संख्या का अंतिम अंक। माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल में औसत मूल्य की गणना

यह पता चला है कि कुछ वितरण विशेषताओं का उपयोग करके कई व्यावहारिक समस्याओं को हल किया जा सकता है, और एक यादृच्छिक चर के सटीक वितरण समारोह का ज्ञान वैकल्पिक हो जाता है। एक यादृच्छिक चर की ऐसी परिभाषित विशेषताओं में शामिल हैं, उदाहरण के लिए, इसका माध्य और मूल माध्य वर्ग मान, साथ ही साथ मानक विचलन।

आप अनुभव से यादृच्छिक चर के औसत मान पा सकते हैं, साथ ही यादृच्छिक चर के वितरण कार्यों को जान सकते हैं। आइए विचार करें कि विभिन्न मामलों में इन औसत मूल्यों को कैसे खोजा जाए।

एक यादृच्छिक चर ले सकता है: संभाव्यता वाले मान या यह मान एक बार से बाहर हो जाता है

प्रायिकता के साथ मान या यह मान अंत में एक बार समाप्त हो जाता है,

संभाव्यता के साथ मान या यह मान एक बार समाप्त हो जाता है

फिर परीक्षणों के दौरान यादृच्छिक चर के मूल्यों का योग होगा:

एक यादृच्छिक चर का औसत मान ज्ञात करने के लिए, यानी प्रति परीक्षण मूल्य, आपको परीक्षणों की कुल संख्या से योग को विभाजित करने की आवश्यकता है:

यदि हमारे पास सूत्र (2.11) द्वारा पाया गया कुछ औसत मूल्य है, तो, आम तौर पर, परीक्षणों की कुल संख्या के विभिन्न मूल्यों के लिए, औसत मूल्य के मूल्य भी भिन्न होंगे, क्योंकि विचाराधीन मात्राएँ हैं एक यादृच्छिक प्रकृति। हालाँकि, जैसे-जैसे संख्या बढ़ती है, इस मात्रा का औसत मूल्य एक निश्चित सीमा तक बढ़ जाएगा। और परीक्षणों की संख्या जितनी अधिक होगी, सूत्र द्वारा निर्धारित करीब (2.11) इस सीमा मूल्य तक पहुंच जाएगा:

अंतिम समानता बड़ी संख्या का तथाकथित कानून या चेबिशेव का प्रमेय है: एक यादृच्छिक चर का औसत मूल्य बहुत बड़ी संख्या में माप के साथ एक स्थिर संख्या की ओर प्रवृत्त होगा।

तो, एक यादृच्छिक चर का औसत मूल्य यादृच्छिक चर के उत्पादों के योग और इसकी घटना की संभावना के बराबर है।

यदि एक यादृच्छिक चर लगातार बदलता रहता है, तो एकीकरण का उपयोग करके इसका औसत मान पाया जा सकता है:

औसत में कई महत्वपूर्ण गुण होते हैं:

1) किसी स्थिर मान का औसत मान सबसे स्थिर मान के बराबर होता है, अर्थात

2) किसी यादृच्छिक चर का औसत मान एक स्थिर मान होता है, अर्थात

3) कई यादृच्छिक चरों के योग का औसत मान इन चरों के औसत मानों के योग के बराबर है, अर्थात

4) दो परस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चर के उत्पाद का औसत मूल्य उनमें से प्रत्येक के औसत मूल्यों के उत्पाद के बराबर है, अर्थात

इस नियम को बड़ी संख्या में स्वतंत्र राशियों तक विस्तारित करने पर, हमारे पास:

कभी-कभी, एक कारण या किसी अन्य के लिए, एक यादृच्छिक चर का औसत मान जानना अपर्याप्त हो जाता है। ऐसे मामलों में, न केवल एक यादृच्छिक चर का औसत मूल्य मांगा जाता है, बल्कि इस चर (द्विघात) के वर्ग का औसत मूल्य भी मांगा जाता है। इस मामले में, समान सूत्र होते हैं:

असतत मूल्यों के लिए और

एक यादृच्छिक चर के निरंतर परिवर्तन के मामले में।

एक यादृच्छिक चर का माध्य वर्ग मान हमेशा धनात्मक होता है और लुप्त नहीं होता है।

अक्सर किसी को न केवल यादृच्छिक चर के औसत मूल्यों में ही दिलचस्पी लेनी पड़ती है, बल्कि यादृच्छिक चर के कुछ कार्यों के औसत मूल्यों में भी दिलचस्पी होती है।

उदाहरण के लिए, गति पर अणुओं के वितरण को देखते हुए, हम औसत गति ज्ञात कर सकते हैं। लेकिन हमें तापीय गति की औसत गतिज ऊर्जा में भी रुचि हो सकती है, जो गति का द्विघात फलन है। ऐसे मामलों में, आप निम्नलिखित सामान्य सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं जो एक असतत वितरण के मामले में एक यादृच्छिक चर के मनमाना फ़ंक्शन का औसत मान निर्धारित करते हैं

निरंतर वितरण के मामले में

एक यादृच्छिक चर के औसत मान या एक असामान्य वितरण फ़ंक्शन का उपयोग करके एक यादृच्छिक चर के फ़ंक्शन को खोजने के लिए, निम्न सूत्र का उपयोग किया जाता है:

यहां, यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों की पूरी श्रृंखला में हर जगह एकीकरण किया जाता है

औसत से विचलन।कुछ मामलों में, यादृच्छिक चर के माध्य और मूल माध्य वर्ग मानों का ज्ञान यादृच्छिक चर को चिह्नित करने के लिए अपर्याप्त है। ब्याज भी इसके औसत मूल्य के आसपास एक यादृच्छिक चर का वितरण है। ऐसा करने के लिए, हम माध्य मान से यादृच्छिक चर के विचलन का अध्ययन करते हैं।

हालाँकि, यदि हम एक यादृच्छिक चर के औसत विचलन को उसके औसत मान से लेते हैं, अर्थात, संख्याओं का औसत मान:

तब हम दोनों असतत के मामले में और एक सतत वितरण के मामले में, शून्य प्राप्त करते हैं। वास्तव में,

कभी-कभी आप औसत मान से एक यादृच्छिक चर के विचलन के मॉड्यूल का औसत मान पा सकते हैं, अर्थात, मान:

हालांकि, निरपेक्ष मूल्यों के साथ गणना करना अक्सर कठिन और कभी-कभी असंभव होता है।

इसलिए, बहुत अधिक बार, इसके औसत मूल्य के आसपास एक यादृच्छिक चर के वितरण को चिह्नित करने के लिए, तथाकथित मानक विचलन या माध्य वर्ग विचलन का उपयोग किया जाता है। विचलन के माध्य वर्ग को यादृच्छिक चर का प्रसरण भी कहा जाता है। फैलाव सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:

जो एक रूप में परिवर्तित हो जाते हैं (कार्य 5, 9 देखें)।

जहाँ मात्रा अपने माध्य मान से यादृच्छिक चर के विचलन के वर्ग का प्रतिनिधित्व करती है।

एक यादृच्छिक चर के फैलाव के वर्गमूल को यादृच्छिक चर का मानक विचलन कहा जाता है, और भौतिक मात्राओं के लिए - उतार-चढ़ाव:

कभी-कभी एक सापेक्ष उतार-चढ़ाव पेश किया जाता है, जो सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

इस प्रकार, एक यादृच्छिक चर के वितरण के नियम को जानने के बाद, एक यादृच्छिक चर की सभी विशेषताओं को निर्धारित करना संभव है जो हमारे लिए रुचि रखते हैं: माध्य मान, मूल माध्य वर्ग, यादृच्छिक के मनमाना कार्य का माध्य मान चर, विचलन का माध्य वर्ग या यादृच्छिक चर का विचरण और उतार-चढ़ाव।

इसलिए, सांख्यिकीय भौतिकी के मुख्य कार्यों में से एक विभिन्न भौतिक प्रणालियों में विभिन्न भौतिक यादृच्छिक चर और मापदंडों के कानूनों और वितरण कार्यों को खोजना है।

औसत मूल्य की गणना में खो गया है।

औसत अर्थसंख्याओं का समूह इन संख्याओं की संख्या से विभाजित संख्याओं के योग के बराबर है। यानी यह पता चला है औसत अर्थबराबर: 19/4 = 4.75।

टिप्पणी

यदि आपको केवल दो संख्याओं के लिए ज्यामितीय माध्य खोजने की आवश्यकता है, तो आपको इंजीनियरिंग कैलकुलेटर की आवश्यकता नहीं होगी: आप सबसे सामान्य कैलकुलेटर का उपयोग करके किसी भी संख्या का दूसरा डिग्री रूट (वर्गमूल) निकाल सकते हैं।

मददगार सलाह

अंकगणित माध्य के विपरीत, ज्यामितीय माध्य संकेतकों के अध्ययन किए गए सेट में व्यक्तिगत मूल्यों के बीच बड़े विचलन और उतार-चढ़ाव से बहुत अधिक प्रभावित नहीं होता है।

स्रोत:

• ऑनलाइन कैलकुलेटर जो ज्यामितीय माध्य की गणना करता है
• ज्यामितीय माध्य सूत्र

औसतमान संख्याओं के समूह की विशेषताओं में से एक है। एक संख्या का प्रतिनिधित्व करता है जो संख्याओं के इस सेट में सबसे बड़े और सबसे छोटे मानों द्वारा परिभाषित सीमा के बाहर नहीं हो सकता। औसतअंकगणितीय मूल्य - औसत का सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला प्रकार।

अनुदेश

अंकगणितीय माध्य प्राप्त करने के लिए सेट में सभी संख्याओं को जोड़ें और उन्हें शब्दों की संख्या से विभाजित करें। गणना की विशिष्ट स्थितियों के आधार पर, प्रत्येक संख्या को सेट में मानों की संख्या से विभाजित करना और परिणाम का योग करना कभी-कभी आसान होता है।

उदाहरण के लिए, विंडोज ऑपरेटिंग सिस्टम में शामिल का उपयोग करें, यदि आपके दिमाग में अंकगणितीय माध्य की गणना करना संभव नहीं है। आप प्रोग्राम लॉन्चर डायलॉग का उपयोग करके इसे खोल सकते हैं। ऐसा करने के लिए, "हॉट कीज़" विन + आर दबाएं या "स्टार्ट" बटन पर क्लिक करें और मुख्य मेनू से "रन" कमांड चुनें। फिर इनपुट फ़ील्ड में कैल्क टाइप करें और एंटर दबाएं या ओके बटन पर क्लिक करें। मुख्य मेनू के माध्यम से भी किया जा सकता है - इसे खोलें, "सभी कार्यक्रम" अनुभाग पर जाएं और "मानक" अनुभाग में और "कैलकुलेटर" लाइन का चयन करें।

उनमें से प्रत्येक के बाद प्लस कुंजी दबाकर (पिछले एक को छोड़कर) या कैलकुलेटर इंटरफ़ेस में संबंधित बटन पर क्लिक करके सेट में सभी नंबरों को उत्तराधिकार में दर्ज करें। आप कीबोर्ड से और संबंधित इंटरफ़ेस बटन पर क्लिक करके भी नंबर दर्ज कर सकते हैं।

स्लैश कुंजी दबाएं या अंतिम सेट मान दर्ज करने के बाद कैलकुलेटर इंटरफ़ेस में इसे क्लिक करें और क्रम में संख्याओं की संख्या प्रिंट करें। फिर बराबर चिह्न दबाएं और कैलकुलेटर अंकगणित माध्य की गणना और प्रदर्शित करेगा।

आप उसी उद्देश्य के लिए स्प्रेडशीट संपादक Microsoft Excel का उपयोग कर सकते हैं। इस मामले में, संपादक शुरू करें और संख्याओं के अनुक्रम के सभी मूल्यों को आसन्न कोशिकाओं में दर्ज करें। यदि प्रत्येक संख्या दर्ज करने के बाद आप एंटर दबाते हैं या नीचे या दायां तीर कुंजी दबाते हैं, तो संपादक स्वयं इनपुट फोकस को आसन्न सेल पर ले जाएगा।

यदि आप केवल अंकगणितीय माध्य नहीं देखना चाहते हैं, तो आपके द्वारा दर्ज की गई अंतिम संख्या के आगे वाले सेल पर क्लिक करें। होम टैब पर संपादन कमांड के ग्रीक सिग्मा (Σ) ड्रॉपडाउन का विस्तार करें। लाइन का चयन करें" औसत” और संपादक चयनित सेल में अंकगणितीय माध्य की गणना के लिए वांछित सूत्र सम्मिलित करेगा। एंटर कुंजी दबाएं और मूल्य की गणना की जाएगी।

अंकगणित माध्य केंद्रीय प्रवृत्ति के उपायों में से एक है, जिसका व्यापक रूप से गणित और सांख्यिकीय गणनाओं में उपयोग किया जाता है। कई मूल्यों का अंकगणितीय औसत खोजना बहुत सरल है, लेकिन प्रत्येक कार्य की अपनी बारीकियाँ हैं, जिन्हें सही गणना करने के लिए जानना आवश्यक है।

अंकगणितीय माध्य क्या है

अंकगणितीय माध्य कैसे ज्ञात करें

नकारात्मक संख्याओं के साथ काम करने की विशेषताएं

1. मानक विधि द्वारा सामान्य अंकगणितीय माध्य ज्ञात करना;
2. ऋणात्मक संख्याओं का अंकगणितीय माध्य ज्ञात करना।
3. सकारात्मक संख्याओं के अंकगणितीय माध्य की गणना।

प्रत्येक क्रिया की प्रतिक्रिया को अल्पविराम से अलग करते हुए लिखा जाता है।

प्राकृतिक और दशमलव अंश

प्राकृतिक अंशों के साथ काम करते समय, उन्हें एक सामान्य भाजक में घटाया जाना चाहिए, जिसे सरणी में संख्याओं की संख्या से गुणा किया जाता है। उत्तर का अंश मूल भिन्नात्मक तत्वों के दिए गए अंशों का योग होगा।

• इंजीनियरिंग कैलकुलेटर।

अनुदेश

ध्यान रखें कि सामान्य स्थिति में, संख्याओं का ज्यामितीय माध्य इन संख्याओं को गुणा करके और उनमें से अंकों की संख्या के अनुरूप डिग्री की जड़ को निकालकर पाया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि आपको पाँच संख्याओं का ज्यामितीय माध्य ज्ञात करने की आवश्यकता है, तो आपको गुणनफल से अंश का मूल निकालने की आवश्यकता होगी।

दो संख्याओं का गुणोत्तर माध्य ज्ञात करने के लिए मूल नियम का प्रयोग करें। उनका गुणनफल ज्ञात करें, और फिर उसमें से वर्गमूल निकालें, क्योंकि संख्याएँ दो हैं, जो मूल की डिग्री से मेल खाती हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 16 और 4 का ज्यामितीय माध्य ज्ञात करने के लिए, उनका गुणनफल 16 4=64 ज्ञात करें। परिणामी संख्या से, √64=8 का वर्गमूल निकालें। यह वांछित मूल्य होगा। कृपया ध्यान दें कि इन दो संख्याओं का अंकगणितीय माध्य 10 से अधिक और बराबर है। यदि रूट पूरी तरह से नहीं लिया गया है, तो परिणाम को वांछित क्रम में गोल करें।

दो से अधिक संख्याओं का गुणोत्तर माध्य ज्ञात करने के लिए मूल नियम का भी प्रयोग कीजिए। ऐसा करने के लिए, उन सभी संख्याओं का गुणनफल ज्ञात करें जिनके लिए आप ज्यामितीय माध्य निकालना चाहते हैं। परिणामी उत्पाद से, संख्याओं की संख्या के बराबर डिग्री की जड़ निकालें। उदाहरण के लिए, संख्याओं 2, 4 और 64 का गुणनफल ज्ञात करने के लिए उनका गुणनफल ज्ञात कीजिए। 2 4 64=512. चूंकि आपको तीन संख्याओं के ज्यामितीय माध्य का परिणाम खोजने की आवश्यकता है, इसलिए उत्पाद से तीसरी डिग्री की जड़ निकालें। इसे मौखिक रूप से करना कठिन है, इसलिए इंजीनियरिंग कैलकुलेटर का उपयोग करें। ऐसा करने के लिए, इसमें "x ^ y" बटन है। नंबर 512 डायल करें, "x^y" बटन दबाएं, फिर नंबर 3 डायल करें और "1/x" बटन दबाएं, मान 1/3 खोजने के लिए, "=" बटन दबाएं। हमें 512 की घात 1/3 करने का परिणाम मिलता है, जो कि तीसरी डिग्री के मूल से मेल खाता है। 512^1/3=8 प्राप्त करें। यह संख्या 2.4 और 64 का गुणोत्तर माध्य है।

एक इंजीनियरिंग कैलकुलेटर का उपयोग करके, आप ज्यामितीय माध्य को दूसरे तरीके से पा सकते हैं। अपने कीबोर्ड पर लॉग बटन ढूंढें। उसके बाद, प्रत्येक संख्या के लिए लघुगणक लें, उनका योग ज्ञात करें और इसे संख्याओं की संख्या से विभाजित करें। परिणामी संख्या से, प्रतिलघुगणक लें। यह संख्याओं का ज्यामितीय माध्य होगा। उदाहरण के लिए, समान संख्या 2, 4 और 64 का ज्यामितीय माध्य ज्ञात करने के लिए, कैलकुलेटर पर क्रियाओं का एक सेट बनाएं। नंबर 2 टाइप करें, फिर लॉग बटन दबाएं, "+" बटन दबाएं, नंबर 4 टाइप करें और लॉग दबाएं और "+" दोबारा टाइप करें, 64 टाइप करें, लॉग दबाएं और "=" दबाएं। परिणाम संख्या 2, 4 और 64 के दशमलव लघुगणक के योग के बराबर संख्या होगी। परिणामी संख्या को 3 से विभाजित करें, क्योंकि यह संख्याओं की संख्या है जिसके द्वारा ज्यामितीय माध्य मांगा जाता है। परिणाम से, रजिस्टर कुंजी को टॉगल करके एंटीलॉगरिथम लें और उसी लॉग कुंजी का उपयोग करें। परिणाम संख्या 8 है, यह वांछित ज्यामितीय माध्य है।

गणित में, संख्याओं का अंकगणितीय माध्य (या केवल औसत) किसी दिए गए सेट में सभी संख्याओं का योग उनकी संख्या से विभाजित होता है। यह औसत मूल्य की सबसे सामान्यीकृत और व्यापक अवधारणा है। जैसा कि आप पहले ही समझ चुके हैं, खोजने के लिए आपको दी गई सभी संख्याओं का योग करना होगा और परिणाम को शब्दों की संख्या से विभाजित करना होगा।

अंकगणितीय माध्य क्या है?

आइए एक उदाहरण देखें।

उदाहरण 1. संख्याएँ दी गई हैं: 6, 7, 11। आपको उनका औसत मान ज्ञात करने की आवश्यकता है।

समाधान।

पहले, आइए सभी दी गई संख्याओं का योग ज्ञात करें।

अब हम परिणामी योग को पदों की संख्या से विभाजित करते हैं। चूँकि हमारे पास क्रमशः तीन पद हैं, हम तीन से विभाजित करेंगे।

इसलिए, 6, 7 और 11 का औसत 8 है। 8 क्यों? हां, क्योंकि 6, 7 और 11 का योग तीन आठ के बराबर होगा। यह दृष्टांत में स्पष्ट रूप से देखा जाता है।

औसत मान कुछ हद तक संख्याओं की श्रृंखला के "संरेखण" की याद दिलाता है। जैसा कि आप देख सकते हैं, पेंसिलों के ढेर एक स्तर के हो गए हैं।

प्राप्त ज्ञान को समेकित करने के लिए एक अन्य उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 2संख्याएँ दी गई हैं: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29। आपको उनका अंकगणितीय माध्य ज्ञात करने की आवश्यकता है।

समाधान।

हम योग पाते हैं।

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

शब्दों की संख्या से विभाजित करें (इस मामले में, 15)।

इसलिए, संख्याओं की इस श्रृंखला का औसत मान 22 है।

अब ऋणात्मक संख्याओं पर विचार करें। आइए याद करें कि उन्हें कैसे समेटना है। उदाहरण के लिए, आपके पास दो नंबर 1 और -4 हैं। आइए उनका योग ज्ञात करें।

1 + (-4) = 1 - 4 = -3

यह जानने के बाद एक और उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 3संख्याओं की एक श्रृंखला का औसत मान ज्ञात कीजिए: 3, -7, 5, 13, -2।

समाधान।

संख्याओं का योग ज्ञात करना।

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

चूँकि यहाँ 5 पद हैं, हम परिणामी योग को 5 से विभाजित करते हैं।

इसलिए, संख्या 3, -7, 5, 13, -2 का अंकगणितीय माध्य 2.4 है।

तकनीकी प्रगति के हमारे समय में, औसत मूल्य खोजने के लिए कंप्यूटर प्रोग्राम का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है। माइक्रोसॉफ्ट ऑफिस एक्सेल उनमें से एक है। एक्सेल में औसत ढूँढना त्वरित और आसान है। इसके अलावा, यह प्रोग्राम Microsoft Office के सॉफ़्टवेयर पैकेज में शामिल है। आइए एक संक्षिप्त निर्देश पर विचार करें, इस कार्यक्रम का उपयोग करना महत्वपूर्ण है।

संख्याओं की एक श्रृंखला के औसत मान की गणना करने के लिए, आपको औसत फ़ंक्शन का उपयोग करना चाहिए। इस फ़ंक्शन का सिंटैक्स है:
= औसत (तर्क 1, तर्क 2, ... तर्क 255)
जहां तर्क1, तर्क2, ... तर्क255 या तो संख्याएं या सेल संदर्भ हैं (कोशिकाओं का अर्थ है श्रेणियां और सरणियाँ)।

इसे स्पष्ट करने के लिए, आइए प्राप्त ज्ञान का परीक्षण करें।

1. कक्ष C1 - C6 में संख्या 11, 12, 13, 14, 15, 16 दर्ज करें।
2. उस पर क्लिक करके सेल C7 का चयन करें। इस सेल में, हम औसत मान प्रदर्शित करेंगे।
3. "सूत्र" टैब पर क्लिक करें।
4. खोलने के लिए अधिक फ़ंक्शन > सांख्यिकीय चुनें
5. औसत का चयन करें। उसके बाद, एक डायलॉग बॉक्स खुलना चाहिए।
6. डायलॉग बॉक्स में रेंज सेट करने के लिए सेल C1-C6 को चुनें और वहां खींचें।
7. "ओके" बटन के साथ अपने कार्यों की पुष्टि करें।
8. यदि आपने सब कुछ सही ढंग से किया है, तो सेल C7 में आपके पास उत्तर - 13.7 होना चाहिए। जब आप सेल C7 पर क्लिक करते हैं, तो फंक्शन (=औसत(C1:C6)) फॉर्मूला बार में प्रदर्शित होगा।

लेखांकन, चालान, या जब आपको संख्याओं की एक बहुत लंबी श्रृंखला का औसत खोजने की आवश्यकता होती है, तो इस फ़ंक्शन का उपयोग करना बहुत उपयोगी होता है। इसलिए, यह अक्सर कार्यालयों और बड़ी कंपनियों में प्रयोग किया जाता है। यह आपको रिकॉर्ड को क्रम में रखने की अनुमति देता है और जल्दी से कुछ गणना करना संभव बनाता है (उदाहरण के लिए, प्रति माह औसत आय)। किसी फ़ंक्शन का माध्य ज्ञात करने के लिए आप Excel का उपयोग भी कर सकते हैं।

किसी मात्रा के बार-बार मापन से, जिसका सही मान ए, कर रहे हैं एनमाप। परिणाम अनुमानित मूल्यों की एक श्रृंखला है

हम वास्तविक पूर्ण त्रुटियों का प्रतिनिधित्व करते हैं

तब हम लिख सकते हैं:

टर्म द्वारा टर्म जोड़ना, हमारे पास है:

,

व्यक्तिगत माप का अंकगणितीय माध्य।

वास्तविक मूल्य ए,व्यक्त

वास्तविक निरपेक्ष त्रुटि, जो अज्ञात बनी हुई है।

गॉस द्वारा यादृच्छिक त्रुटियों को खोजने की समस्या को हल किया गया था। विचार दो स्वयंसिद्धों पर आधारित है:

समान निरपेक्ष मान और विपरीत चिह्नों की त्रुटियाँ समान रूप से संभावित हैं।

त्रुटि का निरपेक्ष मान जितना बड़ा होगा, उसकी संभावना उतनी ही कम होगी।

यह पहले स्वयंसिद्ध से अनुसरण करता है कि अनंत आयामों के लिए (के लिए
)

और तब

लेकिन व्यवहार में मापन की सीमित संख्या ही प्राप्त की जा सकती है। और यह पर्याप्त निकला, क्योंकि दूसरे स्वयंसिद्ध के आधार पर, बड़ी त्रुटियां होने की संभावना नहीं है।

इसलिए यह इस प्रकार है
कई माप, और कार्य औसत मूल्य के सन्निकटन की डिग्री का अनुमान लगाना है।

3. प्रत्यक्ष या प्रत्यक्ष माप की त्रुटियाँ

यदि, मूल्य को मापने के परिणामस्वरूप बीप्राप्त मान
फिर अंकगणितीय माध्य

व्यक्तिगत माप की पूर्ण त्रुटियां
औसत मूल्य के अंतर के पूर्ण मूल्य के बराबर हैं और व्यक्तिगत माप के परिणाम

,
,…,

औसत पूर्ण माप त्रुटि।

माप का परिणाम निम्नानुसार प्रस्तुत किया गया है:

गणना अनुमानित गणना के नियमों को ध्यान में रखते हुए की जाती है।

सापेक्ष त्रुटि से पता चलता है कि औसत मूल्य की पूर्ण त्रुटि क्या अनुपात है और इसे आमतौर पर प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है

सबसे छोटी माप त्रुटि उपकरण त्रुटि से कम नहीं हो सकती। उत्तरार्द्ध को पासपोर्ट में इंगित किया गया है, या हम इसके लिए डिवाइस का आधा विभाजन मूल्य लेते हैं।

यदि माप एक बार या कई दोहराव के साथ किया जाता है तो एक ही परिणाम प्राप्त होता है, तो माप त्रुटि को उपकरण की त्रुटि माना जाता है (उपकरण के पासपोर्ट या सटीकता वर्ग के अनुसार) या इसे आधे के बराबर लिया जाता है साधन के सबसे छोटे विभाजन की कीमत।

डिवाइस की सटीकता वर्ग डिवाइस की अधिकतम त्रुटि से निर्धारित होती है, जिसे पूर्ण पैमाने के मान के प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, 0.5 की सटीकता कक्षा का अर्थ है 0.5% की त्रुटि जब सूचक पूर्ण पैमाने पर विचलन करता है। जब सूचक आधे पैमाने से विचलित होता है, तो त्रुटि दोगुनी हो जाती है, और जब सूचक पैमाने के एक तिहाई से विचलित होता है, तो यह तीन गुना हो जाता है।

4. अप्रत्यक्ष माप की त्रुटियां

अप्रत्यक्ष माप के साथ, मान एक्स सीधे मापी गई मात्राओं के कार्य के रूप में पाया जाता है ए, बी, साथ. पूर्ण त्रुटियाँ
प्रत्यक्ष माप एक पूर्ण त्रुटि का कारण बनता है
जब मिला
निम्नलिखित प्रमेयों का प्रयोग करें:

1. योग की पूर्ण त्रुटि (अंतर) शर्तों की पूर्ण त्रुटियों के योग के बराबर है (कम और घटाया गया)

,

2. उत्पाद की पूर्ण त्रुटि पहले कारक के उत्पादों के योग के बराबर है, दूसरे की पूर्ण त्रुटि से और दूसरे कारक से पहले की पूर्ण त्रुटि से

,

3. भागफल की पूर्ण त्रुटि भाजक की पूर्ण त्रुटि द्वारा लाभांश के उत्पादों के योग के बराबर है और भाजक के वर्ग द्वारा विभाजित लाभांश की पूर्ण त्रुटि से भाजक

,

रिश्तेदारों की गलती

गणितीय विश्लेषण यह दर्शाता है

जिसमें एक्स - कुछ फंक्शन है
आदि स्पष्ट रूप से, और इसलिए कोई लघुगणक से इसके अंतर की गणना कर सकता है, जिसमें शामिल होगा
वगैरह।

यदि हम परिणामी व्यंजक में सभी अंतरों को छोटे परिमित अंतरों से बदल दें
आदि, तब हमें सापेक्ष त्रुटि का सूत्र प्राप्त होता है

परिमित अंतर के लिए

.

अगर
प्रत्यक्ष मापन में पूर्ण त्रुटियाँ हैं ए, बी, साथ, वह
मूल्य की पूर्ण त्रुटि है एक्स.

सापेक्ष त्रुटि ज्ञात करने का सूत्र इस प्रकार लिखा जाएगा: (सभी पद निरपेक्ष मान में लिए गए हैं)

.

प्रतिशत के रूप में व्यक्त करने के लिए, आपको दाएं और बाएं भागों को 100% से गुणा करना होगा।

इस सूत्र का उपयोग पूर्ण त्रुटि खोजने के लिए भी किया जा सकता है।

वास्तव में,

.

परिणाम इस प्रकार प्रस्तुत किए गए हैं:
.

यदि समारोह एक्स एक जटिल योग या अंतर का प्रतिनिधित्व करता है, फिर प्रत्येक शब्द के लिए अलग-अलग त्रुटियां पाई जाती हैं, और फिर योग किया जाता है। ऐसे मामलों में जहां मूल्य खोजने के सूत्र एक्सअनुमानित संख्या के रूप में व्यक्त की गई भौतिक या गणितीय संदर्भ मात्राएं शामिल हैं, उनकी त्रुटियों को सबसे निचली पंक्ति की आधी इकाई माना जाता है। उदाहरण के लिए,

औसत का सबसे सामान्य प्रकार अंकगणितीय औसत है।

सरल अंकगणितीय औसत

सरल अंकगणितीय औसत औसत शब्द है, यह निर्धारित करने में कि डेटा में दी गई विशेषता की कुल मात्रा इस आबादी में शामिल सभी इकाइयों के बीच समान रूप से वितरित की जाती है। इस प्रकार, प्रति कर्मचारी औसत वार्षिक उत्पादन उत्पादन उत्पादन की मात्रा का एक ऐसा मूल्य है जो प्रत्येक कर्मचारी पर पड़ता है यदि उत्पादन की पूरी मात्रा संगठन के सभी कर्मचारियों के बीच समान रूप से वितरित की जाती है। अंकगणित माध्य सरल मान की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

सरल अंकगणितीय औसत- कुल में सुविधाओं की संख्या के लिए एक विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के योग के अनुपात के बराबर

औसत वेतन ज्ञात कीजिए
उपाय: (3 + 3.2 + 3.3 +3.5 + 3.8 + 3.1) / 6 = 3.32 हजार रूबल।

अंकगणितीय भारित औसत

यदि डेटा सेट का आयतन बड़ा है और वितरण श्रृंखला का प्रतिनिधित्व करता है, तो एक भारित अंकगणितीय माध्य की गणना की जाती है। उत्पादन की प्रति इकाई भारित औसत मूल्य इस प्रकार निर्धारित होता है: उत्पादन की कुल लागत (इसकी मात्रा के उत्पादों का योग और उत्पादन की एक इकाई की कीमत) को उत्पादन की कुल मात्रा से विभाजित किया जाता है।

हम इसे निम्न सूत्र के रूप में दर्शाते हैं:

भारित अंकगणितीय माध्य- अनुपात के बराबर है (इस विशेषता की पुनरावृत्ति की आवृत्ति के लिए विशेषता मान के उत्पादों का योग) (सभी विशेषताओं की आवृत्तियों का योग)। इसका उपयोग तब किया जाता है जब अध्ययन की गई आबादी के वेरिएंट एक असमान होते हैं कई बार।

श्रमिकों की कुल संख्या से कुल वेतन को विभाजित करके औसत वेतन प्राप्त किया जा सकता है:

उत्तर: 3.35 हजार रूबल।

एक अंतराल श्रृंखला के लिए अंकगणितीय माध्य

अंतराल भिन्नता श्रृंखला के लिए अंकगणितीय माध्य की गणना करते समय, प्रत्येक अंतराल के औसत को पहले ऊपरी और निचली सीमाओं के आधे योग के रूप में निर्धारित किया जाता है, और फिर पूरी श्रृंखला का औसत। खुले अंतराल के मामले में, निचले या ऊपरी अंतराल का मान उनके निकटवर्ती अंतराल के मान से निर्धारित होता है।

अंतराल श्रृंखला से परिकलित औसत अनुमानित हैं।

उदाहरण 3. शाम के विभाग में छात्रों की औसत आयु निर्धारित करें।

अंतराल श्रृंखला से परिकलित औसत अनुमानित हैं। उनके सन्निकटन की डिग्री इस बात पर निर्भर करती है कि अंतराल के भीतर जनसंख्या इकाइयों का वास्तविक वितरण किस हद तक एकसमान हो जाता है।

औसत की गणना करते समय, न केवल निरपेक्ष, बल्कि सापेक्ष मूल्यों (आवृत्ति) का भी वजन के रूप में उपयोग किया जा सकता है:

अंकगणित माध्य में कई गुण होते हैं जो इसके सार को पूरी तरह से प्रकट करते हैं और गणना को सरल बनाते हैं:

1. औसत का उत्पाद और आवृत्तियों का योग हमेशा संस्करण और आवृत्तियों के उत्पादों के योग के बराबर होता है, अर्थात।

2. भिन्न मानों के योग का अंकगणितीय माध्य इन मानों के अंकगणितीय माध्यों के योग के बराबर होता है:

3. औसत से विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के विचलन का बीजगणितीय योग शून्य है:

4. माध्य से विकल्पों के वर्ग विचलन का योग किसी अन्य मनमाने मूल्य से वर्ग विचलन के योग से कम है, अर्थात।