Typer af tal. Naturlig, heltal, rationel og reel

Tal er en abstraktion, der bruges til at kvantificere objekter. Tal opstod i det primitive samfund i forbindelse med behovet for, at folk skulle tælle genstande. Med tidens udvikling er tallet blevet det vigtigste matematiske begreb.

For at løse problemer og bevise forskellige sætninger skal du forstå, hvilke typer tal er. De vigtigste typer af tal omfatter: naturlige tal, heltal, rationelle tal, reelle tal.

Heltal- disse er de tal, der opnås med den naturlige optælling af objekter, eller rettere, med deres nummerering ("første", "anden", "tredje" ...). Sættet af naturlige tal er angivet med det latinske bogstav N (kan huskes ud fra det engelske ord natural). Det kan man sige N ={1,2,3,....}

Hele tal er tal fra sættet (0, 1, -1, 2, -2, ....). Dette sæt består af tre dele - naturlige tal, negative heltal (det modsatte af naturlige tal) og tallet 0 (nul). Heltal er angivet med et latinsk bogstav Z . Det kan man sige Z ={1,2,3,....}.

Rationelle tal er tal, der kan repræsenteres som en brøk, hvor m er et heltal, og n er et naturligt tal. Det latinske bogstav bruges til at betegne rationelle tal Q . Alle naturlige tal og heltal er rationelle. Som eksempler på rationelle tal kan du også give: ,,.

Reelle (rigtige) tal er tal, der bruges til at måle kontinuerlige mængder. Sættet af reelle tal er betegnet med det latinske bogstav R. Reelle tal omfatter rationelle tal og irrationelle tal. Irrationelle tal er tal, der opnås ved at udføre forskellige operationer på rationelle tal (f.eks. udtrække en rod, beregne logaritmer), men som ikke er rationelle. Eksempler på irrationelle tal er ,,.

Ethvert reelt tal kan vises på tallinjen:

For de talsæt, der er anført ovenfor, gælder følgende udsagn:

Det vil sige, at mængden af ​​naturlige tal er inkluderet i sættet af heltal. Heltalssættet er inkluderet i sættet af rationelle tal. Og sættet af rationelle tal er inkluderet i sættet af reelle tal. Dette udsagn kan illustreres ved hjælp af Euler-cirkler.

Statens uddannelsesinstitution

gymnasial erhvervsuddannelse

Tula-regionen

"Aleksinsky Engineering College"

Numerisk

sæt

Designet

lærer

matematik

Khristoforova M.Yu.

Nummer - grundlæggende koncept anvendes til egenskaber, sammenligninger, og deres dele. Bogstaver til betegnelse af tal er , såvel som matematisk .

Begrebet tal opstod i oldtiden fra menneskers praktiske behov og udviklede sig i processen med menneskelig udvikling. Området for menneskelig aktivitet blev udvidet, og derfor steg behovet for kvantitativ beskrivelse og forskning. Til at begynde med blev talbegrebet bestemt af behovene for tælling og måling, som opstod i menneskets praktiske aktivitet, der blev mere og mere kompliceret. Senere bliver tallet matematikkens grundbegreb, og denne videnskabs behov bestemmer den videre udvikling af dette koncept.

Sæt, hvis elementer er tal, kaldes tal.

Eksempler på numeriske sæt er:

N=(1; 2; 3; ...; n; ... ) - sæt af naturlige tal;

Zo=(0; 1; 2; ...; n; ... ) - sæt af ikke-negative heltal;

Z=(0; ±1; ±2; ...; ±n; ...) - sæt af heltal;

Q=(m/n: m Z,n N) er mængden af ​​rationelle tal.

R-sæt af reelle tal.

Mellem disse sæt er der en relation

N Zo Z Q R.

Indtast talN = (1, 2, 3, ....) heddernaturlig . Naturlige tal dukkede op i forbindelse med behovet for at tælle objekter.

Nogen , større end én, kan repræsenteres som et produkt af potenser af primtal, og på en unik måde, op til rækkefølgen af ​​faktorerne. For eksempel, 121968=2 4 3 2 7 11 2

Hvism, n, k - naturlige tal altsåm - n = k det siger dem - reduceret, n - subtraheret, k - forskel; påm:n=k det siger dem - udbytte, n - divisor, k - kvotient, nummerm også kaldetmange taln, og nummeretn - divisor talm, Hvis nummerm- multiple afn, så er der et naturligt talk, sådan atm = kn.

Fra tal ved hjælp af tegn på aritmetiske operationer og parenteser,numeriske udtryk. Hvis du udfører de angivne handlinger i et numerisk udtryk og observerer den accepterede rækkefølge, får du et tal, der kaldesudtryksværdi .

Rækkefølgen af ​​aritmetiske operationer: handlinger i parentes udføres først; inden for en parentes skal du først udføre multiplikation og division og derefter addition og subtraktion.

Hvis et naturligt talm ikke deleligt med et naturligt taln, de der. sådan er der ikkenaturligt tal k, hvadm=kn, så overvejdivision med resten: m = np + r, hvorm - udbytte, n - divisor (m>n), p - kvotient, r - resten .

Hvis et tal kun har to divisorer (selve tallet og en), så kaldes detenkel : hvis et tal har mere end to divisorer, så kaldes detsammensatte.

Ethvert sammensat naturligt tal kan værefaktorisere , og kun én vej. Ved nedbrydning af tal til primfaktorer, brugtegn på delelighed .

-en Ogb kan findesstørste fælles divisor. Det er betegnetD(a,b). Hvis tal-en Ogb er sådan, atD(a, b) = 1, derefter tallene-en Ogb heddergensidigt enkelt.

For alle givne naturlige tal-en Ogb kan findesmindste fælles multiplum. Det er betegnetK(a,b). Ethvert fælles multiplum af tal-en Ogb divideret medK(a,b).

Hvis tal-en Ogb coprime , dvs.D(a, b) = 1, derefterK(a,b) = ab.

Typenumre:Z = (... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....) hedder hele tal , de der. Heltal er de naturlige tal, modsætningerne til de naturlige tal og tallet 0.

De naturlige tal 1, 2, 3, 4, 5.... kaldes også positive heltal. Tal -1, -2, -3, -4, -5, ..., modsat naturlige tal, kaldes negative heltal.

Betydelige tal tal kaldes alle dets cifre, undtagen de foranstillede nuller.

En fortløbende gentagende gruppe af cifre efter decimaltegnet i decimalnotationen af ​​et tal kaldesperiode, og en uendelig decimalbrøk, der har en sådan periode i sin notation, kaldestidsskrift . Hvis punktum begynder umiddelbart efter decimaltegnet, kaldes brøkenrent periodisk ; hvis der er andre decimaler mellem kommaet og punktum, så kaldes brøkenblandet periodisk .

Tal, der ikke er hele eller brøkdele, kaldesirrationel .

Hvert irrationelt tal er repræsenteret som en ikke-periodisk uendelig decimalbrøk.

Mængden af ​​alle endelige og uendelige decimalbrøker kaldesmange reelle tal : rationel og irrationel.

Mængden R af reelle tal har følgende egenskaber.

1. Det er ordnet: for to forskellige tal α og b, en af ​​de to relationer a

2. Mængden R er tæt: mellem to forskellige tal a og b er der et uendeligt sæt reelle tal x, dvs. tal, der opfylder uligheden a<х

Så hvis en

(en 2a< men+bmen+b<2b  2 men men<(a+b)/2

Reelle tal kan repræsenteres som punkter på en tallinje. For at indstille en tallinje er det nødvendigt at markere et punkt på den lige linje, som svarer til tallet 0 - referencepunktet, og vælg derefter et enkelt segment og angiv den positive retning.

Hvert punkt på koordinatlinjen svarer til et tal, der er defineret som længden af ​​segmentet fra origo til det pågældende punkt, mens et enkelt segment tages som måleenhed. Dette tal er koordinaten for punktet. Hvis punktet tages til højre for oprindelsen, er dets koordinat positiv, og hvis det er til venstre, er det negativt. Eksempelvis har punkt O og A koordinaterne henholdsvis 0 og 2, som kan skrives som følger: 0 (0), A (2).

Sættet af naturlige tal er dannet af tallene 1, 2, 3, 4, ... bruges til at tælle objekter. Mængden af ​​alle naturlige tal er normalt angivet med bogstavet N :

N = {1, 2, 3, 4, ..., n, ...} .

Love for addition af naturlige tal

1. For eventuelle naturlige tal -en Og bægte ligestilling -en + b = b + -en . Denne egenskab kaldes den kommutative (kommutative) lov om addition.

2. For eventuelle naturlige tal -en, b, c ægte ligestilling (-en + b) + c = -en + (b + c) . Denne egenskab kaldes kombinationen (associativ) lov om addition.

Love for multiplikation af naturlige tal

3. For eventuelle naturlige tal -en Og bægte ligestilling ab = ba. Denne egenskab kaldes den kommutative (kommutative) multiplikationslov.

4. For eventuelle naturlige tal -en, b, c ægte ligestilling (-enb)c = -en(bc) . Denne egenskab kaldes kombinationsloven (associativ) multiplikation.

5. For eventuelle værdier -en, b, c ægte ligestilling (-en + b)c = ac + f.Kr . Denne egenskab kaldes den distributive (distributive) lov om multiplikation (med hensyn til addition).

6. For eventuelle værdier -enægte ligestilling -en*1 = -en. Denne egenskab kaldes loven om multiplikation med en.

Resultatet af at lægge eller gange to naturlige tal er altid et naturligt tal. Eller, for at sige det anderledes, disse operationer kan udføres, mens de forbliver i sættet af naturlige tal. Med hensyn til subtraktion og division kan dette ikke siges: for eksempel fra tallet 3 er det umuligt, at forblive i mængden af ​​naturlige tal, at trække tallet 7 fra; Tallet 15 kan ikke divideres med 4.

Tegn på delelighed af naturlige tal

beløbets delelighed. Hvis hvert led er deleligt med et tal, så er summen også deleligt med det tal.

Arbejdets delelighed. Hvis mindst én af faktorerne i et produkt er delelig med et bestemt tal, så er produktet også deleligt med dette tal.

Disse betingelser, både for summen og for produktet, er tilstrækkelige, men ikke nødvendige. For eksempel er produktet 12*18 deleligt med 36, selvom hverken 12 eller 18 er deleligt med 36.

Tegn på delelighed med 2. For at et naturligt tal er deleligt med 2, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at dets sidste ciffer er lige.

Tegnet på delelighed med 5. For at et naturligt tal er deleligt med 5, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at dets sidste ciffer er enten 0 eller 5.

Tegnet på delelighed med 10. For at et naturligt tal er deleligt med 10, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at enhedscifferet er 0.

Tegnet på delelighed med 4. For at et naturligt tal med mindst tre cifre skal være deleligt med 4, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at de sidste cifre er 00, 04, 08 eller det to-cifrede tal, der dannes af de sidste to cifre i dette tal, er deleligt med 4.

Tegn på delelighed med 2 (med 9). For at et naturligt tal skal være deleligt med 3 (med 9), er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at summen af ​​dets cifre er deleligt med 3 (med 9).

Sæt af heltal

Overvej en tallinje med oprindelsen i punktet O. Koordinaten til tallet nul på den vil være et punkt O. Tal placeret på en tallinje i en given retning kaldes positive tal. Lad et punkt angives på tallinjen EN med koordinat 3. Det svarer til det positive tal 3. Lad os nu afsætte tre gange enhedssegmentet fra punktet O, i den modsatte retning af den givne. Så får vi en pointe EN", symmetrisk til punktet EN i forhold til oprindelsen O. punktkoordinat EN" der vil være et tal - 3. Dette er tallet modsat tallet 3. Tal placeret på tallinjen i retning modsat det givne kaldes negative tal.

Tal modsat naturlige tal danner et sæt tal N" :

N" = {- 1, - 2, - 3, - 4, ...} .

Hvis vi kombinerer sættene N , N" og singleton sæt {0} , så får vi et sæt Z alle heltal:

Z = {0} ∪ N ∪ N" .

For heltal er alle lovene for addition og multiplikation anført ovenfor sande, hvilket gælder for naturlige tal. Derudover tilføjes følgende subtraktionslove:

-en - b = -en + (- b) ;

-en + (- -en) = 0 .

Sæt af rationelle tal

For at gøre operationen med at dividere heltal med et hvilket som helst tal, der ikke er lig med nul mulig, introduceres brøker:

Hvor -en Og b er hele tal og b ikke lig med nul.

Hvis vi lægger mængden af ​​alle positive og negative brøker til sættet af heltal, får vi mængden af ​​rationelle tal Q :

.

Desuden er hvert heltal også et rationelt tal, da f.eks. tallet 5 kan repræsenteres som , hvor tælleren og nævneren er heltal. Dette er vigtigt i operationer på rationelle tal, hvoraf et kan være et heltal.

Love for aritmetiske operationer på rationelle tal

Grundlæggende egenskab for en brøk. Hvis tælleren og nævneren for en given brøk ganges eller divideres med det samme naturlige tal, vil en brøk lig med den givne fås:

Denne egenskab bruges ved reduktion af fraktioner.

Tilføjelse af fraktioner. Tilføjelsen af ​​almindelige fraktioner er defineret som følger:

.

Det vil sige, at for at tilføje brøker med forskellige nævnere, reduceres brøkerne til en fællesnævner. I praksis reduceres brøker til laveste fællesnævner, når brøker med forskellige nævnere adderes (fratrækkes). For eksempel sådan her:

For at tilføje brøker med den samme tæller skal du blot tilføje tællere og lade nævneren være den samme.

Multiplikation af brøker. Multiplikationen af ​​almindelige brøker er defineret som følger:

Det vil sige, at for at gange en brøk med en brøk, skal du gange tælleren for den første brøk med tælleren i den anden brøk og skrive produktet ind i tælleren for den nye brøk, og gange nævneren for den første brøk med nævner af den anden brøk og skriv produktet ind i nævneren af ​​den nye brøk.

Inddeling af brøker. Opdelingen af ​​almindelige brøker er defineret som følger:

Det vil sige, at for at dividere en brøk med en brøk, skal du gange tælleren for den første brøk med nævneren i den anden brøk og skrive produktet ind i tælleren for den nye brøk, og gange nævneren for den første brøk med tæller for den anden brøk og skriv produktet ind i nævneren for den nye brøk.

Hæve en brøk til en potens med en naturlig eksponent. Denne operation er defineret som følger:

Det vil sige, at for at hæve en brøk til en potens, hæves tælleren til den potens, og nævneren hæves til den potens.

Periodiske decimaler

Sætning. Ethvert rationelt tal kan repræsenteres som en endelig eller uendelig periodisk brøk.

For eksempel,

.

En konsekvent gentaget gruppe af cifre efter decimaltegnet i decimalnotationen af ​​et tal kaldes en periode, og en endelig eller uendelig decimalbrøk, der har en sådan periode i sin notation, kaldes periodisk.

I dette tilfælde betragtes enhver endelig decimalbrøk som en uendelig periodisk brøk med nul i perioden, for eksempel:

Resultatet af addition, subtraktion, multiplikation og division (undtagen division med nul) af to rationelle tal er også et rationelt tal.

Sættet af reelle tal

På tallinjen, som vi overvejede i forbindelse med mængden af ​​heltal, kan der være punkter, der ikke har koordinater i form af et rationelt tal. Der er således ikke noget rationelt tal, hvis kvadrat er 2. Derfor er tallet ikke et rationelt tal. Der er heller ingen rationelle tal, hvis kvadrater er lig med 5, 7, 9. Derfor er tallene , , irrationelle. Tallet er også irrationelt.

Intet irrationelt tal kan repræsenteres som en periodisk brøk. De er repræsenteret som ikke-periodiske brøker.

Foreningen af ​​mængderne af rationelle og irrationelle tal er mængden af ​​reelle tal R .

Heltal

De tal, der bruges til at tælle, kaldes naturlige tal. For eksempel $1,2,3$ osv. De naturlige tal danner mængden af ​​naturlige tal, som er angivet med $N$ . Denne notation kommer fra det latinske ord naturalis- naturlig.

Modsatte tal

Definition 1

Hvis to tal kun adskiller sig i fortegn, kaldes de i matematik modsatte tal.

For eksempel er tallene $5$ og $-5$ modsatte tal, fordi adskiller sig kun i tegn.

Bemærkning 1

For ethvert tal er der et modsat tal, og desuden kun et.

Bemærkning 2

Nul er det modsatte af sig selv.

Hele tal

Definition 2

hel naturlige tal, deres modsatte tal og nul kaldes tal.

Heltalssættet omfatter mængden af ​​naturlige tal og deres modsætninger.

Angiv heltal $Z.$

Brøktal

Tal med formen $\frac(m)(n)$ kaldes brøker eller brøktal. Også brøktal kan skrives i decimalnotation, dvs. i form af decimaler.

For eksempel: $\ \frac(3)(5)$ , $0,08$ osv.

Ligesom heltal kan brøktal være enten positive eller negative.

Rationelle tal

Definition 3

Rationelle tal er et sæt tal, der indeholder et sæt af heltal og brøktal.

Ethvert rationelt tal, uanset om det er heltal eller brøktal, kan repræsenteres som en brøk $\frac(a)(b)$, hvor $a$ er et heltal, og $b$ er et naturligt tal.

Det samme rationelle tal kan således skrives på forskellige måder.

For eksempel,

Dette viser, at ethvert rationelt tal kan repræsenteres som en endelig decimalbrøk eller en uendelig decimal periodisk brøk.

Sættet af rationelle tal er angivet med $Q$.

Som et resultat af at udføre en hvilken som helst aritmetisk operation på rationelle tal, vil det resulterende svar være et rationelt tal. Dette er let bevist, på grund af det faktum, at når man adderer, subtraherer, multiplicerer og dividerer almindelige brøker, får man en almindelig brøk

Irrationelle tal

I løbet af at læse et matematikkursus møder man ofte i løsning af tal, der ikke er rationelle.

For at verificere eksistensen af ​​et sæt ikke-rationelle tal løser vi for eksempel ligningen $x^2=6$ Rødderne til denne ligning er tallene $\surd 6$ og -$\surd 6$. Disse tal vil ikke være rationelle.

Når vi også finder diagonalen af ​​et kvadrat med siden $3$, ved at anvende Pythagoras sætning, får vi, at diagonalen vil være lig med $\surd 18$. Dette tal er heller ikke rationelt.

Sådanne numre kaldes irrationel.

Så et irrationelt tal kaldes en uendelig decimal ikke-periodisk brøk.

Et af de mest almindelige irrationelle tal er tallet $\pi $

Når man udfører aritmetiske operationer med irrationelle tal, kan det opnåede resultat vise sig at være både et rationelt og et irrationelt tal.

Vi vil bevise dette ved eksemplet med at finde produktet af irrationelle tal. Lad os finde:

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6)$

$\ \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)$

Afgørelse

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6) = 6$

$\sqrt(2)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(6)$

Dette eksempel viser, at resultatet kan være enten et rationelt eller et irrationelt tal.

Hvis rationelle og irrationelle tal er involveret i aritmetiske operationer på samme tid, vil resultatet være et irrationelt tal (undtagen naturligvis multiplikation med $0$).

Reelle tal

Sættet af reelle tal er det sæt, der indeholder mængden af ​​rationelle og irrationelle tal.

Sættet af reelle tal er angivet med $R$. Symbolsk kan mængden af ​​reelle tal betegnes med $(-?;+?).$

Vi sagde tidligere, at en uendelig decimal ikke-periodisk brøk kaldes et irrationelt tal, og ethvert rationelt tal kan repræsenteres som en endelig decimalbrøk eller en uendelig decimal periodisk brøk, så enhver endelig og uendelig decimalbrøk vil være et reelt tal.

Når du udfører algebraiske operationer, vil følgende regler blive fulgt

1. når man multiplicerer og dividerer positive tal, vil det resulterende tal være positivt
2. når man multiplicerer og dividerer negative tal, vil det resulterende tal være positivt
3. når man multiplicerer og dividerer negative og positive tal, vil det resulterende tal være negativt

Reelle tal kan også sammenlignes med hinanden.

Masser af er et sæt af alle objekter, der kaldes elementer i dette sæt.

For eksempel: mange skolebørn, mange biler, mange numre .

I matematik betragtes sættet meget bredere. Vi vil ikke gå for dybt ind i dette emne, da det hører til højere matematik og i første omgang kan skabe vanskeligheder for læring. Vi vil kun overveje den del af emnet, som vi allerede har behandlet.

Notation

Sættet er oftest betegnet med store bogstaver i det latinske alfabet, og dets elementer - små bogstaver. Elementerne er omsluttet af krøllede seler.

For eksempel hvis vores venner bliver kaldt Tom, John og Leo , så kan vi angive et sæt venner, hvis elementer vil være Tom, John og Leo.

Betegn vores venners sæt med et stort latinsk bogstav F(venner), sæt derefter et lighedstegn og angiv vores venner i krøllede parenteser:

F = (Tom, John, Leo)

Eksempel 2. Lad os skrive ned divisorsættet for tallet 6.

Lad os betegne den givne mængde med et stort latinsk bogstav, for eksempel med bogstavet D

så sætter vi et lighedstegn og i krøllede parenteser lister vi elementerne i dette sæt, det vil sige vi lister divisorerne af tallet 6

D = ( 1, 2, 3, 6 )

Hvis et element hører til et givet sæt, angives dette medlemskab ved hjælp af medlemskabstegnet ∈ . For eksempel hører divisor 2 til sættet af divisorer af tallet 6 (sættet D). Det er skrevet sådan:

Læser som: "2 hører til sættet af divisorer af tallet 6"

Hvis et element ikke hører til et givet sæt, angives dette ikke-medlemskab med et overstreget medlemstegn ∉. For eksempel hører divisor 5 ikke til sættet D. Det er skrevet sådan:

Læser som: "fem hører ikke til sæt divisorer på 6"

Derudover kan et sæt skrives ved direkte opregning af elementer, uden store bogstaver. Dette kan være praktisk, hvis sættet består af et lille antal elementer. Lad os f.eks. definere et sæt af ét element. Lad dette element være vores ven Bind:

( Volume )

Lad os definere et sæt, der består af et nummer 2

{ 2 }

Lad os sætte et sæt, der består af to tal: 2 og 5

{ 2, 5 }

Sæt af naturlige tal

Dette er det første sæt, vi begyndte at arbejde med. Naturlige tal er tallene 1, 2, 3 osv.

Naturlige tal dukkede op på grund af folks behov for at tælle de andre objekter. Tæl for eksempel antallet af høns, køer, heste. Naturlige tal opstår naturligt ved optælling.

I tidligere lektioner, da vi brugte ordet "nummer", oftest var det et naturligt tal.

I matematik er mængden af ​​naturlige tal angivet med et stort latinsk bogstav N.

Lad os for eksempel sige, at tallet 1 hører til sættet af naturlige tal. For at gøre dette skriver vi tallet 1, hvorefter vi ved hjælp af medlemstegnet ∈ angiver, at enheden tilhører sættet N

1 ∈ N

Læser som: "et tilhører mængden af ​​naturlige tal"

Sæt af heltal

Sættet af heltal inkluderer alle positive og , samt tallet 0.

Heltalssættet er angivet med et stort latinsk bogstav Z .

Lad os for eksempel indikere, at tallet −5 hører til sættet af heltal:

−5 ∈ Z

Vi angiver, at 10 tilhører sættet af heltal:

10 ∈ Z

Vi angiver, at 0 hører til sættet af heltal:

I fremtiden vil vi kalde alle positive og negative tal med én sætning - hele tal.

Sæt af rationelle tal

Rationelle tal er de samme almindelige brøker, som vi studerer den dag i dag.

Et rationelt tal er et tal, der kan repræsenteres som en brøk, hvor -en- tæller for en brøk b- nævner.

Tællerens og nævnerens rolle kan være et hvilket som helst tal, inklusive heltal (med undtagelse af nul, da du ikke kan dividere med nul).

Antag for eksempel i stedet for -en er tallet 10 værd, og i stedet for b- nummer 2

10 divideret med 2 er lig med 5. Vi ser, at tallet 5 kan repræsenteres som en brøk, hvilket betyder, at tallet 5 indgår i mængden af ​​rationelle tal.

Det er let at se, at tallet 5 også gælder for mængden af ​​heltal. Derfor er sættet af heltal inkluderet i sættet af rationelle tal. Det betyder, at mængden af ​​rationelle tal ikke kun omfatter almindelige brøker, men også heltal på formen −2, −1, 0, 1, 2.

Forestil dig nu det i stedet for -en er tallet 12, og i stedet for b- nummer 5.

12 divideret med 5 er lig med 2,4. Vi ser, at decimalbrøken 2,4 kan repræsenteres som en brøk, hvilket betyder, at den indgår i mængden af ​​rationelle tal. Ud fra dette konkluderer vi, at mængden af ​​rationelle tal omfatter ikke kun almindelige brøker og heltal, men også decimalbrøker.

Vi regnede brøken ud og fik svaret 2,4. Men vi kunne udskille heltalsdelen i denne brøk:

Når du vælger hele delen i en brøk, får du et blandet tal. Vi ser, at et blandet tal også kan repræsenteres som en brøk. Det betyder, at mængden af ​​rationelle tal også omfatter blandede tal.

Som et resultat kommer vi til den konklusion, at sættet af rationelle tal indeholder:

• hele tal
• almindelige brøker
• decimaler
• blandede tal

Sættet af rationelle tal er angivet med et stort latinsk bogstav Q.

For eksempel angiver vi, at brøken tilhører mængden af ​​rationelle tal. For at gøre dette skriver vi selve brøken, og ved hjælp af medlemskabstegnet ∈ angiver vi, at brøken tilhører sættet af rationelle tal:

∈ Q

Vi angiver, at decimalbrøken 4,5 hører til sættet af rationelle tal:

4,5 ∈ Q

Vi angiver, at det blandede tal hører til sættet af rationelle tal:

∈ Q

Den indledende lektion om sæt er nu færdig. I fremtiden vil vi se meget bedre på sæt, men for nu vil denne vejledning være tilstrækkelig.

Kunne du lide lektionen?
Tilmeld dig vores nye Vkontakte-gruppe og begynd at modtage meddelelser om nye lektioner