Svaki prirodan broj jeste Proučavanje tačnog predmeta: prirodni brojevi su ono što brojevi, primjeri i svojstva

Prirodni brojevi su jedan od najstarijih matematičkih pojmova.

U davnoj prošlosti ljudi nisu znali brojeve, a kada su trebali prebrojati predmete (životinje, ribe itd.), radili su to drugačije nego mi sada.

Broj predmeta je upoređivan sa delovima tela, na primer, sa prstima na ruci, i rekli su: „Imam orašastih plodova koliko ima prstiju na ruci“.

Vremenom su ljudi shvatili da pet oraha, pet koza i pet zečeva imaju zajedničku imovinu - njihov broj je pet.

Zapamtite!

Integers su brojevi, koji počinju sa 1, dobijeni prebrojavanjem objekata.

1, 2, 3, 4, 5…

najmanji prirodni broj — 1 .

najveći prirodni broj ne postoji.

Prilikom brojanja, broj nula se ne koristi. Stoga se nula ne smatra prirodnim brojem.

Ljudi su mnogo kasnije naučili pisati brojeve nego brojati. Prije svega, počeli su predstavljati jedinicu s jednim štapom, zatim sa dva štapa - brojem 2, sa tri - brojem 3.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Tada su se pojavili posebni znakovi za označavanje brojeva - preteča modernih brojeva. Brojevi koje koristimo za pisanje brojeva nastali su u Indiji prije otprilike 1500 godina. Arapi su ih donijeli u Evropu, tako ih zovu arapski brojevi.

Ukupno ima deset cifara: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ove cifre se mogu koristiti za pisanje bilo kojeg prirodnog broja.

Zapamtite!

prirodne serije je niz svih prirodnih brojeva:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

U prirodnom nizu svaki broj je veći od prethodnog za 1.

Prirodni niz je beskonačan, u njemu nema najvećeg prirodnog broja.

Sistem brojanja koji koristimo se zove decimalni položaj.

Decimalno jer 10 jedinica svake cifre formira 1 jedinicu najznačajnije cifre. Poziciona jer vrijednost cifre zavisi od njenog mjesta u zapisu broja, odnosno od cifre u kojoj je napisan.

Bitan!

Klase koje slijede nakon milijarde su imenovane prema latinskim nazivima brojeva. Svaka naredna jedinica sadrži hiljadu prethodnih.

• 1.000 milijardi = 1.000.000.000.000 = 1 trilion („tri“ je latinski za „tri“)
• 1.000 triliona = 1.000.000.000.000.000 = 1 kvadrilion ("quadra" je latinski za "četiri")
• 1.000 kvadriliona = 1.000.000.000.000.000.000 = 1 kvintilion („quinta“ je latinski za „pet“)

Međutim, fizičari su pronašli broj koji premašuje broj svih atoma (najmanjih čestica materije) u cijelom svemiru.

Ovaj broj ima poseban naziv - googol. Gugol je broj koji ima 100 nula.

Prirodni brojevi i njihova svojstva

Prirodni brojevi se koriste za brojanje objekata u životu. Bilo koji prirodni broj koristi cifre $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$

Niz prirodnih brojeva, u kojem je svaki sljedeći broj za $1$ veći od prethodnog, formira prirodni niz koji počinje s jedan (jer je jedan najmanji prirodan broj) i nema najveću vrijednost, tj. beskrajno.

Nula se ne smatra prirodnim brojem.

Sljedeća svojstva odnosa

Sva svojstva prirodnih brojeva i operacije nad njima proizlaze iz četiri svojstva relacija niza, koje je u $1891$ formulirao D. Peano:

Jedan je prirodan broj koji ne slijedi nijedan prirodni broj.

Svaki prirodni broj prati jedan i samo jedan broj

Svaki prirodni broj osim $1$ slijedi jedan i samo jedan prirodni broj

Podskup prirodnih brojeva koji sadrži broj $1$, i zajedno sa svakim brojem sljedeći broj, sadrži sve prirodne brojeve.

Ako se zapis prirodnog broja sastoji od jedne cifre, naziva se jednocifrenim (na primjer, $2,6,9$, itd.), ako se zapis sastoji od dvije znamenke, naziva se dvocifrenim (na primjer, 12,18 $ .45$), itd. Slično. Dvocifrene, trocifrene, četvorocifrene itd. brojevi se u matematici nazivaju višeznačnim.

Svojstvo sabiranja prirodnih brojeva

Komutativno svojstvo: $a+b=b+a$

Zbir se ne mijenja kada se termini preurede

Asocijativno svojstvo: $a+ (b+c) =(a+b) +c$

Da biste broju dodali zbir dva broja, prvo možete dodati prvi član, a zatim, rezultirajućem zbiru, drugi član

Dodavanje nule ne mijenja broj, a ako dodate bilo koji broj nuli, dobićete dodani broj.

svojstva oduzimanja

Svojstvo oduzimanja sume od broja $a-(b+c) =a-b-c$ ako je $b+c ≤ a$

Da biste od broja oduzeli zbroj, od ovog broja prvo možete oduzeti prvi član, a zatim od nastale razlike drugi član

Svojstvo oduzimanja broja od zbira $(a+b) -c=a+(b-c)$ ako je $c ≤ b$

Da biste oduzeli broj od zbroja, možete ga oduzeti od jednog člana, a rezultujućoj razlici dodati drugi član

Ako od broja oduzmete nulu, broj se neće promijeniti.

Ako ga oduzmete od samog broja, dobićete nulu

Svojstva množenja

Pomak $a\cdot b=b\cdot a$

Proizvod dva broja se ne mijenja kada se faktori preurede

Asocijativni $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$

Da biste broj pomnožili umnoškom dva broja, prvo ga možete pomnožiti s prvim faktorom, a zatim pomnožiti rezultirajući proizvod s drugim faktorom

Kada se pomnoži sa jedan, proizvod se ne mijenja $m\cdot 1=m$

Kada se pomnoži sa nulom, proizvod je nula

Kada u zapisu proizvoda nema zagrada, množenje se izvodi s lijeva na desno

Svojstva množenja u odnosu na sabiranje i oduzimanje

Distributivno svojstvo množenja u odnosu na sabiranje

$(a+b)\cdot c=ac+bc$

Da biste zbroj pomnožili brojem, možete svaki član pomnožiti s ovim brojem i dodati dobijene proizvode

Na primjer, $5(x+y)=5x+5y$

Distributivno svojstvo množenja u odnosu na oduzimanje

$(a-b)\cdot c=ac-bc$

Da biste razliku pomnožili brojem, pomnožite minus i oduzmite ovim brojem i oduzmite drugi od prvog proizvoda

Na primjer, $5(x-y)=5x-5y$

Poređenje prirodnih brojeva

Za bilo koje prirodne brojeve $a$ i $b$, samo jedna od tri relacije $a=b$, $a

Manji broj je onaj koji se pojavljuje ranije u prirodnom nizu, a veći koji se pojavljuje kasnije. Nula je manja od bilo kojeg prirodnog broja.

Primjer 1

Uporedite brojeve $a$ i $555$, ako je poznato da postoji neki broj $b$, i vrijede sljedeće relacije: $a

Rješenje: Na osnovu navedenog svojstva, jer po uslovu $a

svaki podskup prirodnih brojeva koji sadrži najmanje jedan broj ima najmanji broj

Podskup u matematici je dio skupa. Za skup se kaže da je podskup drugog ako je svaki element podskupa ujedno i element većeg skupa.

Često, da uporede brojeve, pronađu njihovu razliku i uporede je sa nulom. Ako je razlika veća od $0$, ali je prvi broj veći od drugog, ako je razlika manja od $0$, tada je prvi broj manji od drugog.

Zaokruživanje prirodnih brojeva

Kada puna preciznost nije potrebna ili nije moguća, brojevi se zaokružuju, odnosno zamjenjuju se bliskim brojevima sa nulama na kraju.

Prirodni brojevi se zaokružuju na desetice, stotine, hiljade itd.

Kada se broj zaokružuje na desetice, zamjenjuje se najbližim brojem koji se sastoji od cijelih desetica; takav broj ima cifru $0$ na mjestu jedinica

Kada se broj zaokružuje na stotine, zamjenjuje se najbližim brojem koji se sastoji od cijelih stotina; takav broj bi trebao imati cifru $0$ na mjestu desetica i jedinica. itd

Brojevi na koje se zaokružuje zadati nazivaju se približna vrijednost broja sa tačnošću navedenih cifara.Na primjer, ako zaokružite broj $564$ na desetice, onda dobijamo da se može zaokružiti sa nedostatkom i dobiti 560$, ili sa viškom i dobijete 570$.

Pravilo zaokruživanja prirodnih brojeva

Ako je desno od cifre na koju je broj zaokružen cifra $5$ ili cifra veća od $5$, tada se cifri ove cifre dodaje $1$; inače, ova brojka ostaje nepromijenjena.

Sve cifre koje se nalaze desno od znamenke na koju je broj zaokružen zamjenjuju se nulama

Integers- brojevi koji se koriste za brojanje objekata . Bilo koji prirodan broj može se napisati pomoću desetice cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Takav zapis brojeva naziva se decimalni.

Niz svih prirodnih brojeva se zove prirodno jedan pored drugog .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

Većina mala prirodni broj je jedan (1). U prirodnom nizu svaki sljedeći broj je za 1 veći od prethodnog. prirodne serije beskrajno ne postoji najveći broj.

Značenje cifre zavisi od njenog mesta u zapisu broja. Na primjer, broj 4 znači: 4 jedinice, ako je na posljednjem mjestu u unosu broja (na mjestu jedinica); 4 deset, ako je na poslednjem mestu (na mjestu desetica); 4 stotine, ako je na trećem mjestu s kraja (v stotine mjesta).

Cifra 0 znači nedostatak jedinica ove kategorije u decimalnom zapisu broja. Služi i za označavanje broja " nula". Ovaj broj znači "nema". Rezultat 0:3 na fudbalskoj utakmici pokazuje da prvi tim nije postigao nijedan gol protivniku.

Zero ne uključuju na prirodne brojeve. I zaista, brojanje predmeta nikada ne počinje od nule.

Ako prirodni broj ima samo jednu cifru – jedna cifra, onda se zove nedvosmisleno. One. nedvosmislenoprirodni broj- prirodni broj čiji se zapis sastoji od jednog znaka – jedna cifra. Na primjer, brojevi 1, 6, 8 su jednocifreni.

dvocifrenaprirodni broj- prirodni broj, čiji se zapis sastoji od dva znaka - dvije cifre.

Na primjer, brojevi 12, 47, 24, 99 su dvocifreni.

Također, prema broju znakova u datom broju, nazivi se daju drugim brojevima:

brojevi 326, 532, 893 - trocifreni;

brojevi 1126, 4268, 9999 - četvorocifreni itd.

Dvije cifre, tri cifre, četiri cifre, pet cifara, itd. pozivaju se brojevi višecifrenih brojeva .

Za čitanje višecifrenih brojeva, oni su podijeljeni, počevši s desne strane, u grupe od po tri cifre (krajnja lijeva grupa može se sastojati od jedne ili dvije cifre). Ove grupe se zovu casovi.

Milion je hiljadu hiljada (1000 hiljada), napisano je 1 milion ili 1.000.000.

Milijardu iznosi 1000 miliona. Zabilježeno je sa milijardom ili 1.000.000.000.

Prve tri cifre sa desne strane čine klasu jedinica, sledeće tri - klasu hiljada, zatim slede klase miliona, milijardi itd. (Sl. 1).

Rice. 1. Klasa miliona, klasa hiljada i klasa jedinica (s lijeva na desno)

Broj 15389000286 upisan je u mrežu bitova (slika 2).

Rice. 2. Mreža cifara: broj 15 milijardi 389 miliona 286

Ovaj broj ima 286 jedinica u klasi jedan, nula u klasi hiljada, 389 u klasi miliona i 15 u klasi milijardi.

Integers nama vrlo poznato i prirodno. I to nije iznenađujuće, jer upoznavanje s njima počinje od prvih godina našeg života na intuitivnom nivou.

Informacije u ovom članku stvaraju osnovno razumijevanje prirodnih brojeva, otkrivaju njihovu svrhu, usađuju vještine pisanja i čitanja prirodnih brojeva. Za bolju asimilaciju gradiva dati su potrebni primjeri i ilustracije.

Navigacija po stranici.

Prirodni brojevi su opšti prikaz.

Sljedeće mišljenje nije lišeno zdrave logike: pojava problema prebrojavanja objekata (prvi, drugi, treći predmet, itd.) i problema indikacije broja objekata (jedan, dva, tri predmeta, itd.) dovela je do toga. do stvaranja alata za njegovo rješavanje, ovaj alat je bio cijeli brojevi.

Ovaj prijedlog pokazuje glavna svrha prirodnih brojeva- nose informaciju o broju bilo koje stavke ili serijskom broju date stavke u razmatranom skupu artikala.

Da bi osoba koristila prirodne brojeve, oni moraju na neki način biti dostupni, kako za percepciju, tako i za reprodukciju. Ako čujete svaki prirodni broj, onda će on postati opasan uhu, a ako opišete prirodni broj, onda se može vidjeti. Ovo su najprirodniji načini prenošenja i percipiranja prirodnih brojeva.

Dakle, počnimo s usvajanjem vještina prikazivanja (pisanja) i vještina izgovaranja (čitanja) prirodnih brojeva, dok učimo njihovo značenje.

Decimalni zapis za prirodni broj.

Prvo treba da odlučimo na čemu ćemo graditi pri pisanju prirodnih brojeva.

Zapamtimo slike sljedećih znakova (prikazujemo ih odvojene zarezima): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Prikazane slike su zapis o tzv brojevi. Hajde da se odmah dogovorimo da ne okrećemo, naginjemo ili na drugi način ne iskrivljujemo brojeve prilikom pisanja.

Sada se slažemo da samo naznačene cifre mogu biti prisutne u zapisu bilo kojeg prirodnog broja i da nikakvi drugi simboli ne mogu biti prisutni. Slažemo se i da cifre u zapisu prirodnog broja imaju istu visinu, poređane su u red jedna za drugom (skoro bez uvlaka), a na lijevoj strani je cifra koja se razlikuje od cifre 0 .

Evo nekoliko primjera ispravne notacije prirodnih brojeva: 604 , 777 277 , 81 , 4 444 , 1 001 902 203, 5 , 900 000 (napomena: uvlake između brojeva nisu uvijek iste, više o tome će biti riječi prilikom pregleda). Iz gornjih primjera može se vidjeti da prirodni broj ne sadrži nužno sve znamenke 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; neke ili sve cifre uključene u pisanje prirodnog broja mogu se ponoviti.

Unose 014 , 0005 , 0 , 0209 nisu zapisi prirodnih brojeva, jer je cifra na lijevoj strani 0 .

Zapis prirodnog broja, izveden uzimajući u obzir sve zahtjeve opisane u ovom stavu, naziva se decimalni zapis prirodnog broja.

Dalje nećemo praviti razliku između prirodnih brojeva i njihovog zapisa. Pojasnimo ovo: dalje u tekstu fraze poput „dat je prirodan broj 582 “, što će značiti da je zadan prirodan broj, čiji zapis ima oblik 582 .

Prirodni brojevi u smislu broja objekata.

Vrijeme je da se pozabavimo kvantitativnim značenjem koje nosi zabilježeni prirodni broj. Značenje prirodnih brojeva u smislu numeriranja objekata razmatra se u članku Poređenje prirodnih brojeva.

Počnimo s prirodnim brojevima čiji se unosi poklapaju sa unosima cifara, odnosno sa brojevima 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 i 9 .

Zamislite da smo otvorili oči i ugledali neki predmet, na primjer, ovakav. U ovom slučaju možemo napisati ono što vidimo 1 stvar. Prirodni broj 1 se čita kao " jedan"(deklinaciju broja "jedan", kao i ostale brojeve daćemo u paragrafu), za broj 1 usvojio drugo ime - " jedinica».

Međutim, izraz "jedinica" ima više vrijednosti; pored prirodnog broja 1 , nazivaju se nečim što se posmatra kao cjelina. Na primjer, bilo koja stavka iz njihovog skupa može se nazvati jedinicom. Na primjer, svaka jabuka od mnogih jabuka je jedna, svako jato ptica od mnogih jata je također jedna, i tako dalje.

Sada otvaramo oči i vidimo: To jest, vidimo jedan objekt i drugi objekt. U ovom slučaju možemo napisati ono što vidimo 2 predmet. Prirodni broj 2 , glasi kao " dva».

Isto tako, - 3 predmet (čitaj " tri» predmet), - 4 (« četiri"") predmeta, - 5 (« pet»), - 6 (« šest»), - 7 (« sedam»), - 8 (« osam»), - 9 (« devet”) stavke.

Dakle, sa razmatrane pozicije, prirodni brojevi 1 , 2 , 3 , …, 9 ukazati broj stavke.

Broj čija se notacija poklapa sa notacijom cifre 0 , pod nazivom " nula". Broj nula NIJE prirodan broj, međutim, obično se smatra zajedno s prirodnim brojevima. Zapamtite: nula znači odsustvo nečega. Na primjer, nula stavki nije jedna stavka.

U narednim paragrafima članka nastavićemo da otkrivamo značenje prirodnih brojeva u smislu označavanja količine.

jednocifrenim prirodnim brojevima.

Očigledno, zapis svakog od prirodnih brojeva 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 sastoji se od jednog znaka - jedne cifre.

Definicija.

Jednocifreni prirodni brojevi su prirodni brojevi čiji se zapis sastoji od jednog znaka - jedne cifre.

Nabrojimo sve jednocifrene prirodne brojeve: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Postoji devet jednocifrenih prirodnih brojeva.

Dvocifreni i trocifreni prirodni brojevi.

Prvo dajemo definiciju dvocifrenih prirodnih brojeva.

Definicija.

Dvocifreni prirodni brojevi- to su prirodni brojevi, čiji se zapis sastoji od dva znaka - dvije cifre (različite ili iste).

Na primjer, prirodni broj 45 - dvocifreni, brojevi 10 , 77 , 82 takođe dvocifren 5 490 , 832 , 90 037 - ne dvocifrena.

Hajde da shvatimo koje značenje nose dvocifreni brojevi, a počećemo od kvantitativnog značenja nama već poznatih jednocifrenih prirodnih brojeva.

Prvo, hajde da predstavimo koncept deset.

Zamislimo takvu situaciju - otvorili smo oči i vidjeli set od devet predmeta i još jednog predmeta. U ovom slučaju se govori o 1 deset (desetak) stavki. Ako se zajedno uzme u obzir jedna desetica i još jedna desetica, onda se govori o 2 desetice (dve desetice). Ako dvije desetice dodamo još deseticu, imat ćemo tri desetice. Nastavljajući ovaj proces, dobićemo četiri desetice, pet desetica, šest desetica, sedam desetica, osam desetica i na kraju devet desetica.

Sada možemo prijeći na suštinu dvocifrenih prirodnih brojeva.

Da biste to učinili, razmotrite dvocifreni broj kao dva jednocifrena broja - jedan je lijevo u zapisu dvocifrenog broja, drugi je desno. Broj na lijevoj strani označava broj desetica, a broj na desnoj strani označava broj jedinica. Štaviše, ako postoji cifra na desnoj strani u zapisu dvocifrenog broja 0 , onda to znači odsustvo jedinica. Ovo je cela poenta dvocifrenih prirodnih brojeva u smislu označavanja iznosa.

Na primjer, dvocifreni prirodni broj 72 odgovara 7 desetine i 2 jedinice (tj. 72 jabuke je set od sedam desetina jabuka i još dvije jabuke) i broj 30 odgovori 3 desetine i 0 nema jedinica, odnosno jedinica koje nisu ujedinjene u desetice.

Odgovorimo na pitanje: "Koliko dvocifrenih prirodnih brojeva postoji"? Odgovor: njih 90 .

Prelazimo na definiciju trocifrenih prirodnih brojeva.

Definicija.

Prirodni brojevi čija se notacija sastoji od 3 znakovi - 3 pozivaju se cifre (različite ili ponovljene). trocifreni.

Primjeri prirodnih trocifrenih brojeva su 372 , 990 , 717 , 222 . Integers 7 390 , 10 011 , 987 654 321 234 567 nisu trocifrene.

Da bismo razumjeli značenje inherentno trocifrenim prirodnim brojevima, potreban nam je koncept stotine.

Set od deset desetica je 1 sto (sto). Sto i sto je 2 stotine. Dvesta i druga sto je trista. I tako dalje, imamo četiri stotine, petsto, šest stotina, sedamsto, osam stotina i konačno devet stotina.

Pogledajmo sada trocifreni prirodni broj kao tri jednocifrena prirodna broja, koji idu jedan za drugim s desna na lijevo u zapisu trocifrenog prirodnog broja. Broj na desnoj strani označava broj jedinica, sljedeći broj označava broj desetica, sljedeći broj broj stotina. Brojevi 0 u zapisu trocifrenog broja znači odsustvo desetica i (ili) jedinica.

Dakle, trocifreni prirodni broj 812 odgovara 8 stotine 1 prvih deset i 2 jedinice; broj 305 - trista 0 desetice, odnosno desetice koje nisu kombinovane u stotine, ne) i 5 jedinice; broj 470 - četiri stotine sedam desetica (nema jedinica koje se ne kombinuju u desetice); broj 500 - petsto (desetice koje se ne kombinuju u stotine, i jedinice koje nisu kombinovane u desetice, ne).

Slično, može se definisati četvorocifreni, petocifreni, šestocifreni itd. prirodni brojevi.

Viševrijedni prirodni brojevi.

Dakle, prelazimo na definiciju viševrijednih prirodnih brojeva.

Definicija.

Viševrijedni prirodni brojevi- to su prirodni brojevi čiji se zapis sastoji od dva ili tri ili četiri, itd. znakovi. Drugim rečima, višecifreni prirodni brojevi su dvocifreni, trocifreni, četvorocifreni itd. brojevi.

Recimo odmah da je skup koji se sastoji od deset stotina jedna hiljada, hiljadu hiljada je jedan milion, hiljadu miliona je Jedna milijarda, hiljadu milijardi je jedan trilion. Hiljadu triliona, hiljadu hiljada triliona i tako dalje takođe mogu dobiti svoja imena, ali za tim nema posebne potrebe.

Dakle, koje je značenje iza viševrijednih prirodnih brojeva?

Pogledajmo višecifreni prirodni broj kao jednocifrene prirodne brojeve koji slijede jedan za drugim s desna na lijevo. Broj na desnoj strani označava broj jedinica, sljedeći broj je broj desetica, sljedeći je broj stotina, zatim broj hiljada, sljedeći je broj desetina hiljada, sljedeći je broj stotina hiljada , sledeći je broj miliona, sledeći je broj desetina miliona, sledeći su stotine miliona, sledeći - broj milijardi, zatim - broj desetina milijardi, zatim - stotine milijardi, pa - trilioni, zatim - desetine triliona, zatim - stotine triliona, i tako dalje.

Na primjer, višecifreni prirodni broj 7 580 521 odgovara 1 jedinica, 2 desetine, 5 stotine 0 hiljade 8 desetine hiljada 5 stotine hiljada i 7 miliona.

Tako smo naučili grupirati jedinice u desetice, desetice u stotine, stotine u hiljade, hiljade u desetine hiljada i tako dalje, i saznali da brojevi u zapisu višecifrenog prirodnog broja označavaju odgovarajući broj iznad grupa.

Čitanje prirodnih brojeva, časovi.

Već smo spomenuli kako se čitaju jednocifreni prirodni brojevi. Naučimo napamet sadržaj sljedećih tabela.

A kako se čitaju ostali dvocifreni brojevi?

Objasnimo na primjeru. Čitanje prirodnog broja 74 . Kako smo gore saznali, ovaj broj odgovara 7 desetine i 4 jedinice, tj. 70 i 4 . Okrećemo se upravo napisanim tabelama i broju 74 čitamo kao: “Sedamdeset četiri” (ne izgovaramo sindikat “i”). Ako želite da pročitate broj 74 u rečenici: „Ne 74 jabuke" (genitiv), onda će zvučati ovako: "Nema sedamdeset četiri jabuke." Još jedan primjer. Broj 88 - to 80 i 8 , dakle, čitamo: "Osamdeset osam." A evo primjera rečenice: "Razmišlja o osamdeset osam rubalja."

Pređimo na čitanje trocifrenih prirodnih brojeva.

Da bismo to učinili, morat ćemo naučiti još nekoliko novih riječi.

Ostaje da se pokaže kako se čitaju preostali trocifreni prirodni brojevi. U ovom slučaju koristit ćemo već stečene vještine čitanja jednocifrenih i dvocifrenih brojeva.

Uzmimo primjer. Hajde da pročitamo broj 107 . Ovaj broj odgovara 1 stotinu i 7 jedinice, tj. 100 i 7 . Okrećući se tablicama, čitamo: "Sto sedam." Recimo sada broj 217 . Ovaj broj je 200 i 17 , dakle, čitamo: "Dvjesta sedamnaest." Isto tako, 888 - to 800 (osam stotina) i 88 (osamdeset osam), čitamo: "Osam stotina osamdeset osam."

Okrećemo se čitanju višecifrenih brojeva.

Za čitanje, zapis višecifrenog prirodnog broja dijeli se, počevši s desne strane, na grupe od po tri cifre, dok u krajnjoj lijevoj takvoj grupi može biti ili 1 , ili 2 , ili 3 brojevi. Ove grupe se zovu casovi. Poziva se klasa desno jedinica klase. Poziva se sljedeća klasa (s desna na lijevo). klasa hiljada, sljedeći čas je milionska klasa, sljedeći - klasa milijardi, onda ide triliona klasa. Možete dati nazive sljedećih klasa, ali prirodne brojeve od kojih se zapis sastoji 16 , 17 , 18 itd. znakovi se obično ne čitaju, jer ih je vrlo teško uočiti sluhom.

Pogledajte primjere dijeljenja višecifrenih brojeva u klase (radi jasnoće, klase su odvojene jedna od druge malim uvlakom): 489 002 , 10 000 501 , 1 789 090 221 214 .

Stavimo snimljene prirodne brojeve u tabelu, prema kojoj je lako naučiti kako ih čitati.

Da bismo pročitali prirodni broj, pozivamo s lijeva na desno brojeve koji ga čine po razredima i dodajemo naziv razreda. Istovremeno, ne izgovaramo naziv klase jedinica, a preskačemo i one klase koje čine tri cifre 0 . Ako zapis razreda ima cifru na lijevoj strani 0 ili dvije cifre 0 , a zatim zanemarite ove brojeve 0 i pročitajte broj dobijen odbacivanjem ovih cifara 0 . Na primjer, 002 čitati kao "dva" i 025 - kao "dvadeset pet".

Hajde da pročitamo broj 489 002 prema datim pravilima.

Čitamo s lijeva na desno,

• pročitaj broj 489 , predstavlja klasu hiljada, je "četiri stotine osamdeset devet";
• dodamo naziv klase, dobićemo "četiri stotine osamdeset devet hiljada";
• dalje u klasi jedinica vidimo 002 , nule su na lijevoj strani, stoga ih ignoriramo 002 čitati kao "dva";
• naziv klase jedinice nije potrebno dodavati;
• kao rezultat imamo 489 002 - četiri stotine osamdeset devet hiljada dve.

Počnimo čitati broj 10 000 501 .

• Na lijevoj strani u klasi miliona vidimo broj 10 , čitamo "deset";
• dodajte naziv klase, imamo "deset miliona";
• sljedeće vidimo zapisnik 000 u klasi hiljada, pošto su sve tri cifre cifre 0 , onda preskačemo ovaj razred i prelazimo na sljedeći;
• klasa jedinica predstavlja broj 501 , koje čitamo "petsto jedan";
• dakle, 10 000 501 deset miliona petsto jedan.

Uradimo to bez detaljnih objašnjenja: 1 789 090 221 214 - "jedan trilion sedamsto osamdeset devet milijardi devedeset miliona dvesta dvadeset jedna hiljada dvesta četrnaest."

Dakle, osnova vještine čitanja višecifrenih prirodnih brojeva je sposobnost razlaganja višecifrenih brojeva u klase, poznavanje naziva klasa i sposobnost čitanja trocifrenih brojeva.

Cifre prirodnog broja, vrijednost cifre.

U pisanju prirodnog broja, vrijednost svake cifre zavisi od njenog položaja. Na primjer, prirodni broj 539 odgovara 5 stotine 3 desetine i 9 jedinica, otuda i brojka 5 u unosu broja 539 definira broj stotina, cifru 3 je broj desetica i cifra 9 - broj jedinica. Rečeno je da je broj 9 stoji unutra jedinica cifra i broj 9 je vrijednost jedinice, broj 3 stoji unutra desetke mjesto i broj 3 je vrijednost mjesta desetica, i broj 5 - v stotine mesta i broj 5 je vrijednost na stotine mjesta.

Na ovaj način, pražnjenje- ovo je, s jedne strane, pozicija cifre u zapisu prirodnog broja, as druge strane vrijednost ove cifre, određena njenim položajem.

Činovi su dobili imena. Ako pogledate brojeve u zapisu prirodnog broja s desna na lijevo, tada će im odgovarati sljedeće cifre: jedinice, desetice, stotine, hiljade, desetine hiljada, stotine hiljada, milioni, desetine miliona i tako dalje.

Nazive kategorija je zgodno zapamtiti kada su predstavljeni u obliku tabele. Napišimo tabelu koja sadrži nazive od 15 cifara.

Imajte na umu da je broj cifara datog prirodnog broja jednak broju znakova uključenih u pisanje ovog broja. Dakle, snimljena tabela sadrži nazive cifara svih prirodnih brojeva, čiji zapis sadrži do 15 znakova. Sljedeće cifre također imaju svoja imena, ali se vrlo rijetko koriste, pa ih nema smisla spominjati.

Koristeći tablicu cifara, zgodno je odrediti znamenke datog prirodnog broja. Da biste to učinili, potrebno je da ovaj prirodni broj upišete u ovu tablicu tako da u svakoj cifri bude jedna znamenka, a krajnja desna znamenka u cifri jedinice.

Uzmimo primjer. Napišimo prirodan broj 67 922 003 942 u tabeli, a cifre i vrijednosti ovih cifara će postati jasno vidljive.

U zapisu ovog broja, cifra 2 stoji na mjestu jedinica, cifra 4 - na mjestu desetica, cifra 9 - na stotine, itd. Obratite pažnju na brojeve 0 , koje su u ciframa od desetina hiljada i stotina hiljada. Brojevi 0 u ovim ciframa znači odsustvo jedinica ovih cifara.

Treba spomenuti i takozvanu najnižu (najnižu) i najvišu (najvišu) kategoriju viševrijednog prirodnog broja. Niži (junior) rang bilo koji višeznačni prirodni broj je cifra jedinice. Najviša (najviša) znamenka prirodnog broja je cifra koja odgovara krajnjoj desnoj cifri u zapisu ovog broja. Na primjer, najmanja cifra prirodnog broja 23004 je cifra jedinice, a najviša znamenka desetina hiljada. Ako se u zapisu prirodnog broja pomičemo ciframa s lijeva na desno, onda svaka sljedeća znamenka niži (mlađi) prethodni. Na primjer, cifra hiljada je manja od cifre desetina hiljada, posebno cifra hiljada je manja od cifre stotina hiljada, miliona, desetina miliona itd. Ako se u zapisu prirodnog broja pomičemo ciframa s desna na lijevo, onda svaka sljedeća znamenka viši (stariji) prethodni. Na primjer, cifra stotine je starija od cifre desetice, a još više, starija je od cifre jedinica.

U nekim slučajevima (na primjer, kada se vrši sabiranje ili oduzimanje), ne koristi se sam prirodni broj, već zbir bitnih članova ovog prirodnog broja.

Ukratko o decimalnom brojevnom sistemu.

Dakle, upoznali smo se s prirodnim brojevima, sa njihovim značenjem i načinom pisanja prirodnih brojeva pomoću deset cifara.

Općenito se naziva metoda pisanja brojeva pomoću znakova sistem brojeva. Vrijednost cifre u unosu broja može, ali i ne mora ovisiti o njenoj poziciji. Zovu se brojevni sistemi u kojima vrijednost cifre u unosu broja ovisi o njegovom položaju pozicioni.

Dakle, prirodni brojevi koje smo razmatrali i način njihovog pisanja ukazuju na to da koristimo pozicijski brojevni sistem. Treba napomenuti da posebno mjesto u ovom brojevnom sistemu ima broj 10 . Zaista, rezultat se vodi u deseticama: deset jedinica se kombinuju u deseticu, deset desetica se kombinuju u sto, deset stotina u hiljadu, itd. Broj 10 pozvao osnovu dati brojni sistem, a sam sistem brojeva se zove decimalni.

Osim decimalnog brojevnog sistema, postoje i drugi, na primjer, u informatici se koristi binarni pozicioni brojevni sistem, a kod mjerenja vremena susrećemo se sa seksagezimalnim sistemom.

Bibliografija.

• Matematika. Bilo koji udžbenici za 5 razreda obrazovnih institucija.

Definicija

Prirodnim brojevima nazivaju se brojevi namijenjeni prebrojavanju objekata. Za snimanje prirodnih brojeva koristi se 10 arapskih brojeva (0–9), koji čine osnovu decimalnog brojevnog sistema općenito prihvaćenog za matematička izračunavanja.

Niz prirodnih brojeva

Prirodni brojevi čine niz koji počinje od 1 i pokriva skup svih pozitivnih cijelih brojeva. Takav niz se sastoji od brojeva 1,2,3, ... . To znači da u prirodnom nizu:

1. Postoji najmanji broj i nema najveći.
2. Svaki sljedeći broj je veći od prethodnog za 1 (izuzetak je sama jedinica).
3. Kako brojevi idu u beskonačnost, oni rastu beskonačno.

Ponekad se u niz prirodnih brojeva unosi i 0. To je dozvoljeno, a onda se priča o tome produženo prirodne serije.

Klase prirodnih brojeva

Svaka cifra prirodnog broja izražava određenu cifru. Posljednji je uvijek broj jedinica u broju, jedan prije njega je broj desetica, treći s kraja je broj stotina, četvrti je broj hiljada, itd.

• u broju 276: 2 stotine, 7 desetica, 6 jedinica
• u broju 1098: 1 hiljada, 9 desetica, 8 jedinica; mjesto stotine ovdje nema, jer je izraženo kao nula.

Za velike i vrlo velike brojeve možete uočiti stabilan trend (ako pogledate broj s desna na lijevo, odnosno od posljednje cifre do prve):

• posljednje tri cifre u broju su jedinice, desetice i stotine;
• prethodne tri su jedinice, desetine i stotine hiljada;
• tri ispred njih (tj. 7., 8. i 9. cifra broja, računajući od kraja) su jedinice, desetine i stotine miliona, itd.

Odnosno, svaki put imamo posla sa tri cifre, što znači jedinicama, deseticama i stotinama većeg imena. Takve grupe formiraju razrede. A ako se sa prva tri razreda u svakodnevnom životu morate manje-više baviti, onda treba navesti i druge, jer ne pamte svi njihova imena napamet.

• Četvrta klasa, koja prati klasu miliona i predstavlja brojeve od 10-12 cifara, naziva se milijarda (ili milijarda);
• 5. razred - trilion;
• 6. razred - kvadrilion;
• 7. razred - kvintilion;
• 8. razred - sekstilion;
• 9. razred - septilion.

Sabiranje prirodnih brojeva

Zbrajanje prirodnih brojeva je aritmetička operacija koja vam omogućava da dobijete broj koji sadrži onoliko jedinica koliko ih ima u zbrojenim brojevima.

Znak sabiranja je znak "+". Dodati brojevi se nazivaju pojmovi, a rezultat se naziva zbir.

Mali brojevi se usmeno sabiraju (sabiraju), a pismeno takve radnje se pišu u red.

Višecifreni brojevi, koje je teško sabrati u umu, obično se dodaju u kolonu. Za to se brojevi pišu jedan ispod drugog, poravnati sa posljednjom cifrom, odnosno pišu cifru jedinice ispod cifre jedinice, cifru stotine ispod cifre stotine itd. Zatim morate dodati cifre u parovima. Ako se dodavanje cifara dogodi s prijelazom kroz deseticu, tada je ova desetica fiksirana kao jedinica iznad cifre s lijeve strane (odnosno, nakon nje) i zbraja se zajedno sa znamenkama ove znamenke.

Ako se u kolonu dodaju ne 2, već više brojeva, onda kada se zbrajaju znamenke kategorije, ne 1 tucet, već nekoliko, može biti suvišno. U ovom slučaju, broj takvih desetica se prenosi na sljedeću znamenku.

Oduzimanje prirodnih brojeva

Oduzimanje je aritmetička operacija, obrnuto sabiranje, koja se svodi na činjenicu da, s obzirom na količinu i jedan od članova, morate pronaći drugi - nepoznati član. Broj od kojeg se oduzima naziva se minus; broj koji se oduzima je oduzet. Rezultat oduzimanja naziva se razlika. Znak koji označava operaciju oduzimanja je "-".

U prijelazu na sabiranje, oduzetak i razlika se pretvaraju u članke, a svedeno u zbir. Sabiranje obično provjerava ispravnost izvršenog oduzimanja, i obrnuto.

Ovdje 74 je minus, 18 je oduzetak, 56 je razlika.

Preduvjet za oduzimanje prirodnih brojeva je sljedeći: minus mora nužno biti veći od oduzetog. Samo u ovom slučaju rezultirajuća razlika će također biti prirodan broj. Ako se akcija oduzimanja provodi za prošireni prirodni niz, tada je dozvoljeno da je minus jednak oduzetom. I rezultat oduzimanja u ovom slučaju bit će 0.

Napomena: ako je oduzimanje jednak nuli, tada operacija oduzimanja ne mijenja vrijednost minuenda.

Oduzimanje višecifrenih brojeva obično se vrši u koloni. Zapišite brojeve na isti način kao za sabiranje. Oduzimanje se vrši za odgovarajuće cifre. Ako se pokaže da je minuend manji od oduzetog, onda se od prethodne (koje se nalazi na lijevoj strani) cifre uzima jedan, koji se nakon prijenosa prirodno pretvara u 10. Ova desetica se sumira sa cifrom smanjene zadata cifra, a zatim oduzeta. Nadalje, pri oduzimanju sljedeće znamenke potrebno je uzeti u obzir da je smanjeno postalo za 1 manje.

Proizvod prirodnih brojeva

Proizvod (ili množenje) prirodnih brojeva je aritmetička operacija, koja je pronalaženje zbira proizvoljnog broja identičnih članova. Za snimanje operacije množenja koristite znak "·" (ponekad "×" ili "*"). Na primjer: 3 5=15.

Radnja množenja je neophodna kada je potrebno sabrati veliki broj članova. Na primjer, ako trebate sabrati broj 4 7 puta, tada je množenje 4 sa 7 lakše nego sabrati: 4+4+4+4+4+4+4.

Brojevi koji se množe nazivaju se faktori, a rezultat množenja je proizvod. U skladu s tim, termin "rad" može, ovisno o kontekstu, izraziti i proces umnožavanja i njegov rezultat.

Višecifreni brojevi se množe u koloni. Za ovaj broj se piše na isti način kao za sabiranje i oduzimanje. Preporučuje se da prvo (iznad) napišete koji od 2 broja, koji je duži. U ovom slučaju, proces množenja će biti jednostavniji, a samim tim i racionalniji.

Prilikom množenja u koloni, znamenke svake od cifara drugog broja uzastopno se množe sa znamenkama prvog broja, počevši od njegovog kraja. Nakon što su pronašli prvi takav rad, zapisuju broj jedinica i imaju na umu broj desetica. Prilikom množenja znamenke 2. broja sa sljedećom znamenkom 1. broja, umnošku se dodaje broj koji se ima na umu. I opet zapisuju broj jedinica dobivenog rezultata i pamte broj desetica. Prilikom množenja sa posljednjom cifrom 1. broja, tako dobijeni broj se upisuje u cijelosti.

Rezultati množenja cifara 2. znamenke drugog broja upisuju se u drugi red, pomičući ga za 1 ćeliju udesno. itd. Kao rezultat, dobiće se "merdevine". Sve rezultirajuće redove brojeva treba dodati (prema pravilu sabiranja u koloni). Prazne ćelije treba smatrati ispunjenim nulama. Dobijeni zbroj je konačni proizvod.

Bilješka

1. Proizvod bilo kojeg prirodnog broja sa 1 (ili 1 sa brojem) jednak je samom broju. Na primjer: 376 1=376; 1 86=86.
2. Kada je jedan od faktora ili oba faktora jednak 0, tada je proizvod jednak 0. Na primjer: 32·0=0; 0 845=845; 0 0=0.

Podjela prirodnih brojeva

Dijeljenje se naziva aritmetička operacija, uz pomoć koje se prema poznatom umnošku i jednom od faktora može pronaći drugi - nepoznati faktor. Dijeljenje je obrnuto od množenja i koristi se za provjeru da li je množenje izvedeno ispravno (i obrnuto).

Broj koji se dijeli naziva se djeljivim; broj kojim se dijeli je djelitelj; rezultat dijeljenja naziva se količnik. Znak podjele je ":" (ponekad, rjeđe - "÷").

Ovdje je 48 dividenda, 6 je djelitelj, a 8 je količnik.

Ne mogu se svi prirodni brojevi međusobno podijeliti. U ovom slučaju, dijeljenje se vrši ostatkom. Sastoji se u tome da se za djelitelj takav faktor odabere tako da njegov proizvod na djelitelj bude broj koji je po vrijednosti što je moguće bliži dividendi, ali manji od njega. Delitelj se množi ovim faktorom i oduzima od dividende. Razlika će biti ostatak podjele. Umnožak djelitelja na faktor naziva se nepotpuni količnik. Pažnja: ostatak mora biti manji od odabranog množitelja! Ako je ostatak veći, to znači da je množitelj odabran pogrešno i da ga treba povećati.

Odabiremo faktor za 7. U ovom slučaju, ovaj broj je 5. Nalazimo nepotpuni količnik: 7 5 = 35. Izračunajte ostatak: 38-35=3. Od 3<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).

Višecifreni brojevi podijeljeni su u kolonu. Da biste to učinili, djelitelj i djelitelj se pišu jedan pored drugog, odvajajući djelitelj okomitom i vodoravnom linijom. U dividendi se bira prva cifra ili prvih nekoliko cifara (desno), što treba da bude broj koji je minimalno dovoljan za dijeljenje djeliteljem (odnosno, ovaj broj mora biti veći od djelitelja). Za ovaj broj se bira nepotpuni količnik, kako je opisano u pravilu dijeljenja s ostatkom. Broj množitelja koji se koristi za pronalaženje parcijalnog količnika upisuje se ispod djelitelja. Nepotpuni količnik se upisuje ispod broja koji je podijeljen, desno poravnat. Pronađite njihovu razliku. Sljedeća cifra dividende se ruši tako što se upiše pored ove razlike. Za rezultirajući broj ponovo se nalazi nepotpuni količnik tako što se broj odabranog faktora upisuje pored prethodnog ispod djelitelja. itd. Takve radnje se izvode sve dok se ne potroše brojevi dividende. Nakon toga, podjela se smatra završenom. Ako se dividenda i djelitelj podijele u potpunosti (bez ostatka), onda će posljednja razlika dati nulu. U suprotnom, preostali broj će biti vraćen.

Eksponencijacija

Eksponencijacija je matematička operacija koja se sastoji u množenju proizvoljnog broja identičnih brojeva. Na primjer: 2 2 2 2.

Takvi izrazi se pišu kao: sjekira,

gdje a je broj pomnožen sam sa sobom x je broj takvih faktora.

Prosti i složeni prirodni brojevi

Bilo koji prirodan broj, osim 1, može se podijeliti sa najmanje 2 broja - jednim i samim sobom. Na osnovu ovog kriterija prirodni brojevi se dijele na proste i složene.

Prosti brojevi su brojevi koji su djeljivi samo sa 1 i samim sobom. Brojevi koji su djeljivi sa više od ova 2 broja nazivaju se složeni brojevi. Jedinica djeljiva samo po sebi nije ni prosta ni složena.

Brojevi su prosti: 2,3,5,7,11,13,17,19, itd. Primeri složenih brojeva: 4 (deljivo sa 1,2,4), 6 (deljivo sa 1,2,3,6), 20 (deljivo sa 1,2,4,5,10,20).

Bilo koji složeni broj može se razložiti na proste faktore. U ovom slučaju, prosti faktori se shvataju kao njegovi djelitelji, koji su prosti brojevi.

Primjer faktorizacije na osnovne faktore:

Dijelioci prirodnih brojeva

Delitelj je broj kojim se dati broj može podijeliti bez ostatka.

U skladu sa ovom definicijom, prosti prirodni brojevi imaju 2 djelitelja, složeni brojevi imaju više od 2 djelitelja.

Mnogi brojevi imaju zajedničke djelitelje. Zajednički djelitelj je broj kojim su dati brojevi djeljivi bez ostatka.

• Brojevi 12 i 15 imaju zajednički djelitelj 3
• Brojevi 20 i 30 imaju zajedničke djelitelje 2,5,10

Od posebnog značaja je najveći zajednički djelitelj (GCD). Ovaj broj je posebno koristan za pronalaženje za redukcijske razlomke. Da bismo ga pronašli, potrebno je date brojeve rastaviti na proste faktore i prikazati ih kao proizvod njihovih zajedničkih prostih faktora, uzetih u njihovim najmanjim potencijama.

Potrebno je pronaći GCD brojeva 36 i 48.

Deljivost prirodnih brojeva

Daleko od toga nije uvijek moguće odrediti "na oko" da li je jedan broj djeljiv drugim bez ostatka. U takvim slučajevima je koristan odgovarajući test djeljivosti, odnosno pravilo po kojem u nekoliko sekundi možete utvrditi da li je moguće dijeliti brojeve bez ostatka. Znak "" se koristi za označavanje djeljivosti.

Najmanji zajednički višekratnik

Ova vrijednost (označena LCM) je najmanji broj koji je djeljiv sa svakim od datih. LCM se može naći za proizvoljan skup prirodnih brojeva.

LCM, kao i GCD, ima značajno primijenjeno značenje. Dakle, LCM treba pronaći svođenjem običnih razlomaka na zajednički nazivnik.

LCM je određen rastavljanjem datih brojeva u proste faktore. Za njegovo formiranje uzima se proizvod koji se sastoji od svakog od pojavnih (barem za 1 broj) prostih faktora predstavljenih u maksimalnom stepenu.

Potrebno je pronaći LCM brojeva 14 i 24.

Prosjek

Aritmetička sredina proizvoljnog (ali konačnog) broja prirodnih brojeva je zbir svih ovih brojeva podijeljen sa brojem članova:

Aritmetička sredina je neka prosječna vrijednost za skup brojeva.

Dati su brojevi 2,84,53,176,17,28. Potrebno je pronaći njihovu aritmetičku sredinu.