एक नियमित हेक्सागोनल पिरामिड का विकर्ण। पिरामिड

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एक पिरामिड क्या है?

वह कैसी दिखती है?

आप देखते हैं: नीचे पिरामिड में (वे कहते हैं " बेस पर"") कुछ बहुभुज, और इस बहुभुज के सभी शीर्ष अंतरिक्ष में किसी बिंदु से जुड़े हुए हैं (इस बिंदु को "कहा जाता है" शिखर»).

इस पूरी संरचना में है साइड फेस, पार्श्व पसलियांतथा आधार पसलियां. आइए एक बार फिर इन सभी नामों के साथ एक पिरामिड बनाएं:

कुछ पिरामिड बहुत अजीब लग सकते हैं, लेकिन वे अभी भी पिरामिड हैं।

यहाँ, उदाहरण के लिए, काफी "तिरछा" पिरामिड.

और नामों के बारे में थोड़ा और: यदि पिरामिड के आधार पर एक त्रिभुज है, तो पिरामिड को त्रिभुज कहा जाता है;

उसी समय, जिस बिंदु पर वह गिर गया कद, कहा जाता है ऊंचाई का आधार. ध्यान दें कि "कुटिल" पिरामिड में कदपिरामिड के बाहर भी हो सकता है। ऐशे ही:

और इसमें भयानक कुछ भी नहीं है। यह एक तिरछे त्रिभुज जैसा दिखता है।

सही पिरामिड।

बहुत सारे कठिन शब्द? आइए समझें: " आधार पर - सही"- यह समझ में आता है। और अब याद रखें कि एक नियमित बहुभुज का एक केंद्र होता है - एक बिंदु जो और का केंद्र होता है, तथा।

खैर, और शब्द "शीर्ष को आधार के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है" का अर्थ है कि ऊंचाई का आधार बिल्कुल आधार के केंद्र में पड़ता है। देखो कितनी चिकनी और प्यारी लग रही है दायां पिरामिड.

हेक्सागोनल: आधार पर - एक नियमित षट्भुज, शीर्ष को आधार के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है।

चौकोर: आधार पर - एक वर्ग, शीर्ष को इस वर्ग के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर प्रक्षेपित किया जाता है।

त्रिकोणीय: आधार पर एक नियमित त्रिभुज है, शीर्ष को इस त्रिभुज की ऊंचाइयों (वे भी माध्यिका और समद्विभाजक हैं) के प्रतिच्छेदन बिंदु पर प्रक्षेपित किया जाता है।

बहुत एक नियमित पिरामिड के महत्वपूर्ण गुण:

सही पिरामिड में

• सभी पार्श्व किनारे समान हैं।
• सभी भुजा फलक समद्विबाहु त्रिभुज हैं और ये सभी त्रिभुज समान हैं।

पिरामिड वॉल्यूम

पिरामिड के आयतन का मुख्य सूत्र:

यह बिल्कुल कहाँ से आया? यह इतना आसान नहीं है, और सबसे पहले आपको बस यह याद रखना होगा कि पिरामिड और शंकु में सूत्र में मात्रा होती है, लेकिन सिलेंडर नहीं होता है।

अब आइए सबसे लोकप्रिय पिरामिडों की मात्रा की गणना करें।

आधार के किनारे को बराबर होने दें, और किनारे के किनारे को बराबर होने दें। मुझे खोजने की जरूरत है और।

यह एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल है।

आइए याद करें कि इस क्षेत्र को कैसे खोजा जाए। हम क्षेत्र सूत्र का उपयोग करते हैं:

हमारे पास "" - यह, और "" - यह भी, एह।

आइए अब ढूंढते हैं।

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

क्या फर्क पड़ता है? यह परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या है, क्योंकि पिरामिडसहीऔर इसलिए केंद्र।

चूँकि - प्रतिच्छेदन बिंदु और माध्यिका भी।

(पाइथागोरस प्रमेय के लिए)

के लिए सूत्र में प्रतिस्थापित करें।

आइए सब कुछ वॉल्यूम फॉर्मूला में प्लग करें:

ध्यान:यदि आपके पास नियमित टेट्राहेड्रोन (यानी) है, तो सूत्र है:

आधार के किनारे को बराबर होने दें, और किनारे के किनारे को बराबर होने दें।

यहां खोजने की जरूरत नहीं है। क्योंकि आधार पर एक वर्ग है, और इसलिए।

पता लगाते हैं। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

हम जानते हैं? लगभग। नज़र:

(हमने इसे समीक्षा करके देखा)।

के लिए सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

और अब हम वॉल्यूम फॉर्मूला में स्थानापन्न करते हैं।

आधार के किनारे को बराबर होने दें, और किनारे के किनारे को।

कैसे ढूंढें? देखिए, एक षट्भुज में ठीक छह समान नियमित त्रिभुज होते हैं। एक नियमित त्रिभुज पिरामिड के आयतन की गणना करते समय हमने पहले से ही एक नियमित त्रिभुज के क्षेत्रफल की खोज की है, यहाँ हम पाए गए सूत्र का उपयोग करते हैं।

आइए अब (यह) खोजें।

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

लेकिन क्या फर्क पड़ता है? यह आसान है क्योंकि (और बाकी सभी भी) सही है।

हम स्थानापन्न करते हैं:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

पिरामिड। संक्षेप में मुख्य के बारे में

एक पिरामिड एक पॉलीहेड्रॉन होता है जिसमें किसी भी फ्लैट बहुभुज (), एक बिंदु होता है जो आधार के तल (पिरामिड के शीर्ष) में नहीं होता है और पिरामिड के शीर्ष को आधार के बिंदुओं (साइड किनारों) से जोड़ने वाले सभी खंड होते हैं )

पिरामिड के शीर्ष से आधार के तल पर गिरा एक लंबवत।

सही पिरामिड- एक पिरामिड, जिसके आधार पर एक नियमित बहुभुज होता है, और पिरामिड का शीर्ष आधार के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

एक नियमित पिरामिड की संपत्ति:

• एक नियमित पिरामिड में, सभी किनारे बराबर होते हैं।
• सभी भुजा फलक समद्विबाहु त्रिभुज हैं और ये सभी त्रिभुज समान हैं।

पिरामिड का आयतन:

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पिरामिड

एक मनमाना विमान α पर विचार करें, एक मनमाना उत्तल n-gon ए 1 ए 2 ... एक , इस तल में स्थित है, और एक बिंदु S जो समतल α में नहीं है।

परिभाषा 1. पिरामिड ( n - कोयला पिरामिड)बिंदु S को बहुभुज के सभी बिंदुओं से जोड़ने वाले खंडों द्वारा बनाई गई आकृति को कॉल करें ए 1 ए 2 ... एक (चित्र .1) ।

टिप्पणी 1. स्मरण कीजिए कि बहुभुज ए 1 ए 2 ... एक एक बंद टूटी हुई रेखा से मिलकर बनता है ए 1 ए 2 ... एक और विमान का वह भाग जो उससे घिरा हुआ है।

परिभाषा 2.

टेट्राहेड्रा। नियमित चतुष्फलक

परिभाषा 5. एक मनमाना त्रिकोणीय पिरामिड को चतुष्फलक कहा जाता है।

कथन। किसी भी नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड के लिए, विपरीत किनारे जोड़े में लंबवत होते हैं।

सबूत। एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड SABC और इसके विपरीत किनारों की एक जोड़ी, जैसे AC और BS पर विचार करें। मान लीजिए D किनारे AC के मध्य बिंदु को दर्शाता है। चूँकि खंड BD और SD समद्विबाहु त्रिभुज ABC और ASC में माध्यिकाएँ हैं, तो BD और SD किनारे AC पर लंबवत हैं (चित्र 4)।

जहाँ D अक्षर AC के किनारे के मध्य बिंदु को दर्शाता है (चित्र 6)।

त्रिभुज बीएसओ से पाइथागोरस प्रमेय द्वारा हम पाते हैं

उत्तर।

एक पिरामिड के आयतन, पार्श्व और कुल सतह क्षेत्र के सूत्र

हम निम्नलिखित संकेतन का परिचय देते हैं:

तब निम्नलिखित सत्य हैं पिरामिड के पार्श्व और पूर्ण सतह के आयतन, क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र:

यहां पिरामिड और संबंधित सूत्रों और अवधारणाओं के बारे में बुनियादी जानकारी एकत्र की गई है। उन सभी को परीक्षा की तैयारी के लिए गणित के ट्यूटर के साथ पढ़ाया जाता है।

एक विमान, एक बहुभुज पर विचार करें इसमें पड़ा हुआ है और एक बिंदु S इसमें नहीं पड़ा है। S को बहुभुज के सभी शीर्षों से कनेक्ट करें। परिणामी पॉलीहेड्रॉन को पिरामिड कहा जाता है। खंडों को पार्श्व किनारे कहा जाता है। बहुभुज को आधार कहा जाता है, और बिंदु S को पिरामिड का शीर्ष कहा जाता है। संख्या n के आधार पर, पिरामिड को त्रिभुजाकार (n=3), चतुर्भुज (n=4), पंचकोणीय (n=5) आदि कहा जाता है। त्रिभुजाकार पिरामिड का वैकल्पिक नाम - चतुर्पाश्वीय. पिरामिड की ऊंचाई उसके शीर्ष से आधार तल तक खींचा गया लंबवत है।

एक पिरामिड को सही कहा जाता है यदि एक नियमित बहुभुज, और पिरामिड की ऊंचाई का आधार (लंबवत का आधार) इसका केंद्र है।

ट्यूटर की टिप्पणी:
"नियमित पिरामिड" और "नियमित टेट्राहेड्रोन" की अवधारणा को भ्रमित न करें। एक नियमित पिरामिड में, किनारे के किनारे आधार के किनारों के बराबर नहीं होते हैं, लेकिन एक नियमित टेट्राहेड्रोन में, किनारों के सभी 6 किनारे बराबर होते हैं। यह उसकी परिभाषा है। यह साबित करना आसान है कि समानता का तात्पर्य है कि बहुभुज का केंद्र P ऊंचाई के आधार के साथ, इसलिए एक नियमित टेट्राहेड्रोन एक नियमित पिरामिड है।

एपोथेम क्या है?
पिरामिड का एपोथेम उसके पार्श्व चेहरे की ऊंचाई है। यदि पिरामिड नियमित है, तो इसके सभी एपोथेम समान हैं। उलटा सच नहीं है।

उनकी शब्दावली के बारे में गणित शिक्षक: पिरामिड के साथ काम 80% दो प्रकार के त्रिकोणों के माध्यम से बनाया गया है:
1) एपोथेम एसके और ऊंचाई एसपी युक्त
2) पार्श्व किनारे SA और उसके प्रक्षेपण PA युक्त

इन त्रिभुजों के संदर्भों को सरल बनाने के लिए, गणित के शिक्षक के लिए उनमें से पहले का नाम देना अधिक सुविधाजनक होता है एपोथेमिक, और दूसरा तटीय. दुर्भाग्य से, आपको यह शब्दावली किसी भी पाठ्यपुस्तक में नहीं मिलेगी, और शिक्षक को इसे एकतरफा रूप से पेश करना होगा।

पिरामिड आयतन सूत्र:
1), पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल कहाँ है, और पिरामिड की ऊँचाई है
2) , खुदा हुआ गोले की त्रिज्या कहाँ है, और पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
3) , जहां एमएन किन्हीं दो क्रॉसिंग किनारों की दूरी है, और चार शेष किनारों के मध्य बिंदुओं द्वारा गठित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है।

पिरामिड ऊँचाई आधार संपत्ति:

बिंदु P (आकृति देखें) पिरामिड के आधार पर उत्कीर्ण वृत्त के केंद्र के साथ मेल खाता है यदि निम्न में से कोई एक शर्त पूरी होती है:
1) सभी एपोटेम समान हैं
2) सभी पार्श्व फलक आधार की ओर समान रूप से झुके हुए हैं
3) सभी एपोथेम पिरामिड की ऊंचाई के समान रूप से झुके हुए हैं
4) पिरामिड की ऊंचाई सभी पक्षों के समान रूप से झुकी हुई है

गणित के शिक्षक की टिप्पणी: ध्यान दें कि सभी बिंदु एक आम संपत्ति से एकजुट होते हैं: एक तरफ या किसी अन्य, पक्ष के चेहरे हर जगह भाग लेते हैं (एपोथेम्स उनके तत्व हैं)। इसलिए, ट्यूटर याद करने के लिए कम सटीक, लेकिन अधिक सुविधाजनक फॉर्मूलेशन की पेशकश कर सकता है: बिंदु पी खुदा हुआ सर्कल के केंद्र के साथ मेल खाता है, पिरामिड का आधार, अगर इसके पार्श्व चेहरों के बारे में कोई समान जानकारी है। इसे साबित करने के लिए, यह दिखाना पर्याप्त है कि सभी एपोथेमिकल त्रिकोण बराबर हैं।

बिंदु P पिरामिड के आधार के निकट परिबद्ध वृत्त के केंद्र के साथ मेल खाता है, यदि तीन स्थितियों में से एक सत्य है:
1) सभी किनारे बराबर हैं
2) सभी पार्श्व पसलियां आधार की ओर समान रूप से झुकी होती हैं
3) सभी पार्श्व पसलियाँ ऊँचाई की ओर समान रूप से झुकी होती हैं

परिचय

जब हमने स्टीरियोमेट्रिक आंकड़ों का अध्ययन करना शुरू किया, तो हमने "पिरामिड" विषय को छुआ। हमें यह विषय पसंद आया क्योंकि पिरामिड का उपयोग अक्सर वास्तुकला में किया जाता है। और एक वास्तुकार के रूप में हमारे भविष्य के पेशे के बाद से, इस आंकड़े से प्रेरित होकर, हमें लगता है कि वह हमें महान परियोजनाओं के लिए आगे बढ़ाने में सक्षम होगी।

स्थापत्य संरचनाओं की ताकत, उनका सबसे महत्वपूर्ण गुण। ताकत को जोड़ना, सबसे पहले, उन सामग्रियों के साथ, जिनसे वे बनाए गए हैं, और दूसरी बात, डिजाइन समाधानों की विशेषताओं के साथ, यह पता चला है कि संरचना की ताकत सीधे ज्यामितीय आकार से संबंधित है जो इसके लिए बुनियादी है।

दूसरे शब्दों में, हम ज्यामितीय आकृति के बारे में बात कर रहे हैं जिसे संबंधित वास्तुशिल्प रूप का एक मॉडल माना जा सकता है। यह पता चला है कि ज्यामितीय आकार भी स्थापत्य संरचना की ताकत को निर्धारित करता है।

मिस्र के पिरामिडों को लंबे समय से सबसे टिकाऊ वास्तुशिल्प संरचना माना जाता है। जैसा कि आप जानते हैं, उनके पास नियमित चतुर्भुज पिरामिड का आकार है।

यह ज्यामितीय आकार है जो बड़े आधार क्षेत्र के कारण सबसे बड़ी स्थिरता प्रदान करता है। दूसरी ओर, पिरामिड का आकार यह सुनिश्चित करता है कि जैसे-जैसे जमीन से ऊपर की ऊंचाई बढ़ती है, द्रव्यमान घटता जाता है। ये दो गुण हैं जो पिरामिड को स्थिर बनाते हैं, और इसलिए गुरुत्वाकर्षण की स्थिति में मजबूत होते हैं।

परियोजना का उद्देश्य: पिरामिड के बारे में कुछ नया सीखें, ज्ञान को गहरा करें और व्यावहारिक अनुप्रयोग खोजें।

इस लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए, निम्नलिखित कार्यों को हल करना आवश्यक था:

जानें पिरामिड के बारे में ऐतिहासिक जानकारी

पिरामिड को एक ज्यामितीय आकृति के रूप में देखें

जीवन और वास्तुकला में आवेदन प्राप्त करें

दुनिया के विभिन्न हिस्सों में स्थित पिरामिडों के बीच समानताएं और अंतर खोजें

सैद्धांतिक भाग

ऐतिहासिक जानकारी

पिरामिड की ज्यामिति की शुरुआत प्राचीन मिस्र और बेबीलोन में हुई थी, लेकिन इसे प्राचीन ग्रीस में सक्रिय रूप से विकसित किया गया था। पिरामिड का आयतन किसके बराबर है, यह स्थापित करने वाला पहला व्यक्ति डेमोक्रिटस था, और कनिडस के यूडोक्सस ने इसे साबित किया। प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने अपने "बिगिनिंग्स" के बारहवें खंड में पिरामिड के बारे में ज्ञान को व्यवस्थित किया, और पिरामिड की पहली परिभाषा भी सामने रखी: एक शारीरिक आकृति जो विमानों से घिरी होती है जो एक बिंदु पर एक विमान से अभिसरण होती है।

मिस्र के फिरौन की कब्रें। उनमें से सबसे बड़ा - प्राचीन काल में एल गीज़ा में चेप्स, खफरे और मिकेरिन के पिरामिड दुनिया के सात अजूबों में से एक माने जाते थे। पिरामिड का निर्माण, जिसमें यूनानियों और रोमनों ने पहले से ही राजाओं और क्रूरता के अभूतपूर्व गौरव के लिए एक स्मारक देखा था, जिसने मिस्र के पूरे लोगों को मूर्खतापूर्ण निर्माण के लिए बर्बाद कर दिया था, सबसे महत्वपूर्ण पंथ अधिनियम था और जाहिरा तौर पर व्यक्त करना था, देश और उसके शासक की रहस्यमय पहचान। देश की आबादी ने कृषि कार्य से मुक्त वर्ष के हिस्से में मकबरे के निर्माण पर काम किया। कई ग्रंथ ध्यान और देखभाल की गवाही देते हैं कि राजाओं ने स्वयं (यद्यपि बाद के समय में) अपने मकबरे और उसके बिल्डरों के निर्माण के लिए भुगतान किया था। यह उन विशेष पंथ सम्मानों के बारे में भी जाना जाता है जो स्वयं पिरामिड बन गए।

मूल अवधारणा

पिरामिडएक बहुफलक कहलाता है, जिसका आधार एक बहुभुज होता है, और शेष फलक एक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले त्रिभुज होते हैं।

एपोथेम- एक नियमित पिरामिड के साइड फेस की ऊंचाई, इसके ऊपर से खींची गई;

साइड फेस- शीर्ष पर अभिसरण त्रिकोण;

पार्श्व पसलियां- पक्ष के आम पक्ष चेहरे;

पिरामिड के ऊपर- किनारे के किनारों को जोड़ने वाला एक बिंदु और आधार के तल में नहीं पड़ा है;

कद- पिरामिड के शीर्ष से उसके आधार के तल तक खींचे गए लंबवत का एक खंड (इस खंड के सिरे पिरामिड के शीर्ष और लंबवत के आधार हैं);

पिरामिड का विकर्ण खंड- आधार के शीर्ष और विकर्ण से गुजरने वाले पिरामिड का खंड;

आधार- एक बहुभुज जो पिरामिड के शीर्ष से संबंधित नहीं है।

सही पिरामिड के मुख्य गुण

पार्श्व किनारे, पार्श्व फलक और एपोथेम क्रमशः समान हैं।

आधार पर विकर्ण कोण बराबर होते हैं।

पार्श्व किनारों पर डायहेड्रल कोण बराबर होते हैं।

प्रत्येक ऊंचाई बिंदु सभी आधार शीर्षों से समान दूरी पर है।

प्रत्येक ऊंचाई बिंदु सभी पक्षों के चेहरों से समान दूरी पर है।

मूल पिरामिड सूत्र

पिरामिड के पार्श्व और पूर्ण सतह का क्षेत्रफल।

पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल (पूर्ण और कटा हुआ) इसके सभी पार्श्व चेहरों के क्षेत्रों का योग है, कुल सतह क्षेत्र इसके सभी चेहरों के क्षेत्रों का योग है।

प्रमेय: एक नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार की परिधि और पिरामिड के एपोथेम के आधे उत्पाद के बराबर होता है।

पी- आधार की परिधि;

एच- एपोथेम।

एक काटे गए पिरामिड के पार्श्व और पूर्ण सतहों का क्षेत्रफल।

p1, पी 2 - आधार परिधि;

एच- एपोथेम।

आर- एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड का कुल सतह क्षेत्र;

एस साइड- नियमित रूप से काटे गए पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल;

S1 + S2- आधार क्षेत्र

पिरामिड वॉल्यूम

प्रपत्र वॉल्यूम स्केल का इस्तेमाल किसी भी तरह के पिरामिड के लिए किया जाता है।

एचपिरामिड की ऊंचाई है।

पिरामिड के कोण

पिरामिड के पार्श्व फलक और आधार से बनने वाले कोणों को पिरामिड के आधार पर द्विफलकीय कोण कहा जाता है।

एक द्विफलकीय कोण दो लंबों से बनता है।

इस कोण को निर्धारित करने के लिए, आपको अक्सर तीन लंबवत प्रमेय का उपयोग करने की आवश्यकता होती है.

एक पार्श्व किनारे से बनने वाले कोण और आधार के तल पर इसके प्रक्षेपण को कहा जाता है पार्श्व किनारे और आधार के तल के बीच के कोण.

दो भुजाओं के फलकों से बनने वाले कोण को कहते हैं पिरामिड के पार्श्व किनारे पर डायहेड्रल कोण।

वह कोण, जो पिरामिड के एक फलक के दो किनारों से बनता है, कहलाता है पिरामिड के शीर्ष पर कोने.

पिरामिड के खंड

एक पिरामिड की सतह एक बहुफलक की सतह है। इसका प्रत्येक फलक एक समतल है, इसलिए छेदक तल द्वारा दिया गया पिरामिड का खंड अलग-अलग सीधी रेखाओं से बनी एक टूटी हुई रेखा है।

विकर्ण खंड

दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाले समतल द्वारा पिरामिड का वह भाग जो एक ही फलक पर नहीं होता है, कहलाता है विकर्ण खंडपिरामिड।

समानांतर खंड

प्रमेय:

यदि पिरामिड को आधार के समानांतर एक समतल द्वारा पार किया जाता है, तो पिरामिड के पार्श्व किनारों और ऊँचाई को इस तल द्वारा आनुपातिक भागों में विभाजित किया जाता है;

इस तल का खंड आधार के समान एक बहुभुज है;

खंड और आधार के क्षेत्र ऊपर से उनकी दूरी के वर्गों के रूप में एक दूसरे से संबंधित हैं।

पिरामिड के प्रकार

सही पिरामिड- एक पिरामिड, जिसका आधार एक नियमित बहुभुज है, और पिरामिड का शीर्ष आधार के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

सही पिरामिड पर:

1. पार्श्व पसलियां बराबर होती हैं

2. पार्श्व फलक बराबर होते हैं

3. एपोटेम बराबर हैं

4. आधार पर विकर्ण कोण बराबर होते हैं

5. पार्श्व किनारों पर विकर्ण कोण बराबर होते हैं

6. प्रत्येक ऊंचाई बिंदु सभी आधार शीर्षों से समान दूरी पर है

7. प्रत्येक ऊंचाई बिंदु सभी पक्षों से समान दूरी पर है

काटे गए पिरामिड- पिरामिड का वह भाग जो उसके आधार और आधार के समानांतर एक काटने वाले तल के बीच घिरा होता है।

एक काटे गए पिरामिड के आधार और संबंधित खंड को कहा जाता है एक काटे गए पिरामिड के आधार.

एक आधार के किसी बिंदु से दूसरे आधार के तल पर खींचा गया लंब कहलाता है काटे गए पिरामिड की ऊंचाई।

कार्य

नंबर 1। एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड में, बिंदु O आधार का केंद्र है, SO=8 सेमी, BD=30 सेमी। पार्श्व किनारे SA खोजें।

समस्या को सुलझाना

नंबर 1। एक नियमित पिरामिड में, सभी फलक और किनारे बराबर होते हैं।

आइए OSB पर विचार करें: OSB-आयताकार आयत, क्योंकि।

एसबी 2 \u003d एसओ 2 + ओबी 2

SB2=64+225=289

वास्तुकला में पिरामिड

पिरामिड - एक साधारण नियमित ज्यामितीय पिरामिड के रूप में एक स्मारकीय संरचना, जिसमें पक्ष एक बिंदु पर अभिसरण करते हैं। कार्यात्मक उद्देश्य के अनुसार, प्राचीन काल में पिरामिड दफनाने या पूजा करने का स्थान था। एक पिरामिड का आधार त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय या बहुभुज हो सकता है जिसमें एक मनमाना संख्या में शिखर होते हैं, लेकिन सबसे आम संस्करण चतुष्कोणीय आधार है।

प्राचीन विश्व की विभिन्न संस्कृतियों द्वारा निर्मित, मुख्य रूप से मंदिरों या स्मारकों के रूप में काफी संख्या में पिरामिड ज्ञात हैं। सबसे बड़े पिरामिड मिस्र के पिरामिड हैं।

पूरी पृथ्वी पर आप पिरामिडों के रूप में स्थापत्य संरचनाओं को देख सकते हैं। पिरामिड की इमारतें प्राचीन काल की याद दिलाती हैं और देखने में बेहद खूबसूरत लगती हैं।

मिस्र के पिरामिड प्राचीन मिस्र के सबसे महान स्थापत्य स्मारक हैं, जिनमें से "दुनिया के सात अजूबों" में से एक चेप्स का पिरामिड है। पैर से ऊपर तक, यह 137.3 मीटर तक पहुंचता है, और इससे पहले कि यह शीर्ष खो देता, इसकी ऊंचाई 146.7 मीटर थी।

स्लोवाकिया की राजधानी में रेडियो स्टेशन की इमारत, एक उल्टे पिरामिड जैसा दिखता है, 1983 में बनाया गया था। कार्यालयों और सेवा परिसर के अलावा, वॉल्यूम के अंदर एक काफी विशाल कॉन्सर्ट हॉल है, जिसमें स्लोवाकिया में सबसे बड़े अंगों में से एक है। .

लौवर, जो "पिरामिड की तरह मौन और राजसी है" दुनिया में सबसे बड़ा संग्रहालय बनने से पहले सदियों में कई बदलाव आया है। यह एक किले के रूप में पैदा हुआ था, जिसे 1190 में फिलिप ऑगस्टस द्वारा बनवाया गया था, जो जल्द ही एक शाही निवास में बदल गया। 1793 में महल एक संग्रहालय बन गया। संग्रह वसीयत या खरीद के माध्यम से समृद्ध होते हैं।

समन्वय विधि का उपयोग करके समस्या C2 को हल करते समय, कई छात्रों को एक ही समस्या का सामना करना पड़ता है। वे गणना नहीं कर सकते बिंदु निर्देशांकअदिश उत्पाद सूत्र में शामिल है। सबसे बड़ी मुश्किलें हैं पिरामिड. और अगर आधार बिंदुओं को कम या ज्यादा सामान्य माना जाता है, तो सबसे ऊपर एक वास्तविक नरक है।

आज हम एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के बारे में बात करेंगे। एक त्रिकोणीय पिरामिड भी है (उर्फ - चतुर्पाश्वीय) यह एक अधिक जटिल डिजाइन है, इसलिए इसके लिए एक अलग पाठ समर्पित किया जाएगा।

आइए परिभाषा के साथ शुरू करें:

एक नियमित पिरामिड वह होता है जिसमें:

1. आधार एक नियमित बहुभुज है: त्रिभुज, वर्ग, आदि;
2. आधार तक खींची गई ऊंचाई इसके केंद्र से होकर गुजरती है।

विशेष रूप से, एक चतुर्भुज पिरामिड का आधार है वर्ग. चेप्स की तरह, केवल थोड़ा छोटा।

नीचे 1 के बराबर सभी किनारों वाले पिरामिड के लिए गणनाएँ दी गई हैं। यदि आपकी समस्या में ऐसा नहीं है, तो गणनाएँ नहीं बदलती हैं - बस संख्याएँ भिन्न होंगी।

चतुर्भुज पिरामिड के शीर्ष

तो, मान लीजिए कि एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड SABCD दिया गया है, जहाँ S सबसे ऊपर है, ABCD का आधार एक वर्ग है। सभी किनारे 1 के बराबर हैं। यह एक समन्वय प्रणाली में प्रवेश करने और सभी बिंदुओं के निर्देशांक खोजने के लिए आवश्यक है। हमारे पास है:

हम बिंदु ए पर मूल के साथ एक समन्वय प्रणाली पेश करते हैं:

1. अक्ष OX को किनारे AB के समानांतर निर्देशित किया जाता है;
2. अक्ष ओए - AD के समानांतर। चूँकि ABCD एक वर्ग है, AB AD;
3. अंत में, OZ अक्ष को समतल ABCD के लंबवत ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है।

अब हम निर्देशांक पर विचार करते हैं। अतिरिक्त निर्माण: एसएच - आधार पर खींची गई ऊंचाई। सुविधा के लिए हम पिरामिड के आधार को एक अलग आकृति में निकालेंगे। चूँकि बिंदु A , B , C और D OXY तल में स्थित हैं, उनका निर्देशांक z = 0 है। हमारे पास है:

1. ए = (0; 0; 0) - मूल के साथ मेल खाता है;
2. बी = (1; 0; 0) - मूल से ओएक्स अक्ष के साथ 1 कदम;
3. सी = (1; 1; 0) - ओएक्स अक्ष के साथ 1 और ओए अक्ष के साथ 1 से कदम;
4. डी = (0; 1; 0) - केवल ओए अक्ष के साथ कदम।
5. एच \u003d (0.5; 0.5; 0) - वर्ग का केंद्र, खंड एसी का मध्य।

यह बिंदु S के निर्देशांक खोजने के लिए बनी हुई है। ध्यान दें कि बिंदु S और H के x और y निर्देशांक समान हैं, क्योंकि वे OZ अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा पर स्थित हैं। यह बिंदु S के लिए z निर्देशांक ज्ञात करना बाकी है।

त्रिभुज ASH और ABH पर विचार करें:

1. एएस = एबी = 1 शर्त के अनुसार;
2. कोण AHS = AHB = 90° क्योंकि SH ऊँचाई है और AH HB वर्ग के विकर्णों के रूप में;
3. साइड एएच - आम।

इसलिए समकोण त्रिभुज ASH और ABH बराबरी काएक पैर और एक कर्ण। तो एसएच = बीएच = 0.5 बीडी। लेकिन BD 1 भुजा वाले वर्ग का विकर्ण है। इसलिए, हमारे पास है:

बिंदु S के कुल निर्देशांक:

अंत में, हम एक नियमित आयताकार पिरामिड के सभी शीर्षों के निर्देशांक लिखते हैं:

पसलियां अलग होने पर क्या करें

लेकिन क्या होगा अगर पिरामिड के किनारे आधार के किनारों के बराबर नहीं हैं? इस मामले में, त्रिभुज AHS पर विचार करें:

त्रिभुज AHS- आयताकार, और कर्ण AS भी मूल पिरामिड SABCD का एक पार्श्व किनारा है। पैर एएच को आसानी से माना जाता है: एएच = 0.5 एसी। शेष पैर खोजें SH पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार. यह बिंदु S के लिए z निर्देशांक होगा।

कार्य। एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड SABCD दिया गया है, जिसके आधार पर 1 भुजा वाला एक वर्ग है। किनारे का किनारा BS = 3. बिंदु S के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हम पहले से ही इस बिंदु के x और y निर्देशांक जानते हैं: x = y = 0.5। यह दो तथ्यों से होता है:

1. OXY तल पर बिंदु S का प्रक्षेपण बिंदु H है;
2. वहीं, बिंदु H वर्ग ABCD का केंद्र है, जिसकी सभी भुजाएं 1 के बराबर हैं।

यह बिंदु S का निर्देशांक ज्ञात करना बाकी है। त्रिभुज AHS पर विचार करें। यह आयताकार है, कर्ण AS = BS = 3 के साथ, पैर AH आधा विकर्ण है। आगे की गणना के लिए, हमें इसकी लंबाई चाहिए:

त्रिभुज AHS के लिए पाइथागोरस प्रमेय: AH 2 + SH 2 = AS 2। हमारे पास है:

तो, बिंदु S के निर्देशांक।