Koja je prirodna vrijednost broja. Materijal iz matematike „Brojevi

1.1 Definicija

Zovu se brojevi koje ljudi koriste prilikom brojanja prirodno(na primjer, jedan, dva, tri, ..., sto, sto i jedan, ..., tri hiljade dvije stotine dvadeset jedan, ...) Za pisanje prirodnih brojeva koriste se posebni znakovi (simboli) , zvao brojevi.

Danas prihvaćeno decimalni zapis. Dekadski sistem (ili način) pisanja brojeva koristi arapske brojeve. Ovo je deset različitih znakova cifara: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .

Najmanje prirodni broj je broj jedan, to napisano decimalnim znamenkom - 1. Sljedeći prirodni broj dobija se od prethodnog (osim jednog) dodavanjem 1 (jedan). Ovo dodavanje se može uraditi mnogo puta (beskonačan broj puta). To znači da br najveći prirodni broj. Stoga se kaže da je niz prirodnih brojeva neograničen ili beskonačan, jer nema kraja. Prirodni brojevi se pišu pomoću decimalnih cifara.

1.2. broj "nula"

Da biste označili odsustvo nečega, koristite broj " nula" ili " nula". Piše se brojevima. 0 (nula). Na primjer, u kutiji su sve kuglice crvene. Koliko ih je zelenih? - Odgovor: nula . Dakle, u kutiji nema zelenih kuglica! Broj 0 može značiti da je nešto gotovo. Na primjer, Maša je imala 3 jabuke. Dvije je podijelila sa prijateljima, jednu je sama pojela. Znači otišla je 0 (nula) jabuka, tj. nijedan ostao. Broj 0 može značiti da se nešto nije dogodilo. Na primjer, hokejaški meč između ruskog i kanadskog tima završio je rezultatom 3:0 (čitaj "tri - nula") u korist ruskog tima. To znači da je ruski tim postigao 3 gola, a kanadski 0 golova, nije mogao postići nijedan gol. Moramo zapamtiti da nula nije prirodan broj.

1.3. Pisanje prirodnih brojeva

Na decimalni način pisanja prirodnog broja, svaka cifra može značiti različite brojeve. Zavisi od mjesta ove cifre u zapisu broja. Određeno mjesto u zapisu prirodnog broja naziva se pozicija. Stoga se decimalni zapis naziva pozicioni. Razmotrimo decimalni zapis 7777 broja sedam hiljada sedam stotina sedamdeset sedam. U ovom unosu ima sedam hiljada, sedam stotina, sedam desetica i sedam jedinica.

Poziva se svako od mjesta (pozicija) u decimalnom zapisu broja pražnjenje. Svake tri cifre se kombinuju u Klasa. Ovo spajanje se izvodi s desna na lijevo (od kraja unosa broja). Različiti činovi i klase imaju svoja imena. Broj prirodnih brojeva je neograničen. Dakle, broj činova i klasa također nije ograničen ( beskonačno). Razmotrite nazive cifara i klasa na primjeru broja s decimalnim zapisom

38 001 102 987 000 128 425:

Dakle, klase, počevši od najmlađih, imaju nazive: jedinice, hiljade, milioni, milijarde, trilioni, kvadrilioni, kvintilioni.

1.4. Bit jedinice

Svaka od klasa u notaciji prirodnih brojeva sastoji se od tri cifre. Svaki rang ima bitne jedinice. Sljedeći brojevi se nazivaju bitne jedinice:

1 - cifrena jedinica cifre jedinica,

10 - cifrena jedinica cifre desetice,

100 - bitna jedinica cifre stotine,

1 000 - bitna jedinica za hiljadu mjesta,

10.000 - cifrena jedinica desetina hiljada,

100.000 - bitna jedinica stotina hiljada,

1.000.000 je cifrana jedinica cifre miliona itd.

Broj u bilo kojoj od cifara pokazuje broj jedinica ove cifre. Dakle, broj 9, na mjestu stotina milijardi, znači da broj 38,001,102,987,000 128,425 uključuje devet milijardi (to jest, 9 puta 1,000,000,000 ili 9 bitnih jedinica milijardi). Prazna cifra od stotine kvintiliona znači da u ovom broju nema stotina kvintiliona ili je njihov broj jednak nuli. U ovom slučaju, broj 38 001 102 987 000 128 425 može se napisati na sljedeći način: 038 001 102 987 000 128 425.

Možete napisati drugačije: 000 038 001 102 987 000 128 425. Nule na početku broja označavaju prazne cifre visokog reda. Obično se ne pišu, za razliku od nula unutar decimalnog zapisa, koje nužno označavaju prazne cifre. Dakle, tri nule u klasi miliona znači da su cifre stotina miliona, desetina miliona i jedinice miliona prazne.

1.5. Skraćenice u pisanju brojeva

Prilikom pisanja prirodnih brojeva koriste se skraćenice. Evo nekoliko primjera:

1.000 = 1 hiljada (hiljada)

23.000.000 = 23 miliona (dvadeset tri miliona)

5.000.000.000 = 5 milijardi (pet milijardi)

203,000,000,000,000 = 203 triliona (dvesta tri triliona)

107.000.000.000.000.000 = 107 sqd. (sto sedam kvadriliona)

1.000.000.000.000.000.000 = 1 kw. (jedan kvintilion)

Blok 1.1. Rječnik

Sastavite pojmovnik novih termina i definicija iz §1. Da biste to učinili, u prazne ćelije unesite riječi sa liste pojmova ispod. U tabeli (na kraju bloka) navedite za svaku definiciju broj pojma sa liste.

Blok 1.2. Samoobuka

U svetu velikih brojeva

Ekonomija .

1. Budžet Rusije za narednu godinu iznosiće: 6328251684128 rubalja.
2. Planirani troškovi za ovu godinu: 5124983252134 rubalja.
3. Prihodi zemlje premašili su rashode za 1203268431094 rubalja.

Pitanja i zadaci

1. Pročitaj sva tri data broja
2. Napišite cifre u klasi miliona svakog od tri broja

1. Koji dio u svakom od brojeva pripada cifri na sedmoj poziciji od kraja zapisa brojeva?
2. Koliki broj bitnih jedinica prikazuje broj 2 u prvom broju?... u drugom i trećem broju?
3. Imenujte bitnu jedinicu za osmu poziciju s kraja u zapisu tri broja.

Geografija (dužina)

1. Ekvatorijalni poluprečnik Zemlje: 6378245 m
2. Obim ekvatora: 40075696 m
3. Najveća dubina svetskog okeana (Marijanski rov u Tihom okeanu) 11500 m

Pitanja i zadaci

1. Pretvorite sve tri vrijednosti u centimetre i pročitajte rezultirajuće brojeve.
2. Za prvi broj (u cm) zapišite brojeve u odjeljcima:

stotine hiljada _______

desetine miliona _______

hiljade _______

milijarde _______

stotine miliona _______

1. Za drugi broj (u cm) zapišite bitne jedinice koje odgovaraju brojevima 4, 7, 5, 9 u unosu broja

1. Pretvorite treću vrijednost u milimetre, pročitajte rezultirajući broj.
2. Za sve pozicije u zapisu trećeg broja (u mm) navedite cifre i jedinice cifara u tabeli:

Geografija (kvadrat)

1. Površina cijele površine Zemlje je 510.083 hiljade kvadratnih kilometara.
2. Površina suma na Zemlji je 148.628 hiljada kvadratnih kilometara.
3. Površina Zemljine vodene površine je 361.455 hiljada kvadratnih kilometara.

Pitanja i zadaci

1. Pretvorite sve tri vrijednosti u kvadratne metre i pročitajte rezultirajuće brojeve.
2. Imenujte klase i rangove koji odgovaraju brojkama koje nisu nula u zapisu ovih brojeva (u kvadratnom M).
3. U unosu trećeg broja (u kvadratnom M) navedite bitne jedinice koje odgovaraju brojevima 1, 3, 4, 6.
4. U dva unosa druge vrijednosti (u kvadratnim km i kvadratnim m) označite kojim ciframa pripada broj 2.
5. Zapišite bitne jedinice za broj 2 u zapisima druge vrijednosti.

Blok 1.3. Dijalog sa kompjuterom.

Poznato je da se veliki brojevi često koriste u astronomiji. Navedimo primjere. Prosječna udaljenost Mjeseca od Zemlje je 384 hiljade km. Udaljenost Zemlje od Sunca (prosjek) je 149504 hiljada km, Zemlje od Marsa je 55 miliona km. Na računaru, koristeći Word uređivač teksta, kreirajte tabele tako da svaka cifra u zapisu naznačenih brojeva bude u posebnoj ćeliji (ćeliji). Da biste to uradili, izvršite komande na traci sa alatkama: tabela → dodajte tabelu → broj redova (stavite „1” kursorom) → broj kolona (izračunajte sami). Kreirajte tabele za druge brojeve (blok "Samopriprema").

Blok 1.4. Štafeta velikih brojeva

Prvi red tabele sadrži veliki broj. Čitati. Zatim dovršite zadatke: pomicanjem brojeva u unosu broja udesno ili ulijevo, dobijete sljedeće brojeve i pročitajte ih. (Ne pomerajte nule na kraju broja!). Na času, štafeta se može izvesti tako što ćete je prenijeti jedni drugima.

Linija 2 . Pomerite sve cifre broja u prvom redu ulevo kroz dve ćelije. Zamijenite brojeve 5 brojem koji slijedi. Popunite prazne ćelije nulama. Pročitaj broj.

Linija 3 . Pomerite sve cifre broja u drugom redu udesno kroz tri ćelije. Zamijenite brojeve 3 i 4 u unosu brojeva sljedećim brojevima. Popunite prazne ćelije nulama. Pročitaj broj.

Linija 4. Pomerite sve cifre broja u redu 3 za jednu ćeliju ulevo. Promijenite broj 6 u klasi triliona u prethodni, a u klasi milijardi na sljedeći broj. Popunite prazne ćelije nulama. Pročitajte dobijeni broj.

Linija 5 . Pomerite sve cifre broja u redu 4 za jednu ćeliju udesno. Broj 7 na mjestu “desetine hiljada” zamijenite prethodnim, a na mjestu “desetine miliona” sljedećim. Pročitajte dobijeni broj.

Linija 6 . Pomaknite sve cifre broja u redu 5 ulijevo nakon 3 ćelije. Promijenite broj 8 na mjestu stotina milijardi na prethodni, a broj 6 na mjestu stotina miliona na sljedeći broj. Popunite prazne ćelije nulama. Izračunajte rezultirajući broj.

Linija 7 . Pomerite sve cifre broja u redu 6 udesno za jednu ćeliju. Zamijenite cifre na desetine kvadriliona i desetine milijardi mjesta. Pročitajte dobijeni broj.

Linija 8 . Pomerite sve cifre broja u redu 7 ulevo kroz jednu ćeliju. Zamijenite cifre na kvintilion i kvadrilion mjesta. Popunite prazne ćelije nulama. Pročitajte dobijeni broj.

Linija 9 . Pomerite sve cifre broja u redu 8 udesno kroz tri ćelije. Zamijenite dva susjedna broja u brojevnom redu iz klasa miliona i triliona. Pročitajte dobijeni broj.

Linija 10 . Pomerite sve cifre broja u redu 9 jednu ćeliju udesno. Pročitajte dobijeni broj. Istaknite brojeve koji označavaju godinu Moskovske olimpijade.

Blok 1.5. zaigrajmo

Zapali vatru

Igralište je slika božićnog drvca. Ima 24 sijalice. Ali samo 12 njih je priključeno na električnu mrežu. Da biste odabrali povezane lampe, morate ispravno odgovoriti na pitanja riječima "Da" ili "Ne". Ista igra se može igrati i na računaru, tačan odgovor „zapali“ sijalicu.

1. Da li je tačno da su brojevi posebni znakovi za pisanje prirodnih brojeva? (1 - da, 2 - ne)
2. Da li je tačno da je 0 najmanji prirodan broj? (3 - da, 4 - ne)
3. Da li je tačno da u pozicijskom brojevnom sistemu ista cifra može označavati različite brojeve? (5 - da, 6 - ne)
4. Da li je tačno da se određeno mjesto u decimalnom zapisu brojeva naziva mjestom? (7 - da, 8 - ne)
5. S obzirom na broj 543 384. Da li je tačno da je broj najznačajnijih cifara u njemu 543, a najmanjih 384? (9 - da, 10 - ne)
6. Da li je tačno da u klasi milijardi najstarija bitna jedinica ima sto milijardi, a najmlađa milijardu? (11 - da, 12 - ne)
7. Dat je broj 458 121. Da li je tačno da je zbir broja najznačajnijih cifara i broja najmanje značajnih 5? (13 - da, 14 - ne)
8. Je li istina da je najstarija jedinica klase trilion milion puta veća od najstarije jedinice klase milion? (15 - da, 16 - ne)
9. Data su dva broja 637508 i 831. Da li je tačno da je najznačajnija 1 prvog broja 1000 puta najznačajnija 1 drugog broja? (17 - da, 18 - ne)
10. Dat je broj 432. Da li je tačno da je najznačajnija bitna jedinica ovog broja 2 puta veća od najmlađe? (19 - da, 20 - ne)
11. S obzirom na broj 100 000 000. Je li istina da je broj bitnih jedinica koje u njemu čine 10 000 1000? (21 - da, 22 - ne)
12. Da li je tačno da klasi triliona prethodi klasa kvadriliona, a da klasi kvintiliona prethodi ta klasa? (23 - da, 24 - ne)

1.6. Iz istorije brojeva

Od davnina se čovjek suočava s potrebom da broji stvari, uporedi broj predmeta (npr. pet jabuka, sedam strijela...; u plemenu je 20 muškaraca i trideset žena,... ). Postojala je i potreba za uspostavljanjem reda unutar određenog broja objekata. Na primjer, u lovu, vođa plemena ide prvi, najjači ratnik plemena dolazi drugi itd. U te svrhe korišteni su brojevi. Za njih su izmišljena posebna imena. U govoru se nazivaju brojevima: jedan, dva, tri itd. su kardinalni brojevi, a prvi, drugi, treći su redni brojevi. Brojevi su pisani pomoću posebnih znakova - brojeva.

Vremenom ih je bilo sistemi brojeva. To su sistemi koji uključuju načine za pisanje brojeva i razne akcije na njima. Najstariji poznati brojevni sistemi su egipatski, vavilonski i rimski sistem brojeva. U Rusiji su se u starim vremenima za pisanje brojeva koristila slova abecede sa posebnim znakom ~ (titlo). Dekadski brojevni sistem je trenutno najrasprostranjeniji. U širokoj upotrebi, posebno u kompjuterskom svetu, su binarni, oktalni i heksadecimalni sistemi brojeva.

Dakle, za pisanje istog broja možete koristiti različite znakove - brojeve. Dakle, broj četiri stotine dvadeset i pet može se napisati egipatskim brojevima - hijeroglifima:

Ovo je egipatski način pisanja brojeva. Isti broj rimskim brojevima: CDXXV(rimski način pisanja brojeva) ili decimalne cifre 425 (decimalni zapis brojeva). U binarnoj notaciji to izgleda ovako: 110101001 (binarni ili binarni zapis brojeva), au oktalnom - 651 (oktalni zapis brojeva). U heksadecimalnom zapisu biće zapisano: 1A9(heksadecimalni zapis). Možete to učiniti vrlo jednostavno: napravite, poput Robinzona Crusoea, četiri stotine dvadeset i pet zareza (ili poteza) na drvenom stupu - IIIIIIIII…... III. Ovo su prve slike prirodnih brojeva.

Dakle, u decimalnom sistemu pisanja brojeva (na decimalni način pisanja brojeva) koriste se arapski brojevi. Ovo je deset različitih znakova - brojeva: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . U binarnom, dvije binarne cifre: 0, 1; u oktalnom - osam oktalnih cifara: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; heksadecimalno - šesnaest različitih heksadecimalnih cifara: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F; u seksagezimskom (babilonskom) - šezdeset različitih znakova - brojevi, itd.)

Decimale su u evropske zemlje stigle sa Bliskog istoka, arapskih zemalja. Otuda i naziv - arapski brojevi. Ali Arapima su došli iz Indije, gdje su izmišljeni sredinom prvog milenijuma.

1.7. Rimski numerički sistem

Jedan od drevnih brojevnih sistema koji se danas koristi je rimski sistem. U tabeli dajemo glavne brojeve rimskog numeričkog sistema i odgovarajuće brojeve decimalnog sistema.

Rimski numerički sistem je sistem sabiranja. U njemu, za razliku od pozicijskih sistema (na primjer, decimalnog), svaka znamenka označava isti broj. Da, zapis II- označava broj dva (1 + 1 = 2), zapis III- broj tri (1 + 1 + 1 = 3), zapis XXX- broj trideset (10 + 10 + 10 = 30) itd. Sljedeća pravila vrijede za pisanje brojeva.

1. Ako je manji broj poslije veći, onda se dodaje većem: VII- broj sedam (5 + 2 = 5 + 1 + 1 = 7), XVII- broj sedamnaest (10 + 7 = 10 + 5 + 1 + 1 = 17), MCL- broj hiljadu sto pedeset (1000 + 100 + 50 = 1150).
2. Ako je manji broj prije veće, onda se oduzima od većeg: IX- broj devet (9 = 10 - 1), LM- broj devetsto pedeset (1000 - 50 = 950).

Da biste pisali velike brojeve, morate koristiti (izmisliti) nove znakove - brojeve. Istovremeno, unosi brojeva pokazuju se glomaznim, vrlo je teško izvršiti proračune s rimskim brojevima. Dakle, godina lansiranja prvog vještačkog satelita Zemlje (1957.) u rimskoj notaciji ima oblik MCMLVII .

Blok 1. 8. Bušena kartica

Čitanje prirodnih brojeva

Ovi zadaci se provjeravaju pomoću mape s kružićima. Objasnimo njegovu primjenu. Nakon što završite sve zadatke i nađete tačne odgovore (označeni su slovima A, B, C itd.), stavite list prozirnog papira na karticu. Označite tačne odgovore oznakama “X” na njemu, kao i kombinacijom “+”. Zatim položite prozirni list na stranicu tako da se oznake poravnanja podudaraju. Ako su sve oznake "X" u sivim krugovima na ovoj stranici, onda su zadaci ispravno obavljeni.

1.9. Redoslijed čitanja prirodnih brojeva

Prilikom čitanja prirodnog broja postupite na sljedeći način.

1. Mentalno razbijte broj na trojke (klase) s desna na lijevo, od kraja unosa broja.

1. Počevši od mlađeg razreda, s desna na lijevo (od kraja unosa broja), zapisuju nazive klasa: jedinice, hiljade, milioni, milijarde, trilioni, kvadrilioni, kvintilioni.
2. Pročitajte broj, počevši od srednje škole. U ovom slučaju se pozivaju broj bitnih jedinica i naziv klase.
3. Ako je cifra nula (cifra je prazna), onda se ne poziva. Ako su sve tri cifre pozvane klase nule (cifre su prazne), onda se ova klasa ne poziva.

Pročitajmo (ime) broj upisan u tabeli (vidi § 1), prema koracima 1 - 4. Mentalno podijelimo broj 38001102987000128425 na klase s desna na lijevo: 038 001 102 987 000 128 425. klase u ovom broju, počevši od kraja, njegovi unosi su: jedinice, hiljade, milioni, milijarde, trilioni, kvadrilioni, kvintilioni. Sada možete pročitati broj, počevši od starijeg razreda. Imenujemo trocifrene, dvocifrene i jednocifrene brojeve, dodajući naziv odgovarajuće klase. Prazne klase se ne imenuju. Dobijamo sljedeći broj:

• 038 - trideset osam kvintiliona
• 001 - jedan kvadrilion
• 102 - sto dva triliona
• 987 - devetsto osamdeset sedam milijardi
• 000 - ne imenovati (ne čitati)
• 128 - sto dvadeset osam hiljada
• 425 - četiri stotine dvadeset pet

Kao rezultat, prirodni broj 38 001 102 987 000 128 425 čita se kako slijedi: "trideset osam kvintiliona jedan kvadrilion sto dva triliona devet stotina osamdeset sedam milijardi sto dvadeset osam hiljada četiri stotine dvadeset i pet."

1.9. Redoslijed pisanja prirodnih brojeva

Prirodni brojevi se pišu sljedećim redoslijedom.

1. Zapišite tri znamenke za svaku klasu, počevši od najviše klase do cifre jedinice. U ovom slučaju, za višu klasu brojeva mogu biti dva ili jedan.
2. Ako klasa ili rang nije imenovan, tada se nule upisuju u odgovarajuće cifre.

Na primjer, broj dvadeset pet miliona trista dva napisano u obliku: 25 000 302 (klasa hiljada nije imenovana, pa se nule upisuju u sve cifre klase hiljada).

1.10. Predstavljanje prirodnih brojeva kao zbir bitnih članova

Dajemo primjer: 7 563 429 je decimalni prikaz broja sedam miliona petsto šezdeset tri hiljade četiri stotine dvadeset devet. Ovaj broj sadrži sedam miliona, petsto hiljada, šest desetina hiljada, tri hiljade, četiri stotine, dvije desetice i devet jedinica. Može se predstaviti kao zbir: 7.563.429 \u003d 7.000.000 + 500.000 + 60.000 + + 3.000 + 400 + 20 + 9. Takav unos se naziva reprezentacija prirodnog broja kao zbir bitnih termina.

Blok 1.11. zaigrajmo

Dungeon Treasures

Na igralištu je crtež za Kiplingovu bajku "Movgli". Pet sanduka ima katance. Da biste ih otvorili, morate riješiti probleme. Istovremeno, kada otvorite drveni sanduk, dobijate jedan bod. Kada otvorite limenu škrinju, dobijate dva boda, bakarni - tri boda, srebrni - četiri, a zlatni - pet. Pobjednik je onaj ko brže otvori sve škrinje. Ista igra se može igrati na računaru.

1. drveni sanduk

Pronađite koliko novca (u hiljadama rubalja) ima u ovoj škrinji. Da biste to učinili, morate pronaći ukupan broj najmanjih bitnih jedinica klase miliona za broj: 125308453231.

1. Limeni sanduk

Pronađite koliko novca (u hiljadama rubalja) ima u ovoj škrinji. Da biste to učinili, u broju 12530845323 pronađite broj najmanjih bitnih jedinica klase jedinica i broj najmanjih bitnih jedinica klase miliona. Zatim pronađite zbir ovih brojeva i na desnoj strani pripišite broj na mjestu desetina miliona.

1. Bakarni sanduk

Da biste pronašli novac ovog sanduka (u hiljadama rubalja), u broju 751305432198203 pronađite broj jedinica sa najnižim ciframa u klasi triliona i broj jedinica najniže cifre u klasi milijardi. Zatim pronađite zbir ovih brojeva i na desnoj strani dodijelite prirodne brojeve klase jedinica ovog broja po redoslijedu njihovog rasporeda.

1. Srebrni kovčeg

Novac ovog sanduka (u milionima rubalja) biće prikazan zbirom dva broja: brojem najnižih cifarskih jedinica klase hiljada i prosečnih cifarskih jedinica klase milijarde za broj 481534185491502.

1. zlatna škrinja

S obzirom na broj 800123456789123456789. Ako pomnožimo brojeve u najvišim ciframa svih klasa ovog broja, dobićemo novac ovog sanduka u milionima rubalja.

Blok 1.12. Match

Napišite prirodne brojeve. Predstavljanje prirodnih brojeva kao zbir bitnih članova

Za svaki zadatak u lijevoj koloni odaberite rješenje iz desne kolone. Zapišite odgovor u obliku: 1a; 2g; 3b…

Opcija 2

Blok 1.13. Fasetni test

Naziv testa dolazi od riječi "složeno oko insekata". Ovo je složeno oko koje se sastoji od odvojenih "oči". Zadaci fasetnog testa formirani su od zasebnih elemenata, označenih brojevima. Obično fasetirani testovi sadrže veliki broj stavki. Ali u ovom testu postoje samo četiri zadatka, ali se sastoje od velikog broja elemenata. Ovo je učinjeno kako bi vas naučili kako da "sakupite" testove probleme. Ako ih možete sastaviti, lako ćete se nositi s drugim testovima.

Objasnimo kako se sastavljaju zadaci na primjeru trećeg zadatka. Sastoji se od testnih elemenata označenih brojevima: 1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 9, 10, 16, 17, 22, 21, 25

« Ako» 1) uzeti brojeve iz tabele (broj); 4) 7; 7) stavite ga u kategoriju; 11) milijardi; 1) uzmite broj iz tabele; 5) 8; 7) postavite ga u redove; 9) desetine miliona; 10) stotine miliona; 16) stotine hiljada; 17) desetine hiljada; 22) stavite brojeve 9 i 6 na mesta hiljada i stotina. 21) popunite preostale znamenke nulama; " TO» 26) dobijamo broj jednak vremenu (periodu) okretanja planete Pluton oko Sunca u sekundama (s); " Ovaj broj je»: 7880889600 s. U odgovorima je to označeno slovom "V".

Prilikom rješavanja zadataka olovkom upišite brojeve u ćelije tabele.

Fasetni test. Izmisli broj

Tabela sadrži brojeve:

Ako

1) uzmi broj (brojeve) iz tabele:

2) 4; 3) 5; 4) 7; 5) 8; 6) 9;

7) stavi ovu cifru (brojeve) u kategoriju (cifre);

8) stotine kvadriliona i desetine kvadriliona;

9) desetine miliona;

10) stotine miliona;

11) milijardi;

12) kvintiliona;

13) desetine kvintiliona;

14) stotine kvintiliona;

15) trilion;

16) stotine hiljada;

17) desetine hiljada;

18) popuni razred (odeljenja) njome (njima);

19) kvintiliona;

20) milijardi;

21) preostale cifre popuniti nulama;

22) stavite brojeve 9 i 6 na mesta hiljada i stotina;

23) dobijamo broj jednak masi Zemlje u desetinama tona;

24) dobijamo broj približno jednak zapremini Zemlje u kubnim metrima;

25) dobijamo broj jednak udaljenosti (u metrima) od Sunca do najudaljenije planete Sunčevog sistema Plutona;

26) dobijamo broj jednak vremenu (periodu) okretanja planete Pluton oko Sunca u sekundama (s);

Ovaj broj je:

a) 5929000000000

b) 999990000000000000000

d) 598000000000000000000

Riješiti probleme:

1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23

1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24

1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26

1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25

Odgovori

1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23 - g

1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24 - b

1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26 - in

1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25 - a

Prirodni brojevi su jedan od najstarijih matematičkih pojmova.

U davnoj prošlosti ljudi nisu znali brojeve, a kada su trebali prebrojati predmete (životinje, ribe itd.), radili su to drugačije nego mi sada.

Broj predmeta je upoređivan sa delovima tela, na primer, sa prstima na ruci, i rekli su: „Imam orašastih plodova koliko ima prstiju na ruci“.

Vremenom su ljudi shvatili da pet oraha, pet koza i pet zečeva imaju zajedničku imovinu - njihov broj je pet.

Zapamtite!

Integers su brojevi, koji počinju sa 1, dobijeni prebrojavanjem objekata.

1, 2, 3, 4, 5…

najmanji prirodni broj — 1 .

najveći prirodni broj ne postoji.

Prilikom brojanja, broj nula se ne koristi. Stoga se nula ne smatra prirodnim brojem.

Ljudi su mnogo kasnije naučili pisati brojeve nego brojati. Prije svega, počeli su predstavljati jedinicu s jednim štapom, zatim s dva štapa - brojem 2, s tri - brojem 3.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Tada su se pojavili posebni znakovi za označavanje brojeva - preteča modernih brojeva. Brojevi koje koristimo za pisanje brojeva nastali su u Indiji prije otprilike 1500 godina. Arapi su ih donijeli u Evropu, tako ih zovu arapski brojevi.

Ukupno ima deset cifara: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ove cifre se mogu koristiti za pisanje bilo kojeg prirodnog broja.

Zapamtite!

prirodne serije je niz svih prirodnih brojeva:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

U prirodnom nizu svaki broj je veći od prethodnog za 1.

Prirodni niz je beskonačan, u njemu nema najvećeg prirodnog broja.

Sistem brojanja koji koristimo se zove decimalni položaj.

Decimalno jer 10 jedinica svake cifre formira 1 jedinicu najznačajnije cifre. Poziciona jer vrijednost cifre zavisi od njenog mjesta u zapisu broja, odnosno od cifre u kojoj je napisan.

Bitan!

Klase koje slijede nakon milijarde su imenovane prema latinskim nazivima brojeva. Svaka naredna jedinica sadrži hiljadu prethodnih.

• 1.000 milijardi = 1.000.000.000.000 = 1 trilion („tri“ je latinski za „tri“)
• 1.000 triliona = 1.000.000.000.000.000 = 1 kvadrilion ("quadra" je latinski za "četiri")
• 1.000 kvadriliona = 1.000.000.000.000.000.000 = 1 kvintilion („quinta“ je latinski za „pet“)

Međutim, fizičari su pronašli broj koji premašuje broj svih atoma (najmanjih čestica materije) u cijelom svemiru.

Ovaj broj ima poseban naziv - googol. Gugol je broj koji ima 100 nula.

Integers

Definicija prirodnih brojeva su pozitivni cijeli brojevi. Prirodni brojevi se koriste za brojanje objekata i za mnoge druge svrhe. Evo brojeva:

Ovo je prirodan niz brojeva.
Nula je prirodan broj? Ne, nula nije prirodan broj.
Koliko prirodnih brojeva ima? Postoji beskonačan skup prirodnih brojeva.
Koji je najmanji prirodan broj? Jedan je najmanji prirodan broj.
Koji je najveći prirodni broj? Ne može se specificirati, jer postoji beskonačan skup prirodnih brojeva.

Zbir prirodnih brojeva je prirodan broj. Dakle, sabiranje prirodnih brojeva a i b:

Proizvod prirodnih brojeva je prirodan broj. Dakle, proizvod prirodnih brojeva a i b:

c je uvijek prirodan broj.

Razlika prirodnih brojeva Ne postoji uvijek prirodan broj. Ako je minus veći od oduzetog, onda je razlika prirodnih brojeva prirodan broj, inače nije.

Količnik prirodnih brojeva Ne postoji uvijek prirodan broj. Ako za prirodne brojeve a i b

gdje je c prirodan broj, to znači da je a jednako djeljiv sa b. U ovom primjeru, a je dividenda, b je djelitelj, c je količnik.

Delitelj prirodnog broja je prirodan broj kojim je prvi broj jednako djeljiv.

Svaki prirodan broj je djeljiv sa 1 i sam sa sobom.

Prosti prirodni brojevi su djeljivi samo sa 1 i sami sa sobom. Ovdje mislimo na potpuno podijeljeno. Primjer, brojevi 2; 3; 5; 7 je samo djeljivo sa 1 i samim sobom. Ovo su jednostavni prirodni brojevi.

Jedan se ne smatra prostim brojem.

Brojevi koji su veći od jedan i koji nisu prosti nazivaju se složeni brojevi. Primjeri složenih brojeva:

Jedan se ne smatra složenim brojem.

Skup prirodnih brojeva sastoji se od jedan, prostih i složenih brojeva.

Skup prirodnih brojeva označava se latiničnim slovom N.

Svojstva sabiranja i množenja prirodnih brojeva:

komutativno svojstvo sabiranja

asocijativno svojstvo sabiranja

(a + b) + c = a + (b + c);

komutativno svojstvo množenja

asocijativno svojstvo množenja

(ab)c = a(bc);

distributivno svojstvo množenja

A (b + c) = ab + ac;

Cijeli brojevi

Cijeli brojevi su prirodni brojevi, nula i suprotni prirodni brojevi.

Brojevi suprotni prirodnim brojevima su negativni cijeli brojevi, na primjer:

1; -2; -3; -4;...

Skup cijelih brojeva je označen latiničnim slovom Z.

Racionalni brojevi

Racionalni brojevi su cijeli brojevi i razlomci.

Svaki racionalni broj se može predstaviti kao periodični razlomak. primjeri:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Iz primjera se može vidjeti da je svaki cijeli broj periodični razlomak s periodom nula.

Svaki racionalni broj može se predstaviti kao razlomak m/n, gdje je m cijeli broj, a n prirodan broj. Predstavimo broj 3,(6) iz prethodnog primjera kao takav razlomak.

Prirodni brojevi i njihova svojstva

Prirodni brojevi se koriste za brojanje objekata u životu. Bilo koji prirodni broj koristi cifre $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$

Niz prirodnih brojeva, u kojem je svaki sljedeći broj za $1$ veći od prethodnog, formira prirodni niz, koji počinje s jedan (jer je jedan najmanji prirodan broj) i nema najveću vrijednost, tj. beskrajno.

Nula se ne smatra prirodnim brojem.

Sljedeća svojstva odnosa

Sva svojstva prirodnih brojeva i operacije nad njima proizlaze iz četiri svojstva relacija niza, koje je u $1891$ formulirao D. Peano:

Jedan je prirodan broj koji ne slijedi nijedan prirodni broj.

Svaki prirodni broj prati jedan i samo jedan broj

Svaki prirodni broj osim $1$ slijedi jedan i samo jedan prirodni broj

Podskup prirodnih brojeva koji sadrži broj $1$, i zajedno sa svakim brojem sljedeći broj, sadrži sve prirodne brojeve.

Ako se zapis prirodnog broja sastoji od jedne cifre, naziva se jednocifrenim (na primjer, $2,6,9$, itd.), ako se zapis sastoji od dvije znamenke, naziva se dvocifrenim (na primjer, 12,18 $ .45$), itd. Slično. Dvocifrene, trocifrene, četvorocifrene itd. brojevi se u matematici nazivaju višeznačnim.

Svojstvo sabiranja prirodnih brojeva

Komutativno svojstvo: $a+b=b+a$

Zbir se ne mijenja kada se termini preurede

Asocijativno svojstvo: $a+ (b+c) =(a+b) +c$

Da biste broju dodali zbir dva broja, prvo možete dodati prvi član, a zatim, rezultirajućem zbiru, drugi član

Dodavanjem nule ne mijenja se broj, a ako dodate bilo koji broj nuli, dobićete dodani broj.

svojstva oduzimanja

Svojstvo oduzimanja sume od broja $a-(b+c) =a-b-c$ ako je $b+c ≤ a$

Da biste od broja oduzeli zbroj, od ovog broja možete prvo oduzeti prvi član, a zatim od nastale razlike drugi član

Svojstvo oduzimanja broja od zbira $(a+b) -c=a+(b-c)$ ako je $c ≤ b$

Da biste oduzeli broj od zbroja, možete ga oduzeti od jednog člana, a rezultujućoj razlici dodati drugi član

Ako od broja oduzmete nulu, broj se neće promijeniti.

Ako ga oduzmete od samog broja, dobićete nulu

Svojstva množenja

Pomak $a\cdot b=b\cdot a$

Proizvod dva broja se ne mijenja kada se faktori preurede

Asocijativni $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$

Da biste broj pomnožili umnoškom dva broja, prvo ga možete pomnožiti s prvim faktorom, a zatim pomnožiti dobiveni proizvod s drugim faktorom

Kada se pomnoži sa jedan, proizvod se ne mijenja $m\cdot 1=m$

Kada se pomnoži sa nulom, proizvod je nula

Kada u zapisu proizvoda nema zagrada, množenje se izvodi redom s lijeva na desno

Svojstva množenja u odnosu na sabiranje i oduzimanje

Distributivno svojstvo množenja u odnosu na sabiranje

$(a+b)\cdot c=ac+bc$

Da biste zbroj pomnožili brojem, možete svaki član pomnožiti s ovim brojem i dodati dobijene proizvode

Na primjer, $5(x+y)=5x+5y$

Distributivno svojstvo množenja u odnosu na oduzimanje

$(a-b)\cdot c=ac-bc$

Da biste razliku pomnožili brojem, pomnožite minus i oduzmite ovim brojem i oduzmite drugi od prvog proizvoda

Na primjer, $5(x-y)=5x-5y$

Poređenje prirodnih brojeva

Za bilo koje prirodne brojeve $a$ i $b$, samo jedna od tri relacije $a=b$, $a

Manji broj je onaj koji se pojavljuje ranije u prirodnoj seriji, a veći koji se pojavljuje kasnije. Nula je manja od bilo kojeg prirodnog broja.

Primjer 1

Uporedite brojeve $a$ i $555$, ako je poznato da postoji neki broj $b$, i vrijede sljedeće relacije: $a

Rješenje: Na osnovu navedenog svojstva, jer po uslovu $a

svaki podskup prirodnih brojeva koji sadrži barem jedan broj ima najmanji broj

Podskup u matematici je dio skupa. Za skup se kaže da je podskup drugog ako je svaki element podskupa ujedno i element većeg skupa.

Često, da bi uporedili brojeve, pronađu njihovu razliku i uporede je sa nulom. Ako je razlika veća od $0$, ali je prvi broj veći od drugog, ako je razlika manja od $0$, tada je prvi broj manji od drugog.

Zaokruživanje prirodnih brojeva

Kada puna preciznost nije potrebna ili nije moguća, brojevi se zaokružuju, odnosno zamjenjuju se bliskim brojevima sa nulama na kraju.

Prirodni brojevi se zaokružuju na desetice, stotine, hiljade itd.

Kada se broj zaokružuje na desetice, zamjenjuje se najbližim brojem koji se sastoji od cijelih desetica; takav broj ima cifru $0$ na mjestu jedinica

Kada se broj zaokružuje na stotine, zamjenjuje se najbližim brojem koji se sastoji od cijelih stotina; takav broj bi trebao imati cifru $0$ na mjestu desetica i jedinica. itd

Brojevi na koje se zaokružuje zadati nazivaju se približna vrijednost broja sa tačnošću navedenih cifara.Na primjer, ako zaokružite broj $564$ na desetice, dobijamo da ga možete zaokružiti sa nedostatkom i dobiti $560 $, ili sa viškom i dobijete $570$.

Pravilo zaokruživanja prirodnih brojeva

Ako je desno od cifre na koju je broj zaokružen cifra $5$ ili cifra veća od $5$, tada se cifri ove cifre dodaje $1$; inače, ova brojka ostaje nepromijenjena.

Sve cifre koje se nalaze desno od cifre na koju je broj zaokružen zamjenjuju se nulama

Definicija

Prirodnim brojevima nazivaju se brojevi namijenjeni prebrojavanju objekata. Za snimanje prirodnih brojeva koristi se 10 arapskih brojeva (0–9), koji čine osnovu decimalnog brojevnog sistema opšteprihvaćenog za matematička izračunavanja.

Niz prirodnih brojeva

Prirodni brojevi čine niz koji počinje od 1 i pokriva skup svih pozitivnih cijelih brojeva. Takav niz se sastoji od brojeva 1,2,3, ... . To znači da u prirodnom nizu:

1. Postoji najmanji broj i nema najveći.
2. Svaki sljedeći broj je veći od prethodnog za 1 (izuzetak je sama jedinica).
3. Kako brojevi idu u beskonačnost, tako rastu beskonačno.

Ponekad se u niz prirodnih brojeva uvede i 0. To je dozvoljeno, a onda se priča o tome produženo prirodne serije.

Klase prirodnih brojeva

Svaka cifra prirodnog broja izražava određenu cifru. Posljednji je uvijek broj jedinica u broju, jedan prije njega je broj desetica, treći s kraja je broj stotina, četvrti je broj hiljada, itd.

• u broju 276: 2 stotine, 7 desetica, 6 jedinica
• u broju 1098: 1 hiljada, 9 desetica, 8 jedinica; mjesto stotine ovdje nema, jer je izraženo kao nula.

Za velike i vrlo velike brojeve možete uočiti stabilan trend (ako pogledate broj s desna na lijevo, odnosno od posljednje cifre do prve):

• posljednje tri cifre u broju su jedinice, desetice i stotine;
• prethodne tri su jedinice, desetine i stotine hiljada;
• tri ispred njih (tj. 7., 8. i 9. cifra broja, računajući od kraja) su jedinice, desetine i stotine miliona itd.

Odnosno, svaki put imamo posla sa tri cifre, što znači jedinicama, deseticama i stotinama većeg imena. Takve grupe formiraju razrede. A ako se sa prva tri razreda u svakodnevnom životu češće ili rjeđe suočavate, onda treba navesti druge, jer ne pamte svi njihova imena napamet.

• 4. klasa, koja prati klasu miliona i predstavlja brojeve od 10-12 cifara, naziva se milijarda (ili milijarda);
• 5. razred - bilion;
• 6. razred - kvadrilion;
• 7. razred - kvintilion;
• 8. razred - sekstilion;
• 9. razred - septilion.

Sabiranje prirodnih brojeva

Zbrajanje prirodnih brojeva je aritmetička operacija koja vam omogućava da dobijete broj koji sadrži onoliko jedinica koliko ih ima u zbrojenim brojevima.

Znak sabiranja je znak "+". Dodati brojevi se nazivaju pojmovi, a rezultat se naziva zbir.

Mali brojevi se usmeno zbrajaju (sabiraju), a u pisanom obliku takve radnje se ispisuju u red.

Višecifreni brojevi, koje je teško sabrati u umu, obično se dodaju u kolonu. Za to se brojevi pišu jedan ispod drugog, poravnati sa posljednjom cifrom, odnosno pišu cifru jedinice ispod cifre jedinice, cifru stotine ispod cifre stotine itd. Zatim morate dodati cifre u parovima. Ako se zbrajanje cifara dogodi s prijelazom kroz deseticu, tada je ova desetica fiksirana kao jedinica iznad cifre s lijeve strane (odnosno, nakon nje) i zbraja se zajedno sa znamenkama ove znamenke.

Ako se u kolonu dodaju ne 2, već više brojeva, onda kada se zbrajaju znamenke kategorije, ne 1 tucet, već nekoliko, može biti suvišno. U ovom slučaju, broj takvih desetica se prenosi na sljedeću znamenku.

Oduzimanje prirodnih brojeva

Oduzimanje je aritmetička operacija, obrnuto sabiranje, koja se svodi na činjenicu da, s obzirom na količinu i jedan od članova, morate pronaći drugi - nepoznati pojam. Broj od kojeg se oduzima naziva se minus; broj koji se oduzima je oduzeti. Rezultat oduzimanja naziva se razlika. Znak koji označava operaciju oduzimanja je "-".

U prijelazu na sabiranje, oduzimanje i razlika se pretvaraju u članove, a svedeno u zbir. Sabiranje obično provjerava ispravnost izvršenog oduzimanja, i obrnuto.

Ovdje 74 je minus, 18 je oduzetak, 56 je razlika.

Preduvjet za oduzimanje prirodnih brojeva je sljedeći: minus mora nužno biti veći od oduzetog. Samo u ovom slučaju rezultirajuća razlika će također biti prirodan broj. Ako se akcija oduzimanja izvodi za prošireni prirodni niz, tada je dozvoljeno da je minus jednak oduzetom. I rezultat oduzimanja u ovom slučaju bit će 0.

Napomena: ako je oduzimanje jednak nuli, tada operacija oduzimanja ne mijenja vrijednost minuenda.

Oduzimanje višecifrenih brojeva obično se vrši u koloni. Zapišite brojeve na isti način kao za sabiranje. Oduzimanje se vrši za odgovarajuće cifre. Ako se ispostavi da je minuend manji od oduzetog, onda se od prethodne (s lijeve strane) cifre uzima jedan, koji se nakon prijenosa prirodno pretvara u 10. Ova desetica se zbraja sa cifrom smanjene zadata cifra, a zatim oduzeta. Nadalje, pri oduzimanju sljedeće znamenke potrebno je uzeti u obzir da je smanjeno postalo za 1 manje.

Proizvod prirodnih brojeva

Proizvod (ili množenje) prirodnih brojeva je aritmetička operacija, koja se sastoji od pronalaženja zbira proizvoljnog broja identičnih članova. Za snimanje operacije množenja koristite znak "·" (ponekad "×" ili "*"). Na primjer: 3 5=15.

Akcija množenja je neophodna kada je potrebno sabrati veliki broj članova. Na primjer, ako trebate sabrati broj 4 7 puta, tada je množenje 4 sa 7 lakše nego sabrati: 4+4+4+4+4+4+4.

Brojevi koji se množe nazivaju se faktori, a rezultat množenja je proizvod. U skladu s tim, termin "rad" može, ovisno o kontekstu, izraziti i proces umnožavanja i njegov rezultat.

Višecifreni brojevi se množe u koloni. Za ovaj broj se piše na isti način kao za sabiranje i oduzimanje. Preporučuje se da prvo (iznad) napišete koji od 2 broja, koji je duži. U ovom slučaju, proces množenja će biti jednostavniji, a samim tim i racionalniji.

Prilikom množenja u koloni, znamenke svake od cifara drugog broja uzastopno se množe sa znamenkama prvog broja, počevši od njegovog kraja. Nakon što su pronašli prvi takav rad, zapisuju broj jedinica i imaju na umu broj desetica. Prilikom množenja znamenke 2. broja sa sljedećom znamenkom 1. broja, umnošku se dodaje broj koji se ima na umu. I opet zapisuju broj jedinica dobivenog rezultata i pamte broj desetica. Prilikom množenja sa posljednjom cifrom 1. broja, tako dobijeni broj se upisuje u cijelosti.

Rezultati množenja cifara 2. znamenke drugog broja upisuju se u drugi red, pomičući ga za 1 ćeliju udesno. I tako dalje. Kao rezultat, dobiće se "merdevine". Sve rezultirajuće redove brojeva treba dodati (prema pravilu sabiranja u koloni). Prazne ćelije treba smatrati ispunjenim nulama. Dobijeni zbroj je konačni proizvod.

Bilješka

1. Proizvod bilo kojeg prirodnog broja sa 1 (ili 1 sa brojem) jednak je samom broju. Na primjer: 376 1=376; 1 86=86.
2. Kada je jedan od faktora ili oba faktora jednak 0, tada je proizvod jednak 0. Na primjer: 32·0=0; 0 845=845; 0 0=0.

Podjela prirodnih brojeva

Dijeljenje se naziva aritmetičkom operacijom, uz pomoć koje se prema poznatom umnošku i jednom od faktora može pronaći drugi - nepoznat - faktor. Dijeljenje je obrnuto od množenja i koristi se za provjeru da li je množenje izvedeno ispravno (i obrnuto).

Broj koji se dijeli naziva se djeljivim; broj kojim se dijeli je djelitelj; rezultat dijeljenja naziva se količnik. Znak podjele je ":" (ponekad, rjeđe - "÷").

Ovdje je 48 dividenda, 6 je djelitelj, a 8 je količnik.

Ne mogu se svi prirodni brojevi međusobno podijeliti. U ovom slučaju, dijeljenje se vrši ostatkom. Sastoji se u tome da se za djelitelj odabire takav faktor tako da njegov proizvod na djelitelj bude broj koji je po vrijednosti što je moguće bliži dividendi, ali manji od nje. Delitelj se množi ovim faktorom i oduzima od dividende. Razlika će biti ostatak podjele. Umnožak djelitelja na faktor naziva se nepotpuni količnik. Pažnja: ostatak mora biti manji od odabranog množitelja! Ako je ostatak veći, to znači da je množitelj pogrešno odabran i da ga treba povećati.

Odabiremo faktor za 7. U ovom slučaju, ovaj broj je 5. Nalazimo nepotpuni količnik: 7 5 = 35. Izračunajte ostatak: 38-35=3. Od 3<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).

Višecifreni brojevi podijeljeni su u kolonu. Da biste to učinili, djelitelj i djelitelj se pišu jedan pored drugog, odvajajući djelitelj okomitom i vodoravnom linijom. U dividendi se bira prva cifra ili prvih nekoliko cifara (desno), što bi trebao biti broj koji je minimalno dovoljan za dijeljenje s djeliteljem (odnosno, ovaj broj mora biti veći od djelitelja). Za ovaj broj se bira nepotpuni količnik, kako je opisano u pravilu dijeljenja s ostatkom. Broj množitelja koji se koristi za pronalaženje parcijalnog količnika upisuje se ispod djelitelja. Nepotpuni količnik se upisuje ispod broja koji je podijeljen, desno poravnat. Pronađite njihovu razliku. Sljedeća cifra dividende se ruši upisivanjem pored ove razlike. Za rezultirajući broj ponovo se nalazi nepotpuni količnik tako što se broj odabranog faktora upisuje pored prethodnog ispod djelitelja. I tako dalje. Takve radnje se izvode sve dok ne ponestane broj dividende. Nakon toga, podjela se smatra završenom. Ako se dividenda i djelitelj podijele u potpunosti (bez ostatka), onda će posljednja razlika dati nulu. U suprotnom, preostali broj će biti vraćen.

Eksponencijacija

Eksponencijacija je matematička operacija koja se sastoji u množenju proizvoljnog broja identičnih brojeva. Na primjer: 2 2 2 2.

Takvi izrazi se pišu kao: sjekira,

Gdje a je broj pomnožen sam sa sobom x je broj takvih faktora.

Prosti i složeni prirodni brojevi

Bilo koji prirodan broj, osim 1, može se podijeliti sa najmanje 2 broja - jednim i samim sobom. Na osnovu ovog kriterija prirodni brojevi se dijele na proste i složene.

Prosti brojevi su brojevi koji su djeljivi samo sa 1 i samim sobom. Brojevi koji su djeljivi sa više od ova 2 broja nazivaju se složeni brojevi. Jedinica djeljiva samo po sebi nije ni prosta ni složena.

Brojevi su prosti: 2,3,5,7,11,13,17,19, itd. Primeri složenih brojeva: 4 (deljivo sa 1,2,4), 6 (deljivo sa 1,2,3,6), 20 (deljivo sa 1,2,4,5,10,20).

Bilo koji složeni broj može se razložiti na proste faktore. U ovom slučaju se pod prostim faktorima podrazumijevaju njegovi djelitelji, koji su prosti brojevi.

Primjer faktorizacije na osnovne faktore:

Dijelioci prirodnih brojeva

Delitelj je broj kojim se dati broj može podijeliti bez ostatka.

U skladu sa ovom definicijom, prosti prirodni brojevi imaju 2 djelitelja, složeni brojevi imaju više od 2 djelitelja.

Mnogi brojevi imaju zajedničke djelitelje. Zajednički djelitelj je broj kojim su dati brojevi djeljivi bez ostatka.

• Brojevi 12 i 15 imaju zajednički djelitelj 3
• Brojevi 20 i 30 imaju zajedničke djelitelje 2,5,10

Od posebnog značaja je najveći zajednički djelitelj (GCD). Ovaj broj je posebno koristan za pronalaženje za redukcijske razlomke. Da bismo ga pronašli, potrebno je date brojeve rastaviti na proste faktore i prikazati ih kao proizvod njihovih zajedničkih prostih faktora, uzetih u njihovim najmanjim potencijama.

Potrebno je pronaći GCD brojeva 36 i 48.

Deljivost prirodnih brojeva

Daleko od toga nije uvijek moguće odrediti "na oko" da li je jedan broj djeljiv drugim bez ostatka. U takvim slučajevima je koristan odgovarajući test djeljivosti, odnosno pravilo po kojem u nekoliko sekundi možete utvrditi da li je moguće dijeliti brojeve bez ostatka. Znak "" se koristi za označavanje djeljivosti.

Najmanji zajednički višekratnik

Ova vrijednost (označena LCM) je najmanji broj koji je djeljiv sa svakim od datih. LCM se može naći za proizvoljan skup prirodnih brojeva.

LCM, kao i GCD, ima značajno primijenjeno značenje. Dakle, LCM je ono što treba pronaći svođenjem običnih razlomaka na zajednički nazivnik.

LCM se određuje rastavljanjem datih brojeva u proste faktore. Za njegovo formiranje uzima se proizvod koji se sastoji od svakog od prisutnih (barem za 1 broj) prostih faktora predstavljenih u maksimalnom stepenu.

Potrebno je pronaći LCM brojeva 14 i 24.

Prosjek

Aritmetička sredina proizvoljnog (ali konačnog) broja prirodnih brojeva je zbir svih ovih brojeva podijeljen sa brojem članova:

Aritmetička sredina je neka prosječna vrijednost za skup brojeva.

Dati su brojevi 2,84,53,176,17,28. Potrebno je pronaći njihovu aritmetičku sredinu.