Når en mønt bliver kastet, kan man sige, at den vil lande heads up, eller sandsynlighed heraf er 1/2. Det betyder selvfølgelig ikke, at hvis en mønt bliver kastet 10 gange, vil den nødvendigvis lande på hoveder 5 gange. Hvis mønten er "fair", og hvis den bliver kastet mange gange, så vil hoveder komme helt tæt på halvdelen af ​​tiden. Der er således to slags sandsynligheder: eksperimentel og teoretisk .

Eksperimentel og teoretisk sandsynlighed

Hvis vi kaster en mønt et stort antal gange - f.eks. 1000 - og tæller, hvor mange gange den kommer op ad hovederne, kan vi bestemme sandsynligheden for, at den kommer op ad hovederne. Hvis hoveder kommer op 503 gange, kan vi beregne sandsynligheden for, at det kommer op:
503/1000 eller 0,503.

Det her eksperimentel definition af sandsynlighed. Denne definition af sandsynlighed stammer fra observation og undersøgelse af data og er ret almindelig og meget nyttig. For eksempel er her nogle sandsynligheder, der blev bestemt eksperimentelt:

1. Chancen for at en kvinde udvikler brystkræft er 1/11.

2. Hvis du kysser en, der er forkølet, så er sandsynligheden for, at du også bliver forkølet 0,07.

3. En person, der lige er blevet løsladt fra fængslet, har 80 % chance for at vende tilbage til fængslet.

Hvis vi overvejer kastet af en mønt og tager højde for, at det er lige så sandsynligt, at den kommer op med hoveder eller haler, kan vi beregne sandsynligheden for at komme op med hoveder: 1 / 2. Dette er den teoretiske definition af sandsynlighed. Her er nogle andre sandsynligheder, der er blevet teoretisk bestemt ved hjælp af matematik:

1. Hvis der er 30 personer i et lokale, er sandsynligheden for, at to af dem har samme fødselsdag (eksklusive året) 0,706.

2. Under en rejse møder man nogen, og i løbet af samtalen opdager man, at man har en fælles bekendt. Typisk reaktion: "Det kan ikke være!" Faktisk passer denne sætning ikke, fordi sandsynligheden for en sådan begivenhed er ret høj - lidt over 22%.

Derfor bestemmes den eksperimentelle sandsynlighed ved observation og dataindsamling. Teoretiske sandsynligheder bestemmes af matematisk ræsonnement. Eksempler på eksperimentelle og teoretiske sandsynligheder, såsom dem, der er diskuteret ovenfor, og især dem, vi ikke forventer, leder os til vigtigheden af ​​at studere sandsynlighed. Du kan spørge: "Hvad er sand sandsynlighed?" Faktisk er der ingen. Det er eksperimentelt muligt at bestemme sandsynligheden inden for visse grænser. De kan eller kan ikke falde sammen med de sandsynligheder, som vi opnår teoretisk. Der er situationer, hvor det er meget lettere at definere en type sandsynlighed end en anden. For eksempel vil det være tilstrækkeligt at finde sandsynligheden for at blive forkølet ved hjælp af teoretisk sandsynlighed.

Beregning af eksperimentelle sandsynligheder

Overvej først den eksperimentelle definition af sandsynlighed. Det grundlæggende princip, vi bruger til at beregne sådanne sandsynligheder, er som følger.

Princip P (eksperimentelt)

Hvis situationen eller begivenheden E i et eksperiment, hvor der foretages n observationer, forekommer m gange i n observationer, så siges den eksperimentelle sandsynlighed for begivenheden at være P (E) = m/n.

Eksempel 1 Sociologisk undersøgelse. En eksperimentel undersøgelse blev udført for at bestemme antallet af venstrehåndede, højrehåndede og personer, hvor begge hænder er lige udviklede. Resultaterne er vist i grafen.

a) Bestem sandsynligheden for, at personen er højrehåndet.

b) Bestem sandsynligheden for, at personen er venstrehåndet.

c) Bestem sandsynligheden for, at personen er lige flydende i begge hænder.

d) De fleste PBA-turneringer har 120 spillere. Baseret på dette eksperiment, hvor mange spillere kan være venstrehåndede?

Opløsning

a) Antallet af personer, der er højrehåndede er 82, antallet af venstrehåndede er 17, og antallet af dem, der er lige flydende i begge hænder, er 1. Det samlede antal observationer er 100. Dermed er sandsynligheden at en person er højrehåndet er P
P = 82/100 eller 0,82 eller 82%.

b) Sandsynligheden for at en person er venstrehåndet er P, hvor
P = 17/100 eller 0,17 eller 17%.

c) Sandsynligheden for, at en person er lige flydende med begge hænder er P, hvor
P = 1/100 eller 0,01 eller 1 %.

d) 120 bowlers og fra (b) kan vi forvente, at 17% er venstrehåndet. Herfra
17 % af 120 = 0,17,120 = 20,4,
det vil sige, at vi kan forvente, at omkring 20 spillere er venstrehåndede.

Eksempel 2 Kvalitetskontrol . Det er meget vigtigt for en producent at holde kvaliteten af ​​deres produkter på et højt niveau. Faktisk hyrer virksomheder kvalitetskontrolinspektører til at sikre denne proces. Målet er at frigive det mindst mulige antal defekte produkter. Men da virksomheden producerer tusindvis af varer hver dag, har den ikke råd til at inspicere hver enkelt vare for at afgøre, om den er defekt eller ej. For at finde ud af, hvor mange procent af produkterne, der er defekte, tester virksomheden langt færre produkter.
USDA kræver, at 80% af de frø, som avlerne sælger, spirer. For at bestemme kvaliteten af ​​de frø, som landbrugsvirksomheden producerer, sås der 500 frø af dem, der er produceret. Herefter blev det beregnet, at 417 frø spirede.

a) Hvad er sandsynligheden for, at frøet spirer?

b) Opfylder frøene regeringens standarder?

Opløsning a) Vi ved, at ud af 500 frø, der blev plantet, spirede 417. Sandsynligheden for frøspiring P, og
P = 417/500 = 0,834 eller 83,4%.

b) Da procentdelen af ​​spirede frø oversteg 80% efter behov, opfylder frøene statens standarder.

Eksempel 3 TV-vurderinger. Ifølge statistikker er der 105.500.000 tv-husstande i USA. Hver uge indsamles og behandles oplysninger om visningsprogrammer. Inden for en uge var 7.815.000 husstande tunet ind på CBS' hitkomedieserie Everybody Loves Raymond, og 8.302.000 husstande var tunet ind på NBC's hit Law & Order (Kilde: Nielsen Media Research). Hvad er sandsynligheden for, at et hjems TV er indstillet til "Everybody Loves Raymond" i løbet af en given uge? til "Law & Order"?

Opløsning Sandsynligheden for, at tv'et i én husstand er indstillet til "Alle elsker Raymond" er P, og
P = 7.815.000/105.500.000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Muligheden for at husstands-tv'et var sat til "Lov & Orden" er P, og
P = 8.302.000/105.500.000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Disse procenter kaldes vurderinger.

teoretisk sandsynlighed

Antag, at vi laver et eksperiment, såsom at kaste en mønt eller dartpil, trække et kort fra et kortspil eller teste produkter for kvalitet på et samlebånd. Hvert muligt udfald af et sådant eksperiment kaldes Exodus . Sættet af alle mulige udfald kaldes resultatrum . Begivenhed det er et sæt af udfald, det vil sige en delmængde af udfaldsrummet.

Eksempel 4 Kaster dart. Antag, at pilen rammer målet i "kastepile"-eksperimentet. Find hver af følgende:

b) Udfaldsrum

Opløsning
a) Udfald er: at slå sort (H), at slå rød (K) og at slå hvid (B).

b) Der er et udfaldsrum (slag sort, ramt rødt, ramt hvidt), som kan skrives ganske enkelt som (B, R, B).

Eksempel 5 Kaste terninger. En terning er en terning med seks sider, som hver har en til seks prikker.


Antag, at vi kaster en terning. Finde
a) Resultater
b) Udfaldsrum

Opløsning
a) Resultater: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Udfaldsrum (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Vi betegner sandsynligheden for, at en hændelse E indtræffer som P(E). For eksempel kan "mønten lande på haler" betegnes med H. Så er P(H) sandsynligheden for, at mønten vil lande på haler. Når alle udfald af et eksperiment har samme sandsynlighed for at forekomme, siges de at være lige sandsynlige. For at se forskellen mellem begivenheder, der er lige sandsynlige, og begivenheder, der ikke er lige sandsynlige, skal du overveje målet vist nedenfor.

For mål A er sorte, røde og hvide hithændelser lige sandsynlige, da sorte, røde og hvide sektorer er de samme. Men for mål B er zonerne med disse farver ikke de samme, det vil sige, at det ikke er lige sandsynligt at ramme dem.

Princip P (teoretisk)

Hvis en begivenhed E kan ske på m måder ud af n mulige ligesandsynlige udfald fra udfaldsrummet S, så teoretisk sandsynlighed begivenhed, P(E) er
P(E) = m/n.

Eksempel 6 Hvad er sandsynligheden for at slå en 3'er ved at slå en terning?

Opløsning Der er 6 lige sandsynlige udfald på terningen, og der er kun én mulighed for at kaste tallet 3. Så vil sandsynligheden P være P(3) = 1/6.

Eksempel 7 Hvad er sandsynligheden for at kaste et lige tal på terningen?

Opløsning Begivenheden er at kaste et lige tal. Dette kan ske på 3 måder (hvis du kaster 2, 4 eller 6). Antallet af ligesandsynlige udfald er 6. Så er sandsynligheden P(lige) = 3/6 eller 1/2.

Vi vil bruge en række eksempler relateret til en standard 52-korts bunke. Et sådant sæt består af kortene vist i figuren nedenfor.

Eksempel 8 Hvad er sandsynligheden for at trække et es fra et godt blandet kortspil?

Opløsning Der er 52 udfald (antallet af kort i bunken), de er lige sandsynlige (hvis bunken er godt blandet), og der er 4 måder at trække et es på, så ifølge P-princippet er sandsynligheden
P(trækker et es) = 4/52 eller 1/13.

Eksempel 9 Antag, at vi vælger uden at kigge én marmor fra en pose med 3 røde kugler og 4 grønne kugler. Hvad er sandsynligheden for at vælge en rød bold?

Opløsning Der er 7 lige sandsynlige udfald for at få en hvilken som helst bold, og da antallet af måder at trække en rød bold på er 3, får vi
P(at vælge en rød kugle) = 3/7.

Følgende udsagn er resultater fra P-princippet.

Sandsynlighedsegenskaber

a) Hvis hændelsen E ikke kan ske, så er P(E) = 0.
b) Hvis begivenheden E er bundet til at ske, er P(E) = 1.
c) Sandsynligheden for, at hændelse E indtræffer, er et tal mellem 0 og 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

For eksempel, når du kaster en mønt, har den hændelse, at mønten lander på kanten, nul sandsynlighed. Sandsynligheden for, at en mønt er enten hoveder eller haler, har en sandsynlighed på 1.

Eksempel 10 Antag, at der trækkes 2 kort fra et spil med 52 kort. Hvad er sandsynligheden for, at de begge er spar?

Opløsning Antallet af måder n at trække 2 kort fra et velblandet 52-korts kortspil er 52 C 2 . Da 13 af de 52 kort er spar, er antallet m måder at trække 2 spar på 13 C 2 . Derefter,
P(strækker 2 toppe) \u003d m / n \u003d 13 C 2 / 52 C 2 \u003d 78/1326 \u003d 1/17.

Eksempel 11 Antag, at 3 personer er tilfældigt udvalgt fra en gruppe på 6 mænd og 4 kvinder. Hvad er sandsynligheden for, at 1 mand og 2 kvinder bliver valgt?

Opløsning Antal måder at vælge tre personer fra en gruppe på 10 personer 10 C 3 . En mand kan vælges på 6 C 1 måder og 2 kvinder kan vælges på 4 C 2 måder. Ifølge det grundlæggende tælleprincip er antallet af måder at vælge 1. mand og 2 kvinder på 6 C 1 . 4C2. Så er sandsynligheden for, at 1 mand og 2 kvinder bliver valgt
P = 6 C1. 4 C 2 / 10 C 3 \u003d 3/10.

Eksempel 12 Kaste terninger. Hvad er sandsynligheden for at kaste i alt 8 på to terninger?

Opløsning Der er 6 mulige udfald på hver terning. Resultaterne fordobles, det vil sige, at der er 6,6 eller 36 mulige måder, hvorpå tallene på to terninger kan falde. (Det er bedre, hvis terningerne er forskellige, lad os sige, at den ene er rød, og den anden er blå - dette vil hjælpe med at visualisere resultatet.)

Par af tal, der summer op til 8, er vist i figuren nedenfor. Der er 5 mulige måder at få summen lig med 8, derfor er sandsynligheden 5/36.

1. Formler til beregning af sandsynligheden for hændelser

1.3.1. Sekvens af uafhængige forsøg (Bernoulli-ordningen)

Antag, at et eksperiment kan udføres gentagne gange under de samme betingelser. Lad denne oplevelse gøres n gange, dvs. en sekvens af n tests.

Definition. Sekvens n test kaldes gensidigt uafhængige hvis en hændelse forbundet med en given test er uafhængig af eventuelle hændelser forbundet med andre tests.

Lad os sige, at en begivenhed EN sandsynligvis vil ske s som resultat af én test eller ikke ske med sandsynlighed q= 1- s.

Definition . Sekvens af n test danner en Bernoulli-ordning, hvis følgende betingelser er opfyldt:

rækkefølge n tests er gensidigt uafhængige,

2) sandsynlighed for en begivenhed ENændrer sig ikke fra test til test og afhænger ikke af resultatet i andre tests.

Begivenhed EN kaldes en "succes" af testen, og den modsatte hændelse kaldes en "fiasko". Overvej en begivenhed

=( i n testene skete nøjagtigt m"succes").

For at beregne sandsynligheden for denne hændelse er Bernoulli-formlen gyldig

s() =
, m = 1, 2, …, n , (1.6)

hvor - antal kombinationer af n elementer af m :

=
=
.

Eksempel 1.16. Kast terningerne tre gange. Finde:

a) sandsynligheden for, at 6 point falder ud to gange;

b) sandsynligheden for, at antallet af seksere ikke optræder mere end to gange.

Opløsning . Testens "succes" vil blive betragtet som tabet af et ansigt på terningen med billedet på 6 point.

a) Samlet antal prøver - n=3, antal "succeser" - m = 2. Sandsynlighed for "succes" - s=, og sandsynligheden for "fejl" - q= 1 - =. Derefter, ifølge Bernoulli-formlen, vil sandsynligheden for, at siden med seks point falder ud to gange som følge af at kaste terningen tre gange være lig med

.

b) Betegn med EN en begivenhed, hvor et ansigt med en score på 6 højst vil dukke op to gange. Så kan begivenheden repræsenteres som beløb på tre uforenelige begivenheder A=
,

hvor V 3 0 – begivenhed, hvor interessen aldrig dukker op,

V 3 1 - begivenhed, hvor interessen dukker op én gang,

V 3 2 - begivenhed, hvor interesseansigtet dukker op to gange.

Ved Bernoulli-formlen (1.6) finder vi

s(EN) = p(
) = s(
)=
+
+
=

=
.

1.3.2. Betinget sandsynlighed for en hændelse

Den betingede sandsynlighed afspejler virkningen af ​​en begivenhed på sandsynligheden for en anden. Ændring af betingelserne, som forsøget udføres under, påvirker også

sandsynligheden for, at begivenheden af ​​interesse indtræffer.

Definition. Lade EN og B- nogle hændelser, og sandsynligheden s(B)> 0.

Betinget sandsynlighed begivenheder EN forudsat at "begivenhed Ballerede sket” er forholdet mellem sandsynligheden for at producere disse begivenheder og sandsynligheden for en begivenhed, der fandt sted tidligere end den begivenhed, hvis sandsynlighed skal findes. Den betingede sandsynlighed betegnes som s(EN B). Så per definition

s (EN  B) =
. (1.7)

Eksempel 1.17. Kast to terninger. Rummet af elementære begivenheder består af ordnede par af tal

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).

I eksempel 1.16 blev det konstateret, at hændelsen EN=(antal point på den første terning > 4) og begivenhed C=(summen af ​​point er 8) er afhængige. Lad os skabe et forhold

.

Dette forhold kan fortolkes som følger. Antag, at resultatet af det første kast vides at være, at antallet af point på den første terning er > 4. Det følger heraf, at kastet med den anden terning kan føre til et af de 12 udfald, der udgør begivenheden EN:

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) .

Samtidig begivenheden C kun to af dem (5.3) (6.2) kan matche. I dette tilfælde er sandsynligheden for hændelsen C vil være lig med
. Altså information om forekomsten af ​​en hændelse EN påvirket sandsynligheden for en begivenhed C.

Sandsynlighed for at producere begivenheder

Multiplikationssætning

Sandsynlighed for at producere begivenhederEN 1 EN 2  EN n bestemmes af formlen

s(EN 1 EN 2  EN n)=p(EN 1)s(EN 2  EN 1)) s(EN n  EN 1 EN 2  EN n- 1). (1.8)

For produktet af to begivenheder følger det

s(AB)=p(EN B) s{B)=p(B EN)s{EN). (1.9)

Eksempel 1.18. I et parti på 25 varer er 5 varer defekte. 3 emner er valgt tilfældigt. Bestem sandsynligheden for, at alle udvalgte produkter er defekte.

Opløsning. Lad os betegne begivenhederne:

EN 1 = (første produkt er defekt),

EN 2 = (det andet produkt er defekt),

EN 3 = (tredje produkt er defekt),

EN = (alle produkter er defekte).

Begivenhed EN er et produkt af tre begivenheder EN = EN 1 EN 2 EN 3 .

Fra multiplikationssætningen (1.6) vi får

s(EN)= p( EN 1 EN 2 EN 3 ) = s(EN 1) s(EN 2  EN 1))s(EN 3  EN 1 EN 2).

Den klassiske definition af sandsynlighed giver os mulighed for at finde s(EN 1) er forholdet mellem antallet af defekte produkter og det samlede antal produkter:

s(EN 1)= ;

s(EN 2) – det forholdet mellem antallet af defekte produkter, der er tilbage efter tilbagetrækningen af ​​én, og det samlede antal resterende produkter:

s(EN 2  EN 1))= ;

s(EN 3) er forholdet mellem antallet af defekte produkter, der er tilbage efter tilbagetrækningen af ​​to defekte produkter, og det samlede antal resterende produkter:

s(EN 3  EN 1 EN 2)=.

Så sandsynligheden for hændelsen EN vil være lig med

s(EN) ==
.

"Tilfældighed er ikke tilfældig"... Det lyder som en filosof sagde, men faktisk er studiet af ulykker skæbnen for den store videnskab om matematik. I matematik er tilfældighed teorien om sandsynlighed. Formler og eksempler på opgaver samt de vigtigste definitioner af denne videnskab vil blive præsenteret i artiklen.

Hvad er sandsynlighedsteori?

Sandsynlighedsteori er en af ​​de matematiske discipliner, der studerer tilfældige hændelser.

For at gøre det lidt tydeligere, lad os give et lille eksempel: Hvis du kaster en mønt op, kan den falde med hoveder eller haler. Så længe mønten er i luften, er begge disse muligheder mulige. Det vil sige, at sandsynligheden for mulige konsekvenser korrelerer 1:1. Hvis man trækkes fra et spil med 36 kort, vil sandsynligheden blive angivet som 1:36. Det ser ud til, at der ikke er noget at udforske og forudsige, især ved hjælp af matematiske formler. Ikke desto mindre, hvis du gentager en bestemt handling mange gange, kan du identificere et bestemt mønster og på grundlag af det forudsige udfaldet af begivenheder under andre forhold.

For at opsummere alt ovenstående studerer sandsynlighedsteorien i klassisk forstand muligheden for forekomsten af ​​en af ​​de mulige begivenheder i numerisk forstand.

Fra historiens sider

Sandsynlighedsteorien, formler og eksempler på de første opgaver dukkede op i den fjerne middelalder, da der først opstod forsøg på at forudsige resultatet af kortspil.

I starten havde sandsynlighedsteorien intet med matematik at gøre. Det var begrundet med empiriske fakta eller egenskaber ved en begivenhed, som kunne gengives i praksis. De første værker på dette område som en matematisk disciplin dukkede op i det 17. århundrede. Grundlæggerne var Blaise Pascal og Pierre Fermat. I lang tid studerede de gambling og så visse mønstre, som de besluttede at fortælle offentligheden om.

Den samme teknik blev opfundet af Christian Huygens, selvom han ikke var bekendt med resultaterne af Pascals og Fermats forskning. Begrebet "sandsynlighedsteori", formler og eksempler, som betragtes som de første i disciplinens historie, blev introduceret af ham.

Af ikke ringe betydning er Jacob Bernoullis værker, Laplaces og Poissons sætninger. De gjorde sandsynlighedsteori mere som en matematisk disciplin. Sandsynlighedsteori, formler og eksempler på grundlæggende opgaver fik deres nuværende form takket være Kolmogorovs aksiomer. Som et resultat af alle ændringerne er sandsynlighedsteorien blevet en af ​​de matematiske grene.

Grundlæggende begreber i sandsynlighedsteori. Begivenheder

Hovedkonceptet for denne disciplin er "begivenhed". Begivenheder er af tre typer:

• Pålidelig. Dem, der vil ske alligevel (mønten falder).
• Umulig. Begivenheder, der ikke vil ske i noget scenarie (mønten forbliver hængende i luften).
• Tilfældig. Dem der vil eller ikke vil ske. De kan påvirkes af forskellige faktorer, som er meget svære at forudsige. Hvis vi taler om en mønt, så er tilfældige faktorer, der kan påvirke resultatet: møntens fysiske egenskaber, dens form, udgangsposition, kastekraft osv.

Alle begivenheder i eksemplerne er angivet med store latinske bogstaver, med undtagelse af R, som har en anden rolle. For eksempel:

• A = "studerende kom til forelæsningen."
• Ā = "studerende kom ikke til forelæsningen".

I praktiske opgaver bliver hændelser normalt registreret i ord.

Et af de vigtigste kendetegn ved begivenheder er deres lige muligheder. Det vil sige, at hvis du kaster en mønt, er alle varianter af det indledende fald mulige, indtil den falder. Men begivenheder er heller ikke lige sandsynlige. Dette sker, når nogen bevidst påvirker resultatet. For eksempel "markerede" spillekort eller terninger, hvor tyngdepunktet forskydes.

Begivenheder er også kompatible og uforenelige. Kompatible hændelser udelukker ikke forekomsten af ​​hinanden. For eksempel:

• A = "den studerende kom til forelæsningen."
• B = "den studerende kom til forelæsningen."

Disse begivenheder er uafhængige af hinanden, og udseendet af en af ​​dem påvirker ikke udseendet af den anden. Inkompatible hændelser er defineret ved, at forekomsten af ​​den ene udelukker forekomsten af ​​den anden. Hvis vi taler om den samme mønt, så gør tabet af "haler" det umuligt for udseendet af "hoveder" i det samme eksperiment.

Handlinger på begivenheder

Hændelser kan multipliceres og tilføjes, henholdsvis logiske bindeled "AND" og "OR" introduceres i disciplinen.

Beløbet bestemmes af, at enten hændelse A, B eller begge kan indtræffe på samme tid. I det tilfælde, hvor de er inkompatible, er den sidste mulighed umulig, enten A eller B falder ud.

Multiplikationen af ​​begivenheder består i fremkomsten af ​​A og B på samme tid.

Nu kan du give et par eksempler for bedre at huske det grundlæggende, sandsynlighedsteori og formler. Eksempler på problemløsning nedenfor.

Øvelse 1: Firmaet byder på kontrakter for tre typer arbejde. Mulige hændelser, der kan forekomme:

• A = "virksomheden vil modtage den første kontrakt."
• A 1 = "virksomheden vil ikke modtage den første kontrakt."
• B = "virksomheden vil modtage en anden kontrakt."
• B 1 = "firmaet vil ikke modtage en anden kontrakt"
• C = "virksomheden vil modtage en tredje kontrakt."
• C 1 = "virksomheden vil ikke modtage en tredje kontrakt."

Lad os prøve at udtrykke følgende situationer ved hjælp af handlinger på begivenheder:

• K = "virksomheden vil modtage alle kontrakter."

På matematisk form vil ligningen se således ud: K = ABC.

• M = "virksomheden vil ikke modtage en eneste kontrakt."

M \u003d A 1 B 1 C 1.

Vi komplicerer opgaven: H = "firmaet vil modtage én kontrakt." Da det ikke er kendt, hvilken kontrakt firmaet vil modtage (den første, anden eller tredje), er det nødvendigt at registrere hele rækken af ​​mulige begivenheder:

H \u003d A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

Og 1 BC 1 er en række begivenheder, hvor firmaet ikke modtager den første og tredje kontrakt, men modtager den anden. Andre mulige hændelser registreres også med den tilsvarende metode. Symbolet υ i disciplinen angiver en flok "ELLER". Hvis vi oversætter ovenstående eksempel til et menneskeligt sprog, vil virksomheden enten modtage den tredje kontrakt, den anden eller den første. Tilsvarende kan du skrive andre forhold i disciplinen "Sandsynlighedsteori". Formlerne og eksemplerne på løsning af problemer præsenteret ovenfor vil hjælpe dig med at gøre det selv.

Faktisk sandsynligheden

Måske er sandsynligheden for en begivenhed i denne matematiske disciplin et centralt begreb. Der er 3 definitioner af sandsynlighed:

• klassisk;
• statistisk;
• geometriske.

Hver har sin plads i studiet af sandsynligheder. Sandsynlighedsteori, formler og eksempler (9. klasse) bruger for det meste den klassiske definition, som lyder således:

• Sandsynligheden for situation A er lig med forholdet mellem antallet af udfald, der favoriserer dets forekomst, og antallet af alle mulige udfald.

Formlen ser sådan ud: P (A) \u003d m / n.

Og faktisk en begivenhed. Hvis det modsatte af A forekommer, kan det skrives som  eller A 1 .

m er antallet af mulige gunstige tilfælde.

n - alle begivenheder, der kan ske.

For eksempel, A \u003d "træk et hjertefarvekort ud." Der er 36 kort i et standardspil, 9 af dem er af hjerter. Følgelig vil formlen til løsning af problemet se ud som:

P(A)=9/36=0,25.

Som et resultat heraf vil sandsynligheden for, at et hjerte-suitet kort bliver trukket fra bunken være 0,25.

til højere matematik

Nu er det blevet lidt kendt, hvad sandsynlighedsteorien er, formler og eksempler på løsning af opgaver, der støder på i skolens læreplan. Sandsynlighedsteorien findes dog også i højere matematik, som undervises på universiteterne. Oftest opererer de med geometriske og statistiske definitioner af teorien og komplekse formler.

Sandsynlighedsteorien er meget interessant. Formler og eksempler (højere matematik) er bedre at begynde at lære fra en lille - fra en statistisk (eller frekvens) definition af sandsynlighed.

Den statistiske tilgang modsiger ikke den klassiske tilgang, men udvider den lidt. Hvis det i det første tilfælde var nødvendigt at bestemme med hvilken grad af sandsynlighed en begivenhed vil forekomme, så er det i denne metode nødvendigt at angive, hvor ofte det vil forekomme. Her introduceres et nyt begreb "relativ frekvens", som kan betegnes med W n (A). Formlen adskiller sig ikke fra den klassiske:

Hvis den klassiske formel beregnes til prognose, så beregnes den statistiske i henhold til eksperimentets resultater. Tag for eksempel en lille opgave.

Afdelingen for teknologisk kontrol kvalitetstjekker produkter. Blandt 100 produkter blev 3 fundet at være af dårlig kvalitet. Hvordan finder man frekvenssandsynligheden for et kvalitetsprodukt?

A = "udseendet af et kvalitetsprodukt."

Wn(A)=97/100=0,97

Således er frekvensen af ​​et kvalitetsprodukt 0,97. Hvor har du 97 fra? Af de 100 produkter, der blev kontrolleret, viste 3 sig at være af dårlig kvalitet. Vi trækker 3 fra 100, vi får 97, dette er mængden af ​​et kvalitetsprodukt.

Lidt om kombinatorik

En anden metode til sandsynlighedsteori kaldes kombinatorik. Dens grundlæggende princip er, at hvis et bestemt valg A kan foretages på m forskellige måder, og et valg B på n forskellige måder, så kan valget af A og B foretages ved at gange.

For eksempel er der 5 veje fra by A til by B. Der er 4 ruter fra by B til by C. Hvor mange måder er der at komme fra by A til by C?

Det er enkelt: 5x4 = 20, det vil sige, der er tyve forskellige måder at komme fra punkt A til punkt C.

Lad os gøre opgaven sværere. Hvor mange måder er der at spille kort på i kabale? I et spil med 36 kort er dette udgangspunktet. For at finde ud af antallet af måder, skal du "trække" et kort fra udgangspunktet og gange.

Det vil sige, 36x35x34x33x32…x2x1= resultatet passer ikke på lommeregnerens skærm, så det kan blot betegnes som 36!. Skilt "!" ved siden af ​​tallet angiver, at hele rækken af ​​tal er ganget indbyrdes.

I kombinatorik er der sådanne begreber som permutation, placering og kombination. Hver af dem har sin egen formel.

Et ordnet sæt af sætelementer kaldes et layout. Placeringer kan være gentagne, hvilket betyder, at ét element kan bruges flere gange. Og uden gentagelse, når elementerne ikke gentages. n er alle elementer, m er de elementer, der deltager i placeringen. Formlen for placering uden gentagelser ser sådan ud:

A n m =n!/(n-m)!

Forbindelser af n elementer, der kun adskiller sig i rækkefølgen af ​​placering, kaldes permutationer. I matematik ser det sådan ud: P n = n!

Kombinationer af n elementer med m er sådanne forbindelser, hvor det er vigtigt, hvilke grundstoffer de var, og hvad er deres samlede antal. Formlen vil se sådan ud:

A n m =n!/m!(n-m)!

Bernoulli formel

I sandsynlighedsteorien, såvel som i enhver disciplin, er der værker af fremragende forskere inden for deres felt, som har taget det til et nyt niveau. Et af disse værker er Bernoulli-formlen, som giver dig mulighed for at bestemme sandsynligheden for, at en bestemt begivenhed finder sted under uafhængige forhold. Dette tyder på, at udseendet af A i et eksperiment ikke afhænger af udseendet eller ikke-forekomsten af ​​den samme hændelse i tidligere eller efterfølgende test.

Bernoulli ligning:

P n (m) = C n m × p m × q n-m.

Sandsynligheden (p) for hændelsen (A) er uændret for hvert forsøg. Sandsynligheden for, at situationen vil ske præcis m gange i n antal eksperimenter, vil blive beregnet ved formlen, der er præsenteret ovenfor. Derfor opstår spørgsmålet om, hvordan man finder ud af tallet q.

Hvis hændelse A forekommer et antal gange, vil det derfor muligvis ikke forekomme. En enhed er et tal, der bruges til at betegne alle udfald af en situation i en disciplin. Derfor er q et tal, der angiver muligheden for, at hændelsen ikke indtræffer.

Nu kender du Bernoulli-formlen (sandsynlighedsteori). Eksempler på problemløsning (det første niveau) vil blive gennemgået nedenfor.

Opgave 2: En butiksbesøgende vil foretage et køb med en sandsynlighed på 0,2. 6 besøgende kom selvstændigt ind i butikken. Hvad er sandsynligheden for, at en besøgende foretager et køb?

Løsning: Da det ikke vides, hvor mange besøgende der skal foretage et køb, en eller alle seks, er det nødvendigt at beregne alle mulige sandsynligheder ved hjælp af Bernoulli-formlen.

A = "den besøgende vil foretage et køb."

I dette tilfælde: p = 0,2 (som angivet i opgaven). Følgelig er q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (fordi der er 6 kunder i butikken). Tallet m ændres fra 0 (ingen kunde vil foretage et køb) til 6 (alle butiksbesøgende vil købe noget). Som et resultat får vi løsningen:

P 6 (0) \u003d C 0 6 × p 0 × q 6 \u003d q 6 \u003d (0,8) 6 \u003d 0,2621.

Ingen af ​​køberne vil foretage et køb med en sandsynlighed på 0,2621.

Hvordan bruges Bernoulli-formlen (sandsynlighedsteori) ellers? Eksempler på problemløsning (andet niveau) nedenfor.

Efter ovenstående eksempel opstår der spørgsmål om, hvor C og p er blevet af. Med hensyn til p vil et tal i potensen 0 være lig med én. Hvad angår C, kan det findes ved formlen:

C n m = n! /m!(n-m)!

Da i det første eksempel henholdsvis m = 0 er C=1, hvilket i princippet ikke påvirker resultatet. Ved hjælp af den nye formel, lad os prøve at finde ud af, hvad der er sandsynligheden for at købe varer af to besøgende.

P 6 (2) = C 6 2 × p 2 × q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Sandsynlighedsteorien er ikke så kompliceret. Bernoulli-formlen, som eksempler er præsenteret ovenfor, er et direkte bevis på dette.

Poisson formel

Poisson-ligningen bruges til at beregne usandsynlige tilfældige situationer.

Grundformel:

Pn(m)=λm/m! x e (-λ).

I dette tilfælde er λ = n x p. Her er sådan en simpel Poisson-formel (sandsynlighedsteori). Eksempler på problemløsning vil blive gennemgået nedenfor.

Opgave 3 A: Fabrikken producerede 100.000 dele. Udseendet af en defekt del = 0,0001. Hvad er sandsynligheden for, at der vil være 5 defekte dele i en batch?

Som du kan se, er ægteskab en usandsynlig begivenhed, og derfor bruges Poisson-formlen (sandsynlighedsteori) til beregning. Eksempler på løsning af problemer af denne art adskiller sig ikke fra andre opgaver i disciplinen, vi erstatter de nødvendige data i ovenstående formel:

A = "en tilfældigt valgt del vil være defekt."

p = 0,0001 (ifølge tildelingsbetingelsen).

n = 100000 (antal dele).

m = 5 (defekte dele). Vi erstatter dataene i formlen og får:

R 100.000 (5) = 10 5 / 5! Xe-10 = 0,0375.

Ligesom Bernoulli-formlen (sandsynlighedsteori), eksempler på løsninger, som er skrevet ovenfor, har Poisson-ligningen en ukendt e. I bund og grund kan den findes ved formlen:

e -λ = lim n -> ∞ (1-λ/n) n .

Der er dog specielle tabeller, der indeholder næsten alle værdierne af f.

De Moivre-Laplace sætning

Hvis antallet af forsøg i Bernoulli-skemaet er stort nok, og sandsynligheden for forekomst af begivenhed A i alle skemaer er den samme, så kan sandsynligheden for forekomst af begivenhed A et vist antal gange i en række af forsøg findes ved at Laplace formlen:

R n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

Xm = m-np/√npq.

For bedre at huske Laplace-formlen (sandsynlighedsteori), eksempler på opgaver til hjælp nedenfor.

Først finder vi X m , vi erstatter dataene (de er alle angivet ovenfor) i formlen og får 0,025. Ved hjælp af tabeller finder vi tallet ϕ (0,025), hvis værdi er 0,3988. Nu kan du erstatte alle data i formlen:

P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 \u003d 3/40 x 0,3988 \u003d 0,03.

Så sandsynligheden for, at flyeren rammer præcis 267 gange er 0,03.

Bayes formel

Bayes-formlen (sandsynlighedsteori), eksempler på løsning af opgaver, som vil blive givet nedenfor, er en ligning, der beskriver sandsynligheden for en begivenhed baseret på de omstændigheder, der kunne være forbundet med den. Hovedformlen er som følger:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A og B er bestemte begivenheder.

P(A|B) - betinget sandsynlighed, dvs. begivenhed A kan forekomme, forudsat at begivenhed B er sand.

Р (В|А) - betinget sandsynlighed for hændelse В.

Så den sidste del af det korte kursus "Sandsynlighedsteori" er Bayes-formlen, eksempler på løsning af problemer er nedenfor.

Opgave 5: Telefoner fra tre firmaer blev bragt til lageret. Samtidig er en del af de telefoner, der fremstilles på den første fabrik, 25%, på den anden - 60%, på den tredje - 15%. Det er også kendt, at den gennemsnitlige procentdel af defekte produkter på den første fabrik er 2%, på den anden - 4% og på den tredje - 1%. Det er nødvendigt at finde sandsynligheden for, at en tilfældigt valgt telefon vil være defekt.

A = "tilfældigt taget telefon."

B 1 - telefonen som den første fabrik lavede. Følgelig vil indledende B 2 og B 3 fremkomme (for den anden og tredje fabrik).

Som et resultat får vi:

P (B 1) \u003d 25% / 100% \u003d 0,25; P (B 2) \u003d 0,6; P (B 3) \u003d 0,15 - så vi fandt sandsynligheden for hver mulighed.

Nu skal du finde de betingede sandsynligheder for den ønskede begivenhed, det vil sige sandsynligheden for defekte produkter i virksomheder:

P (A / B 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0,02;

P (A / B 2) \u003d 0,04;

P (A/B 3) \u003d 0,01.

Nu erstatter vi dataene i Bayes-formlen og får:

P (A) \u003d 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 \u003d 0,0305.

Artiklen præsenterer sandsynlighedsteorien, formler og eksempler på problemløsning, men dette er kun toppen af ​​isbjerget for en stor disciplin. Og efter alt det, der er skrevet, vil det være logisk at stille spørgsmålet om, hvorvidt sandsynlighedsteorien er nødvendig i livet. Det er svært for en simpel person at svare på, det er bedre at spørge nogen, der har ramt jackpotten mere end én gang med hendes hjælp.

Sandsynlighed for den modsatte begivenhed

Overvej en tilfældig begivenhed EN, og lad sin sandsynlighed p(A) kendt. Derefter sandsynligheden for den modsatte hændelse bestemmes af formlen

. (1.8)

Bevis. Husk at ifølge aksiom 3 for uforenelige begivenheder

p(A+B) = p(A) + p(B).

På grund af inkompatibiliteten EN og

Følge., det vil sige, at sandsynligheden for en umulig begivenhed er nul.

Formel (1.8) bruges til at bestemme f.eks. sandsynligheden for et misse, hvis sandsynligheden for at ramme er kendt (eller omvendt sandsynligheden for at ramme, hvis sandsynligheden for en miss er kendt; for eksempel hvis sandsynligheden for at ramme for et våben er 0,9, sandsynligheden for en miss for det er (1 - 0, 9 = 0,1).

1. Sandsynlighed for summen af ​​to hændelser

Her ville det være passende at minde om det for uforenelige begivenheder denne formel ser sådan ud:

Eksempel. Anlægget producerer 85% af produkterne i den første kvalitet og 10% af den anden. Resten af ​​varerne anses for defekte. Hvad er sandsynligheden for, at vi, hvis vi tager et produkt tilfældigt, får en defekt?

Opløsning. P \u003d 1 - (0,85 + 0,1) \u003d 0,05.

Sandsynligheden for summen af ​​to tilfældige hændelser er lig med

Bevis. Forestil dig en begivenhed EN + B som en sum af uforenelige hændelser

På grund af uforeneligheden EN og vi opnår ifølge Aksiom 3

På samme måde finder vi

Ved at erstatte sidstnævnte i den foregående formel opnår vi den ønskede (1.10) (fig. 2).

Eksempel. Af de 20 elever bestod 5 personer eksamen i historie for en toer, 4 på engelsk, og 3 elever fik toere i begge fag. Hvad er procentdelen af ​​elever i gruppen, der ikke har toere i disse fag?

Opløsning. P = 1 - (5/20 + 4/20 - 3/20) = 0,7 (70%).

1. Betinget sandsynlighed

I nogle tilfælde er det nødvendigt at bestemme sandsynligheden for en tilfældig hændelse B forudsat at der er sket en tilfældig hændelse EN, som har en sandsynlighed, der ikke er nul. At begivenheden EN skete, indsnævrer rummet af elementære begivenheder til et sæt EN svarende til denne begivenhed. Yderligere ræsonnementer vil blive udført på eksemplet med et klassisk skema. Lad Wbestå af n lige så mulige elementære begivenheder (udfald) og begivenheden EN tjenester m(A), og begivenheden AB - m(AB) resultater. Angiv den betingede sandsynlighed for en begivenhed B forudsat at EN skete, - p(B|A). Per definition,

= .

Hvis EN skete, så en af ​​de m(A) resultater og begivenhed B kan kun ske, hvis et af de gunstige resultater indtræffer AB; sådanne resultater m(AB). Derfor er det naturligt at sætte den betingede sandsynlighed for hændelsen B forudsat at EN sket, svarende til forholdet

Sammenfattende giver vi en generel definition: betinget sandsynlighed for hændelse B, forudsat at hændelse A med en sandsynlighed, der ikke er nul, indtraf , hedder

. (1.11)

Det er let at kontrollere, at den på denne måde introducerede definition opfylder alle aksiomer, og derfor er alle tidligere beviste teoremer sande.

Ofte den betingede sandsynlighed p(B|A) let kan findes ud fra problemets forhold, i mere komplekse tilfælde skal man bruge definition (1.11).

Eksempel. En urne indeholder N kugler, hvoraf n er hvide og N-n er sorte. En bold tages ud af den og uden at lægge den tilbage ( prøve uden retur ), få ​​en anden. Hvad er sandsynligheden for, at begge kugler er hvide?

Opløsning. Når vi løser dette problem, anvender vi både den klassiske definition af sandsynlighed og produktreglen: vi betegner med A begivenheden, der består i, at den hvide kugle blev taget ud først (derefter blev den sorte kugle taget ud først), og gennem B begivenheden bestående i, at den anden bold blev taget ud af hvid bold; derefter

.

Det er let at se, at sandsynligheden for, at tre bolde taget ud i træk (uden erstatning) er hvide er:

etc.

Eksempel. Af de 30 eksamenskort udarbejdede eleven kun 25. Hvis han nægter at besvare den første billet, der blev taget (som han ikke kender), så har han lov til at tage den anden. Bestem sandsynligheden for, at den anden billet er heldig.

Opløsning. Lad begivenheden EN ligger i, at den første udtrukne billet viste sig at være "dårlig" for eleven, og B- den anden - ²god². Fordi efter begivenheden EN en af ​​de “dårlige” er allerede udtrukket, så er der kun 29 billetter tilbage, hvoraf 25 eleven kender. Derfor er den ønskede sandsynlighed, hvis det antages, at enhver billets udseende er lige mulig, og at de ikke vender tilbage, lig med .

1. Produktsandsynlighed

Relation (1.11), forudsat at p(A) eller p(B) ikke er lig med nul, kan skrives i formen

Dette forhold kaldes sætning om sandsynligheden for produktet af to begivenheder , som kan generaliseres til et vilkårligt antal faktorer, f.eks. for tre har den formen

Eksempel. Under betingelserne i det foregående eksempel, find sandsynligheden for at bestå eksamenen, hvis eleven for dette skal besvare den første billet eller, uden at besvare den første, skal du sørge for at besvare den anden.

Opløsning. Lad begivenhederne EN og B er, at henholdsvis første og anden billet er "gode". Så - udseendet af en "dårlig" billet for første gang. Eksamen vil blive taget, hvis en begivenhed indtræffer EN eller på samme tid og B. Det vil sige, at den ønskede begivenhed C - den vellykkede beståelse af eksamen - udtrykkes som følger: C = EN+ .Herfra

Her har vi udnyttet inkompatibiliteten EN og dermed uforeneligheden EN og , sætninger om sandsynligheden for sum og produkt og den klassiske definition af sandsynlighed ved beregning p(A) og .

Dette problem kan løses endnu mere enkelt, hvis vi bruger sætningen om sandsynligheden for den modsatte begivenhed:

1. Uafhængighed af begivenheder

Tilfældige hændelser A og Blad os ringeuafhængig, hvis

For selvstændige arrangementer følger det af (1.11), at ; det modsatte er også sandt.

Uafhængighed af begivenhederbetyder, at forekomsten af ​​begivenhed A ikke ændrer sandsynligheden for forekomst af begivenhed B, det vil sige, at den betingede sandsynlighed er lig med den ubetingede .

Eksempel. Lad os betragte det forrige eksempel med en urne, der indeholder N kugler, hvoraf n er hvide, men lad os ændre oplevelsen: efter at have taget en kugle ud, sætter vi den tilbage og tager først derefter den næste ud ( hente med retur ).

A er begivenheden, hvor den hvide kugle blev trukket først, begivenheden, at den sorte kugle blev trukket først, og B er begivenheden, hvor den hvide kugle blev trukket som anden; derefter

det vil sige, i dette tilfælde er begivenhederne A og B uafhængige.

Ved prøvetagning med retur er begivenhederne ved den anden trækning af bolden således uafhængige af begivenhederne i den første trækning, men ved prøvetagning uden udskiftning er dette ikke tilfældet. For store N og n er disse sandsynligheder dog meget tæt på hinanden. Dette bruges, fordi prøveudtagning nogle gange udføres uden udskiftning (for eksempel i kvalitetskontrol, når test af et objekt fører til dets ødelæggelse), og beregningerne udføres ved hjælp af formler for prøveudtagning med udskiftning, som er enklere.

I praksis bruger man ved sandsynlighedsberegning ofte reglen, hvorefter fra begivenhedernes fysiske uafhængighed følger deres uafhængighed i sandsynlig forstand .

Eksempel. Sandsynligheden for, at en person på 60 år ikke dør i det næste år, er 0,91. Et forsikringsselskab forsikrer livet for to personer på 60 år i et år.

Sandsynlighed for, at ingen af ​​dem dør: 0,91 × 0,91 = 0,8281.

Sandsynlighed for at de begge dør:

(1 – 0,91)×(1 – 0,91) = 0,09 × 0,09 = 0,0081.

Sandsynlighed for at dø mindst en:

1 – 0,91 × 0,91 = 1 – 0,8281 = 0,1719.

Sandsynlighed for at dø en:

0,91 x 0,09 + 0,09 x 0,91 = 0,1638.

Event system A 1 , A 2 ,..., A n vi kalder uafhængig i aggregatet, hvis sandsynligheden for produktet er lig med produktet af sandsynligheden for enhver kombination af faktorer fra dette system. I dette tilfælde er det især

Eksempel. Pengeskabets kode består af syv decimalcifre. Hvad er sandsynligheden for, at tyven får ret første gang?

I hver af de 7 positioner kan du ringe til et hvilket som helst af de 10 cifre 0,1,2,...,9, for i alt 10 7 numre, startende fra 0000000 og slutter med 9999999.

Eksempel. Pengeskabets kode består af et russisk bogstav (der er 33 af dem) og tre cifre. Hvad er sandsynligheden for, at tyven får ret første gang?

P = (1/33) × (1/10) 3 .

Eksempel. I en mere generel form er forsikringsproblemet: sandsynligheden for, at en person i alderen ... år ikke dør i det næste år, er lig med p. Et forsikringsselskab forsikrer livet for n personer i denne alder i et år.

Sandsynligheden for at ingen af dem vil ikke dø: pn (behøver ikke betale en forsikringspræmie til nogen).

Sandsynlighed for at dø mindst en: 1 - p n (betalinger kommer).

Sandsynligheden for, at de alle dø: (1 – p) n (største udbetalinger).

Sandsynlighed for at dø en: n × (1 – p) × p n-1 (hvis personer er nummereret, så kan den der dør nummereres 1, 2,...,n – det er n forskellige hændelser, som hver har en sandsynlighed på (1 – p) x pn-1).

1. Formel for total sandsynlighed

Lad begivenhederne H1, H2, ..., Hn opfylde betingelserne

Hvis .

Sådan en samling kaldes fuld gruppe af arrangementer.

Lad os antage, at vi kender sandsynligheden s(Hej), s(A/H i). I dette tilfælde gælder formel for total sandsynlighed

. (1.14)

Bevis. Lad os bruge hvad Hej(de kaldes normalt hypoteser ) er parvis inkonsistente (derfor inkonsistente og Hej× EN), og deres sum er en bestemt begivenhed

Denne ordning finder sted, når vi kan tale om opdelingen af ​​hele begivenhedsrummet i flere, generelt set, heterogene regioner. I økonomi er dette opdelingen af ​​et land eller område i regioner af forskellig størrelse og forskellige forhold, når andelen af ​​hver region er kendt p(hej) og sandsynligheden (andelen) for en eller anden parameter i hver region (f.eks. procentdelen af ​​arbejdsløse - den er forskellig i hver region) - p(A/Hej). Lageret kan indeholde produkter fra tre forskellige fabrikker, der leverer forskellige mængder af produkter med forskellige fejlprocenter mv.

Eksempel. Støbning af svin kommer fra to butikker til den tredje: 70 % fra den første og 30 % fra den anden. Samtidig har produkterne fra det første værksted 10% af defekter, og det andet - 20%. Find sandsynligheden for, at en disk, taget tilfældigt, har en defekt.

Opløsning: p(H1) = 0,7; p(H2) = 0,3; p(A/H1) = 0,1; p(A/H2)=0,2;

P = 0,7 × 0,1 + 0,3 × 0,2 = 0,13 (i gennemsnit er 13 % af emnerne i den tredje butik defekte).

En matematisk model kan for eksempel være som følger: der er flere urner af forskellig sammensætning; i den første urne er der n 1 kugler, hvoraf m 1 er hvide og så videre. Den samlede sandsynlighedsformel bruges til at finde sandsynligheden, ved at vælge en urne tilfældigt, for at få en hvid kugle ud af den.

Problemer løses på samme måde i det generelle tilfælde.

Eksempel. Lad os gå tilbage til eksemplet med urnen, der indeholder N kugler, hvoraf n er hvide. Vi kommer ud af det (uden retur) to bolde. Hvad er sandsynligheden for, at den anden kugle er hvid?

Opløsning. H 1 - den første kugle er hvid; p(H1)=n/N;

H 2 - den første kugle er sort; p(H2)=(N-n)/N;

B - den anden kugle er hvid; p(B|H1)=(n-1)/(N-1); p(B|H2)=n/(N-1);

Den samme model kan anvendes til at løse følgende problem: ud af N billetter lærte eleven kun n. Hvad er mere rentabelt for ham - at trække billetten den allerførste eller den anden? Det viser sig, at det under alle omstændigheder er med sandsynlighed n/N trækker en god billet og med sandsynlighed ( N-n)/N- dårligt.

Eksempel. Bestem sandsynligheden for, at en rejsende, der forlader punkt A, vil ende ved punkt B, hvis han ved et vejskille tilfældigt vælger en hvilken som helst vej (undtagen returvejen). Vejkortet er vist i fig. 1.3.

Opløsning. Lad den rejsendes ankomst til punkterne H 1 , H 2 , H 3 og H 4 være de tilsvarende hypoteser. Det er klart, at de udgør en komplet gruppe af begivenheder, og afhængigt af problemets tilstand,

p(H 1) = p(H 2) = p(H 3) = p(H 4) = 0,25.

(Alle retninger fra A er lige mulige for den rejsende). Ifølge vejordningen er de betingede sandsynligheder for at ramme B, forudsat at den rejsende passerede gennem H i, lig med:

Ved at anvende den samlede sandsynlighedsformel får vi

1. Bayes formel

Lad os antage, at betingelserne i det foregående afsnit er opfyldt, og det er desuden kendt, at begivenheden EN skete. Find sandsynligheden for, at hypotesen blev realiseret H k. Per definition af betinget sandsynlighed

. (1.15)

Det resulterende forhold kaldes Bayes formel. Hun giver besked
(før eksperimentet) a priori sandsynligheder for hypoteser p(hej) og betingede sandsynligheder p(A|Hej) bestemme den betingede sandsynlighed p(H k |A), som kaldes a posteriori (dvs. opnået på betingelse af, at begivenheden som følge af oplevelsen EN allerede sket).

Eksempel. 30% af patienterne indlagt på hospitalet tilhører den første sociale gruppe, 20% - til den anden og 50% - til den tredje. Sandsynligheden for at pådrage sig tuberkulose for en repræsentant for hver social gruppe er henholdsvis 0,02, 0,03 og 0,01. Test udført for en tilfældigt udvalgt patient viste tilstedeværelsen af ​​tuberkulose. Find sandsynligheden for, at dette er en repræsentant for den tredje gruppe.

Sandsynlighed begivenhed er forholdet mellem antallet af elementære udfald, der favoriserer en given begivenhed, og antallet af alle lige mulige udfald af erfaring, hvor denne begivenhed kan forekomme. Sandsynligheden for en begivenhed A betegnes med P(A) (her er P det første bogstav i det franske ord sandsynlighed - sandsynlighed). Ifølge definitionen
(1.2.1)
hvor er antallet af elementære udfald, der favoriserer begivenhed A; - antallet af alle lige mulige elementære udfald af erfaring, der danner en komplet gruppe af begivenheder.
Denne definition af sandsynlighed kaldes klassisk. Det opstod i den indledende fase af udviklingen af ​​sandsynlighedsteori.

Sandsynligheden for en hændelse har følgende egenskaber:
1. Sandsynligheden for en bestemt begivenhed er lig med én. Lad os udpege en bestemt begivenhed med bogstavet . Til en bestemt begivenhed altså
(1.2.2)
2. Sandsynligheden for en umulig hændelse er nul. Vi betegner den umulige begivenhed med bogstavet. For en umulig begivenhed altså
(1.2.3)
3. Sandsynligheden for en tilfældig hændelse udtrykkes som et positivt tal mindre end én. Da ulighederne , eller er opfyldt for en tilfældig begivenhed, så
(1.2.4)
4. Sandsynligheden for enhver begivenhed tilfredsstiller ulighederne
(1.2.5)
Dette følger af relationer (1.2.2) -(1.2.4).

Eksempel 1 En urne indeholder 10 kugler af samme størrelse og vægt, hvoraf 4 er røde og 6 er blå. Den ene kugle trækkes fra urnen. Hvad er sandsynligheden for, at den trukne kugle er blå?

Opløsning. Hændelsen "den trukne bold viste sig at være blå" vil blive betegnet med bogstavet A. Denne test har 10 lige mulige elementære udfald, hvoraf 6 favoriserer hændelsen A. I overensstemmelse med formel (1.2.1) opnår vi

Eksempel 2 Alle naturlige tal fra 1 til 30 skrives på identiske kort og placeres i en urne. Efter at have blandet kortene grundigt, fjernes et kort fra urnen. Hvad er sandsynligheden for, at tallet på kortet er et multiplum af 5?

Opløsning. Angiv med A begivenheden "tallet på det taget kort er et multiplum af 5". I denne test er der 30 lige mulige elementære udfald, hvoraf 6 udfald favoriserer begivenhed A (tallene 5, 10, 15, 20, 25, 30). Derfor,

Eksempel 3 To terninger kastes, summen af ​​point på de øverste flader beregnes. Find sandsynligheden for hændelsen B, der består i, at de øverste flader af terningerne vil have i alt 9 point.

Opløsning. Der er 6 2 = 36 lige så mulige elementære udfald i dette forsøg. Begivenhed B er begunstiget af 4 udfald: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), så

Eksempel 4. Tilfældigt vælges et naturligt tal, der ikke overstiger 10. Hvad er sandsynligheden for, at dette tal er primtal?

Opløsning. Angiv med bogstavet C begivenheden "det valgte tal er primtal". I dette tilfælde er n = 10, m = 4 (primtal 2, 3, 5, 7). Derfor den ønskede sandsynlighed

Eksempel 5 To symmetriske mønter kastes. Hvad er sandsynligheden for, at begge mønter har cifre på de øverste sider?

Opløsning. Lad os med bogstavet D betegne begivenheden "der var et tal på oversiden af ​​hver mønt". Der er 4 lige mulige elementære udfald i denne test: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Notationen (G, C) betyder, at der på den første mønt er et våbenskjold, på den anden - et tal). Hændelse D er begunstiget af ét elementært resultat (C, C). Da m = 1, n = 4, så

Eksempel 6 Hvad er sandsynligheden for, at cifrene i et tilfældigt valgt tocifret tal er ens?

Opløsning. Tocifrede tal er tal fra 10 til 99; der er 90 sådanne numre i alt. 9 numre har de samme cifre (disse er tallene 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Da i dette tilfælde m = 9, n = 90, så
,
hvor A er hændelsen "nummer med de samme cifre".

Eksempel 7 Fra bogstaverne i ordet differentialét bogstav er valgt tilfældigt. Hvad er sandsynligheden for at dette bogstav vil være: a) en vokal b) en konsonant c) et bogstav h?

Opløsning. Der er 12 bogstaver i ordet differential, hvoraf 5 er vokaler og 7 er konsonanter. Breve h dette ord gør ikke. Lad os betegne begivenhederne: A - "vokal", B - "konsonant", C - "bogstav h". Antallet af gunstige elementære resultater: - for begivenhed A, - for begivenhed B, - for begivenhed C. Siden n \u003d 12, så
, og .

Eksempel 8 To terninger kastes, antallet af point på toppen af ​​hver terning noteres. Find sandsynligheden for, at begge terninger har det samme antal point.

Opløsning. Lad os betegne denne begivenhed med bogstavet A. Begivenhed A begunstiges af 6 elementære udfald: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), ( 6;6). I alt er der lige så mulige elementære udfald, der danner en komplet gruppe af begivenheder, i dette tilfælde n=6 2 =36. Altså den ønskede sandsynlighed

Eksempel 9 Bogen har 300 sider. Hvad er sandsynligheden for, at en tilfældigt åbnet side vil have et sekvensnummer, der er et multiplum af 5?

Opløsning. Det følger af problemstillingens betingelser, at der vil være n = 300 af alle lige mulige elementære udfald, der danner en komplet gruppe af begivenheder, hvoraf m = 60 favoriserer forekomsten af ​​den specificerede begivenhed. Faktisk har et tal, der er et multiplum af 5, formen 5k, hvor k er et naturligt tal, og hvorfra . Derfor,
, hvor A - hændelsen "side" har et sekvensnummer, der er et multiplum af 5".

Eksempel 10. To terninger kastes, summen af ​​point på de øverste flader beregnes. Hvad er mere tilbøjeligt til at få i alt 7 eller 8?

Opløsning. Lad os udpege begivenhederne: A - "7 point faldt ud", B - "8 point faldt ud". Begivenhed A er begunstiget af 6 elementære udfald: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) og hændelse B - af 5 resultater: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Der er n = 6 2 = 36 af alle lige mulige elementære udfald. Derfor og .

Så P(A)>P(B), det vil sige at få i alt 7 point er en mere sandsynlig begivenhed end at få i alt 8 point.

Opgaver

1. Tilfældigt vælges et naturligt tal, der ikke overstiger 30. Hvad er sandsynligheden for, at dette tal er et multiplum af 3?
2. I urnen -en rød og b blå kugler af samme størrelse og vægt. Hvad er sandsynligheden for, at en tilfældigt trukket kugle fra denne urne er blå?
3. Tilfældigt vælges et tal, der ikke overstiger 30. Hvad er sandsynligheden for, at dette tal er en divisor af zo?
4. I urnen -en blå og b røde kugler af samme størrelse og vægt. En kugle trækkes fra denne urne og lægges til side. Denne bold er rød. Derefter trækkes endnu en kugle fra urnen. Find sandsynligheden for, at den anden kugle også er rød.
5. Tilfældigt vælges et naturligt tal, der ikke overstiger 50. Hvad er sandsynligheden for, at dette tal er primtal?
6. Der kastes tre terninger, summen af ​​point på de øverste flader beregnes. Hvad er mere sandsynligt - at få i alt 9 eller 10 point?
7. Der kastes tre terninger, summen af ​​de tabte point beregnes. Hvad er mere tilbøjeligt til at få i alt 11 (begivenhed A) eller 12 point (begivenhed B)?

Svar

1. 1/3. 2 . b/(-en+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(-en+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 \u003d 25/216 - sandsynligheden for at få 9 point i alt; p 2 \u003d 27/216 - sandsynligheden for at få 10 point i alt; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Spørgsmål

1. Hvad kaldes sandsynligheden for en begivenhed?
2. Hvad er sandsynligheden for en bestemt hændelse?
3. Hvad er sandsynligheden for en umulig begivenhed?
4. Hvad er grænserne for sandsynligheden for en tilfældig hændelse?
5. Hvad er grænserne for sandsynligheden for enhver begivenhed?
6. Hvilken definition af sandsynlighed kaldes klassisk?