09.10.2019
Boltzmannova konstanta igra glavnu ulogu u statičkoj mehanici. Boltzmannova konstanta
Boltzmannova konstanta (k (\displaystyle k) ili k B (\displaystyle k_(\rm (B)))) je fizička konstanta koja određuje odnos između temperature i energije. Ime je dobio po austrijskom fizičaru Ludwigu Boltzmannu, koji je dao veliki doprinos statističkoj fizici, u kojoj ova konstanta igra ključnu ulogu. Njegova vrijednost u Međunarodnom sistemu jedinica SI prema promjeni definicija osnovnih SI jedinica (2018) je tačno jednaka
k = 1,380 649 × 10 − 23 (\displaystyle k=1(,)380\,649\puta 10^(-23)) J / .Odnos između temperature i energije
U homogenom idealnom gasu na apsolutnoj temperaturi T (\displaystyle T), energija po translacionom stepenu slobode je, kao što sledi iz Maksvelove raspodele, kT / 2 (\displaystyle kT/2). Na sobnoj temperaturi (300°C), ova energija je 2 , 07 × 10 − 21 (\displaystyle 2(,)07\puta 10^(-21)) J, ili 0,013 eV. U monoatomskom idealnom gasu, svaki atom ima tri stepena slobode koji odgovaraju tri prostorne ose, što znači da svaki atom ima energiju u 3 2 k T (\displaystyle (\frac (3)(2))kT).
Poznavajući toplinsku energiju, može se izračunati srednja kvadratna brzina atoma, koja je obrnuto proporcionalna kvadratnom korijenu atomske mase. Srednja kvadratna brzina na sobnoj temperaturi varira od 1370 m/s za helijum do 240 m/s za ksenon. U slučaju molekularnog gasa, situacija postaje komplikovanija, na primer, dvoatomski gas ima 5 stepena slobode - 3 translaciona i 2 rotacija (na niskim temperaturama, kada vibracije atoma u molekuli nisu pobuđene i dodatni stepen sloboda se ne dodaju).
Definicija entropije
Entropija termodinamičkog sistema je definisana kao prirodni logaritam broja različitih mikrostanja Z (\displaystyle Z) koje odgovara datom makroskopskom stanju (na primjer, stanju sa datom ukupnom energijom).
S = k log Z . (\displaystyle S=k\ln Z.)Faktor proporcionalnosti k (\displaystyle k) i je Boltzmannova konstanta. Ovo je izraz koji definira odnos između mikroskopskih ( Z (\displaystyle Z)) i makroskopska stanja ( S (\displaystyle S)), izražava središnju ideju statističke mehanike.
Boltzmannova konstanta (k (\displaystyle k) ili k B (\displaystyle k_(\rm (B)))) - fizička konstanta koja određuje odnos između temperature i energije. Ime je dobio po austrijskom fizičaru Ludwigu Boltzmannu, koji je dao veliki doprinos statističkoj fizici, u kojoj ova konstanta igra ključnu ulogu. Njegova eksperimentalna vrijednost u Međunarodnom sistemu jedinica (SI) je:
k = 1.380 648 52 (79) × 10 − 23 (\displaystyle k=1(,)380\,648\,52(79)\puta 10^(-23)) J / .Brojevi u zagradama označavaju standardnu grešku u posljednjim znamenkama vrijednosti.
Encyclopedic YouTube
1 / 3
✪ Toplotno zračenje. Stefan-Boltzmannov zakon
✪ Boltzmannov model distribucije.
✪ Fizika. MKT: Mendeljejev-Klapejronova jednačina za idealni gas. Foxford Online Learning Center
Titlovi
Odnos između temperature i energije
U homogenom idealnom gasu na apsolutnoj temperaturi T (\displaystyle T), energija koja se može pripisati svakom translacionom stepenu slobode je, kako slijedi iz Maxwellove raspodjele, kT / 2 (\displaystyle kT/2). Na sobnoj temperaturi (300°C), ova energija je 2 , 07 × 10 − 21 (\displaystyle 2(,)07\puta 10^(-21)) J, ili 0,013 eV. U monoatomskom idealnom gasu, svaki atom ima tri stepena slobode koji odgovaraju tri prostorne ose, što znači da svaki atom ima energiju u 3 2 k T (\displaystyle (\frac (3)(2))kT).
Poznavajući toplinsku energiju, može se izračunati srednja kvadratna brzina atoma, koja je obrnuto proporcionalna kvadratnom korijenu atomske mase. Srednja kvadratna brzina na sobnoj temperaturi varira od 1370 m/s za helijum do 240 m/s za ksenon. U slučaju molekularnog gasa situacija postaje komplikovanija, na primer, dvoatomski gas ima pet stepeni slobode (na niskim temperaturama, kada se ne pobuđuju vibracije atoma u molekulu).
Definicija entropije
Entropija termodinamičkog sistema je definisana kao prirodni logaritam broja različitih mikrostanja Z (\displaystyle Z) koje odgovara datom makroskopskom stanju (na primjer, stanju sa datom ukupnom energijom).
S = k log Z . (\displaystyle S=k\ln Z.)Faktor proporcionalnosti k (\displaystyle k) i je Boltzmannova konstanta. Ovo je izraz koji definira odnos između mikroskopskih ( Z (\displaystyle Z)) i makroskopska stanja ( S (\displaystyle S)), izražava središnju ideju statističke mehanike.
Popravak pretpostavljene vrijednosti
XXIV Generalna konferencija o mjerama i utezima, održana 17-21. oktobra 2011. godine, usvojila je rezoluciju u kojoj je, posebno, predloženo da se buduća revizija Međunarodnog sistema jedinica izvrši na način da se popravi vrijednost Boltzmannove konstante, nakon čega će se smatrati sigurnom upravo. Kao rezultat, pokrenut će se tačno jednakost k=1,380 6X⋅10 −23 J/K, gdje X zamjenjuje jednu ili više značajnih cifara koje će se odrediti u budućnosti na osnovu najboljih preporuka CODATA. Takva navodna fiksacija povezana je sa željom da se redefinira jedinica termodinamičke temperature, kelvin, povezujući njenu vrijednost sa vrijednošću Boltzmannove konstante.
(k ili kB) je fizička konstanta koja određuje odnos između temperature i energije. Nazvana je po austrijskom fizičaru Ludwigu Boltzmannu, koji je dao veliki doprinos statističkoj fizici, u kojoj je ovo postalo ključno mjesto. Njegova eksperimentalna vrijednost u SI sistemu jeBrojevi u zagradama označavaju standardnu grešku u posljednjim znamenkama vrijednosti. U principu, Boltzmannova konstanta se može dobiti određivanjem apsolutne temperature i drugih fizičkih konstanti (za ovo morate biti u stanju da izračunate iz prvih principa temperaturu trostruke tačke vode). Ali definicija Boltzmannove konstante koristeći osnovne principe je previše komplikovana i nerealna sa trenutnim razvojem znanja u ovoj oblasti.
Boltzmanova konstanta je nepotrebna fizička konstanta ako se temperatura mjeri u energetskim jedinicama, što se vrlo često radi u fizici. To je, u stvari, veza između dobro definisane količine - energije i stepena, čija se vrednost istorijski razvijala.
Definicija entropije
Entropija termodinamičkog sistema je definisana kao prirodni logaritam broja različitih mikrostanja Z koja odgovaraju datom makroskopskom stanju (na primer, stanja sa datom ukupnom energijom).
Faktor proporcionalnosti k i je Boltzmannova konstanta. Ovaj izraz, koji definira odnos između mikroskopskih (Z) i makroskopskih (S) karakteristika, izražava glavnu (centralnu) ideju statističke mehanike.
Boltzmann Ludwig (1844-1906)- veliki austrijski fizičar, jedan od osnivača molekularne kinetičke teorije. U djelima Boltzmanna, molekularno-kinetička teorija se prvi put pojavila kao logički koherentna, konzistentna fizička teorija. Boltzmann je dao statističku interpretaciju drugog zakona termodinamike. Učinio je mnogo za razvoj i popularizaciju Maxwellove teorije elektromagnetnog polja. Borac po prirodi, Boltzmann je strastveno branio potrebu za molekularnom interpretacijom termalnih fenomena i preuzeo na sebe teret borbe protiv naučnika koji su poricali postojanje molekula.
Jednačina (4.5.3) uključuje omjer univerzalne plinske konstante R na Avogadrovu konstantu N A . Ovaj odnos je isti za sve supstance. Zove se Boltzmannova konstanta, u čast L. Boltzmanna, jednog od osnivača molekularne kinetičke teorije.
Boltzmanova konstanta je:
Jednačina (4.5.3), uzimajući u obzir Boltzmannu konstantu, zapisuje se na sljedeći način:
Fizičko značenje Boltzmannove konstante
Istorijski gledano, temperatura je prvo uvedena kao termodinamička veličina, a za nju je uspostavljena mjerna jedinica - stepen (vidi § 3.2). Nakon uspostavljanja veze između temperature i prosječne kinetičke energije molekula, postalo je očigledno da se temperatura može definirati kao prosječna kinetička energija molekula i izraziti u džulima ili ergovima, tj. T unesite vrijednost T* tako da
Tako određena temperatura povezana je sa temperaturom izraženom u stepenima na sljedeći način:
Stoga se Boltzmannova konstanta može smatrati veličinom koja povezuje temperaturu, izraženu u energetskim jedinicama, sa temperaturom izraženom u stepenima.
Ovisnost tlaka plina o koncentraciji njegovih molekula i temperaturi
Izražavanje E iz relacije (4.5.5) i zamenom u formulu (4.4.10) dobijamo izraz koji pokazuje zavisnost pritiska gasa od koncentracije molekula i temperature:
Iz formule (4.5.6) proizilazi da je pri istim pritiscima i temperaturama koncentracija molekula u svim plinovima ista.
Ovo implicira Avogadrov zakon: jednake zapremine gasova pri istim temperaturama i pritiscima sadrže isti broj molekula.
Prosječna kinetička energija translacijskog kretanja molekula je direktno proporcionalna apsolutnoj temperaturi. Faktor proporcionalnosti- Boltzmannova konstantak \u003d 10 -23 J / K - treba zapamtiti.
§ 4.6. Maxwellova distribucija
U velikom broju slučajeva samo poznavanje prosječnih vrijednosti fizičkih veličina nije dovoljno. Na primjer, poznavanje prosječne visine ljudi ne dozvoljava planiranje proizvodnje odjeće različitih veličina. Morate znati približan broj ljudi čija visina leži u određenom intervalu. Slično, važno je znati brojeve molekula koji imaju brzine različite od prosjeka. Maxwell je prvi otkrio kako se ovi brojevi mogu odrediti.
Vjerovatnoća slučajnog događaja
U §4.1 smo već spomenuli da je J. Maxwell uveo koncept vjerovatnoće da opiše ponašanje velikog skupa molekula.
Kao što je više puta naglašeno, u principu je nemoguće pratiti promjenu brzine (ili momenta) jednog molekula u dužem vremenskom intervalu. Također je nemoguće precizno odrediti brzinu svih molekula plina u datom trenutku. Iz makroskopskih uslova u kojima se gas nalazi (određena zapremina i temperatura) ne proizilaze nužno određene vrednosti brzina molekula. Brzina molekula se može smatrati slučajnom varijablom, koja pod datim makroskopskim uslovima može poprimiti različite vrijednosti, kao i pri bacanju kocke bilo koji broj bodova od 1 do 6 (broj strana kocke je šest) može ispasti. Nemoguće je predvidjeti koji će broj bodova ispasti u datom bacanju kockice. Ali vjerovatnoća da se kotrlja, recimo, pet poena je odbranjiva.
Kolika je vjerovatnoća da će se desiti slučajni događaj? Neka se proizvede veoma veliki broj N testovi (N je broj bacanja kocke). Istovremeno, u N" slučajevima, došlo je do povoljnog ishoda testova (tj. gubitak pet). Tada je vjerovatnoća ovog događaja jednaka omjeru broja slučajeva sa povoljnim ishodom i ukupnog broja suđenja, pod uslovom da je taj broj proizvoljno velik:
Za simetričnu kocku, vjerovatnoća bilo kojeg odabranog broja bodova od 1 do 6 je .
Vidimo da se na pozadini mnogih slučajnih događaja otkriva određeni kvantitativni obrazac, pojavljuje se broj. Ovaj broj - vjerovatnoća - omogućava vam da izračunate prosjek. Dakle, ako napravite 300 bacanja kocke, tada će prosječan broj bacanja petice, kao što slijedi iz formule (4.6.1), biti jednak: 300 = 50, a potpuno je ravnodušno baciti istu kocku 300 puta ili istovremeno 300 identičnih kockica.
Nesumnjivo je da je ponašanje molekula plina u posudi mnogo složenije od kretanja bačene kocke. Ali i ovdje se može nadati otkrivanju određenih kvantitativnih pravilnosti koje omogućavaju izračunavanje statističkih prosjeka, samo ako se problem postavi na isti način kao u teoriji igara, a ne kao u klasičnoj mehanici. Potrebno je napustiti nerješivi problem određivanja tačne vrijednosti brzine molekula u datom trenutku i pokušati pronaći vjerovatnoću da brzina ima određenu vrijednost.
Za konstantu povezanu sa energijom zračenja crnog tijela, pogledajte Stefan-Boltzmannova konstanta
|
Vrijednost konstante k |
Dimenzija |
|
1,380 6504(24) 10 −23 |
|
|
8,617 343(15) 10 −5 |
|
|
1,3807 10 −16 |
|
|
Također pogledajte Vrijednosti u različitim jedinicama ispod. |
|
Boltzmannova konstanta (k ili k B ) je fizička konstanta koja određuje odnos između temperature tvari i energije toplinskog kretanja čestica ove tvari. Nazvana je po austrijskom fizičaru Ludwigu Boltzmannu, koji je dao veliki doprinos statističkoj fizici, u kojoj ova konstanta igra ključnu ulogu. Njegova eksperimentalna vrijednost u SI sistemu je
U tabeli posljednje cifre u zagradama označavaju standardnu grešku vrijednosti konstante. U principu, Boltzmannova konstanta se može izvesti iz određivanja apsolutne temperature i drugih fizičkih konstanti. Međutim, tačno izračunavanje Boltzmannove konstante koristeći osnovne principe je previše komplikovano i nemoguće sa trenutnim nivoom znanja.
Eksperimentalno se Boltzmannova konstanta može odrediti korištenjem Planckovog zakona toplinskog zračenja, koji opisuje raspodjelu energije u spektru ravnotežnog zračenja na određenoj temperaturi tijela koje zrače, kao i drugim metodama.
Postoji veza između univerzalne plinske konstante i Avogadrovog broja, iz čega slijedi vrijednost Boltzmannove konstante:
Dimenzija Boltzmannove konstante je ista kao i dimenzija entropije.
|
Priča
Godine 1877. Boltzmann je prvi povezao entropiju i vjerovatnoću, ali prilično tačnu vrijednost konstante k kao koeficijent sprege u formuli za entropiju pojavio se samo u radovima M. Plancka. Prilikom izvođenja zakona zračenja crnog tijela, Planck je 1900–1901. za Boltzmannu konstantu je pronađena vrijednost od 1,346 10 −23 J/K, skoro 2,5% manje od trenutno prihvaćene.
Do 1900. odnosi koji su sada zapisani Boltzmannom konstantom su bili zapisani pomoću gasne konstante R, a umjesto prosječne energije po molekulu korištena je ukupna energija supstance. Sažeta formula formulara S = k log W na bisti Boltzmanna postao je takav zahvaljujući Plancku. U svom Nobelovom predavanju 1920. godine, Planck je napisao:
Ova konstanta se često naziva Boltzmannova konstanta, iako je, koliko je meni poznato, sam Bolcman nikada nije uveo - čudno stanje stvari, s obzirom da u Bolcmannovim izjavama nije bilo reči o tačnom merenju ove konstante.
Ova situacija se može objasniti naučnom debatom u to vrijeme da se razjasni suština atomske strukture materije. U drugoj polovini 19. veka postojalo je dosta neslaganja oko toga da li su atomi i molekuli stvarni ili samo prikladan način za opisivanje fenomena. Takođe nije bilo jednoglasnosti oko toga da li su "hemijski molekuli" koji se razlikuju po atomskoj masi isti molekuli kao u kinetičkoj teoriji. Dalje u Planckovom Nobelovom predavanju može se pronaći sljedeće:
„Ništa ne može bolje pokazati pozitivnu i ubrzanu stopu napretka od umjetnosti eksperimentiranja u posljednjih dvadeset godina, kada su odjednom otkrivene mnoge metode za mjerenje mase molekula s gotovo istom preciznošću kao mjerenje mase bilo koje planete. ”
Jednačina stanja idealnog gasa
Za idealan gas važi jedinstveni zakon o gasu koji se odnosi na pritisak P, volumen V, količina supstance n u molovima, plinska konstanta R i apsolutnu temperaturu T:
U ovoj jednačini možemo napraviti zamjenu. Tada će se plinski zakon izraziti u smislu Boltzmannove konstante i broja molekula N u zapremini gasa V:
Odnos između temperature i energije
U homogenom idealnom gasu na apsolutnoj temperaturi T, energija po translacionom stepenu slobode je, kao što sledi iz Maksvelove raspodele, kT/ 2 . Na sobnoj temperaturi (≈ 300 K), ova energija je J, ili 0,013 eV.
Odnosi termodinamike gasa
U monoatomskom idealnom gasu, svaki atom ima tri stepena slobode koji odgovaraju trima prostornim osema, što znači da svaki atom ima energiju od 3 kT/ 2 . Ovo se dobro slaže s eksperimentalnim podacima. Poznavajući toplinsku energiju, može se izračunati srednja kvadratna brzina atoma, koja je obrnuto proporcionalna kvadratnom korijenu atomske mase. Efektivna brzina na sobnoj temperaturi varira od 1370 m/s za helijum do 240 m/s za ksenon.
Kinetička teorija daje formulu za prosječni tlak P idealan gas:
S obzirom da je prosječna kinetička energija pravolinijskog kretanja:
nalazimo jednačinu stanja za idealni gas:
Ovaj odnos važi i za molekularne gasove; međutim, zavisnost toplotnog kapaciteta se menja, jer molekuli mogu imati dodatne unutrašnje stepene slobode u odnosu na one stepene slobode koji su povezani sa kretanjem molekula u prostoru. Na primjer, dvoatomski plin već ima približno pet stupnjeva slobode.
Boltzmannov množitelj
Generalno, sistem je u ravnoteži sa rezervoarom toplote na temperaturi T ima vjerovatnoću str uzeti stanje energije E, koji se može napisati koristeći odgovarajući eksponencijalni Boltzmannov množitelj:
Ovaj izraz sadrži vrijednost kT sa dimenzijom energije.
Proračun vjerovatnoće se koristi ne samo za proračune u kinetičkoj teoriji idealnih plinova, već iu drugim područjima, na primjer, u kemijskoj kinetici u Arrheniusovoj jednačini.
Uloga u statističkoj definiciji entropije
Glavni članak: Termodinamička entropija
Entropija S izolovanog termodinamičkog sistema u termodinamičkoj ravnoteži definisan je prirodnim logaritmom broja različitih mikrostanja W koje odgovara datom makroskopskom stanju (na primjer, stanju sa datom ukupnom energijom E):
Faktor proporcionalnosti k je Boltzmannova konstanta. Ovo je izraz koji definira odnos između mikroskopskih i makroskopskih stanja (via W i entropija S odnosno), izražava središnju ideju statističke mehanike i glavno je otkriće Boltzmanna.
U klasičnoj termodinamici se koristi Clausiusov izraz za entropiju:
Dakle, pojava Boltzmannove konstante k može se posmatrati kao posledica povezanosti termodinamičke i statističke definicije entropije.
Entropija se može izraziti u jedinicama k, što daje sljedeće:
U takvim jedinicama, entropija tačno odgovara informacijskoj entropiji.
karakteristična energija kT jednaka je količini topline koja je potrebna za povećanje entropije S"na jednoj nac.
Uloga u fizici poluprovodnika: toplinsko naprezanje
Za razliku od drugih tvari, u poluvodičima postoji jaka ovisnost električne provodljivosti o temperaturi:
gdje faktor σ 0 prilično slabo ovisi o temperaturi u odnosu na eksponent, E A je energija aktivacije provodljivosti. Gustoća elektrona provodljivosti također eksponencijalno ovisi o temperaturi. Za struju kroz poluvodički p-n spoj, umjesto energije aktivacije, uzima se u obzir karakteristična energija ovog p-n spoja na temperaturi T kao karakteristična energija elektrona u električnom polju:
gdje q- , a V T je termički stres koji ovisi o temperaturi.
Ovaj odnos je osnova za izražavanje Boltzmannove konstante u jedinicama eV∙K −1. Na sobnoj temperaturi (≈ 300 K), termalni napon je oko 25,85 milivolta ≈ 26 mV.
U klasičnoj teoriji često se koristi formula prema kojoj je efektivna brzina nosioca naboja u tvari jednaka proizvodu pokretljivosti nosača μ i jakosti električnog polja. U drugoj formuli, gustina fluksa nosioca je povezana sa koeficijentom difuzije D i sa gradijentom koncentracije nosača n :
Prema relaciji Einstein-Smoluchowski, koeficijent difuzije povezan je s pokretljivošću:
Boltzmannova konstanta k je također uključen u Wiedemann-Franz zakon, prema kojem je omjer toplinske provodljivosti i električne provodljivosti u metalima proporcionalan temperaturi i kvadratu odnosa Boltzmannove konstante i električnog naboja.
Prijave u drugim oblastima
Za razlikovanje temperaturnih područja u kojima se ponašanje tvari opisuje kvantnim ili klasičnim metodama, koristi se Debyeova temperatura:
