Boltzmannin vakiolla on tärkeä rooli staattisessa mekaniikassa. Boltzmannin vakio

Boltzmannin vakio (k (\displaystyle k) tai k B (\displaystyle k_(\rm (B)))) on fysikaalinen vakio, joka määrittää lämpötilan ja energian välisen suhteen. Nimetty itävaltalaisen fyysikon Ludwig Boltzmannin mukaan, joka teki suuren panoksen tilastolliseen fysiikkaan, jossa tällä vakiolla on keskeinen rooli. Sen arvo kansainvälisessä yksikköjärjestelmässä SI SI-perusyksiköiden määritelmien muutoksen mukaan (2018) on täsmälleen sama kuin

Lämpötilan ja energian suhde

Homogeenisessa ideaalikaasussa absoluuttisessa lämpötilassa T (\näyttötyyli T), energia translaatiovapausastetta kohden on Maxwell-jakauman mukaisesti, kT / 2 (\displaystyle kT/2). Huoneenlämpötilassa (300 °C) tämä energia on 2 , 07 × 10 − 21 (\displaystyle 2(,)07\times 10^(-21)) J tai 0,013 eV. Monatomisessa ideaalikaasussa jokaisella atomilla on kolme vapausastetta, jotka vastaavat kolmea spatiaalista akselia, mikä tarkoittaa, että jokaisella atomilla on energiaa 3 2 k T (\displaystyle (\frac (3) (2)) kT).

Lämpöenergian tuntemalla voidaan laskea atominopeuden keskiarvo, joka on kääntäen verrannollinen atomimassan neliöjuureen. Keskimääräinen neliönopeus huoneenlämpötilassa vaihtelee heliumin 1370 m/s:sta ksenonin 240 m/s:iin. Molekyylikaasun tapauksessa tilanne muuttuu monimutkaisemmaksi, esimerkiksi kaksiatomisella kaasulla on 5 vapausastetta - 3 translaatio- ja 2 rotaatioastetta (alhaisissa lämpötiloissa, kun atomien värähtelyjä molekyylissä ei viritetä ja lisäasteita vapautta ei lisätä).

Entropian määritelmä

Termodynaamisen järjestelmän entropia määritellään erilaisten mikrotilojen lukumäärän luonnollisena logaritmina Z (\displaystyle Z) joka vastaa tiettyä makroskooppista tilaa (esimerkiksi tilaa tietyllä kokonaisenergialla).

Suhteellisuustekijä k (\displaystyle k) ja on Boltzmannin vakio. Tämä on lauseke, joka määrittelee suhteen mikroskooppisten ( Z (\displaystyle Z)) ja makroskooppiset tilat ( S (\displaystyle S)), ilmaisee tilastollisen mekaniikan keskeisen ajatuksen.

Boltzmannin vakio (k (\displaystyle k) tai k B (\displaystyle k_(\rm (B)))) - fysikaalinen vakio, joka määrittää lämpötilan ja energian välisen suhteen. Nimetty itävaltalaisen fyysikon Ludwig Boltzmannin mukaan, joka teki suuren panoksen tilastolliseen fysiikkaan, jossa tällä vakiolla on keskeinen rooli. Sen kokeellinen arvo kansainvälisessä yksikköjärjestelmässä (SI) on:

Suluissa olevat numerot osoittavat normaalivirheen arvon viimeisissä numeroissa.

Tietosanakirja YouTube

1 / 3

✪ Lämpösäteily. Stefan-Boltzmannin laki

✪ Boltzmannin jakelumalli.

✪ Fysiikka. MKT: Mendeleev-Clapeyron-yhtälö ihanteelliselle kaasulle. Foxfordin verkko-oppimiskeskus

Tekstitykset

Lämpötilan ja energian suhde

Homogeenisessa ideaalikaasussa absoluuttisessa lämpötilassa T (\näyttötyyli T), kullekin translaatiovapausasteelle kuuluva energia on Maxwell-jakauman mukaisesti, kT / 2 (\displaystyle kT/2). Huoneenlämpötilassa (300 °C) tämä energia on 2 , 07 × 10 − 21 (\displaystyle 2(,)07\times 10^(-21)) J tai 0,013 eV. Monatomisessa ideaalikaasussa jokaisella atomilla on kolme vapausastetta, jotka vastaavat kolmea spatiaalista akselia, mikä tarkoittaa, että jokaisella atomilla on energiaa 3 2 k T (\displaystyle (\frac (3) (2)) kT).

Lämpöenergian tuntemalla voidaan laskea atominopeuden neliöjuurikeskiarvo, joka on kääntäen verrannollinen atomimassan neliöjuureen. Keskimääräinen neliönopeus huoneenlämpötilassa vaihtelee heliumin 1370 m/s:sta ksenonin 240 m/s:iin. Molekyylikaasun tapauksessa tilanne muuttuu monimutkaisemmaksi, esimerkiksi kaksiatomisella kaasulla on viisi vapausastetta (matalissa lämpötiloissa, kun atomien värähtelyjä molekyylissä ei viritetä).

Entropian määritelmä

Termodynaamisen järjestelmän entropia määritellään erilaisten mikrotilojen lukumäärän luonnollisena logaritmina Z (\displaystyle Z) joka vastaa tiettyä makroskooppista tilaa (esimerkiksi tilaa tietyllä kokonaisenergialla).

Suhteellisuustekijä k (\displaystyle k) ja on Boltzmannin vakio. Tämä on lauseke, joka määrittelee suhteen mikroskooppisten ( Z (\displaystyle Z)) ja makroskooppiset tilat ( S (\displaystyle S)), ilmaisee tilastollisen mekaniikan keskeisen ajatuksen.

Oletusarvon korjaus

17.-21. lokakuuta 2011 pidetyssä XXIV yleiskokouksessa mittoja ja painoja käsittelevässä konferenssissa hyväksyttiin päätöslauselma, jossa erityisesti ehdotettiin, että kansainvälisen yksikköjärjestelmän tuleva tarkistus toteutettaisiin siten, että Boltzmannin vakion arvo, jonka jälkeen se katsotaan varmaksi tarkalleen. Tämän seurauksena se toimii tarkka tasa-arvo k=1,380 6X⋅10 −23 J/K, jossa X korvaa yhden tai useamman merkittävän luvun, joka määritetään tulevaisuudessa parhaiden CODATA-suositusten perusteella. Tällainen väitetty kiinnitys liittyy haluun määritellä uudelleen termodynaamisen lämpötilan yksikkö, kelvin, yhdistämällä sen arvo Boltzmannin vakion arvoon.

Suluissa olevat numerot osoittavat normaalivirheen arvon viimeisissä numeroissa. Periaatteessa Boltzmannin vakio voidaan saada absoluuttisen lämpötilan ja muiden fysikaalisten vakioiden määrityksestä (tätä varten sinun on osattava laskea ensimmäisistä periaatteista veden kolmoispisteen lämpötila). Mutta Boltzmannin vakion määritelmä perusperiaatteita käyttäen on liian monimutkainen ja epärealistinen tämän alan nykyisen tiedon kehityksen kanssa.
Boltzmannin vakio on tarpeeton fysikaalinen vakio, jos lämpötila mitataan energiayksiköissä, mitä fysiikassa usein tehdään. Se on itse asiassa yhteys tarkasti määritellyn suuren - energian ja asteen välillä, jonka arvo on kehittynyt historiallisesti.
Entropian määritelmä
Termodynaamisen järjestelmän entropia määritellään tiettyä makroskooppista tilaa vastaavien eri mikrotilojen Z luonnollisena logaritmina (esimerkiksi tiloja, joilla on tietty kokonaisenergia).

Suhteellisuustekijä k ja on Boltzmannin vakio. Tämä lauseke, joka määrittelee mikroskooppisten (Z) ja makroskooppisten (S) ominaisuuksien välisen suhteen, ilmaisee tilastollisen mekaniikan (keskeisen) idean.

Boltzmann Ludwig (1844-1906)- suuri itävaltalainen fyysikko, yksi molekyylikineettisen teorian perustajista. Molekyylikineettinen teoria esiintyi Boltzmannin teoksissa ensin loogisesti yhtenäisenä, johdonmukaisena fysikaalisena teoriana. Boltzmann antoi tilastollisen tulkinnan termodynamiikan toisesta säännöstä. Hän on tehnyt paljon Maxwellin sähkömagneettisen kentän teorian kehittämiseksi ja popularisoimiseksi. Luonteeltaan taistelija Boltzmann puolusti intohimoisesti lämpöilmiöiden molekulaarisen tulkinnan tarvetta ja otti vastuun taistelusta tutkijoita vastaan, jotka kielsivät molekyylien olemassaolon.

Yhtälö (4.5.3) sisältää yleisen kaasuvakion suhteen R Avogadro-vakioon N A . Tämä suhde on sama kaikille aineille. Sitä kutsutaan Boltzmannin vakioksi L. Boltzmannin, yhden molekyylikineettisen teorian perustajista, kunniaksi.

Boltzmannin vakio on:

Yhtälö (4.5.3) kirjoitetaan Boltzmannin vakio huomioon ottaen seuraavasti:

Boltzmannin vakion fyysinen merkitys

Historiallisesti lämpötila otettiin ensin käyttöön termodynaamisena suureena ja sille määritettiin mittayksikkö - aste (ks. § 3.2). Lämpötilan ja molekyylien keskimääräisen kineettisen energian välisen suhteen selvittämisen jälkeen kävi selväksi, että lämpötila voidaan määritellä molekyylien keskimääräiseksi kineettiseksi energiaksi ja ilmaista jouleina tai ergeina eli määrän sijasta. T syötä arvo T* jotta

Näin määritetty lämpötila liittyy asteina ilmaistuun lämpötilaan seuraavasti:

Siksi Boltzmannin vakiota voidaan pitää suurena, joka suhteuttaa energiayksiköissä ilmaistun lämpötilan asteina ilmaistuun lämpötilaan.

Kaasun paineen riippuvuus sen molekyylien pitoisuudesta ja lämpötilasta

Ilmaisee E suhteesta (4.5.5) ja substituoimalla kaavaan (4.4.10) saadaan lauseke, joka osoittaa kaasun paineen riippuvuuden molekyylien pitoisuudesta ja lämpötilasta:

Kaavasta (4.5.6) seuraa, että samoissa paineissa ja lämpötiloissa molekyylien pitoisuus kaikissa kaasuissa on sama.

Tästä seuraa Avogadron laki: yhtä suuri määrä kaasuja samoissa lämpötiloissa ja paineissa sisältää saman määrän molekyylejä.

Molekyylien translaatioliikkeen keskimääräinen kineettinen energia on suoraan verrannollinen absoluuttiseen lämpötilaan. Suhteellisuustekijä- Boltzmannin vakiok \u003d 10 -23 J / K - täytyy muistaa.

§ 4.6. Maxwell-jakelu

Monissa tapauksissa pelkkä fyysisten määrien keskiarvojen tunteminen ei riitä. Esimerkiksi ihmisten keskipituuden tunteminen ei mahdollista erikokoisten vaatteiden tuotannon suunnittelua. Sinun on tiedettävä likimääräinen määrä ihmisiä, joiden pituus on tietyllä aikavälillä. Samoin on tärkeää tietää niiden molekyylien lukumäärä, joiden nopeus on muu kuin keskimääräinen. Maxwell oli ensimmäinen, joka keksi kuinka nämä luvut voidaan määrittää.

Satunnaisen tapahtuman todennäköisyys

Kohdassa 4.1 olemme jo maininneet, että J. Maxwell esitteli todennäköisyyden käsitteen kuvaamaan suuren molekyylijoukon käyttäytymistä.

Kuten toistuvasti on korostettu, periaatteessa on mahdotonta seurata yhden molekyylin nopeuden (tai liikemäärän) muutosta pitkän ajanjakson aikana. On myös mahdotonta määrittää tarkasti kaikkien kaasumolekyylien nopeutta tiettynä aikana. Makroskooppisista olosuhteista, joissa kaasu sijaitsee (tietty tilavuus ja lämpötila), tietyt molekyylien nopeuksien arvot eivät välttämättä seuraa. Molekyylin nopeutta voidaan pitää satunnaismuuttujana, joka voi tietyissä makroskooppisissa olosuhteissa saada erilaisia ​​arvoja, aivan kuten noppaa heitettäessä mikä tahansa määrä pisteitä 1-6 (nopan pintojen määrä on kuusi) voi pudota. On mahdotonta ennustaa, kuinka monta pisteitä putoaa tietyllä nopanheitolla. Mutta todennäköisyys heittää esimerkiksi viisi pistettä on puolustettavissa.

Mikä on satunnaisen tapahtuman todennäköisyys? Tuottakoon hyvin suuri määrä N testejä (N on nostan kierrosten lukumäärä). Samaan aikaan sisään N" tapauksissa testien tulos oli myönteinen (eli viiden tappion). Sitten tämän tapahtuman todennäköisyys on yhtä suuri kuin suotuisan tuloksen saaneiden tapausten lukumäärän suhde kokeiden kokonaismäärään, edellyttäen, että tämä luku on mielivaltaisen suuri:

Symmetrisellä nollalla minkä tahansa valitun pisteiden lukumäärän todennäköisyys 1-6 on .

Näemme, että monien satunnaisten tapahtumien taustalla paljastuu tietty määrällinen kuvio, ilmestyy numero. Tämä luku - todennäköisyys - antaa sinun laskea keskiarvot. Joten jos teet 300 noppaheittoa, niin kaavasta (4.6.1) seuraava viidennen heittojen keskimäärä on: 300 = 50, ja on täysin välinpitämätöntä heittää samaa noppaa 300 kertaa tai samanaikaisesti 300 identtistä noppaa.

Epäilemättä kaasumolekyylien käyttäytyminen astiassa on paljon monimutkaisempaa kuin heitetyn nopan liike. Mutta täälläkin voidaan toivoa löytävänsä tiettyjä kvantitatiivisia säännönmukaisuuksia, jotka mahdollistavat tilastollisten keskiarvojen laskemisen, jos vain ongelma asetetaan samalla tavalla kuin peliteoriassa, ei niin kuin klassisessa mekaniikassa. On välttämätöntä luopua ratkaisemattomasta ongelmasta määrittää molekyylin nopeuden tarkka arvo tietyllä hetkellä ja yrittää löytää todennäköisyys, että nopeudella on tietty arvo.

Mustan kehon säteilyenergiaan liittyvä vakio, katso Stefan-Boltzmannin vakio

Boltzmannin vakio (k tai k B ) on fysikaalinen vakio, joka määrittää aineen lämpötilan ja tämän aineen hiukkasten lämpöliikkeen energian välisen suhteen. Se on nimetty itävaltalaisen fyysikon Ludwig Boltzmannin mukaan, joka antoi suuren panoksen tilastolliseen fysiikkaan, jossa tällä vakiolla on keskeinen rooli. Sen kokeellinen arvo SI-järjestelmässä on

Taulukossa suluissa olevat viimeiset numerot osoittavat vakion arvon keskivirheen. Periaatteessa Boltzmannin vakio voidaan johtaa absoluuttisen lämpötilan ja muiden fysikaalisten vakioiden määrittämisestä. Boltzmannin vakion tarkka laskeminen perusperiaatteiden avulla on kuitenkin liian monimutkaista ja mahdotonta nykyisellä tietotasolla.

Kokeellisesti Boltzmannin vakio voidaan määrittää käyttämällä Planckin lämpösäteilyn lakia, joka kuvaa energian jakautumista tasapainosäteilyn spektrissä säteilevän kappaleen tietyssä lämpötilassa, sekä muilla menetelmillä.

Universaalin kaasuvakion ja Avogadron luvun välillä on suhde, josta seuraa Boltzmannin vakion arvo:

Boltzmannin vakion ulottuvuus on sama kuin entropian.

Tarina

Vuonna 1877 Boltzmann yhdisti ensimmäisenä entropian ja todennäköisyyden, mutta vakion melko tarkan arvon. k kytkentäkertoimena entropian kaavassa esiintyi vain M. Planckin teoksissa. Johtaessaan mustan kappaleen säteilylakia Planck vuosina 1900–1901. Boltzmannin vakiolle löytyi arvo 1,346 10 −23 J/K, lähes 2,5 % vähemmän kuin tällä hetkellä hyväksytty.

Vuoteen 1900 asti suhteet, jotka nyt kirjoitetaan Boltzmannin vakiolla, kirjoitettiin kaasuvakiolla R, ja keskimääräisen molekyylin energian sijasta käytettiin aineen kokonaisenergiaa. Lyhyt lomakkeen kaava S = k Hirsi W Boltzmannin rintakuvasta tuli sellainen Planckin ansiosta. Nobel-luennossaan vuonna 1920 Planck kirjoitti:

Tätä vakiota kutsutaan usein Boltzmannin vakioksi, vaikka tietääkseni Boltzmann itse ei koskaan ottanut sitä käyttöön - outo asia, kun otetaan huomioon, että Boltzmannin lausunnoissa ei puhuttu tämän vakion tarkasta mittauksesta.

Tämä tilanne voidaan selittää tuolloin käydyllä tieteellisellä keskustelulla aineen atomirakenteen olemuksen selvittämiseksi. 1800-luvun jälkipuoliskolla vallitsi suuria erimielisyyksiä siitä, olivatko atomit ja molekyylit todellisia vai ovatko ne vain kätevä tapa kuvata ilmiöitä. Ei ollut myöskään yksimielisyyttä siitä, ovatko atomimassansa perusteella erotetut "kemialliset molekyylit" samoja molekyylejä kuin kineettisessä teoriassa. Myöhemmin Planckin Nobel-luennosta löytyy seuraavaa:

"Mikään ei voi paremmin osoittaa positiivista ja kiihtyvää edistystä kuin kokeilu viimeisten kahdenkymmenen vuoden aikana, jolloin on löydetty useita menetelmiä yhtä aikaa molekyylien massan mittaamiseksi lähes samalla tarkkuudella kuin minkä tahansa planeetan massan mittaaminen. ”

Ideaalikaasun tilayhtälö

Ihanteelliselle kaasulle pätee yhtenäinen kaasulaki, joka liittyy paineeseen P, äänenvoimakkuus V, aineen määrä n mooliina, kaasuvakio R ja absoluuttinen lämpötila T:

Tässä yhtälössä voimme tehdä korvauksen. Sitten kaasulaki ilmaistaan ​​Boltzmannin vakiona ja molekyylien lukumääränä N kaasun tilavuudessa V:

Lämpötilan ja energian suhde

Homogeenisessa ideaalikaasussa absoluuttisessa lämpötilassa T, energia translaatiovapausastetta kohden on Maxwell-jakauman mukaisesti, kT/ 2 . Huoneenlämpötilassa (≈ 300 K) tämä energia on J eli 0,013 eV.

Kaasun termodynamiikan suhteet

Monatomisessa ideaalikaasussa jokaisella atomilla on kolme vapausastetta, jotka vastaavat kolmea spatiaalista akselia, mikä tarkoittaa, että kunkin atomin energia on 3 kT/ 2 . Tämä sopii hyvin yhteen kokeellisten tietojen kanssa. Lämpöenergian tuntemalla voidaan laskea atominopeuden keskiarvo, joka on kääntäen verrannollinen atomimassan neliöjuureen. RMS-nopeus huoneenlämpötilassa vaihtelee heliumin 1370 m/s:sta ksenonin 240 m/s:iin.

Kineettinen teoria antaa kaavan keskipaineelle P ihanteellinen kaasu:

Ottaen huomioon, että suoraviivaisen liikkeen keskimääräinen kineettinen energia on:

löydämme ihanteellisen kaasun tilayhtälön:

Tämä suhde pätee hyvin myös molekyylikaasuille; lämpökapasiteetin riippuvuus kuitenkin muuttuu, koska molekyyleillä voi olla ylimääräisiä sisäisiä vapausasteita suhteessa niihin vapausasteisiin, jotka liittyvät molekyylien liikkumiseen avaruudessa. Esimerkiksi kaksiatomisella kaasulla on jo noin viisi vapausastetta.

Boltzmannin kerroin

Yleensä järjestelmä on tasapainossa lämpösäiliön kanssa lämpötilassa T on todennäköisyys p ottaa energiatilan E, joka voidaan kirjoittaa käyttämällä vastaavaa eksponentiaalista Boltzmann-kerrointa:

Tämä lauseke sisältää arvon kT energiaulottuvuuden kanssa.

Todennäköisyyslaskentaa ei käytetä pelkästään ihanteellisten kaasujen kineettisen teorian laskelmissa, vaan myös muilla aloilla, esimerkiksi kemiallisessa kinetiikassa Arrhenius-yhtälössä.

Rooli entropian tilastollisessa määrittelyssä

Pääartikkeli: Termodynaaminen entropia

Haje S Eristetyn termodynaamisen järjestelmän tila termodynaamisessa tasapainossa määritellään eri mikrotilojen lukumäärän luonnollisella logaritmilla W joka vastaa tiettyä makroskooppista tilaa (esimerkiksi tilaa, jolla on tietty kokonaisenergia). E):

Suhteellisuustekijä k on Boltzmannin vakio. Tämä on lauseke, joka määrittelee suhteen mikroskooppisten ja makroskooppisten tilojen välillä (via W ja entropia S vastaavasti), ilmaisee tilastollisen mekaniikan keskeisen idean ja on Boltzmannin tärkein löytö.

Klassisessa termodynamiikassa entropian Clausius-lauseketta käytetään:

Siten Boltzmannin vakion esiintyminen k voidaan nähdä seurauksena entropian termodynaamisen ja tilastollisen määritelmän välisestä yhteydestä.

Entropia voidaan ilmaista yksiköissä k, joka antaa seuraavan:

Tällaisissa yksiköissä entropia vastaa täsmälleen informaatioentropiaa.

ominaista energiaa kT on yhtä suuri kuin entropian lisäämiseen tarvittava lämmön määrä S"yhdellä natilla.

Rooli puolijohdefysiikassa: lämpöjännitys

Toisin kuin muissa aineissa, puolijohteissa sähkönjohtavuus on vahvasti riippuvainen lämpötilasta:

jossa tekijä σ 0 riippuu melko heikosti lämpötilasta eksponenttiin verrattuna, E A on johtumisen aktivointienergia. Johtoelektronien tiheys riippuu myös eksponentiaalisesti lämpötilasta. Puolijohteen p-n-liitoksen läpi kulkevalle virralle otetaan aktivointienergian sijasta tämän p-n-liitoksen ominaisenergia lämpötilassa T elektronin ominaisenergiana sähkökentässä:

missä q-, a V T on lämpöjännitys, joka riippuu lämpötilasta.

Tämä suhde on perusta Boltzmannin vakion ilmaisemiselle yksiköissä eV∙K −1 . Huoneenlämpötilassa (≈ 300 K) lämpöjännite on noin 25,85 millivolttia ≈ 26 mV.

Klassisessa teoriassa käytetään usein kaavaa, jonka mukaan varauksenkuljettajien tehollinen nopeus aineessa on yhtä suuri kuin kantajan liikkuvuuden μ ja sähkökentän voimakkuuden tulo. Toisessa kaavassa kantoaallon vuontiheys on suhteessa diffuusiokertoimeen D ja n :

Einstein-Smoluchowski-relaation mukaan diffuusiokerroin liittyy liikkuvuuteen:

Boltzmannin vakio k sisältyy myös Wiedemann-Franzin lakiin, jonka mukaan metallien lämmönjohtavuuden suhde sähkönjohtavuuteen on verrannollinen lämpötilaan ja Boltzmannin vakion ja sähkövarauksen suhteen neliö.

Sovellukset muilla aloilla

Debye-lämpötilaa käytetään erottamaan lämpötila-alueet, joilla aineen käyttäytymistä kuvataan kvantti- tai klassisilla menetelmillä: