal. En enhed, der kun kan deles af sig selv, er hverken primtal eller sammensat.

Tal er primtal: 2,3,5,7,11,13,17,19 osv. Eksempler på sammensatte tal: 4 (deles med 1,2,4), 6 (deles med 1,2,3,6), 20 (deles med 1,2,4,5,10,20).

Ethvert sammensat tal kan dekomponeres i primfaktorer. I dette tilfælde forstås primfaktorer som dens divisorer, som er primtal.

Et eksempel på faktorisering til primfaktorer:

Dividere af naturlige tal

En divisor er et tal, som et givet tal kan divideres med uden en rest.

I overensstemmelse med denne definition har simple naturlige tal 2 divisorer, sammensatte tal har mere end 2 divisorer.

Mange tal har fælles delere. Den fælles divisor er det tal, som de givne tal er delelige med uden en rest.

• Tallene 12 og 15 har en fælles divisor 3
• Tallene 20 og 30 har fælles divisorer 2,5,10

Af særlig betydning er den største fælles divisor (GCD). Dette tal er især nyttigt at kunne finde for at reducere fraktioner. For at finde det er det nødvendigt at dekomponere de givne tal i primfaktorer og præsentere det som produktet af deres fælles primfaktorer, taget i deres mindste potenser.

Det er nødvendigt at finde GCD for tallene 36 og 48.

Delelighed af naturlige tal

Det er langt fra altid muligt at afgøre "med øjet", om et tal er deleligt med et andet uden en rest. I sådanne tilfælde er den tilsvarende delelighedstest nyttig, det vil sige reglen, hvormed du i løbet af få sekunder kan bestemme, om det er muligt at dividere tal uden en rest. Tegnet "" bruges til at angive delelighed.

Mindste fælles multiplum

Denne værdi (betegnet LCM) er det mindste tal, der er deleligt med hver af de givne. LCM kan findes for et vilkårligt sæt af naturlige tal.

LCM har ligesom GCD en væsentlig anvendt betydning. Så det er LCM, der skal findes ved at reducere almindelige brøker til en fællesnævner.

LCM bestemmes ved at faktorisere de givne tal i primfaktorer. Til dets dannelse tages et produkt, der består af hver af de forekommende (mindst for 1 tal) primfaktorer repræsenteret i maksimal grad.

Det er nødvendigt at finde LCM for tallene 14 og 24.

Gennemsnit

Det aritmetiske middelværdi af et vilkårligt (men endeligt) antal naturlige tal er summen af ​​alle disse tal divideret med antallet af led:

Det aritmetiske middel er en gennemsnitsværdi for et talsæt.

Tallene 2,84,53,176,17,28 er angivet. Det er nødvendigt at finde deres aritmetiske middelværdi.