भिन्नों को उसी से कैसे गुणा करें। भिन्न के साथ क्रिया

) और हर द्वारा हर (हमें उत्पाद का हर मिलता है)।

भिन्न गुणन सूत्र:

उदाहरण के लिए:

अंशों और हरों के गुणन के साथ आगे बढ़ने से पहले, भिन्न में कमी की संभावना की जांच करना आवश्यक है। यदि आप भिन्न को कम करने का प्रबंधन करते हैं, तो आपके लिए गणना करना जारी रखना आसान होगा।

साधारण भिन्न का भिन्न से भाग।

एक प्राकृतिक संख्या को शामिल करते हुए भिन्नों का विभाजन।

यह उतना डरावना नहीं है जितना लगता है। जैसा कि जोड़ के मामले में होता है, हम हर में एक इकाई के साथ एक पूर्णांक को भिन्न में परिवर्तित करते हैं। उदाहरण के लिए:

मिश्रित भिन्नों का गुणन।

भिन्नों को गुणा करने के नियम (मिश्रित):

• मिश्रित भिन्नों को अनुचित में बदलना;
• भिन्नों के अंशों और हरों को गुणा करें;
• हम अंश को कम करते हैं;
• यदि हमें अनुचित भिन्न मिलता है, तो हम अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न में बदल देते हैं।

ध्यान दें!मिश्रित भिन्न को किसी अन्य मिश्रित भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको पहले उन्हें अनुचित भिन्नों के रूप में लाना होगा, और फिर साधारण भिन्नों को गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा करना होगा।

किसी भिन्न को प्राकृत संख्या से गुणा करने का दूसरा तरीका।

किसी साधारण भिन्न को किसी संख्या से गुणा करने की दूसरी विधि का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होता है।

ध्यान दें!किसी भिन्न को एक प्राकृत संख्या से गुणा करने के लिए, भिन्न के हर को इस संख्या से विभाजित करना आवश्यक है, और अंश को अपरिवर्तित छोड़ दें।

उपरोक्त उदाहरण से, यह स्पष्ट है कि यह विकल्प उपयोग करने के लिए अधिक सुविधाजनक है जब एक अंश के हर को एक प्राकृतिक संख्या से शेष के बिना विभाजित किया जाता है।

बहुस्तरीय अंश।

हाई स्कूल में, तीन-कहानी (या अधिक) अंश अक्सर पाए जाते हैं। उदाहरण:

ऐसे भिन्न को उसके सामान्य रूप में लाने के लिए, 2 बिंदुओं से विभाजन का उपयोग किया जाता है:

ध्यान दें!भिन्नों को विभाजित करते समय, विभाजन का क्रम बहुत महत्वपूर्ण होता है। सावधान रहें, यहां भ्रमित होना आसान है।

ध्यान दें, उदाहरण के लिए:

एक को किसी भिन्न से भाग देने पर, परिणाम वही भिन्न होगा, केवल उल्टा:

भिन्नों को गुणा और भाग करने के लिए व्यावहारिक सुझाव:

1. भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों के साथ काम करने में सबसे महत्वपूर्ण बात सटीकता और सावधानी है। सभी गणनाएं सावधानीपूर्वक और सटीक, एकाग्र और स्पष्ट रूप से करें। अपने दिमाग में गणनाओं में भ्रमित होने की तुलना में मसौदे में कुछ अतिरिक्त पंक्तियों को लिखना बेहतर है।

2. विभिन्न प्रकार के भिन्नों वाले कार्यों में - साधारण भिन्नों के प्रकार पर जाएँ।

3. हम सभी भिन्नों को तब तक घटाते हैं जब तक कि इसे कम करना संभव न हो।

4. हम 2 बिंदुओं के माध्यम से विभाजन का उपयोग करते हुए बहु-स्तरीय भिन्नात्मक व्यंजकों को साधारण व्यंजक में लाते हैं।

5. हम केवल भिन्न को पलट कर इकाई को अपने दिमाग में भिन्न में विभाजित करते हैं।

एक अन्य ऑपरेशन जो साधारण भिन्नों के साथ किया जा सकता है, वह है गुणन। हम समस्याओं को हल करते समय इसके मूल नियमों को समझाने की कोशिश करेंगे, यह दिखाएंगे कि कैसे एक साधारण अंश को एक प्राकृतिक संख्या से गुणा किया जाता है और तीन या अधिक साधारण अंशों को सही तरीके से कैसे गुणा किया जाता है।

आइए पहले मूल नियम लिखें:

परिभाषा 1

यदि हम एक साधारण भिन्न को गुणा करते हैं, तो परिणामी भिन्न का अंश मूल भिन्न के अंशों के गुणनफल के बराबर होगा, और हर उनके हर के गुणनफल के बराबर होगा। शाब्दिक रूप में, दो भिन्नों a / b और c / d के लिए, इसे a b · c d = a · c b · d के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

आइए एक उदाहरण देखें कि इस नियम को सही तरीके से कैसे लागू किया जाए। मान लीजिए कि हमारे पास एक वर्ग है जिसकी भुजा एक संख्यात्मक इकाई के बराबर है। तब आकृति का क्षेत्रफल 1 वर्ग होगा। इकाई। यदि हम वर्ग को संख्यात्मक इकाई के 1 4 और 1 8 के बराबर भुजाओं वाले समान आयतों में विभाजित करते हैं, तो हम पाते हैं कि इसमें अब 32 आयतें हैं (क्योंकि 8 4 = 32)। तदनुसार, उनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल संपूर्ण आकृति के क्षेत्रफल के 1 32 के बराबर होगा, अर्थात। 1 32 वर्ग। इकाइयाँ।

हमारे पास 5 8 संख्यात्मक इकाइयों और 3 4 संख्यात्मक इकाइयों के बराबर पक्षों वाला एक छायांकित टुकड़ा है। तदनुसार, इसके क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, पहले अंश को दूसरे से गुणा करना आवश्यक है। यह 5 8 3 4 वर्ग मीटर के बराबर होगा। इकाइयाँ। लेकिन हम केवल यह गिन सकते हैं कि टुकड़े में कितने आयत शामिल हैं: उनमें से 15 हैं, जिसका अर्थ है कि कुल क्षेत्रफल 1532 वर्ग इकाई है।

चूँकि 5 3 = 15 और 8 4 = 32 हम निम्नलिखित समीकरण लिख सकते हैं:

5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32

यह उस नियम की पुष्टि है जिसे हमने साधारण भिन्नों को गुणा करने के लिए तैयार किया है, जिसे a b · c d = a · c b · d के रूप में व्यक्त किया जाता है। यह उचित और अनुचित दोनों भिन्नों के लिए समान कार्य करता है; इसका उपयोग भिन्न और समान हर से भिन्नों को गुणा करने के लिए किया जा सकता है।

आइए साधारण भिन्नों के गुणन के लिए कई समस्याओं के समाधान का विश्लेषण करें।

उदाहरण 1

7 11 को 9 8 से गुणा करें।

समाधान

आरंभ करने के लिए, हम संकेतित भिन्नों के अंशों के गुणनफल की गणना 7 को 9 से गुणा करके करते हैं। हमें 63 मिले। फिर हम हर के गुणनफल की गणना करते हैं और प्राप्त करते हैं: 11 8 = 88। आइए दो नंबरों से उत्तर लिखें: 63 88।

पूरा समाधान इस तरह लिखा जा सकता है:

7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88

उत्तर: 7 11 9 8 = 63 88।

अगर उत्तर में हमें एक कम करने योग्य अंश मिलता है, तो हमें गणना पूरी करने और इसकी कमी करने की आवश्यकता होती है। यदि हमें कोई अनुचित भिन्न मिलता है, तो हमें उसमें से पूरा भाग चुनना होगा।

उदाहरण 2

भिन्नों के गुणनफल की गणना करें 4 15 और 55 6।

समाधान

ऊपर अध्ययन किए गए नियम के अनुसार, हमें अंश को अंश से और हर को हर से गुणा करना होता है। समाधान प्रविष्टि इस तरह दिखेगी:

4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90

हमने एक घटा हुआ अंश प्राप्त किया है, अर्थात। वह जिसमें 10 से विभाज्यता का चिन्ह हो।

आइए अंश को कम करें: 220 90 जीसीडी (220, 90) \u003d 10, 220 90 \u003d 220: 10 90: 10 \u003d 22 9। नतीजतन, हमें एक अनुचित अंश मिला, जिसमें से हम पूरे भाग का चयन करते हैं और एक मिश्रित संख्या प्राप्त करते हैं: 22 9 \u003d 2 4 9।

उत्तर: 4 15 55 6 = 2 4 9 .

गणना की सुविधा के लिए, हम गुणन संक्रिया करने से पहले मूल भिन्नों को भी कम कर सकते हैं, जिसके लिए हमें भिन्न को a · c b · d के रूप में लाना होगा। हम चर के मूल्यों को सरल कारकों में विघटित करते हैं और उन्हें रद्द कर देते हैं।

आइए हम बताते हैं कि किसी विशिष्ट समस्या के डेटा का उपयोग करना कैसा दिखता है।

उदाहरण 3

गुणनफल 4 15 55 6 परिकलित कीजिए।

समाधान

आइए गुणन नियम के आधार पर गणनाएँ लिखें। हम यह कर सकेंगे:

4 15 55 6 = 4 55 15 6

चूँकि 4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 और 6 = 2 3, तो 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3।

2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9

उत्तर: 4 15 55 6 = 2 4 9।

एक संख्यात्मक व्यंजक जिसमें साधारण भिन्नों का गुणन होता है, में एक क्रमविनिमेय गुण होता है, अर्थात्, यदि आवश्यक हो, तो हम कारकों के क्रम को बदल सकते हैं:

ए बी सी डी = सी डी ए बी = ए सी बी डी

किसी भिन्न को प्राकृत संख्या से गुणा कैसे करें

आइए मूल नियम को तुरंत लिख लें, और फिर इसे व्यवहार में समझाने का प्रयास करें।

परिभाषा 2

एक साधारण भिन्न को एक प्राकृत संख्या से गुणा करने के लिए, आपको इस भिन्न के अंश को इस संख्या से गुणा करना होगा। इस मामले में, अंतिम भिन्न का हर मूल साधारण भिन्न के हर के बराबर होगा। किसी भिन्न a b को एक प्राकृत संख्या n से गुणा करने पर एक सूत्र a b · n = a · n b के रूप में लिखा जा सकता है।

इस सूत्र को समझना आसान है यदि आपको याद है कि किसी भी प्राकृतिक संख्या को एक साधारण भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिसका हर एक के बराबर होता है, अर्थात:

a b n = a b n 1 = a n b 1 = a n b

आइए हम अपने विचार को विशिष्ट उदाहरणों के साथ समझाएं।

उदाहरण 4

2 27 बटा 5 के गुणनफल की गणना करें।

समाधान

मूल भिन्न के अंश को दूसरे गुणनखंड से गुणा करने पर हमें 10 प्राप्त होता है। उपरोक्त नियम के आधार पर, हमें परिणाम के रूप में 10 27 मिलेंगे। इस पोस्ट में पूरा समाधान दिया गया है:

2 27 5 = 2 5 27 = 10 27

उत्तर: 2 27 5 = 10 27

जब हम एक प्राकृत संख्या को एक सामान्य भिन्न से गुणा करते हैं, तो हमें अक्सर परिणाम को कम करना पड़ता है या इसे मिश्रित संख्या के रूप में प्रस्तुत करना पड़ता है।

उदाहरण 5

शर्त: 8 गुना 5 12 के गुणनफल की गणना करें।

समाधान

ऊपर दिए गए नियम के अनुसार, हम एक प्राकृत संख्या को अंश से गुणा करते हैं। परिणामस्वरूप, हम पाते हैं कि 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12। अंतिम अंश में 2 से विभाज्यता के संकेत हैं, इसलिए हमें इसे कम करने की आवश्यकता है:

एलसीएम (40, 12) \u003d 4, सो 40 12 \u003d 40: 4 12: 4 \u003d 10 3

अब हमें केवल पूर्णांक भाग का चयन करना है और समाप्त उत्तर लिखना है: 10 3 = 3 1 3।

इस प्रविष्टि में, आप संपूर्ण समाधान देख सकते हैं: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3।

हम अंश और हर को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके भी अंश को कम कर सकते हैं, और परिणाम बिल्कुल वैसा ही होगा।

उत्तर: 5 12 8 = 3 1 3।

एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति जिसमें एक प्राकृतिक संख्या को एक अंश से गुणा किया जाता है, में भी विस्थापन गुण होता है, अर्थात, कारकों का क्रम परिणाम को प्रभावित नहीं करता है:

ए बी एन = एन ए बी = ए एन बी

तीन या अधिक सामान्य भिन्नों को कैसे गुणा करें

हम साधारण अंशों के गुणन को उन्हीं गुणों तक बढ़ा सकते हैं जो प्राकृतिक संख्याओं के गुणन की विशेषता हैं। यह इन अवधारणाओं की बहुत परिभाषा से आता है।

साहचर्य और कम्यूटेटिव गुणों के ज्ञान के लिए धन्यवाद, तीन या अधिक साधारण अंशों को गुणा करना संभव है। अधिक सुविधा के लिए कारकों को स्थानों में पुनर्व्यवस्थित करना या कोष्ठक को इस तरह से व्यवस्थित करना अनुमत है जिससे गिनना आसान हो जाए।

आइए एक उदाहरण दिखाते हैं कि यह कैसे किया जाता है।

उदाहरण 6

चार उभयनिष्ठ भिन्नों 1 20 , 12 5 , 3 7 और 5 8 का गुणा कीजिए।

समाधान: सबसे पहले, काम को रिकॉर्ड करते हैं। हमें 1 20 12 5 3 7 5 8 मिलता है। हमें सभी अंशों और सभी हरों को एक साथ गुणा करना होगा: 1 20 12 5 3 7 5 8 = 1 12 3 5 20 5 7 8।

इससे पहले कि हम गुणा करना शुरू करें, हम इसे अपने लिए थोड़ा आसान बना सकते हैं और कुछ संख्याओं को आगे घटाने के लिए अभाज्य गुणनखंडों में विघटित कर सकते हैं। इसके परिणामस्वरूप तैयार अंश को कम करने की तुलना में यह आसान होगा।

1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9 280

उत्तर: 1 12 3 5 20 5 7 8 = 9280.

उदाहरण 7

5 संख्या 7 8 12 8 5 36 10 गुणा करें।

समाधान

सुविधा के लिए, हम संख्या 8 के साथ भिन्न 7 8 और संख्या 12 को भिन्न 5 36 के साथ समूहित कर सकते हैं, क्योंकि इससे हमें भविष्य में कटौती स्पष्ट हो जाएगी। परिणामस्वरूप, हम प्राप्त करेंगे:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = = 7 5 3 10 = 7 5 10 3 = 350 3 = 116 2 3

उत्तर: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3 .

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अंशों का गुणन और विभाजन।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

यह ऑपरेशन जोड़-घटाव की तुलना में बहुत अच्छा है! क्योंकि यह आसान है। मैं आपको याद दिलाता हूं: एक अंश को एक अंश से गुणा करने के लिए, आपको अंशों को गुणा करना होगा (यह परिणाम का अंश होगा) और हर (यह हर होगा)। अर्थात्:

उदाहरण के लिए:

सब कुछ बेहद सरल है. और कृपया एक सामान्य हर की तलाश न करें! यहां इसकी जरूरत नहीं है ...

भिन्न को भिन्न से भाग देने के लिए, आपको पलटना होगा दूसरा(यह महत्वपूर्ण है!) भिन्न और उन्हें गुणा करें, अर्थात:

उदाहरण के लिए:

यदि पूर्णांकों और भिन्नों के साथ गुणा या भाग पकड़ा जाता है, तो कोई बात नहीं। इसके अलावा, हम हर में एक इकाई के साथ एक पूर्ण संख्या से एक अंश बनाते हैं - और जाओ! उदाहरण के लिए:

हाई स्कूल में, आपको अक्सर तीन-कहानी (या चार-कहानी!) भिन्नों से निपटना पड़ता है। उदाहरण के लिए:

इस भिन्न को सभ्य रूप में कैसे लाया जाए? हाँ, बहुत आसान! दो बिंदुओं के माध्यम से विभाजन का प्रयोग करें:

लेकिन विभाजन के आदेश के बारे में मत भूलना! गुणन के विपरीत, यह यहाँ बहुत महत्वपूर्ण है! बेशक, हम 4:2 या 2:4 को भ्रमित नहीं करेंगे। लेकिन तीन मंजिला अंश में गलती करना आसान है। कृपया ध्यान दें, उदाहरण के लिए:

पहले मामले में (बाईं ओर अभिव्यक्ति):

दूसरे में (दाईं ओर अभिव्यक्ति):

अंतर महसूस करें? 4 और 1/9!

विभाजन का क्रम क्या है? या कोष्ठक, या (यहाँ के रूप में) क्षैतिज डैश की लंबाई। एक आँख विकसित करें। और अगर कोई कोष्ठक या डैश नहीं हैं, जैसे:

फिर विभाजित-गुणा क्रम में, बाएं से दाएं!

और एक और बहुत ही सरल और महत्वपूर्ण ट्रिक। डिग्री के साथ कार्यों में, यह आपके काम आएगा! आइए इकाई को किसी भिन्न से विभाजित करें, उदाहरण के लिए, 13/15 से:

शॉट पलट गया! और यह हमेशा होता है। 1 को किसी भिन्न से भाग देने पर परिणाम वही भिन्न होता है, केवल उल्टा।

भिन्न के साथ यही सभी क्रियाएं हैं। बात काफी सरल है, लेकिन पर्याप्त से अधिक त्रुटियाँ देता है। व्यावहारिक सलाह पर ध्यान दें, और उनमें से कम (गलतियाँ) होंगी!

व्यावहारिक सुझाव:

1. भिन्नात्मक भावों के साथ काम करते समय सबसे महत्वपूर्ण बात सटीकता और सावधानी है! ये सामान्य शब्द नहीं हैं, शुभकामनाएँ नहीं! यह एक गंभीर आवश्यकता है! परीक्षा में सभी गणनाओं को एक पूर्ण कार्य के रूप में एकाग्रता और स्पष्टता के साथ करें। अपने दिमाग में गणना करते समय गड़बड़ करने की तुलना में मसौदे में दो अतिरिक्त पंक्तियाँ लिखना बेहतर है।

2. विभिन्न प्रकार के भिन्नों वाले उदाहरणों में - साधारण भिन्नों पर जाएं।

3. हम सभी भिन्नों को स्टॉप तक कम करते हैं।

4. हम दो बिंदुओं के माध्यम से विभाजन का उपयोग करके बहु-स्तरीय भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को साधारण लोगों तक कम करते हैं (हम विभाजन के क्रम का पालन करते हैं!)।

5. हम केवल भिन्न को पलट कर इकाई को अपने दिमाग में भिन्न में विभाजित करते हैं।

यहां वे कार्य हैं जिन्हें आपको पूरा करने की आवश्यकता है। सभी कार्यों के बाद उत्तर दिए जाते हैं। इस विषय की सामग्री और व्यावहारिक सलाह का प्रयोग करें। अनुमान लगाएं कि आप कितने उदाहरणों को सही ढंग से हल कर सकते हैं। पहली बार! कैलकुलेटर के बिना! और सही निष्कर्ष निकालें...

सही उत्तर याद रखें दूसरे (विशेषकर तीसरे) समय से प्राप्त - गिनती नहीं है!ऐसा कठोर जीवन है।

इसलिए, परीक्षा मोड में हल करें ! वैसे यह परीक्षा की तैयारी है। हम एक उदाहरण हल करते हैं, हम जांचते हैं, हम निम्नलिखित को हल करते हैं। हमने सब कुछ तय कर लिया - हमने पहली से आखिरी तक फिर से जाँच की। केवल फिरउत्तरों को देखो।

गणना करें:

क्या आपने फैसला कर लिया?

आप से मेल खाने वाले उत्तरों की तलाश में। मैंने जानबूझकर उन्हें प्रलोभन से दूर एक गड़बड़ी में लिखा था, इसलिए बोलने के लिए ... ये हैं, उत्तर, अर्धविराम के साथ लिखे गए हैं।

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

और अब हम निष्कर्ष निकालते हैं। अगर सब कुछ काम कर गया - आपके लिए खुश! भिन्नों के साथ प्राथमिक गणना आपकी समस्या नहीं है! आप अधिक गंभीर चीजें कर सकते हैं। अगर नहीं...

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साधारण भिन्नों का गुणन

एक उदाहरण पर विचार करें।

माना प्लेट पर एक सेब का $\frac(1)(3)$ हिस्सा है। हमें इसका $\frac(1)(2)$ भाग ज्ञात करना है। आवश्यक भाग भिन्नों $\frac(1)(3)$ और $\frac(1)(2)$ को गुणा करने का परिणाम है। दो उभयनिष्ठ भिन्नों को गुणा करने का परिणाम एक उभयनिष्ठ भिन्न होता है।

दो उभयनिष्ठ भिन्नों का गुणा करना

साधारण भिन्नों को गुणा करने का नियम:

किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने का परिणाम एक भिन्न होता है जिसका अंश गुणित भिन्नों के अंशों के गुणनफल के बराबर होता है, और हर हर के गुणनफल के बराबर होता है:

उदाहरण 1

साधारण भिन्नों $\frac(3)(7)$ और $\frac(5)(11)$ को गुणा करें।

समाधान।

आइए साधारण भिन्नों के गुणन के नियम का उपयोग करें:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

उत्तर:$\frac(15)(77)$

यदि भिन्नों को गुणा करने के परिणामस्वरूप एक रद्द करने योग्य या अनुचित अंश प्राप्त होता है, तो इसे सरल बनाना आवश्यक है।

उदाहरण 2

भिन्न $\frac(3)(8)$ और $\frac(1)(9)$ को गुणा करें।

समाधान।

हम साधारण भिन्नों को गुणा करने के लिए नियम का उपयोग करते हैं:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

नतीजतन, हमें एक कम करने योग्य अंश मिला (विभाजन के आधार पर $ 3$। भिन्न के अंश और हर को $ 3$ से विभाजित करें, हम प्राप्त करते हैं:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

संक्षिप्त समाधान:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

उत्तर:$\frac(1)(24).$

भिन्नों को गुणा करते समय, आप उनके गुणनफल को खोजने के लिए अंशों और हरों को कम कर सकते हैं। इस स्थिति में भिन्न के अंश और हर को सरल गुणनखंडों में विघटित कर दिया जाता है, जिसके बाद दोहराए जाने वाले गुणनखंड कम हो जाते हैं और परिणाम मिलता है।

उदाहरण 3

भिन्न $\frac(6)(75)$ और $\frac(15)(24)$ के गुणनफल की गणना करें।

समाधान।

आइए साधारण भिन्नों को गुणा करने के लिए सूत्र का उपयोग करें:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

जाहिर है, अंश और हर में ऐसी संख्याएँ होती हैं जिन्हें जोड़े में $ 2$, $ 3 $ और $ 5 $ से कम किया जा सकता है। हम अंश और हर को सरल गुणनखंडों में विघटित करते हैं और घटाते हैं:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

उत्तर:$\frac(1)(20).$

भिन्नों को गुणा करते समय, क्रमविनिमेय नियम लागू किया जा सकता है:

किसी भिन्न को प्राकृत संख्या से गुणा करना

एक साधारण भिन्न को एक प्राकृत संख्या से गुणा करने का नियम:

एक अंश को एक प्राकृतिक संख्या से गुणा करने का परिणाम एक अंश होता है जिसमें अंश प्राकृतिक संख्या से गुणा किए गए अंश के अंश के गुणनफल के बराबर होता है, और हर गुणित भिन्न के हर के बराबर होता है:

जहाँ $\frac(a)(b)$ एक उभयनिष्ठ भिन्न है, $n$ एक प्राकृत संख्या है।

उदाहरण 4

भिन्न $\frac(3)(17)$ को $4$ से गुणा करें।

समाधान।

आइए एक साधारण भिन्न को एक प्राकृत संख्या से गुणा करने के नियम का उपयोग करें:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

उत्तर:$\frac(12)(17).$

अंश की सिकुड़न या अनुचित भिन्न के लिए गुणन के परिणाम की जाँच करना न भूलें।

उदाहरण 5

भिन्न $\frac(7)(15)$ को $3$ से गुणा करें।

समाधान।

आइए एक भिन्न को एक प्राकृत संख्या से गुणा करने के लिए सूत्र का उपयोग करें:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

संख्या $3$ से विभाजन की कसौटी पर, यह निर्धारित किया जा सकता है कि परिणामी भिन्न को कम किया जा सकता है:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

परिणाम एक अनुचित अंश है। आइए पूरा हिस्सा लेते हैं:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

संक्षिप्त समाधान:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]

अंश और हर में संख्याओं को उनके विस्तार के साथ अभाज्य गुणनखंडों में बदलकर अंशों को कम करना भी संभव था। इस मामले में, समाधान निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

उत्तर:$1\frac(2)(5).$

किसी भिन्न को प्राकृत संख्या से गुणा करते समय, आप क्रमविनिमेय नियम का उपयोग कर सकते हैं:

साधारण भिन्नों का विभाजन

विभाजन संक्रिया गुणन का व्युत्क्रम है और इसका परिणाम एक भिन्न है जिसके द्वारा आपको ज्ञात भिन्न को दो भिन्नों का ज्ञात गुणनफल प्राप्त करने के लिए गुणा करने की आवश्यकता होती है।

दो सामान्य भिन्नों का विभाजन

साधारण भिन्नों को विभाजित करने का नियम:जाहिर है, परिणामी भिन्न के अंश और हर को सरल कारकों में विघटित किया जा सकता है और कम किया जा सकता है:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

नतीजतन, हमें एक अनुचित अंश मिला, जिसमें से हम पूर्णांक भाग का चयन करते हैं:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

उत्तर:$1\frac(5)(9).$

हम साधारण भिन्नों के गुणन पर कई संभावित तरीकों से विचार करेंगे।

भिन्न को भिन्न से गुणा करना

यह सबसे सरल मामला है, जिसमें आपको निम्नलिखित का उपयोग करने की आवश्यकता है भिन्न गुणन नियम.

प्रति भिन्न को भिन्न से गुणा करें, ज़रूरी:

• पहली भिन्न के अंश को दूसरी भिन्न के अंश से गुणा करें और उनके गुणनफल को नई भिन्न के अंश में लिखें;
• पहली भिन्न के हर को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करें और उनके गुणनफल को नए भिन्न के हर में लिखें;

अंशों और हरों को गुणा करने से पहले, जांच लें कि क्या भिन्नों को कम किया जा सकता है। गणनाओं में भिन्नों को कम करने से आपकी गणना में काफी सुविधा होगी।



किसी भिन्न को प्राकृत संख्या से गुणा करना

भिन्न करने के लिए एक प्राकृतिक संख्या से गुणा करेंआपको भिन्न के अंश को इस संख्या से गुणा करना होगा, और भिन्न के हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा।

यदि गुणन का परिणाम एक अनुचित भिन्न है, तो इसे मिश्रित संख्या में बदलना न भूलें, अर्थात पूरे भाग का चयन करें।



मिश्रित संख्याओं का गुणन

मिश्रित संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको पहले उन्हें अनुचित भिन्नों में बदलना होगा और फिर साधारण भिन्नों को गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा करना होगा।



किसी भिन्न को प्राकृत संख्या से गुणा करने का दूसरा तरीका

कभी-कभी गणना में किसी साधारण भिन्न को किसी संख्या से गुणा करने की भिन्न विधि का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होता है।

किसी भिन्न को एक प्राकृत संख्या से गुणा करने के लिए, आपको भिन्न के हर को इस संख्या से विभाजित करना होगा, और अंश को वही छोड़ देना होगा।



जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, नियम के इस संस्करण का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है यदि अंश का हर एक प्राकृतिक संख्या से शेष के बिना विभाज्य है।

भिन्न के साथ क्रिया

समान हर के साथ भिन्न जोड़ना

भिन्नों को जोड़ना दो प्रकार का होता है:

• समान हर के साथ भिन्न जोड़ना
• भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ना

आइए समान हर वाले भिन्नों को जोड़कर प्रारंभ करें। यहाँ सब कुछ सरल है। समान हर के साथ भिन्न जोड़ने के लिए, आपको उनके अंशों को जोड़ना होगा, और हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा। उदाहरण के लिए, आइए भिन्नों को जोड़ें और . हम अंश जोड़ते हैं, और हर को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं:



इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि हम एक पिज्जा के बारे में सोचते हैं जो चार भागों में बांटा गया है। यदि आप पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा मिलाते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है:

उदाहरण 2भिन्न जोड़ें और .

फिर से, अंश जोड़ें, और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें:



उत्तर एक अनुचित अंश है। यदि कार्य का अंत आता है, तो यह अनुचित अंशों से छुटकारा पाने के लिए प्रथागत है। एक अनुचित भिन्न से छुटकारा पाने के लिए, आपको उसमें पूरे भाग का चयन करना होगा। हमारे मामले में, पूर्णांक भाग आसानी से आवंटित किया जाता है - दो को दो से विभाजित करना एक के बराबर होता है:



इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि हम एक पिज्जा के बारे में सोचते हैं जो दो भागों में विभाजित है। यदि आप पिज्जा में अधिक पिज्जा जोड़ते हैं, तो आपको एक पूरा पिज्जा मिलता है:

उदाहरण 3. भिन्न जोड़ें और .



इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि हम एक पिज्जा के बारे में सोचते हैं जो तीन भागों में बांटा गया है। यदि आप पिज्जा में अधिक पिज्जा जोड़ते हैं, तो आपको पिज्जा मिलता है:

उदाहरण 4व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

यह उदाहरण पिछले वाले की तरह ही हल किया गया है। अंशों को जोड़ा जाना चाहिए और हर को अपरिवर्तित छोड़ दिया जाना चाहिए:

आइए एक चित्र का उपयोग करके अपने समाधान को चित्रित करने का प्रयास करें। यदि आप पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा जोड़ते हैं और अधिक पिज़्ज़ा जोड़ते हैं, तो आपको 1 संपूर्ण पिज़्ज़ा और अधिक पिज़्ज़ा मिलता है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, समान हर वाले भिन्नों को जोड़ना मुश्किल नहीं है। निम्नलिखित नियमों को समझना पर्याप्त है:

1. समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको उनके अंशों को जोड़ना होगा, और हर को समान छोड़ना होगा;
2. यदि उत्तर गलत भिन्न निकला, तो आपको उसमें पूरे भाग का चयन करने की आवश्यकता है।

भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ना

अब हम सीखेंगे कि भिन्न हरों वाली भिन्नों को कैसे जोड़ा जाता है। भिन्नों को जोड़ते समय, उन भिन्नों के हर समान होने चाहिए। लेकिन वे हमेशा एक जैसे नहीं होते हैं।

उदाहरण के लिए, भिन्नों को जोड़ा जा सकता है क्योंकि उनके हर समान होते हैं।

लेकिन भिन्नों को एक साथ नहीं जोड़ा जा सकता, क्योंकि इन भिन्नों के हर अलग-अलग होते हैं। ऐसे मामलों में, भिन्नों को समान (सामान्य) हर में घटाया जाना चाहिए।

भिन्नों को एक ही हर में कम करने के कई तरीके हैं। आज हम उनमें से केवल एक पर विचार करेंगे, क्योंकि बाकी विधियाँ एक शुरुआत के लिए जटिल लग सकती हैं।

इस पद्धति का सार यह है कि दोनों भिन्नों के हरों के सबसे कम सामान्य गुणक (LCM) को पहले खोजा जाता है। फिर एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित किया जाता है और पहला अतिरिक्त कारक प्राप्त होता है। वे दूसरे अंश के साथ भी ऐसा ही करते हैं - एनओसी को दूसरे अंश के हर से विभाजित किया जाता है और दूसरा अतिरिक्त कारक प्राप्त किया जाता है।

फिर भिन्नों के अंशों और हरों को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा किया जाता है। इन क्रियाओं के परिणामस्वरूप, भिन्न हर वाले भिन्न भिन्नों में बदल जाते हैं जिनके हर समान होते हैं। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे जोड़ना है।

उदाहरण 1. भिन्न जोड़ें और

इन भिन्नों के अलग-अलग हर होते हैं, इसलिए आपको उन्हें समान (सामान्य) हर में लाना होगा।

सबसे पहले, हम दोनों भिन्नों के हरों में से सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज पाते हैं। पहली भिन्न का हर संख्या 3 है, और दूसरी भिन्न का हर संख्या 2 है। इन संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणज 6 है।

एलसीएम (2 और 3) = 6

अब वापस भिन्नों पर और . सबसे पहले, हम एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित करते हैं और पहला अतिरिक्त कारक प्राप्त करते हैं। एलसीएम संख्या 6 है, और पहली भिन्न का हर संख्या 3 है। 6 को 3 से विभाजित करने पर हमें 2 प्राप्त होता है।

परिणामी संख्या 2 पहला अतिरिक्त कारक है। हम इसे पहले अंश में लिखते हैं। ऐसा करने के लिए, हम भिन्न के ऊपर एक छोटी तिरछी रेखा बनाते हैं और इसके ऊपर पाया गया अतिरिक्त कारक लिखते हैं:

हम दूसरे अंश के साथ भी ऐसा ही करते हैं। हम एलसीएम को दूसरी भिन्न के हर से विभाजित करते हैं और दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड प्राप्त करते हैं। एलसीएम संख्या 6 है, और दूसरी भिन्न का हर संख्या 2 है। 6 को 2 से विभाजित करने पर हमें 3 प्राप्त होता है।

परिणामी संख्या 3 दूसरा अतिरिक्त कारक है। हम इसे दूसरे अंश में लिखते हैं। फिर से, हम दूसरी भिन्न के ऊपर एक छोटी तिरछी रेखा बनाते हैं और इसके ऊपर पाया गया अतिरिक्त गुणनखंड लिखते हैं:

अब हम जोड़ने के लिए पूरी तरह तैयार हैं। यह भिन्न के अंशों और हरों को उनके अतिरिक्त कारकों से गुणा करने के लिए बनी हुई है:



गौर से देखिए कि हम क्या हासिल कर चुके हैं। हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि भिन्न हर वाले भिन्न भिन्नों में बदल गए जिनके हर समान थे। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे जोड़ना है। आइए इस उदाहरण को अंत तक पूरा करें:



इस प्रकार उदाहरण समाप्त होता है। जोड़ने के लिए निकला।

आइए एक चित्र का उपयोग करके अपने समाधान को चित्रित करने का प्रयास करें। यदि आप पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा जोड़ते हैं, तो आपको एक पूरा पिज़्ज़ा और दूसरा पिज़्ज़ा का छठा हिस्सा मिलता है:

भिन्नों को उसी (सामान्य) हर में कम करना भी एक चित्र का उपयोग करके चित्रित किया जा सकता है। भिन्नों को और एक सामान्य हर में लाने पर, हमें भिन्न और . इन दो भिन्नों को पिज्जा के समान स्लाइस द्वारा दर्शाया जाएगा। फर्क सिर्फ इतना होगा कि इस बार उन्हें बराबर शेयरों (एक ही हर में घटाकर) में बांटा जाएगा।



पहला चित्र एक भिन्न दिखाता है (छः में से चार टुकड़े) और दूसरा चित्र एक भिन्न दिखाता है (छह में से तीन टुकड़े)। इन टुकड़ों को एक साथ रखने पर हमें (छः में से सात टुकड़े) मिलते हैं। यह भिन्न गलत है, इसलिए हमने इसमें पूर्णांक भाग को हाइलाइट किया है। परिणाम था (एक पूरा पिज्जा और दूसरा छठा पिज्जा)।

ध्यान दें कि हमने इस उदाहरण को बहुत अधिक विस्तार से चित्रित किया है। शिक्षण संस्थानों में इस तरह के विस्तृत तरीके से लिखने की प्रथा नहीं है। आपको दोनों हरों और उनके लिए अतिरिक्त कारकों के एलसीएम को जल्दी से खोजने में सक्षम होना चाहिए, साथ ही आपके अंश और हरों द्वारा पाए गए अतिरिक्त कारकों को जल्दी से गुणा करना होगा। स्कूल में रहते हुए, हमें इस उदाहरण को इस प्रकार लिखना होगा:



लेकिन सिक्के का दूसरा पहलू भी है। यदि गणित के अध्ययन के पहले चरणों में विस्तृत नोट्स नहीं बनाए जाते हैं, तो इस तरह के प्रश्न "वह संख्या कहाँ से आती है?", "अंश अचानक पूरी तरह से भिन्न भिन्नों में क्यों बदल जाते हैं? «.

भिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ना आसान बनाने के लिए, आप निम्न चरण-दर-चरण निर्देशों का उपयोग कर सकते हैं:

3. भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात कीजिए;
4. प्रत्येक भिन्न के हर से LCM को विभाजित करें और प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणक प्राप्त करें;
5. भिन्नों के अंशों और हरों को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करें;
6. समान हर वाले भिन्न जोड़ें;
7. यदि उत्तर गलत भिन्न निकला हो, तो उसके पूरे भाग का चयन करें;

उदाहरण 2व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए .

आइए ऊपर दिए गए आरेख का उपयोग करें।

चरण 1. भिन्नों के हरों के लिए LCM ज्ञात कीजिए

हम दोनों भिन्नों के हरों के लिए LCM ज्ञात करते हैं। भिन्नों के हर संख्या 2, 3 और 4 हैं। आपको इन संख्याओं के लिए LCM खोजने की आवश्यकता है:

चरण 2. एलसीएम को प्रत्येक भिन्न के हर से विभाजित करें और प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणक प्राप्त करें

एलसीएम को पहले भिन्न के हर से विभाजित करें। एलसीएम संख्या 12 है, और पहली भिन्न का हर संख्या 2 है। 12 को 2 से विभाजित करने पर, हमें 6 मिलता है। हमें पहला अतिरिक्त गुणनखंड 6 मिलता है। हम इसे पहले भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब हम LCM को दूसरी भिन्न के हर से भाग देते हैं। LCM संख्या 12 है, और दूसरी भिन्न का हर संख्या 3 है। हम 12 को 3 से विभाजित करते हैं, हमें 4 मिलता है। हमें दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड 4 मिलता है। हम इसे दूसरे भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब हम एलसीएम को तीसरे भिन्न के हर से विभाजित करते हैं। एलसीएम संख्या 12 है, और तीसरे अंश का हर संख्या 4 है। 12 को 4 से विभाजित करने पर, हमें 3 मिलता है। हमें तीसरा अतिरिक्त कारक मिलता है। हम इसे तीसरे अंश पर लिखते हैं:

चरण 3. भिन्नों के अंशों और हरों को अपने अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करें

हम अंशों और हरों को अपने अतिरिक्त कारकों से गुणा करते हैं:

चरण 4. भिन्नों को जोड़ें जिनमें समान हर हों

हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि भिन्न हर वाले भिन्न भिन्नों में बदल गए जिनके समान (सामान्य) भाजक हैं। इन अंशों को जोड़ना बाकी है। जोड़ें:



जोड़ एक पंक्ति में फिट नहीं हुआ, इसलिए हमने शेष व्यंजक को अगली पंक्ति में स्थानांतरित कर दिया। गणित में इसकी अनुमति है। जब कोई व्यंजक एक पंक्ति पर फिट नहीं बैठता है, तो उसे अगली पंक्ति में ले जाया जाता है, और पहली पंक्ति के अंत में और एक नई पंक्ति की शुरुआत में एक समान चिह्न (=) लगाना आवश्यक है। दूसरी पंक्ति पर समान चिह्न इंगित करता है कि यह उस व्यंजक की निरंतरता है जो पहली पंक्ति पर था।

चरण 5. यदि उत्तर गलत भिन्न निकला है, तो इसके पूर्णांक भाग का चयन करें

हमारा उत्तर एक अनुचित भिन्न है। हमें इसके पूरे हिस्से को अलग करना होगा। हम हाइलाइट करते हैं:



जवाब मिला

समान हर वाले भिन्नों का घटाव

अंश घटाव दो प्रकार के होते हैं:

8. समान हर वाले भिन्नों का घटाव
9. भिन्न हर के साथ भिन्नों का घटाव

सबसे पहले, आइए जानें कि समान हर वाले भिन्नों को कैसे घटाना है। यहाँ सब कुछ सरल है। एक भिन्न से दूसरे को घटाने के लिए, आपको दूसरे भिन्न के अंश को पहले भिन्न के अंश से घटाना होगा, और हर को वही छोड़ देना होगा।

उदाहरण के लिए, आइए व्यंजक का मान ज्ञात करें। इस उदाहरण को हल करने के लिए, पहले अंश के अंश से दूसरे अंश के अंश को घटाना आवश्यक है, और हर को वही छोड़ दें। चलो इसे करते हैं:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि हम एक पिज्जा के बारे में सोचते हैं जो चार भागों में बांटा गया है। यदि आप पिज्जा से पिज्जा काटते हैं, तो आपको पिज्जा मिलता है:

उदाहरण 2व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।

फिर से, पहले भिन्न के अंश से, दूसरे भिन्न के अंश को घटाएँ, और हर को वही छोड़ दें:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि हम एक पिज्जा के बारे में सोचते हैं जो तीन भागों में बांटा गया है। यदि आप पिज्जा से पिज्जा काटते हैं, तो आपको पिज्जा मिलता है:

उदाहरण 3व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

यह उदाहरण पिछले वाले की तरह ही हल किया गया है। पहले भिन्न के अंश से, आपको शेष भिन्नों के अंशों को घटाना होगा:

उत्तर एक अनुचित अंश है। यदि उदाहरण पूरा हो गया है, तो यह अनुचित अंश से छुटकारा पाने के लिए प्रथागत है। आइए उत्तर में गलत अंश से छुटकारा पाएं। ऐसा करने के लिए, इसके पूरे भाग का चयन करें:

जैसा कि आप देख सकते हैं, समान हर वाले भिन्नों को घटाने में कुछ भी जटिल नहीं है। निम्नलिखित नियमों को समझना पर्याप्त है:

भिन्न हर के साथ भिन्नों का घटाव

उदाहरण के लिए, भिन्न में से भिन्न को घटाया जा सकता है, क्योंकि इन भिन्नों के हर समान होते हैं। लेकिन भिन्न में से भिन्न को घटाया नहीं जा सकता, क्योंकि इन भिन्नों के हर अलग-अलग होते हैं। ऐसे मामलों में, भिन्नों को समान (सामान्य) हर में घटाया जाना चाहिए।

सार्व भाजक उसी सिद्धांत के अनुसार पाया जाता है जिसका उपयोग हमने भिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ते समय किया था। सबसे पहले दोनों भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात कीजिए। फिर एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित किया जाता है और पहला अतिरिक्त कारक प्राप्त होता है, जिसे पहले अंश के ऊपर लिखा जाता है। इसी तरह, एलसीएम को दूसरे अंश के हर से विभाजित किया जाता है और दूसरा अतिरिक्त कारक प्राप्त होता है, जिसे दूसरे अंश के ऊपर लिखा जाता है।

फिर भिन्नों को उनके अतिरिक्त कारकों से गुणा किया जाता है। इन संक्रियाओं के परिणामस्वरूप, भिन्न हर वाले भिन्न भिन्नों में बदल जाते हैं जिनके हर समान होते हैं। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे घटाना है।

उदाहरण 1एक व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

सबसे पहले, हम दोनों भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात करते हैं। पहली भिन्न का हर संख्या 3 है, और दूसरी भिन्न का हर संख्या 4 है। इन संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणज 12 है।

एलसीएम (3 और 4) = 12

अब वापस भिन्नों पर और

आइए पहले भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड खोजें। ऐसा करने के लिए, हम एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित करते हैं। LCM संख्या 12 है, और पहली भिन्न का हर संख्या 3 है। 12 को 3 से विभाजित करने पर, हमें 4 मिलता है। हम पहली भिन्न के ऊपर चार लिखते हैं:

हम दूसरे अंश के साथ भी ऐसा ही करते हैं। हम एलसीएम को दूसरे भिन्न के हर से विभाजित करते हैं। LCM संख्या 12 है, और दूसरी भिन्न का हर संख्या 4 है। 12 को 4 से विभाजित करने पर, हमें 3 मिलता है। हम दूसरी भिन्न के ऊपर ट्रिपल लिखते हैं:

अब हम सब घटाव के लिए तैयार हैं। यह भिन्नों को उनके अतिरिक्त कारकों से गुणा करने के लिए बनी हुई है:

हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि भिन्न हर वाले भिन्न भिन्नों में बदल गए जिनके हर समान थे। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे घटाना है। आइए इस उदाहरण को अंत तक पूरा करें:

जवाब मिला

आइए एक चित्र का उपयोग करके अपने समाधान को चित्रित करने का प्रयास करें। यदि आप पिज्जा से पिज्जा काटते हैं, तो आपको पिज्जा मिलता है।

यह समाधान का विस्तृत संस्करण है। स्कूल में होने के कारण, हमें इस उदाहरण को छोटे तरीके से हल करना होगा। ऐसा समाधान इस तरह दिखेगा:

भिन्नों की कमी और एक सामान्य हर को भी एक चित्र का उपयोग करके चित्रित किया जा सकता है। इन भिन्नों को एक उभयनिष्ठ हर में लाने पर, हमें भिन्न और . इन भिन्नों को समान पिज़्ज़ा स्लाइस द्वारा दर्शाया जाएगा, लेकिन इस बार उन्हें समान भिन्नों में विभाजित किया जाएगा (एक ही हर में घटाकर):

पहला चित्र एक अंश (बारह में से आठ टुकड़े) दिखाता है, और दूसरी तस्वीर एक अंश (बारह में से तीन टुकड़े) दिखाती है। आठ टुकड़ों में से तीन टुकड़े करने से हमें बारह में से पांच टुकड़े मिलते हैं। अंश इन पांच टुकड़ों का वर्णन करता है।

उदाहरण 2व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

इन भिन्नों के अलग-अलग हर होते हैं, इसलिए आपको पहले उन्हें समान (सामान्य) हर में लाना होगा।

इन भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात कीजिए।

भिन्नों के हर संख्याएँ 10, 3 और 5 हैं। इन संख्याओं का न्यूनतम सामान्य गुणज 30 . है

एलसीएम(10, 3, 5) = 30

अब हम प्रत्येक भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड पाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम एलसीएम को प्रत्येक भिन्न के हर से विभाजित करते हैं।

आइए पहले भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड खोजें। एलसीएम संख्या 30 है, और पहली भिन्न का हर 10 है। 30 को 10 से विभाजित करने पर, हमें पहला अतिरिक्त गुणनखंड 3 मिलता है। हम इसे पहले भिन्न पर लिखते हैं:

अब हम दूसरी भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड पाते हैं। LCM को दूसरे भिन्न के हर से भाग दें। LCM संख्या 30 है, और दूसरी भिन्न का हर संख्या 3 है। 30 को 3 से विभाजित करने पर, हमें दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड 10 मिलता है। हम इसे दूसरे भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब हम तीसरे भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड पाते हैं। एलसीएम को तीसरे भिन्न के हर से विभाजित करें। LCM संख्या 30 है, और तीसरी भिन्न का हर 5 है। 30 को 5 से विभाजित करने पर, हमें तीसरा अतिरिक्त गुणनखंड 6 मिलता है। हम इसे तीसरे भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब सब कुछ घटाव के लिए तैयार है। यह भिन्नों को उनके अतिरिक्त कारकों से गुणा करने के लिए बनी हुई है:

हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि भिन्न हर वाले भिन्न भिन्नों में बदल गए जिनके समान (सामान्य) भाजक हैं। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे घटाना है। आइए इस उदाहरण को समाप्त करें।

उदाहरण की निरंतरता एक पंक्ति में फिट नहीं होगी, इसलिए हम निरंतरता को अगली पंक्ति में ले जाते हैं। नई लाइन पर बराबर चिह्न (=) के बारे में मत भूलना:

उत्तर एक सही अंश निकला, और सब कुछ हमें सूट करता है, लेकिन यह बहुत बोझिल और बदसूरत है। हमें इसे सरल और सौंदर्य की दृष्टि से अधिक आकर्षक बनाना चाहिए। क्या किया जा सकता है? आप इस अंश को कम कर सकते हैं। याद रखें कि अंश का घटाना अंश और हर के सबसे बड़े सामान्य भाजक द्वारा अंश और हर का विभाजन है।

किसी भिन्न को सही ढंग से कम करने के लिए, आपको इसके अंश और हर को संख्याओं 20 और 30 के सबसे बड़े सामान्य भाजक (GCD) से विभाजित करना होगा।

एनओसी के साथ जीसीडी को भ्रमित न करें। सबसे आम गलती कई शुरुआती करते हैं। जीसीडी सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। हम इसे भिन्न में कमी के लिए पाते हैं।

और एलसीएम सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज है। हम इसे समान (सामान्य) हर में भिन्न लाने के लिए पाते हैं।

अब हम संख्या 20 और 30 का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक (gcd) ज्ञात करेंगे।

तो, हम संख्या 20 और 30 के लिए GCD पाते हैं:

जीसीडी (20 और 30) = 10

अब हम अपने उदाहरण पर लौटते हैं और भिन्न के अंश और हर को 10 से विभाजित करते हैं:

अच्छा जवाब मिला

भिन्न को किसी संख्या से गुणा करना

किसी भिन्न को किसी संख्या से गुणा करने के लिए, आपको दिए गए भिन्न के अंश को इस संख्या से गुणा करना होगा, और हर को वही छोड़ देना होगा।

उदाहरण 1. अंश को संख्या 1 से गुणा करें।

भिन्न के अंश को संख्या 1 . से गुणा करें

प्रविष्टि को आधा 1 बार लेने के रूप में समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप 1 बार पिज़्ज़ा लेते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है

गुणन के नियमों से, हम जानते हैं कि यदि गुणक और गुणक को आपस में बदल दिया जाए, तो गुणनफल नहीं बदलेगा। यदि व्यंजक को के रूप में लिखा जाता है, तो गुणनफल तब भी के बराबर होगा। फिर से, एक पूर्णांक और भिन्न को गुणा करने का नियम काम करता है:

इस प्रविष्टि को इकाई का आधा लेने के रूप में समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि 1 पूरा पिज़्ज़ा है और हम उसका आधा लेते हैं, तो हमारे पास पिज़्ज़ा होगा:

उदाहरण 2. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

भिन्न के अंश को 4 . से गुणा करें

व्यंजक को दो चौथाई 4 बार लेने के रूप में समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप 4 बार पिज्जा लेते हैं, तो आपको दो पूरे पिज्जा मिलते हैं।

और यदि हम गुणक और गुणक को स्थानों में बदल दें, तो हमें व्यंजक प्राप्त होता है। यह भी 2 के बराबर होगा। इस अभिव्यक्ति को चार पूरे पिज्जा से दो पिज्जा लेने के रूप में समझा जा सकता है:

भिन्नों का गुणन

भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको उनके अंशों और हरों को गुणा करना होगा। यदि उत्तर अनुचित भिन्न है, तो आपको उसमें पूरे भाग का चयन करना होगा।

उदाहरण 1व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।

जवाब मिला। इस अंश को कम करना वांछनीय है। भिन्न को 2 से कम किया जा सकता है। फिर अंतिम समाधान निम्नलिखित रूप लेगा:

अभिव्यक्ति को आधे पिज्जा से पिज्जा लेने के रूप में समझा जा सकता है। मान लीजिए कि हमारे पास आधा पिज्जा है:

इस आधे से दो तिहाई कैसे लें? सबसे पहले आपको इस आधे हिस्से को तीन बराबर भागों में बांटना होगा:

और इन तीन टुकड़ों में से दो लो:

हमें पिज्जा मिलेगा। याद रखें कि पिज्जा कैसा दिखता है जिसे तीन भागों में बांटा गया है:

इस पिज़्ज़ा से एक स्लाइस और हमने जो दो स्लाइस लिए हैं, उनके आयाम समान होंगे:

दूसरे शब्दों में हम बात कर रहे हैं उसी पिज़्ज़ा साइज़ की। इसलिए, व्यंजक का मान है

उदाहरण 2. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

पहले भिन्न के अंश को दूसरे भिन्न के अंश से और पहले भिन्न के हर को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करें:

उत्तर एक अनुचित अंश है। आइए इसका एक पूरा हिस्सा लें:

उदाहरण 3व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

उत्तर सही अंश निकला, लेकिन घटाया जाए तो अच्छा होगा। इस भिन्न को कम करने के लिए, इसे अंश और हर के gcd से विभाजित किया जाना चाहिए। तो, आइए 105 और 450 की संख्याओं का GCD ज्ञात करें:

(105 और 150) के लिए GCD 15 . है

अब हम अपने उत्तर के अंश और हर को GCD में विभाजित करते हैं:

एक पूर्णांक को भिन्न के रूप में निरूपित करना

किसी भी पूर्ण संख्या को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, संख्या 5 को इस रूप में दर्शाया जा सकता है। इससे, पाँच का अर्थ नहीं बदलेगा, क्योंकि अभिव्यक्ति का अर्थ है "पाँच की संख्या एक से विभाजित", और यह, जैसा कि आप जानते हैं, पाँच के बराबर है:

रिवर्स नंबर

अब हम गणित के एक बहुत ही रोचक विषय से परिचित होंगे। इसे "रिवर्स नंबर" कहा जाता है।

परिभाषा। संख्या के विपरीत ए वह संख्या है जिसे गुणा करने पर ए एक इकाई देता है।

आइए एक चर के बजाय इस परिभाषा में स्थानापन्न करें एसंख्या 5 और परिभाषा को पढ़ने का प्रयास करें:

संख्या के विपरीत 5 वह संख्या है जिसे गुणा करने पर 5 एक इकाई देता है।

क्या ऐसी कोई संख्या ज्ञात करना संभव है जिसे 5 से गुणा करने पर एक प्राप्त हो? यह पता चला है कि आप कर सकते हैं। आइए पाँच को भिन्न के रूप में निरूपित करें:

फिर इस भिन्न को अपने आप से गुणा करें, बस अंश और हर की अदला-बदली करें। दूसरे शब्दों में, भिन्न को अपने आप से गुणा करें, केवल उल्टा:

इसका परिणाम क्या होगा? यदि हम इस उदाहरण को हल करना जारी रखते हैं, तो हमें एक मिलता है:

इसका अर्थ है कि संख्या 5 का विलोम वह संख्या है, जब 5 को एक से गुणा करने पर एक प्राप्त होता है।

व्युत्क्रम किसी अन्य पूर्णांक के लिए भी पाया जा सकता है।

• 3 का व्युत्क्रम भिन्न होता है
• 4 का व्युत्क्रम भिन्न होता है

आप किसी अन्य भिन्न का व्युत्क्रम भी ज्ञात कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, इसे पलटने के लिए पर्याप्त है।