पैर एक समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ कहलाती हैं, जो एक समकोण बनाती हैं। समकोण के सम्मुख त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा कर्ण कहलाती है। कर्ण का पता लगाने के लिए, आपको पैरों की लंबाई जानने की जरूरत है।

अनुदेश

1. पायथागॉरियन प्रमेय द्वारा वर्णित अनुपात से पैरों और कर्ण की लंबाई संबंधित होती है। बीजगणितीय सूत्रीकरण: "एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण की लंबाई का वर्ग पैरों की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर होता है।" पायथागॉरियन सूत्र इस तरह दिखता है: c2 = a2 + b2, जहाँ c है कर्ण की लंबाई, a और b पैरों की लंबाई हैं।

2. पायथागॉरियन प्रमेय के अनुसार पैरों की लंबाई जानने के बाद, एक समकोण त्रिभुज का कर्ण ज्ञात करना संभव है: c \u003d ? (a2 + b2)।

3. उदाहरण। पैरों में से एक की लंबाई 3 सेमी है, दूसरे की लंबाई 4 सेमी है। उनके वर्गों का योग 25 सेमी है ?: 9 सेमी? + 16 सेमी? \u003d 25 सेमी? हमारे मामले में कर्ण की लंबाई 25 सेमी के वर्गमूल के बराबर है? - 5 सेमी इसलिए, कर्ण की लंबाई 5 सेमी है।

कर्ण एक समकोण त्रिभुज में वह भुजा है जो 90 डिग्री के कोण के विपरीत होती है। इसकी लंबाई की गणना करने के लिए, किसी एक पैर की लंबाई और त्रिकोण के तीव्र कोणों में से एक का मान जानना पर्याप्त है।

अनुदेश

1. एक समकोण त्रिभुज के प्रसिद्ध पैर और तीव्र कोण के साथ, कर्ण का आकार इस कोण के कोसाइन / साइन के पैर के अनुपात के बराबर हो सकता है, यदि यह कोण इसके विपरीत / समीप है: h \u003d C1 (या C2) / sin ?; h \u003d C1 (या C2 )/cos?. उदाहरण: कर्ण AB और समकोण C के साथ एक समकोण त्रिभुज ABC दिया जाए। मान लें कि कोण B 60 डिग्री और कोण A 30 डिग्री है। भुजा BC की लम्बाई 8 सेमी है कर्ण AB की लम्बाई ज्ञात करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, आप ऊपर प्रस्तावित विधियों में से किसी का भी उपयोग कर सकते हैं: AB = BC / cos60 = 8 सेमी AB = BC / sin30 = 8 सेमी।

कर्ण एक आयताकार की सबसे लंबी भुजा है त्रिकोण. यह समकोण के विपरीत स्थित है। एक आयताकार का कर्ण ज्ञात करने की विधि त्रिकोणयह इस बात पर निर्भर करता है कि आप किस प्रारंभिक डेटा के स्वामी हैं।

अनुदेश

1. अगर हम एक आयताकार के पैरों को जानते हैं त्रिकोण, तो आयताकार के कर्ण की लंबाई त्रिकोणपायथागॉरियन प्रमेय की मदद से पाया जा सकता है - कर्ण की लंबाई का वर्ग पैरों की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर है: c2 = a2 + b2, जहां a और b पैरों की लंबाई हैं एक आयताकार का त्रिकोण .

2. यदि हम पैरों में से एक और एक तीव्र कोण का नेतृत्व करते हैं, तो कर्ण को खोजने का सूत्र इस बात पर निर्भर करेगा कि संचालित पैर के संबंध में दिया गया कोण आसन्न (पैर के पास स्थित) या विपरीत (इसके विपरीत स्थित) है। एक शामिल कोण, कर्ण इस कोण के कोसाइन द्वारा पैर के अनुपात के बराबर है: c = a/cos?; E विपरीत कोण है, कर्ण पैर के कोण के साइन के अनुपात के बराबर है : सी = ए/पाप?

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कर्ण समकोण त्रिभुज की वह भुजा है जो समकोण के विपरीत स्थित होती है। यह एक समकोण त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा है। इसकी गणना पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करके या त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन फ़ार्मुलों के समर्थन से की जा सकती है।

अनुदेश

1. पैरों को समकोण से सटे समकोण त्रिभुज की भुजाएँ कहा जाता है। आकृति में, पैरों को AB और BC के रूप में नामित किया गया है। दोनों पैरों की लंबाई दी जाए। आइए उन्हें |AB| के रूप में निरूपित करें और |बीसी|। कर्ण |AC| की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं। इस प्रमेय के अनुसार पादों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर होता है, अर्थात् हमारे ड्राइंग के अंकन में |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2। सूत्र से हम पाते हैं कि कर्ण AC की लंबाई |AC| के रूप में पाई जाती है = ?(|एबी|^2 + |बीसी|^2) .

2. आइए एक उदाहरण देखें। माना पैरों की लंबाई |AB| = 13, |बीसी| = 21. पाइथागोरस प्रमेय से, हम पाते हैं कि |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610। कर्ण की लंबाई प्राप्त करने के लिए, आपको वर्गमूल निकालना होगा। पैरों के वर्गों का योग, मैं। संख्या 610 से: |AC| = ?610। पूर्णांकों के वर्गों की तालिका का उपयोग करके, हम पाते हैं कि संख्या 610 किसी भी पूर्णांक का पूर्ण वर्ग नहीं है। कर्ण की लंबाई का अंतिम मान प्राप्त करने के लिए, आइए मूल के चिन्ह के नीचे से पूर्ण वर्ग को स्थानांतरित करने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, हम संख्या 610 को कारकों में विघटित करते हैं। 610 = 2 * 5 * 61। आदिम संख्याओं की तालिका के अनुसार, हम देखते हैं कि 61 एक आदिम संख्या है। नतीजतन, संख्या? 610 की बाद की कमी अवास्तविक है। हमें अंतिम परिणाम मिलता है |एसी| = ?610। यदि कर्ण का वर्ग, उदाहरण के लिए, 675 था, तो ?675 = ?(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * ?3 = 15 * ?3। यदि समान कास्ट वैध है, तो एक रिवर्स चेक करें - कुल का वर्ग करें और प्रारंभिक मूल्य के साथ तुलना करें।

3. आइए हम एक पैर और उससे सटे कोने को जानते हैं। निश्चितता के लिए, इसे पैर |AB| होने दें और कोण? फिर हम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन कोसाइन के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं - कोण का कोसाइन आसन्न पैर के कर्ण के अनुपात के बराबर है। वे। हमारे अंकन में? = |एबी| / |एसी|. यहाँ से हमें कर्ण की लंबाई |AC| प्राप्त होती है = |एबी| / cos ?. यदि हम पैर जानते हैं |BC| और कोण ?, तो हम कोण की ज्या की गणना के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं - कोण की ज्या कर्ण के विपरीत पैर के अनुपात के बराबर है: पाप? = |बीसी| / |एसी|. हम पाते हैं कि कर्ण की लंबाई |AC| के रूप में पाई जाती है = |बीसी| /cos?.

4. स्पष्टता के लिए, आइए एक उदाहरण देखें। माना पैर की लंबाई |AB| = 15. और कोण? = 60 डिग्री। हमें मिलता है |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0.5 = 30। आइए देखें कि आप पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके अपना परिणाम कैसे देख सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हमें दूसरे चरण |BC| की लंबाई की गणना करने की आवश्यकता है। कोण tg की स्पर्शरेखा के लिए सूत्र का प्रयोग करना ? = |बीसी| / |AC|, हमें |BC| प्राप्त होता है = |एबी| * टीजी? \u003d 15 * टीजी 60 ° \u003d 15 *? 3। फिर हम पाइथागोरस प्रमेय लागू करते हैं, हमें 15^2 + (15 * ?3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900 मिलता है। जाँच हो चुकी है।

मददगार सलाह
कर्ण की गणना करने के बाद, जांचें कि परिणामी मान पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करता है या नहीं।

अनुदेश

यदि आपको पायथागॉरियन प्रमेय के अनुसार गणना करने की आवश्यकता है, तो निम्न एल्गोरिथम का उपयोग करें: - त्रिभुज में निर्धारित करें कि कौन सी भुजाएं पैर हैं, और कौन सी कर्ण हैं। नब्बे डिग्री का कोण बनाने वाली दो भुजाएँ पैर हैं, शेष तीसरा कर्ण है। (सेमी) - इस त्रिभुज के प्रत्येक पैर को दूसरी शक्ति तक उठाएँ, अर्थात अपने आप से गुणा करें। उदाहरण 1. यदि त्रिभुज में एक पाद 12 सेमी और दूसरा 5 सेमी है तो कर्ण की गणना करना आवश्यक है। सबसे पहले, पादों के वर्ग हैं: 12 * 12 = 144 सेमी और 5 * 5 = 25 सेमी। - अगला, वर्ग पैरों का योग निर्धारित करें। एक निश्चित संख्या है कर्ण, आपको खोजने के लिए संख्या की दूसरी शक्ति से छुटकारा पाने की आवश्यकता है लंबाईत्रिकोण के इस तरफ। ऐसा करने के लिए, वर्गमूल के नीचे से पैरों के वर्गों के योग का मान निकालें। उदाहरण 1. 144+25=169। 169 का वर्गमूल 13 होगा। इसलिए इसकी लंबाई कर्ण 13 सेंटीमीटर के बराबर

लंबाई की गणना करने का दूसरा तरीका कर्णएक त्रिकोण में साइन और कोण की शब्दावली में निहित है। परिभाषा के अनुसार: कर्ण के विपरीत पैर के कोण अल्फा की साइन। अर्थात्, आकृति को देखते हुए, sin a \u003d CB / AB। इसलिए, कर्ण AB \u003d CB / sin a। उदाहरण 2. कोण को 30 डिग्री और विपरीत पैर - 4 सेमी होने दें। आपको कर्ण खोजने की आवश्यकता है। हल: AB \u003d 4 सेमी / पाप 30 \u003d 4 सेमी / 0.5 \u003d 8 सेमी। उत्तर: लंबाई कर्ण 8 सेमी के बराबर

खोजने का एक समान तरीका कर्णएक कोण के कोसाइन की परिभाषा से। एक कोण का कोसाइन उसके समीप के पैर का अनुपात है और कर्ण. अर्थात्, cos a \u003d AC / AB, इसलिए AB \u003d AC / cos a। उदाहरण 3. त्रिभुज ABC में, AB कर्ण है, कोण BAC 60 डिग्री है, पाद AC 2 सेमी है। AB ज्ञात कीजिए।
हल: AB \u003d AC / cos 60 \u003d 2 / 0.5 \u003d 4 सेमी उत्तर: कर्ण की लंबाई 4 सेमी है।

मददगार सलाह

किसी कोण की ज्या या कोज्या का मान ज्ञात करते समय या तो ज्या और कोसाइन की तालिका या ब्रैडिस तालिका का उपयोग करें।

टिप 2: एक समकोण त्रिभुज में कर्ण की लंबाई कैसे ज्ञात करें

कर्ण को एक समकोण त्रिभुज में भुजाओं में सबसे लंबा कहा जाता है, इसलिए यह आश्चर्य की बात नहीं है कि इस शब्द का अनुवाद ग्रीक से "स्ट्रेच्ड" के रूप में किया गया है। यह भुजा हमेशा 90° के कोण के विपरीत स्थित होती है, और इस कोण को बनाने वाली भुजाओं को पाद कहा जाता है। इन पक्षों की लंबाई और इन मूल्यों के विभिन्न संयोजनों में तीव्र कोणों के परिमाण को जानने के बाद, कर्ण की लंबाई की गणना भी की जा सकती है।

अनुदेश

यदि दोनों त्रिकोणों (ए और बी) की लंबाई ज्ञात है, तो कर्ण (सी) की लंबाई का उपयोग करें, शायद सबसे प्रसिद्ध गणितीय अवधारणा - पाइथागोरस प्रमेय। यह कहता है कि कर्ण की लंबाई का वर्ग पैरों की लंबाई के वर्गों का योग है, जिससे यह पता चलता है कि आपको दो पक्षों की वर्ग लंबाई के योग की जड़ की गणना करनी चाहिए: C \u003d √ (ए² + बी²)। उदाहरण के लिए, यदि एक पैर की लंबाई 15 और - 10 सेंटीमीटर है, तो कर्ण की लंबाई लगभग 18.0277564 सेंटीमीटर होगी, क्योंकि √ (15² + 10²) \u003d √ (225 + 100) \u003d √ 325 ≈ 18.0277564 .

यदि एक समकोण त्रिभुज में केवल एक पाद (A) की लंबाई ज्ञात हो, साथ ही इसके विपरीत कोण (α) का मान ज्ञात हो, तो कर्ण (C) की लंबाई किसी एक त्रिकोणमितीय का उपयोग करके की जा सकती है कार्य - साइन। ऐसा करने के लिए, ज्ञात भुजा की लंबाई को ज्ञात कोण की ज्या से विभाजित करें: C=A/sin(α)। उदाहरण के लिए, यदि किसी एक पैर की लंबाई 15 सेंटीमीटर है, और त्रिकोण के विपरीत शीर्ष पर कोण 30 ° है, तो कर्ण की लंबाई 30 सेंटीमीटर होगी, क्योंकि 15 / sin (30 °) \u003d 15 / 0.5 \u003d 30।

यदि एक समकोण त्रिभुज में एक तीव्र कोण (α) और उससे सटे पैर की लंबाई (B) का मान ज्ञात है, तो एक अन्य त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन, कोसाइन, का उपयोग कर्ण की लंबाई (C) की गणना के लिए किया जा सकता है। ). आपको ज्ञात पैर की लंबाई को ज्ञात कोण के कोसाइन से विभाजित करना चाहिए: С=В/ cos(α)। उदाहरण के लिए, यदि इस पैर की लंबाई 15 सेंटीमीटर है, और इसके समीप के तीव्र कोण का मान 30 ° है, तो कर्ण की लंबाई लगभग 17.3205081 सेंटीमीटर होगी, क्योंकि 15 / cos (30 °) \u003d 15 / (0.5 * √3)=30/√3≈17.3205081.

लंबाई एक रेखा खंड पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी है। यह एक सीधी, टूटी या बंद रेखा हो सकती है। यदि आप खंड के कुछ अन्य संकेतकों को जानते हैं, तो आप काफी सरल तरीके से लंबाई की गणना कर सकते हैं।

अनुदेश

यदि आपको किसी वर्ग की एक भुजा की लंबाई ज्ञात करने की आवश्यकता है, तो यह नहीं होगा यदि आप इसका क्षेत्रफल S जानते हैं। इस तथ्य के कारण कि एक वर्ग की सभी भुजाएँ होती हैं, आप सूत्र का उपयोग करके उनमें से किसी एक के मान की गणना कर सकते हैं : ए = √एस।

जैसा कि आप जानते हैं, ज्यामिति एक कठिन विज्ञान है जिसके लिए समस्याओं को हल करने में विशेष सटीकता और सटीकता की आवश्यकता होती है। कई भाव और सूत्र जिन्हें हम बाद में अधिक जटिल गणनाओं में उपयोग करते हैं, ग्रेड 6-7 के लिए गणित की पाठ्यपुस्तकों में निर्धारित किए गए हैं। त्रिकोणमितीय कार्यों को सीखने की प्रक्रिया को आसान और अधिक मनोरंजक बनाने के लिए, इस लेख में हम एक समकोण त्रिभुज के कर्ण की गणना करने के कुछ छोटे तरीकों पर गौर करेंगे।

पैरों पर कर्ण का पता कैसे लगाएं?

आइए थोड़ा सिद्धांत याद रखें: एक समकोण त्रिभुज एक सपाट आकृति है जिसमें तीन कोने होते हैं। उनमें से एक का मान 90º है, और भुजाओं को पैर और कर्ण कहा जाता है। जो पक्ष समकोण के विपरीत है वह कर्ण है, और अन्य दो आसन्न पैर हैं। पार्टियों का मुख्य खेल पाइथागोरस प्रमेय में प्रकट होता है, जिसके अनुसार कर्ण पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है। हालाँकि, यह केवल भ्रमित करने वाला लगता है, क्योंकि वास्तव में सब कुछ बहुत सरल है।

एक ज्यामितीय आकृति के गुण

इससे पहले कि आप एक त्रिभुज का कर्ण खोजें, आपको यह पता लगाने की आवश्यकता है कि इस आकृति में क्या विशेषताएं हैं। आइए मुख्य पर विचार करें:

1. एक समकोण त्रिभुज में, दोनों न्यूनकोणों का योग 90º तक होता है।
2. 30º के कोण के विपरीत स्थित एक पैर कर्ण के ½ के बराबर होगा।
3. यदि पैर कर्ण के मान के ½ के बराबर है, तो दूसरे कोण का समान मान होगा - 30º।

एक समकोण त्रिभुज में कर्ण का पता लगाने के कई तरीके हैं। सबसे सरल उपाय पैरों के माध्यम से गणना करना है। मान लीजिए कि आप पक्षों ए और बी के पैरों के मूल्यों को जानते हैं। फिर पाइथागोरस प्रमेय बचाव के लिए आता है, हमें बताता है कि यदि हम प्रत्येक पैर के मूल्य को वर्ग करते हैं और प्राप्त आंकड़ों को जोड़ते हैं, तो हम पता लगाएंगे कि कर्ण क्या है है। इस प्रकार, हमें केवल वर्गमूल मान निकालने की आवश्यकता है:

उदाहरण के लिए, यदि पैर A = 3 सेमी और पैर B = 4 सेमी, तो गणना इस तरह दिखेगी:

एक कोण से कर्ण का पता कैसे लगाएं?

एक समकोण त्रिभुज में कर्ण किसके बराबर है, यह पता लगाने में मदद करने का एक अन्य तरीका दिए गए कोण के माध्यम से गणना करना है। ऐसा करने के लिए, हमें साइन सूत्र के माध्यम से मान प्राप्त करने की आवश्यकता है। मान लीजिए हम पैर (A) का मान और विपरीत कोण (α) का मान जानते हैं। फिर पूरा समाधान एक सूत्र में है: С=А/sin(α)।

उदाहरण के लिए, यदि पैर की लंबाई 40 सेमी है और कोण 45 डिग्री है, तो कर्ण की लंबाई निम्नानुसार प्राप्त की जा सकती है:

40/sin(45°) = 40/0.71 = 56.33।

आप किसी दिए गए कोण के कोसाइन के माध्यम से वांछित मान भी निर्धारित कर सकते हैं। मान लीजिए कि हम एक पैर (बी) और एक तीव्र सम्मिलित कोण (α) का मान जानते हैं। तब समस्या को हल करने के लिए एक सूत्र की आवश्यकता होती है: С=В/ cos(α)।

उदाहरण के लिए, यदि पैर की लंबाई 50 सेमी है और कोण 45 डिग्री है, तो कर्ण की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:

50/cos(45°) = 50/0.71 = 80.42।

इस प्रकार, हमने त्रिकोण में कर्ण का पता लगाने के मुख्य तरीकों की जांच की। कार्य को हल करने के दौरान, उपलब्ध आंकड़ों पर ध्यान देना महत्वपूर्ण है, फिर अज्ञात मूल्य का पता लगाना काफी सरल होगा। आपको केवल कुछ सूत्र जानने की आवश्यकता है और समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया सरल और आनंददायक हो जाएगी।

अनुदेश

एक त्रिभुज को समकोण त्रिभुज कहा जाता है यदि इसका एक कोण 90 डिग्री का हो। इसमें दो पैर और एक कर्ण होता है। कर्ण इस त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा है। यह एक समकोण के विरुद्ध स्थित है। पैर, क्रमशः, इसके छोटे पक्ष कहलाते हैं। वे या तो एक दूसरे के बराबर हो सकते हैं या अलग-अलग आकार के हो सकते हैं। पैरों की समानता जो आप एक समकोण त्रिभुज के साथ काम कर रहे हैं। इसकी सुंदरता यह है कि यह दो आकृतियों को जोड़ती है: एक समकोण त्रिभुज और एक समद्विबाहु त्रिभुज। यदि पैर समान नहीं हैं, तो त्रिभुज मनमाना है और मूल नियम के अनुसार: कोण जितना बड़ा होगा, उतना ही उसके विपरीत स्थित होगा।

कर्ण और कोण को खोजने के कई तरीके हैं। लेकिन उनमें से किसी एक का उपयोग करने से पहले, आपको यह निर्धारित करना चाहिए कि कौन सा और कौन सा कोण ज्ञात है। एक कोण और उससे सटे पैर को देखते हुए, कोण के कोसाइन द्वारा कर्ण को खोजना आसान होता है। एक समकोण त्रिभुज में एक तीव्र कोण (cos a) का कोज्या कर्ण के सन्निकट पैर का अनुपात है। इसका तात्पर्य है कि कर्ण (सी) आसन्न पैर (बी) के कोण ए (कोस ए) के कोसाइन के अनुपात के बराबर होगा। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: cos a=b/c => c=b/cos a.

यदि एक कोण और एक विपरीत पैर दिया गया है, तो काम करना चाहिए। एक समकोण त्रिभुज में एक तीव्र कोण (sin a) का साइन विपरीत पैर (a) का कर्ण (c) से अनुपात है। यहां सिद्धांत पिछले उदाहरण के समान ही है, कोसाइन फ़ंक्शन के बजाय केवल साइन लिया जाता है। sin a=a/c => c=a/sin a.

आप एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का उपयोग भी कर सकते हैं जैसे . लेकिन वांछित मूल्य खोजना थोड़ा अधिक जटिल है। एक समकोण त्रिभुज में एक तीव्र कोण (tg a) की स्पर्शरेखा विपरीत पैर (a) का आसन्न एक (b) से अनुपात है। दोनों पैरों को खोजने के बाद, पायथागॉरियन प्रमेय लागू करें (कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर है) और बड़ा मिल जाएगा।

टिप्पणी

पायथागॉरियन प्रमेय के साथ काम करते समय, यह न भूलें कि आप डिग्री के साथ काम कर रहे हैं। पैरों के वर्गों का योग प्राप्त करने के बाद, अंतिम उत्तर प्राप्त करने के लिए, आपको वर्गमूल लेना चाहिए।

स्रोत:

• पैर और कर्ण कैसे खोजें

कर्ण एक समकोण त्रिभुज में वह भुजा है जो 90 डिग्री के कोण के विपरीत होती है। इसकी लंबाई की गणना करने के लिए, किसी एक पैर की लंबाई और त्रिकोण के तीव्र कोणों में से एक का मान जानना पर्याप्त है।

अनुदेश

एक ज्ञात और तीव्र समकोण के साथ, कर्ण का आकार इस कोण के / के पैर का अनुपात है, यदि दिया गया कोण इसके विपरीत / आसन्न है:

h = C1(या C2)/sinα;

h = С1(या С2)/cosα।

उदाहरण: मान लीजिए कर्ण AB और C के साथ ABC दिया गया है। माना कोण B 60 डिग्री और कोण A 30 डिग्री है, भुजा BC की लंबाई 8 सेमी है। आपको कर्ण AB की लंबाई चाहिए। ऐसा करने के लिए, आप ऊपर सुझाए गए किसी भी तरीके का उपयोग कर सकते हैं:

AB=BC/cos60=8 सेमी.

AB = BC/sin30 = 8 सेमी.

शब्द " टांग" ग्रीक शब्द "लंबवत" या "ऊर्ध्वाधर" से आता है - यह बताता है कि एक समकोण त्रिभुज के दोनों पक्षों को, जो इसके नब्बे डिग्री कोण बनाते हैं, इस तरह से नाम दिया गया था। इनमें से किसी की लंबाई ज्ञात कीजिए टांग ov मुश्किल नहीं है अगर इसके निकटवर्ती कोण और किसी भी अन्य पैरामीटर का मान ज्ञात हो, क्योंकि इस मामले में सभी तीन कोणों के मान वास्तव में ज्ञात हो जाएंगे।

अनुदेश

यदि, आसन्न कोण (β) के मान के अतिरिक्त, दूसरे की लंबाई टांगए (बी), फिर लंबाई टांगऔर (ए) ज्ञात की लंबाई के भागफल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है टांगऔर एक ज्ञात कोण पर: a=b/tg(β)। यह इस त्रिकोणमितीय की परिभाषा से आता है। यदि आप प्रमेय का उपयोग करते हैं तो आप स्पर्शरेखा के बिना कर सकते हैं। यह इस प्रकार है कि ज्ञात की लंबाई के अनुपात में विपरीत कोण की ज्या के लिए वांछित की लंबाई टांगलेकिन एक ज्ञात कोण की ज्या करने के लिए। वांछित के विपरीत टांगएक तीव्र कोण को एक ज्ञात कोण के रूप में 180°-90°-β = 90°-β के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, क्योंकि किसी भी त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180° होना चाहिए, और इसका एक कोण 90 के बराबर है। °। तो वांछित लंबाई टांगऔर सूत्र a=sin(90°-β)∗b/sin(β) द्वारा परिकलित किया जा सकता है।

यदि आसन्न कोण (β) का परिमाण और कर्ण (c) की लंबाई ज्ञात हो, तो लंबाई टांगऔर (ए) ज्ञात कोण के कर्ण की लंबाई और कोसाइन के उत्पाद के रूप में गणना की जा सकती है: a=c∗cos(β)। यह एक त्रिकोणमितीय फलन के रूप में कोज्या की परिभाषा से अनुसरण करता है। लेकिन आप उपयोग कर सकते हैं, जैसा कि पिछले चरण में, साइन प्रमेय और फिर वांछित लंबाई टांग a 90° के बीच ज्या के गुणनफल के बराबर होगा और कर्ण की लंबाई और समकोण की ज्या के अनुपात के ज्ञात कोण का गुणनफल होगा। और चूँकि 90° का ज्या एक के बराबर है, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: a=sin(90°-β)∗c।

व्यावहारिक गणनाएं की जा सकती हैं, उदाहरण के लिए, विंडोज ऑपरेटिंग सिस्टम में शामिल सॉफ्टवेयर कैलकुलेटर का उपयोग करना। इसे चलाने के लिए, आप "स्टार्ट" बटन पर मुख्य मेनू में "रन" आइटम का चयन कर सकते हैं, कैल्क कमांड टाइप करें और "ओके" बटन पर क्लिक करें। डिफ़ॉल्ट रूप से खुलने वाले इस प्रोग्राम के इंटरफ़ेस का सबसे सरल संस्करण त्रिकोणमितीय फ़ंक्शंस प्रदान नहीं करता है, इसलिए, इसे लॉन्च करने के बाद, आपको मेनू में "देखें" अनुभाग पर क्लिक करना होगा और "वैज्ञानिक" या "इंजीनियरिंग" लाइन का चयन करना होगा (आधार पर) आपके द्वारा उपयोग किए जा रहे ऑपरेटिंग सिस्टम के संस्करण पर)।

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शब्द "केटेट" ग्रीक से रूसी भाषा में आया। सटीक अनुवाद में, इसका अर्थ है एक साहुल रेखा, जो कि पृथ्वी की सतह के लंबवत है। गणित में, पैरों को भुजाएँ कहा जाता है जो एक समकोण त्रिभुज का समकोण बनाती हैं। इस कोण के सम्मुख भुजा कर्ण कहलाती है। "लेग" शब्द का उपयोग आर्किटेक्चर और वेल्डिंग तकनीक में भी किया जाता है।

एक समकोण त्रिभुज ACB खींचिए। इसके पैरों को a और b से लेबल करें, और इसके कर्ण c को लेबल करें। एक समकोण त्रिभुज की सभी भुजाएँ और कोण एक दूसरे से परिभाषित होते हैं। कर्ण के एक तीव्र कोण के विपरीत पैर के अनुपात को इस कोण की ज्या कहा जाता है। इस त्रिभुज में sinCAB=a/c. कोज्या आसन्न पैर के कर्ण का अनुपात है, यानी cosCAB=b/c। व्युत्क्रम संबंधों को छेदक और व्युत्क्रमज्या कहते हैं।

इस कोण का छेदक कर्ण को सन्निकट पाद से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है, अर्थात secCAB=c/b। यह कोसाइन के व्युत्क्रम को दर्शाता है, अर्थात, इसे सूत्र secCAB=1/cosSAB द्वारा व्यक्त किया जा सकता है।
व्युत्क्रमज्या कर्ण को विपरीत पाद से विभाजित करने के भागफल के बराबर होता है और ज्या का व्युत्क्रम होता है। इसकी गणना cosecCAB=1/sinCAB सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है

दोनों पैर आपस में जुड़े हुए और स्पर्शरेखा हैं। इस मामले में, स्पर्शरेखा भुजा a से भुजा b का अनुपात होगा, अर्थात विपरीत पैर आसन्न पैर के लिए। यह अनुपात सूत्र tgCAB=a/b द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। तदनुसार, प्रतिलोम अनुपात कोटिस्पर्श होगा: ctgCAB=b/a।

कर्ण और दोनों पैरों के आकार के बीच का अनुपात प्राचीन यूनानी पाइथागोरस द्वारा निर्धारित किया गया था। प्रमेय, उसका नाम, लोग अभी भी उपयोग करते हैं। यह कहता है कि कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर है, अर्थात c2 \u003d a2 + b2। तदनुसार, प्रत्येक पैर कर्ण और दूसरे पैर के वर्गों के बीच के अंतर के वर्गमूल के बराबर होगा। यह सूत्र b=√(c2-a2) के रूप में लिखा जा सकता है।

पैर की लंबाई को आप जो संबंध जानते हैं, उसके द्वारा भी व्यक्त किया जा सकता है। साइन और कोसाइन के प्रमेय के अनुसार, पैर कर्ण के उत्पाद और इन कार्यों में से एक के बराबर है। आप इसे व्यक्त कर सकते हैं और या cotangent। पैर a पाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, सूत्र a \u003d b * tan CAB द्वारा। ठीक उसी तरह, दिए गए स्पर्शरेखा या के आधार पर, दूसरा पैर निर्धारित किया जाता है।

वास्तुकला में, "पैर" शब्द का भी प्रयोग किया जाता है। यह एक आयनिक राजधानी पर लगाया जाता है और इसकी पीठ के बीच से होकर निकलता है। अर्थात्, इस मामले में, इस पद के द्वारा, दी गई रेखा पर लंब।

वेल्डिंग तकनीक में, "लेग ऑफ़ ए फ़िलेट वेल्ड" होता है। अन्य मामलों की तरह, यह सबसे छोटी दूरी है। यहां हम दूसरे भाग की सतह पर स्थित सीम की सीमा तक वेल्ड किए जाने वाले भागों में से एक के बीच के अंतर के बारे में बात कर रहे हैं।

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स्रोत:

• 2019 में पैर और कर्ण क्या है

पायथागॉरियन प्रमेय हर गणित के लिए मौलिक है। यह एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के बीच के अनुपात को सेट करता है। अब इस प्रमेय के 367 प्रमाण निश्चित किए जा चुके हैं।

अनुदेश

1. पायथागॉरियन प्रमेय का क्लासिक स्कूल सूत्रीकरण इस तरह लगता है: कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है। इस प्रकार, दो पादों द्वारा एक समकोण त्रिभुज का कर्ण ज्ञात करने के लिए, आपको पादों की लंबाई को एक-एक करके वर्ग करना होगा, उन्हें जोड़ना होगा और योग का वर्गमूल निकालना होगा। अपने मूल सूत्रीकरण में, प्रमेय ने कहा कि कर्ण पर निर्मित एक वर्ग का क्षेत्रफल पैरों पर बने 2 वर्गों के क्षेत्रों के योग के बराबर है। हालांकि, आधुनिक बीजगणितीय सूत्रीकरण को क्षेत्र के प्रतिनिधित्व की शुरूआत की आवश्यकता नहीं है।

2. मान लीजिए, एक समकोण त्रिभुज दिया गया है, जिसकी भुजाएँ 7 सेमी और 8 सेमी हैं। फिर, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, कर्ण का वर्ग 7? + 8? = 49 + 64 = 113 सेमी है? . कर्ण स्वयं संख्या 113 के वर्गमूल के बराबर है। यह एक अपरिमेय संख्या है जो परिणाम में जाती है।

3. यदि त्रिभुज के पाद 3 और 4 हैं, तो कर्ण 25=5 है। वर्गमूल निकालने पर एक प्राकृत संख्या प्राप्त होती है। संख्याएँ 3, 4, 5 एक पाइथागोरस त्रिक बनाती हैं, क्योंकि वे सभी प्राकृतिक होने के नाते x?+y?=z? संबंध को संतुष्ट करती हैं। पायथागॉरियन ट्रिपल के अन्य उदाहरण: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41।

4. इस घटना में कि पैर एक दूसरे के बराबर हैं, पाइथागोरस प्रमेय एक अधिक आदिम समीकरण में बदल जाता है। मान लीजिए, उदाहरण के लिए, दोनों पैर संख्या A के बराबर हैं, और कर्ण को C द्वारा निरूपित किया जाता है। फिर C?=A?+A?, C?=2A?, C=A?2। इस स्थिति में, संख्या A का वर्ग करना आवश्यक नहीं है।

5. पायथागॉरियन प्रमेय अधिक सामान्य कोसाइन प्रमेय का एक विशेष मामला है, जो उनमें से किन्हीं दो के बीच एक मनमाना कोण के लिए त्रिकोण के तीन पक्षों के बीच संबंध स्थापित करता है।

कर्ण एक समकोण त्रिभुज में वह भुजा है जो 90 डिग्री के कोण के विपरीत होती है। इसकी लंबाई की गणना करने के लिए, किसी एक पैर की लंबाई और त्रिकोण के तीव्र कोणों में से एक का मान जानना पर्याप्त है।

अनुदेश

1. एक समकोण त्रिभुज के प्रसिद्ध पैर और तीव्र कोण के साथ, कर्ण का आकार इस कोण के कोसाइन / साइन के पैर के अनुपात के बराबर हो सकता है, यदि यह कोण इसके विपरीत / समीप है: h \u003d C1 (या C2) / sin ?; h \u003d C1 (या C2 )/cos?. उदाहरण: कर्ण AB और समकोण C के साथ एक समकोण त्रिभुज ABC दिया जाए। मान लें कि कोण B 60 डिग्री और कोण A 30 डिग्री है। भुजा BC की लम्बाई 8 सेमी है कर्ण AB की लम्बाई ज्ञात करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, आप ऊपर प्रस्तावित विधियों में से किसी का भी उपयोग कर सकते हैं: AB = BC / cos60 = 8 सेमी AB = BC / sin30 = 8 सेमी।

कर्ण एक आयताकार की सबसे लंबी भुजा है त्रिकोण. यह समकोण के विपरीत स्थित है। एक आयताकार का कर्ण ज्ञात करने की विधि त्रिकोणयह इस बात पर निर्भर करता है कि आप किस प्रारंभिक डेटा के स्वामी हैं।

अनुदेश

1. अगर हम एक आयताकार के पैरों को जानते हैं त्रिकोण, तो आयताकार के कर्ण की लंबाई त्रिकोणपायथागॉरियन प्रमेय के समर्थन से पता लगाया जा सकता है - कर्ण की लंबाई का वर्ग पैरों की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर है: c2 = a2 + b2, जहां a और b पैरों की लंबाई हैं एक आयताकार का त्रिकोण .

2. यदि पैरों में से एक और एक तीव्र कोण प्रसिद्ध है, तो कर्ण को खोजने का सूत्र इस बात पर निर्भर करेगा कि प्रसिद्ध पैर के संबंध में कौन सा कोण आसन्न (पैर के पास स्थित) या विपरीत (इसके विपरीत स्थित) है। एक शामिल कोण, कर्ण इस कोण के कोसाइन द्वारा पैर के अनुपात के बराबर है: c = a/cos?; E विपरीत कोण है, कर्ण पैर के कोण के साइन के अनुपात के बराबर है : सी = ए/पाप?

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मददगार सलाह
एक समकोण त्रिभुज, जिसकी भुजाएँ 3:4:5 के रूप में संबंधित हैं, को मिस्र का त्रिभुज कहा जाता है, क्योंकि इस तरह के आंकड़े प्राचीन मिस्र के वास्तुकारों द्वारा ऊर्जावान रूप से उपयोग किए गए थे। यह हेरोनियन त्रिभुजों का सबसे सरल उदाहरण भी है, जिसमें भुजाएँ और क्षेत्रफल पूर्णांक हैं।