Säännöllisen kuusikulmaisen pyramidin diagonaali. pyramidit

Tärkeät muistiinpanot!
1. Jos näet kaavojen sijasta abrakadabra, tyhjennä välimuisti. Kuinka se tehdään selaimessasi, on kirjoitettu tähän:
2. Ennen kuin aloitat artikkelin lukemisen, kiinnitä huomiota navigaattoriimme saadaksesi hyödyllisimmän resurssin

Mikä on pyramidi?

Miltä hän näyttää?

Näet: alla olevassa pyramidissa (he sanovat " tukikohdassa"") jokin monikulmio, ja kaikki tämän monikulmion kärjet ovat yhteydessä johonkin avaruuden pisteeseen (tätä pistettä kutsutaan " kärkipiste»).

Tällä koko rakenteella on sivupinnat, kylkiluut ja pohjakylkiluut. Piirretään vielä kerran pyramidi kaikkien näiden nimien kanssa:

Jotkut pyramidit voivat näyttää hyvin oudolta, mutta ne ovat silti pyramideja.

Täällä esimerkiksi melko "vino" pyramidi.

Ja vähän lisää nimistä: jos pyramidin pohjassa on kolmio, niin pyramidia kutsutaan kolmiomaiseksi;

Samaan aikaan piste, jossa se putosi korkeus, kutsutaan korkeus pohja. Huomaa, että "kiemuroissa" pyramideissa korkeus voi olla jopa pyramidin ulkopuolella. Kuten tämä:

Eikä tässä ole mitään kauheaa. Se näyttää tylsältä kolmiolta.

Oikea pyramidi.

Paljon vaikeita sanoja? Selvitetään: " Pohjassa - oikein" - tämä on ymmärrettävää. Ja muista nyt, että tavallisella monikulmiolla on keskus - piste, joka on ja , ja .

No, ja sanat "yläosa heijastuu pohjan keskelle" tarkoittavat, että korkeuden pohja putoaa tarkalleen alustan keskelle. Katso kuinka sileältä ja söpöltä se näyttää oikea pyramidi.

Kuusikulmainen: pohjassa - säännöllinen kuusikulmio, kärki projisoituu pohjan keskelle.

nelikulmainen: pohjassa - neliö, yläosa heijastetaan tämän neliön diagonaalien leikkauspisteeseen.

kolmion muotoinen: pohjassa on säännöllinen kolmio, jonka kärki projisoidaan tämän kolmion korkeuksien leikkauspisteeseen (ne ovat myös mediaaneja ja puolittajia).

Erittäin säännöllisen pyramidin tärkeät ominaisuudet:

Oikeassa pyramidissa

• kaikki sivureunat ovat yhtä suuret.
• kaikki sivupinnat ovat tasakylkisiä kolmioita ja kaikki nämä kolmiot ovat yhtä suuria.

Pyramidin tilavuus

Pyramidin tilavuuden pääkaava:

Mistä se oikein tuli? Tämä ei ole niin yksinkertaista, ja aluksi sinun on vain muistettava, että pyramidilla ja kartiolla on tilavuus kaavassa, mutta sylinterillä ei.

Lasketaan nyt suosituimpien pyramidien tilavuus.

Olkoon pohjan sivu yhtä suuri ja sivureuna yhtä suuri. Minun täytyy löytää ja.

Tämä on suorakulmaisen kolmion alue.

Muistetaan kuinka etsiä tätä aluetta. Käytämme aluekaavaa:

Meillä on "" - tämä ja "" - myös tämä, eh.

Nyt etsitään.

Pythagoraan lauseen mukaan

Mitä väliä sillä on? Tämä on rajatun ympyrän säde sisään, koska pyramidioikea ja siis keskusta.

Koska - leikkauspiste ja mediaani myös.

(Pytagoraan lause sanalle)

Korvaa kaavassa.

Laitetaan kaikki tilavuuskaavaan:

Huomio: jos sinulla on säännöllinen tetraedri (eli), kaava on:

Olkoon pohjan sivu yhtä suuri ja sivureuna yhtä suuri.

Täällä ei tarvitse etsiä; koska pohjassa on neliö, ja siksi.

Etsitään. Pythagoraan lauseen mukaan

Tiedämmekö? Melkein. Katso:

(näimme tämän tarkistamalla).

Korvaa kaavassa:

Ja nyt korvaamme tilavuuskaavan.

Olkoon pohjan sivu yhtä suuri ja sivureuna.

Kuinka löytää? Katso, kuusikulmio koostuu täsmälleen kuudesta identtisestä säännöllisestä kolmiosta. Olemme jo etsineet säännöllisen kolmion pinta-alaa laskettaessa säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin tilavuutta, tässä käytetään löydettyä kaavaa.

Etsitään nyt (tämä).

Pythagoraan lauseen mukaan

Mutta mitä väliä sillä on? Se on yksinkertaista, koska (ja kaikki muutkin) ovat oikeassa.

Korvaamme:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)(a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PYRAMIDI. LYHYESTI TÄRKEISTÄ

Pyramidi on monitahoinen, joka koostuu mistä tahansa litteästä monikulmiosta (), pisteestä, joka ei ole pohjan tasossa (pyramidin yläosa) ja kaikista segmenteistä, jotka yhdistävät pyramidin huipun pohjan pisteisiin (sivureunat). ).

Pyramidin huipulta pudonnut kohtisuora pohjan tasoon.

Oikea pyramidi- pyramidi, jonka pohjassa on säännöllinen monikulmio ja pyramidin huippu projisoituu pohjan keskelle.

Tavallisen pyramidin ominaisuus:

• Tavallisessa pyramidissa kaikki sivureunat ovat yhtä suuret.
• Kaikki sivupinnat ovat tasakylkisiä kolmioita ja kaikki nämä kolmiot ovat yhtä suuria.

Pyramidin tilavuus:

No, aihe on ohi. Jos luet näitä rivejä, olet erittäin siisti.

Koska vain 5% ihmisistä pystyy hallitsemaan jotain itse. Ja jos olet lukenut loppuun, olet 5 %:ssa!

Nyt se tärkein asia.

Olet keksinyt teorian tästä aiheesta. Ja toistan, se on... se on vain super! Olet jo parempi kuin suurin osa ikäisistäsi.

Ongelmana on, että tämä ei ehkä riitä...

Minkä vuoksi?

Kokeen onnistuneesta läpäisystä, instituuttiin budjetilla pääsystä ja, TÄRKEIMMÄN, elinikäiseksi.

En vakuuta sinua mistään, sanon vain yhden asian ...

Hyvän koulutuksen saaneet ansaitsevat paljon enemmän kuin ne, jotka eivät ole saaneet sitä. Tämä on tilastoa.

Mutta tämä ei ole pääasia.

Pääasia, että he ovat ONNELISEMME (sellaisia ​​tutkimuksia on). Ehkä siksi, että heille avautuu paljon enemmän mahdollisuuksia ja elämästä tulee valoisampaa? En tiedä...

Mutta ajattele itse...

Mitä tarvitaan, jotta voit olla varmasti parempi kuin muut kokeessa ja lopulta... onnellisempi?

TÄYTÄ KÄSI RATKAISEMME ONGELMIA TÄSTÄ AIHESTA.

Kokeessa sinulta ei kysytä teoriaa.

Tarvitset ratkaista ongelmat ajoissa.

Ja jos et ole ratkaissut niitä (PALJON!), teet varmasti tyhmän virheen jossain tai et yksinkertaisesti tee sitä ajoissa.

Se on kuin urheilussa - sinun täytyy toistaa monta kertaa voittaaksesi varmasti.

Löydä kokoelma mistä tahansa välttämättä ratkaisuilla, yksityiskohtaisella analyysillä ja päätä, päätä, päätä!

Voit käyttää tehtäviämme (ei välttämättä) ja suosittelemme niitä ehdottomasti.

Jotta saat apua tehtäviemme avulla, sinun on autettava pidentämään parhaillaan lukemasi YouClever-oppikirjan käyttöikää.

Miten? Vaihtoehtoja on kaksi:

1. Avaa pääsy kaikkiin tämän artikkelin piilotettuihin tehtäviin -
2. Avaa pääsy kaikkiin piilotettuihin tehtäviin kaikissa opetusohjelman 99 artikkelissa - Osta oppikirja - 499 ruplaa

Kyllä, meillä on 99 tällaista artikkelia oppikirjassa ja pääsy kaikkiin tehtäviin ja kaikkiin niissä oleviin piiloteksteihin voidaan avata välittömästi.

Pääsy kaikkiin piilotettuihin tehtäviin tarjotaan sivuston koko elinkaaren ajan.

Tiivistettynä...

Jos et pidä tehtävistämme, etsi muita. Älä vain lopeta teoriaan.

"Ymmärretty" ja "tiedän kuinka ratkaista" ovat täysin erilaisia ​​taitoja. Tarvitset molemmat.

Etsi ongelmia ja ratkaise!

pyramidit

Tarkastellaan mielivaltaista tasoa α, mielivaltaista kuperaa n-kulmiota A 1 A 2 ... A n , joka sijaitsee tässä tasossa, ja piste S, joka ei ole tasossa α .

Määritelmä 1. Pyramid ( n - hiilipyramidi) kutsutaan lukua, jonka muodostavat segmentit, jotka yhdistävät pisteen S monikulmion kaikkiin pisteisiin A 1 A 2 ... A n (Kuva 1) .

Huomautus 1. Muista, että monikulmio A 1 A 2 ... A n koostuu suljetusta katkoviivasta A 1 A 2 ... A n ja sen rajoittama tason osa.

Määritelmä 2.

Tetrahedra. Säännöllinen tetraedra

Määritelmä 5. Mielivaltaista kolmion muotoista pyramidia kutsutaan tetraedriksi.

lausunto. Jokaisen säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin vastakkaiset reunat ovat pareittain kohtisuorassa.

Todiste. Tarkastellaan säännöllistä kolmionmuotoista pyramidia SABC ja sen vastakkaisten reunojen paria, kuten AC ja BS . Olkoon D reunan AC keskipiste. Koska segmentit BD ja SD ovat mediaaneja tasakylkisessä kolmiossa ABC ja ASC , niin BD ja SD ovat kohtisuorassa reunaa AC vastaan ​​(kuva 4).

jossa D-kirjain tarkoittaa reunan AC keskipistettä (kuva 6).

Pythagoraan lauseella kolmiosta BSO löydämme

Vastaus.

Kaavat pyramidin tilavuudelle, sivuttaispinnalle ja kokonaispinta-alalle

Esittelemme seuraavan merkinnän

Sitten seuraavat ovat totta kaavat pyramidin tilavuuden, sivuttaisen ja koko pinnan laskentakaavat:

Tässä on koottu perustietoa pyramideista ja niihin liittyvistä kaavoista ja käsitteistä. Niitä kaikkia opiskellaan matematiikan tutorin kanssa tenttiin valmistautuessa.

Harkitse tasoa, monikulmiota makaa siinä ja piste S, joka ei makaa siinä. Yhdistä S monikulmion kaikkiin pisteisiin. Tuloksena olevaa monitahoista kutsutaan pyramidiksi. Segmenttejä kutsutaan sivureunoksi. Monikulmiota kutsutaan pohjaksi ja pistettä S kutsutaan pyramidin huipuksi. Numerosta n riippuen pyramidia kutsutaan kolmiomaiseksi (n=3), nelikulmaiseksi (n=4), viisikulmaiseksi (n=5) ja niin edelleen. Vaihtoehtoinen nimi kolmiopyramidille - tetraedri. Pyramidin korkeus on kohtisuora, joka on vedetty sen huipusta perustasoon.

Pyramidia kutsutaan oikeaksi jos säännöllinen monikulmio, ja pyramidin korkeuden kanta (pystysuoran kanta) on sen keskipiste.

Opettajan kommentti:
Älä sekoita käsitteitä "säännöllinen pyramidi" ja "säännöllinen tetraedri". Säännöllisessä pyramidissa sivureunat eivät välttämättä ole yhtä suuret kuin pohjan reunat, mutta säännöllisessä tetraedrissä kaikki 6 reunojen reunaa ovat yhtä suuret. Tämä on hänen määritelmänsä. On helppo todistaa, että yhtäläisyys tarkoittaa, että monikulmion keskipiste P korkeuspohjalla, joten säännöllinen tetraedri on säännöllinen pyramidi.

Mikä on apoteemi?
Pyramidin apoteemi on sen sivupinnan korkeus. Jos pyramidi on säännöllinen, niin kaikki sen apoteemit ovat yhtä suuret. Käänteinen ei ole totta.

Matematiikan ohjaaja terminologiasta: työ pyramidien kanssa on 80-prosenttisesti rakennettu kahdentyyppisten kolmioiden kautta:
1) Sisältää apothemin SK ja korkeuden SP
2) Sisältää sivureunan SA ja sen projektion PA

Näiden kolmioiden viittausten yksinkertaistamiseksi matematiikan opettajan on helpompi nimetä niistä ensimmäinen apoteeminen, ja toinen kylki-. Valitettavasti tätä terminologiaa ei löydy mistään oppikirjoista, ja opettajan on esitettävä se yksipuolisesti.

Pyramidin tilavuuskaava:
1), missä on pyramidin pohjan pinta-ala ja pyramidin korkeus
2) , missä on piirretyn pallon säde ja on pyramidin kokonaispinta-ala.
3) , jossa MN on minkä tahansa kahden risteävän reunan etäisyys ja on suunnikkaan pinta-ala, jonka muodostavat neljän jäljellä olevan reunan keskipisteet.

Pyramidin korkeuspohjan omaisuus:

Piste P (katso kuva) osuu yhteen piirretyn ympyrän keskipisteen kanssa pyramidin pohjassa, jos jokin seuraavista ehdoista täyttyy:
1) Kaikki apoteemit ovat samanarvoisia
2) Kaikki sivupinnat ovat tasaisesti kallistettuja pohjaa kohti
3) Kaikki apoteemit ovat yhtä kallistuneet pyramidin korkeuteen
4) Pyramidin korkeus on tasaisesti kalteva kaikille sivupinnoille

Matematiikan ohjaajan kommentti: Huomaa, että kaikkia pisteitä yhdistää yksi yhteinen ominaisuus: tavalla tai toisella sivupinnat ovat mukana kaikkialla (apoteemit ovat niiden elementtejä). Siksi ohjaaja voi tarjota vähemmän tarkan, mutta kätevämmän muotoilun muistamiseen: piste P osuu yhteen piirretyn ympyrän keskipisteen, pyramidin pohjan kanssa, jos sen sivupinnasta on yhtä paljon tietoa. Sen todistamiseksi riittää osoittamaan, että kaikki apoteemiset kolmiot ovat yhtä suuria.

Piste P on sama kuin rajatun ympyrän keskipiste lähellä pyramidin kantaa, jos yksi kolmesta ehdosta on totta:
1) Kaikki sivureunat ovat yhtä suuret
2) Kaikki sivurivat ovat tasaisesti kaltevassa pohjaa kohti
3) Kaikki sivurivat ovat tasaisesti kallistettuja korkeuteen

Johdanto

Kun aloimme tutkia stereometrisiä lukuja, kosketimme aihetta "Pyramid". Pidimme tästä teemasta, koska pyramidia käytetään hyvin usein arkkitehtuurissa. Ja koska tuleva arkkitehdin ammattimme on tästä hahmosta inspiroitunut, uskomme, että hän voi työntää meidät mahtaviin projekteihin.

Arkkitehtonisten rakenteiden vahvuus, niiden tärkein laatu. Yhdistämällä lujuus ensinnäkin materiaaleihin, joista ne on luotu, ja toiseksi suunnitteluratkaisujen ominaisuuksiin, käy ilmi, että rakenteen lujuus liittyy suoraan geometriseen muotoon, joka on sille perusmuoto.

Toisin sanoen kyseessä on geometrinen hahmo, jota voidaan pitää vastaavan arkkitehtonisen muodon mallina. Osoittautuu, että geometrinen muoto määrittää myös arkkitehtonisen rakenteen lujuuden.

Egyptiläisiä pyramideja on pitkään pidetty kestävimpänä arkkitehtonisena rakenteena. Kuten tiedät, ne ovat muodoltaan säännöllisiä nelikulmaisia ​​pyramideja.

Juuri tämä geometrinen muoto tarjoaa suurimman vakauden suuren pohjapinta-alan ansiosta. Toisaalta pyramidin muoto varmistaa, että massa pienenee, kun korkeus maanpinnasta kasvaa. Nämä kaksi ominaisuutta tekevät pyramidista vakaan ja siksi vahvan painovoiman olosuhteissa.

Hankkeen tavoite: oppia uutta pyramideista, syventää tietoa ja löytää käytännön sovelluksia.

Tämän tavoitteen saavuttamiseksi oli tarpeen ratkaista seuraavat tehtävät:

Opi historiallista tietoa pyramidista

Tarkastellaan pyramidia geometrisena hahmona

Löydä sovellusta elämässä ja arkkitehtuurissa

Etsi yhtäläisyyksiä ja eroja eri puolilla maailmaa sijaitsevien pyramidien välillä

Teoreettinen osa

Historiallista tietoa

Pyramidin geometrian alku laskettiin muinaisessa Egyptissä ja Babylonissa, mutta sitä kehitettiin aktiivisesti muinaisessa Kreikassa. Ensimmäinen, joka selvitti pyramidin tilavuuden, oli Demokritos, ja Eudoxus of Cnidus todisti sen. Muinainen kreikkalainen matemaatikko Euclid systematisoi tiedon pyramidista "Alkujensa" XII osassa ja toi esiin myös pyramidin ensimmäisen määritelmän: kehon hahmon, jota rajoittavat tasot, jotka yhtyvät yhdestä tasosta yhdessä pisteessä.

Egyptin faaraoiden haudat. Suurimpia niistä - Cheopsin, Khafren ja Mikerinin pyramideja El Gizassa muinaisina aikoina pidettiin yhtenä maailman seitsemästä ihmeestä. Pyramidin pystyttäminen, jossa kreikkalaiset ja roomalaiset näkivät jo muistomerkin kuninkaiden ennennäkemättömälle ylpeydelle ja julmuudelle, joka tuomittiin koko Egyptin kansan järjettömään rakentamiseen, oli tärkein kulttitoimi, jonka piti ilmeisesti ilmaista maan ja sen hallitsijan mystinen identiteetti. Maan väestö työskenteli haudan rakentamisessa maataloustöistä vapaana osan vuodesta. Useat tekstit todistavat siitä huomiosta ja huolenpidosta, jota kuninkaat itse (tosin myöhempään aikaan) kiinnittivät haudansa rakentamiseen ja sen rakentajiin. Se tunnetaan myös erityisistä kulttipalkinnoista, jotka osoittautuivat itse pyramidiksi.

Peruskonseptit

Pyramidi Kutsutaan monitahoja, jonka kanta on monikulmio ja loput pinnat ovat kolmioita, joilla on yhteinen kärki.

Apothem- säännöllisen pyramidin sivupinnan korkeus sen ylhäältä vedettynä;

Sivukasvot- yläosassa lähentyvät kolmiot;

Sivukylkiluut- sivupintojen yhteiset puolet;

pyramidin huipulla- sivureunat yhdistävä piste, joka ei ole alustan tasossa;

Korkeus- kohtisuoran segmentti, joka on vedetty pyramidin huipulta sen pohjan tasoon (tämän segmentin päät ovat pyramidin huippu ja kohtisuoran kanta);

Pyramidin diagonaalinen leikkaus- pyramidin leikkaus, joka kulkee pohjan yläosan ja diagonaalin läpi;

Pohja- monikulmio, joka ei kuulu pyramidin huipulle.

Oikean pyramidin pääominaisuudet

Sivureunat, sivupinnat ja apoteemit ovat vastaavasti samat.

Dihedraaliset kulmat pohjassa ovat yhtä suuret.

Dihedraaliset kulmat sivureunoilla ovat yhtä suuret.

Jokainen korkeuspiste on yhtä kaukana kaikista kantapisteistä.

Jokainen korkeuspiste on yhtä kaukana kaikista sivupinnoista.

Pyramidin peruskaavat

Pyramidin sivuttaisen ja koko pinnan pinta-ala.

Pyramidin sivupinnan (täysi ja katkaistu) pinta-ala on sen kaikkien sivupintojen pinta-alojen summa, kokonaispinta-ala on sen kaikkien pintojen pintojen summa.

Lause: Säännöllisen pyramidin sivupinnan pinta-ala on puolet pyramidin kannan kehän ja apoteemin tulosta.

p- pohjan kehä;

h- apoteemi.

Katkaistun pyramidin sivu- ja täyspinnan pinta-ala.

p1, s 2 - pohjakehät;

h- apoteemi.

R- säännöllisen katkaistun pyramidin kokonaispinta-ala;

S puoli- säännöllisen katkaistun pyramidin sivupinnan pinta-ala;

S1 + S2- perusalue

Pyramidin tilavuus

Lomake Tilavuusasteikkoa käytetään kaikenlaisille pyramideille.

H on pyramidin korkeus.

Pyramidin kulmat

Pyramidin sivupinnan ja pohjan muodostamia kulmia kutsutaan dihedraalisiksi kulmiksi pyramidin pohjassa.

Dihedraalinen kulma muodostuu kahdesta kohtisuorasta.

Tämän kulman määrittämiseksi sinun on usein käytettävä kolmen kohtisuoran lausetta.

Kulmia, jotka muodostuvat sivureunasta ja sen projektiosta alustan tasoon kutsutaan kulmat sivureunan ja pohjan tason välillä.

Kahden sivupinnan muodostamaa kulmaa kutsutaan kaksitahoinen kulma pyramidin sivureunassa.

Kulmaa, jonka muodostavat pyramidin yhden pinnan kaksi sivureunaa, kutsutaan pyramidin yläkulmassa.

Pyramidin osat

Pyramidin pinta on monitahoisen pinta. Jokainen sen pinta on taso, joten sekanttitason antama pyramidin leikkaus on katkoviiva, joka koostuu erillisistä suorista viivoista.

Diagonaalinen leikkaus

Pyramidin poikkileikkaus tasosta, joka kulkee kahden sivureunan läpi, jotka eivät ole samalla pinnalla, on ns. diagonaalinen leikkaus pyramidit.

Rinnakkaiset osat

Lause:

Jos pyramidin poikki kulkee pohjan kanssa yhdensuuntainen taso, niin pyramidin sivureunat ja korkeudet jaetaan tällä tasolla suhteellisiin osiin;

Tämän tason leikkaus on kantaa vastaava monikulmio;

Leikkauksen ja pohjan pinta-alat ovat suhteessa toisiinsa niiden etäisyyksien neliöinä ylhäältä.

Pyramidin tyypit

Oikea pyramidi- pyramidi, jonka kanta on säännöllinen monikulmio ja pyramidin huippu heijastuu pohjan keskelle.

Oikeassa pyramidissa:

1. sivurivat ovat yhtä suuret

2. sivupinnat ovat yhtä suuret

3. apoteemit ovat tasa-arvoisia

4. dihedral kulmat pohjassa ovat yhtä suuret

5. sivureunojen kaksikulmaiset kulmat ovat yhtä suuret

6. jokainen korkeuspiste on yhtä kaukana kaikista kantapisteistä

7. jokainen korkeuspiste on yhtä kaukana kaikista sivupinnoista

Katkaistu pyramidi- pyramidin osa, joka on suljettu sen pohjan ja pohjan kanssa yhdensuuntaisen leikkaustason väliin.

Katkaistun pyramidin kantaa ja sitä vastaavaa osaa kutsutaan katkaistun pyramidin pohjat.

Kutsutaan kohtisuoraa, joka on vedetty mistä tahansa kannan pisteestä toisen kannan tasoon katkaistun pyramidin korkeus.

Tehtävät

Nro 1. Säännöllisen nelikulmaisen pyramidin piste O on kannan keskipiste, SO=8 cm, BD=30 cm. Etsi sivureuna SA.

Ongelmanratkaisu

Nro 1. Tavallisessa pyramidissa kaikki pinnat ja reunat ovat yhtä suuret.

Tarkastellaan OSB:tä: OSB-suorakulmio, koska.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

Pyramidi arkkitehtuurissa

Pyramidi - monumentaalinen rakenne tavallisen säännöllisen geometrisen pyramidin muodossa, jossa sivut lähentyvät yhdessä pisteessä. Toiminnallisen tarkoituksen mukaan pyramidit olivat muinaisina aikoina hautaus- tai palvontapaikka. Pyramidin kanta voi olla kolmion muotoinen, nelikulmainen tai monikulmio, jossa on mielivaltainen määrä pisteitä, mutta yleisin versio on nelikulmainen kanta.

Tunnetaan huomattava määrä pyramideja, jotka muinaisen maailman eri kulttuurit ovat rakentaneet pääasiassa temppeleinä tai monumentteina. Suurimmat pyramidit ovat Egyptin pyramidit.

Kaikkialla maapallolla voit nähdä arkkitehtonisia rakenteita pyramidien muodossa. Pyramidirakennukset muistuttavat muinaisia ​​aikoja ja näyttävät erittäin kauniilta.

Egyptiläiset pyramidit ovat muinaisen Egyptin suurimpia arkkitehtonisia monumentteja, joista yksi "maailman seitsemästä ihmeestä" on Cheopsin pyramidi. Jalusta huipulle se saavuttaa 137,3 metrin korkeuden, ja ennen huipun menettämistä sen korkeus oli 146,7 metriä.

Käänteistä pyramidia muistuttava radioaseman rakennus Slovakian pääkaupungissa on rakennettu vuonna 1983. Tilan sisällä on toimisto- ja palvelutilojen lisäksi melko tilava konserttisali, jossa on yksi Slovakian suurimmista urkuista. .

Louvre, joka "on hiljainen ja majesteettinen kuin pyramidi", on käynyt läpi monia muutoksia vuosisatojen aikana ennen kuin siitä on tullut maailman suurin museo. Se syntyi Philip Augustuksen vuonna 1190 rakentamana linnoituksena, josta tuli pian kuninkaallinen asuinpaikka. Vuonna 1793 palatsista tuli museo. Kokoelmia rikastetaan testamenttien tai ostojen kautta.

Ratkaistaessa tehtävää C2 koordinaattimenetelmällä monet opiskelijat kohtaavat saman ongelman. He eivät osaa laskea pisteen koordinaatit sisältyvät skalaarituotteen kaavaan. Suurimmat vaikeudet ovat pyramidit. Ja jos peruspisteitä pidetään enemmän tai vähemmän normaaleina, niin topit ovat todellinen helvetti.

Tänään käsittelemme säännöllistä nelikulmaista pyramidia. Siellä on myös kolmion muotoinen pyramidi (alias tetraedri). Tämä on monimutkaisempi suunnittelu, joten sille omistetaan erillinen oppitunti.

Aloitetaan määritelmästä:

Säännöllinen pyramidi on sellainen, jossa:

1. Pohja on säännöllinen monikulmio: kolmio, neliö jne.;
2. Pohjaan vedetty korkeus kulkee sen keskustan läpi.

Erityisesti nelikulmaisen pyramidin kanta on neliö-. Aivan kuten Cheops, vain hieman pienempi.

Alla on laskelmat pyramidille, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuria kuin 1. Jos näin ei ole ongelmassasi, laskelmat eivät muutu - vain luvut ovat erilaisia.

Nelikulmaisen pyramidin huiput

Olkoon siis annettu säännöllinen nelikulmainen pyramidi SABCD, jossa S on huippu, ABCD:n kanta on neliö. Kaikki reunat ovat yhtä suuria kuin 1. On syötettävä koordinaattijärjestelmä ja löydettävä kaikkien pisteiden koordinaatit. Meillä on:

Otamme käyttöön koordinaattijärjestelmän, jonka origo on pisteessä A:

1. Akseli OX on suunnattu samansuuntaisesti reunan AB kanssa;
2. Axis OY - yhdensuuntainen AD : n kanssa . Koska ABCD on neliö, AB ⊥ AD ;
3. Lopuksi OZ-akseli on suunnattu ylöspäin, kohtisuorassa tasoon ABCD nähden.

Nyt tarkastelemme koordinaatteja. Lisärakenne: SH - korkeus vedetty alustaan. Mukavuuden vuoksi otamme pyramidin pohjan erillisessä kuvassa. Koska pisteet A , B , C ja D ovat OXY-tasossa, niiden koordinaatti on z = 0. Meillä on:

1. A = (0; 0; 0) - on sama kuin origo;
2. B = (1; 0; 0) - askel kerrallaan OX-akselia pitkin origosta;
3. C = (1; 1; 0) - askel kerrallaan OX-akselia pitkin ja 1 OY-akselia pitkin;
4. D = (0; 1; 0) - askel vain OY-akselia pitkin.
5. H \u003d (0,5; 0,5; 0) - neliön keskipiste, segmentin AC keskikohta.

On vielä löydettävä pisteen S koordinaatit. Huomaa, että pisteiden S ja H x- ja y-koordinaatit ovat samat, koska ne ovat OZ-akselin suuntaisella suoralla. On vielä löydettävä pisteen S z-koordinaatti.

Harkitse kolmioita ASH ja ABH:

1. AS = AB = 1 ehdon mukaan;
2. Kulma AHS = AHB = 90°, koska SH on neliön korkeus ja AH ⊥ HB lävistäjänä;
3. Sivu AH - yleinen.

Siksi suorakulmaiset kolmiot ASH ja ABH yhtä suuri yksi jalka ja yksi hypotenuusa. Joten SH = BH = 0,5 BD. Mutta BD on neliön lävistäjä, jonka sivu on 1. Siksi meillä on:

Pisteen S kokonaiskoordinaatit:

Lopuksi kirjoitamme muistiin säännöllisen suorakaiteen muotoisen pyramidin kaikkien kärkien koordinaatit:

Mitä tehdä, kun kylkiluut ovat erilaiset

Mutta entä jos pyramidin sivureunat eivät ole yhtä suuret kuin pohjan reunat? Harkitse tässä tapauksessa kolmiota AHS:

Kolmio AHS- suorakulmainen, ja hypotenuusa AS on myös alkuperäisen pyramidin SABCD sivureuna. Jalka AH on helppo ajatella: AH = 0,5 AC. Etsi jäljellä oleva jalka SH Pythagoraan lauseen mukaan. Tämä on pisteen S z-koordinaatti.

Tehtävä. Annettu säännöllinen nelikulmainen pyramidi SABCD , jonka pohjalla on neliö, jonka sivu on 1. Sivureuna BS = 3. Etsi pisteen S koordinaatit.

Tiedämme jo tämän pisteen x- ja y-koordinaatit: x = y = 0,5. Tämä seuraa kahdesta tosiasiasta:

1. Pisteen S projektio OXY-tasolle on piste H;
2. Samanaikaisesti piste H on neliön ABCD keskipiste, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret kuin 1.

On vielä löydettävä pisteen S koordinaatti. Harkitse kolmiota AHS. Se on suorakaiteen muotoinen, hypotenuusa AS = BS = 3, jalka AH on puolet lävistäjästä. Lisälaskelmia varten tarvitsemme sen pituuden:

Pythagoraan lause kolmiolle AHS : AH 2 + SH 2 = AS 2 . Meillä on:

Eli pisteen S koordinaatit.