Nastavljamo da proučavamo temu rješenje jednačina". Već smo se upoznali sa linearnim jednačinama, a sada ćemo se upoznati sa kvadratne jednačine.

Prvo ćemo razgovarati o tome šta je kvadratna jednadžba, kako se piše u opštem obliku i dati povezane definicije. Nakon toga, koristeći primjere, detaljno ćemo analizirati kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe. Zatim, prijeđimo na rješavanje kompletnih jednadžbi, dobijemo formulu za korijene, upoznamo se s diskriminantom kvadratne jednadžbe i razmotrimo rješenja tipičnih primjera. Na kraju, pratimo veze između korijena i koeficijenata.

Navigacija po stranici.

Šta je kvadratna jednačina? Njihove vrste

Prvo morate jasno razumjeti šta je kvadratna jednačina. Stoga je logično da se o kvadratnim jednačinama započne s definicijom kvadratne jednačine, kao i definicijama koje se s njom odnose. Nakon toga možete razmotriti glavne vrste kvadratnih jednadžbi: redukovane i nereducirane, kao i potpune i nepotpune jednadžbe.

Definicija i primjeri kvadratnih jednadžbi

Definicija.

Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika a x 2 +b x+c=0, gdje je x varijabla, a, b i c su neki brojevi, a a se razlikuje od nule.

Recimo odmah da se kvadratne jednačine često nazivaju jednačinama drugog stepena. To je zato što je kvadratna jednačina algebarska jednačina drugi stepen.

Zvučna definicija nam omogućava da damo primjere kvadratnih jednačina. Dakle, 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, itd. su kvadratne jednadžbe.

Definicija.

Brojevi a , b i c se nazivaju koeficijenti kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c \u003d 0, a koeficijent a naziva se prvi, ili stariji, ili koeficijent na x 2, b je drugi koeficijent ili koeficijent na x, a c je slobodni član.

Na primjer, uzmimo kvadratnu jednačinu oblika 5 x 2 −2 x−3=0, ovdje je vodeći koeficijent 5, drugi koeficijent je −2, a slobodni član je −3. Imajte na umu da kada su koeficijenti b i/ili c negativni, kao u upravo datom primjeru, koristi se kratki oblik kvadratne jednadžbe oblika 5 x 2 −2 x−3=0, a ne 5 x 2 +(− 2 )x+(−3)=0 .

Vrijedi napomenuti da kada su koeficijenti a i/ili b jednaki 1 ili −1, tada oni obično nisu eksplicitno prisutni u zapisu kvadratne jednadžbe, što je zbog posebnosti zapisa takvog . Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi y 2 −y+3=0, vodeći koeficijent je jedan, a koeficijent na y je −1.

Reducirane i nereducirane kvadratne jednadžbe

U zavisnosti od vrijednosti vodećeg koeficijenta razlikuju se redukovane i nereducirane kvadratne jednadžbe. Dajemo odgovarajuće definicije.

Definicija.

Poziva se kvadratna jednadžba u kojoj je vodeći koeficijent 1 redukovana kvadratna jednačina. Inače, kvadratna jednačina je nesmanjen.

Prema ovoj definiciji, kvadratne jednačine x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0, itd. - smanjen, u svakom od njih je prvi koeficijent jednak jedan. I 5 x 2 −x−1=0, itd. - nereducirane kvadratne jednadžbe čiji su vodeći koeficijenti različiti od 1.

Iz bilo koje nereducirane kvadratne jednadžbe, dijeljenjem oba njena dijela vodećim koeficijentom, možete prijeći na redukovanu. Ova akcija je ekvivalentna transformacija, odnosno ovako dobijena redukovana kvadratna jednadžba ima iste korijene kao i originalna nereducirana kvadratna jednadžba, ili, poput nje, nema korijena.

Uzmimo primjer kako se izvodi prijelaz iz nereducirane kvadratne jednadžbe u redukovanu.

Primjer.

Iz jednačine 3 x 2 +12 x−7=0 idite na odgovarajuću redukovanu kvadratnu jednačinu.

Rješenje.

Dovoljno je da izvršimo podjelu oba dijela izvorne jednadžbe sa vodećim koeficijentom 3, on je različit od nule, pa možemo izvršiti ovu radnju. Imamo (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, što je isto kao (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, i tako dalje (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , odakle . Tako smo dobili redukovanu kvadratnu jednačinu, koja je ekvivalentna originalnoj.

odgovor:

Potpune i nepotpune kvadratne jednadžbe

U definiciji kvadratne jednačine postoji uslov a≠0. Ovaj uslov je neophodan da bi jednačina a x 2 +b x+c=0 bila tačno kvadratna, pošto sa a=0 zapravo postaje linearna jednačina oblika b x+c=0 .

Što se tiče koeficijenata b i c, oni mogu biti jednaki nuli, kako odvojeno tako i zajedno. U ovim slučajevima, kvadratna jednačina se naziva nepotpuna.

Definicija.

Kvadratna jednačina a x 2 +b x+c=0 se zove nepotpuna, ako je barem jedan od koeficijenata b, c jednak nuli.

Zauzvrat

Definicija.

Potpuna kvadratna jednadžba je jednadžba u kojoj su svi koeficijenti različiti od nule.

Ova imena nisu data slučajno. To će postati jasno iz sljedeće rasprave.

Ako je koeficijent b jednak nuli, tada kvadratna jednačina ima oblik a x 2 +0 x+c=0 i ekvivalentna je jednačini a x 2 +c=0. Ako je c=0, odnosno kvadratna jednadžba ima oblik a x 2 +b x+0=0, onda se može prepisati kao a x 2 +b x=0. A sa b=0 i c=0 dobijamo kvadratnu jednačinu a·x 2 =0. Rezultirajuće jednačine se razlikuju od pune kvadratne jednadžbe po tome što njihove lijeve strane ne sadrže ni član s promjenljivom x, ni slobodni član, ili oboje. Otuda i njihov naziv - nepotpune kvadratne jednadžbe.

Dakle, jednačine x 2 +x+1=0 i −2 x 2 −5 x+0,2=0 su primjeri potpunih kvadratnih jednačina, a x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 su nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Iz informacija iz prethodnog stava proizilazi da postoji tri vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

• a x 2 =0, njemu odgovaraju koeficijenti b=0 i c=0;
• a x 2 +c=0 kada je b=0;
• i a x 2 +b x=0 kada je c=0 .

Analizirajmo kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe svakog od ovih tipova.

a x 2 \u003d 0

Počnimo rješavanjem nepotpunih kvadratnih jednadžbi u kojima su koeficijenti b i c jednaki nuli, odnosno sa jednadžbama oblika a x 2 =0. Jednačina a·x 2 =0 je ekvivalentna jednačini x 2 =0, koja se dobija iz originala dijeljenjem oba njena dijela brojem a koji nije nula. Očigledno je da je korijen jednadžbe x 2 = 0 nula, budući da je 0 2 = 0. Ova jednadžba nema druge korijene, što je objašnjeno, zaista, za bilo koji broj p različit od nule, postoji nejednakost p 2 >0, što implicira da za p≠0, jednakost p 2 =0 nikada nije postignuta.

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 = 0 ima jedan korijen x \u003d 0.

Kao primjer dajemo rješenje nepotpune kvadratne jednadžbe −4·x 2 =0. Ekvivalentna je jednadžbi x 2 = 0, njen jedini korijen je x = 0, stoga izvorna jednadžba ima jedan korijen nula.

Kratko rješenje u ovom slučaju može se izdati na sljedeći način:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Sada razmotrite kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe u kojima je koeficijent b jednak nuli, a c≠0, odnosno jednadžbe oblika a x 2 +c=0. Znamo da prenošenje člana s jedne strane jednačine na drugu sa suprotnim predznakom, kao i podjela obje strane jednačine brojem različitom od nule, daju ekvivalentnu jednačinu. Stoga se mogu izvesti sljedeće ekvivalentne transformacije nepotpune kvadratne jednadžbe a x 2 +c=0:

• pomjeriti c na desnu stranu, što daje jednačinu a x 2 =−c,
• i podijeliti oba njegova dijela po a , dobivamo .

Rezultirajuća jednačina nam omogućava da izvučemo zaključke o njenim korijenima. Ovisno o vrijednostima a i c, vrijednost izraza može biti negativna (na primjer, ako je a=1 i c=2, onda ) ili pozitivna, (na primjer, ako je a=−2 i c=6 , tada ), nije jednako nuli , jer po uslovu c≠0 . Zasebno ćemo analizirati slučajeve i .

Ako , tada jednadžba nema korijena. Ova izjava slijedi iz činjenice da je kvadrat bilo kojeg broja nenegativan broj. Iz ovoga slijedi da kada , Tada za bilo koji broj p jednakost ne može biti istinita.

Ako je , onda je situacija s korijenima jednadžbe drugačija. U ovom slučaju, ako se prisjetimo, tada korijen jednadžbe odmah postaje očigledan, to je broj, pošto. Lako je pogoditi da je broj također korijen jednadžbe , zaista, . Ova jednadžba nema druge korijene, što se može prikazati, na primjer, kontradikcijom. Hajde da to uradimo.

Označimo upravo naglašene korijene jednačine kao x 1 i −x 1 . Pretpostavimo da jednačina ima još jedan korijen x 2 različit od navedenih korijena x 1 i −x 1 . Poznato je da zamjena u jednadžbu umjesto x njenih korijena pretvara jednačinu u pravu numeričku jednakost. Za x 1 i −x 1 imamo , a za x 2 imamo . Svojstva numeričkih jednakosti nam omogućavaju da izvodimo pojam po članu oduzimanje pravih numeričkih jednakosti, tako da oduzimanjem odgovarajućih dijelova jednakosti dobijemo x 1 2 − x 2 2 =0. Svojstva operacija sa brojevima nam omogućavaju da prepišemo rezultujuću jednakost kao (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Znamo da je proizvod dva broja jednak nuli ako i samo ako je barem jedan od njih jednak nuli. Dakle, iz dobijene jednakosti slijedi da je x 1 −x 2 =0 i/ili x 1 +x 2 =0 , što je isto, x 2 =x 1 i/ili x 2 = −x 1 . Tako smo došli do kontradikcije, pošto smo na početku rekli da je korijen jednačine x 2 različit od x 1 i −x 1 . Ovo dokazuje da jednadžba nema druge korijene osim i .

Hajde da sumiramo informacije u ovom paragrafu. Nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 +c=0 je ekvivalentna jednadžbi , koja

• nema korijena ako ,
• ima dva korijena i ako .

Razmotrimo primjere rješavanja nepotpunih kvadratnih jednadžbi oblika a·x 2 +c=0 .

Počnimo s kvadratnom jednačinom 9 x 2 +7=0. Nakon prenošenja slobodnog člana na desnu stranu jednačine, on će poprimiti oblik 9·x 2 =−7. Dijelimo obje strane rezultirajuće jednačine sa 9 , dolazimo do . S obzirom da se na desnoj strani dobija negativan broj, ova jednadžba nema korijena, stoga originalna nepotpuna kvadratna jednadžba 9 x 2 +7=0 nema korijena.

Riješimo još jednu nepotpunu kvadratnu jednačinu −x 2 +9=0. Prenosimo devet na desnu stranu: -x 2 = -9. Sada podijelimo oba dijela sa −1, dobićemo x 2 =9. Desna strana sadrži pozitivan broj, iz čega zaključujemo da je ili . Nakon što zapišemo konačni odgovor: nepotpuna kvadratna jednačina −x 2 +9=0 ima dva korijena x=3 ili x=−3.

a x 2 +b x=0

Ostaje da se pozabavimo rješenjem posljednje vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi za c=0 . Nepotpune kvadratne jednadžbe oblika a x 2 +b x=0 vam omogućavaju da riješite metoda faktorizacije. Očigledno možemo, smješteni na lijevoj strani jednačine, za što je dovoljno uzeti zajednički faktor x iz zagrada. Ovo nam omogućava da pređemo sa originalne nepotpune kvadratne jednačine na ekvivalentnu jednačinu oblika x·(a·x+b)=0. A ova jednačina je ekvivalentna skupu dvije jednačine x=0 i a x+b=0, od kojih je posljednja linearna i ima korijen x=−b/a.

Dakle, nepotpuna kvadratna jednačina a x 2 +b x=0 ima dva korijena x=0 i x=−b/a.

Da bismo konsolidirali materijal, analizirat ćemo rješenje konkretnog primjera.

Primjer.

Riješite jednačinu.

Rješenje.

Izvlačimo x iz zagrada, ovo daje jednačinu. To je ekvivalentno dvjema jednadžbama x=0 i . Rješavamo rezultirajuću linearnu jednačinu: , i nakon dijeljenja mješovitog broja običnim razlomkom, nalazimo . Stoga su korijeni originalne jednadžbe x=0 i .

Nakon što ste dobili potrebnu praksu, rješenja ovakvih jednačina mogu se ukratko napisati:

odgovor:

x=0 , .

Diskriminant, formula korijena kvadratne jednadžbe

Za rješavanje kvadratnih jednadžbi postoji formula korijena. Hajde da zapišemo formula korijena kvadratne jednadžbe: , gdje D=b 2 −4 a c- takozvani diskriminanta kvadratne jednačine. Notacija u suštini znači da .

Korisno je znati kako je dobijena formula korijena i kako se primjenjuje u pronalaženju korijena kvadratnih jednadžbi. Hajde da se pozabavimo ovim.

Izvođenje formule korijena kvadratne jednadžbe

Trebamo riješiti kvadratnu jednačinu a·x 2 +b·x+c=0 . Izvršimo neke ekvivalentne transformacije:

• Možemo podijeliti oba dijela ove jednadžbe brojem različitom od nule a, kao rezultat dobijamo redukovanu kvadratnu jednačinu.
• Sad odaberite cijeli kvadrat na njegovoj lijevoj strani: . Nakon toga, jednačina će poprimiti oblik.
• U ovoj fazi moguće je izvršiti prijenos posljednja dva člana na desnu stranu sa suprotnim predznakom, imamo .
• I transformirajmo izraz na desnoj strani: .

Kao rezultat, dolazimo do jednačine , koja je ekvivalentna originalnoj kvadratnoj jednačini a·x 2 +b·x+c=0 .

Jednadžbe slične forme već smo rješavali u prethodnim paragrafima kada smo analizirali . To nam omogućava da izvučemo sljedeće zaključke u vezi s korijenima jednadžbe:

• ako je , tada jednačina nema realnih rješenja;
• ako , tada jednadžba ima oblik , dakle, , iz kojeg je vidljiv njen jedini korijen;
• ako , onda ili , što je isto kao ili , To jest, jednadžba ima dva korijena.

Dakle, prisustvo ili odsustvo korijena jednadžbe, a time i originalne kvadratne jednadžbe, ovisi o predznaku izraza na desnoj strani. Zauzvrat, predznak ovog izraza je određen predznakom brojilaca, pošto je imenilac 4 a 2 uvijek pozitivan, odnosno predznak izraza b 2 −4 a c . Ovaj izraz b 2 −4 a c se zove diskriminanta kvadratne jednačine i označeno slovom D. Odavde je suština diskriminanta jasna - po njegovoj vrijednosti i predznaku se zaključuje da li kvadratna jednačina ima realne korijene, i ako ima, koji je njihov broj - jedan ili dva.

Vraćamo se na jednadžbu , prepisujemo je koristeći notaciju diskriminanta: . I zaključujemo:

• ako D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• ako je D=0, onda ova jednadžba ima jedan korijen;
• konačno, ako je D>0, tada jednadžba ima dva korijena ili , koji se može prepisati u obliku ili , a nakon proširenja i svođenja razlomaka na zajednički nazivnik, dobivamo .

Tako smo izveli formule za korijene kvadratne jednadžbe, izgledaju kao , gdje se diskriminanta D izračunava po formuli D=b 2 −4 a c .

Uz njihovu pomoć, uz pozitivan diskriminant, možete izračunati oba realna korijena kvadratne jednadžbe. Kada je diskriminanta jednaka nuli, obje formule daju istu vrijednost korijena koja odgovara jedinom rješenju kvadratne jednadžbe. A kod negativnog diskriminanta, kada pokušavamo da koristimo formulu za korijene kvadratne jednadžbe, suočavamo se s izvlačenjem kvadratnog korijena iz negativnog broja, što nas vodi izvan okvira školskog programa. Sa negativnim diskriminantom, kvadratna jednadžba nema pravi korijen, ali ima par kompleksni konjugat korijene, koji se mogu naći korištenjem istih korijenskih formula koje smo dobili.

Algoritam za rješavanje kvadratnih jednadžbi korištenjem korijenskih formula

U praksi, prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe, možete odmah koristiti formulu korijena, pomoću koje možete izračunati njihove vrijednosti. Ali ovo je više o pronalaženju složenih korijena.

Međutim, u školskom kursu algebre obično ne govorimo o kompleksnim, već o realnim korijenima kvadratne jednadžbe. U ovom slučaju, preporučljivo je prvo pronaći diskriminanta prije korištenja formula za korijene kvadratne jednadžbe, uvjeriti se da nije negativan (inače možemo zaključiti da jednačina nema realnih korijena), a nakon toga izračunaj vrijednosti korijena.

Gornje rezonovanje nam omogućava da pišemo algoritam za rješavanje kvadratne jednadžbe. Da biste riješili kvadratnu jednadžbu a x 2 + b x + c = 0, trebate:

• koristeći diskriminantnu formulu D=b 2 −4 a c izračunati njegovu vrijednost;
• zaključiti da kvadratna jednadžba nema pravi korijen ako je diskriminanta negativna;
• izračunajte jedini korijen jednadžbe koristeći formulu ako je D=0 ;
• pronađite dva realna korijena kvadratne jednadžbe koristeći formulu korijena ako je diskriminanta pozitivna.

Ovdje samo napominjemo da ako je diskriminant jednak nuli, formula se također može koristiti, ona će dati istu vrijednost kao .

Možete prijeći na primjere primjene algoritma za rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Primjeri rješavanja kvadratnih jednačina

Razmotrimo rješenja tri kvadratne jednadžbe sa pozitivnim, negativnim i nultim diskriminantom. Nakon što se pozabavimo njihovim rješenjem, po analogiji će biti moguće riješiti bilo koju drugu kvadratnu jednačinu. Počnimo.

Primjer.

Naći korijene jednačine x 2 +2 x−6=0 .

Rješenje.

U ovom slučaju imamo sljedeće koeficijente kvadratne jednačine: a=1, b=2 i c=−6. Prema algoritmu, prvo morate izračunati diskriminanta, za to zamjenjujemo naznačene a, b i c u diskriminantnu formulu, imamo D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Pošto je 28>0, odnosno diskriminanta veća od nule, kvadratna jednadžba ima dva realna korijena. Nađimo ih po formuli korijena , dobivamo , ovdje možemo pojednostaviti izraze dobivene tako što ćemo rastavljajući predznak korijena nakon čega slijedi smanjenje frakcije:

odgovor:

Prijeđimo na sljedeći tipičan primjer.

Primjer.

Riješite kvadratnu jednačinu −4 x 2 +28 x−49=0 .

Rješenje.

Počinjemo od pronalaženja diskriminanta: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Dakle, ova kvadratna jednadžba ima jedan korijen, koji nalazimo kao , tj.

odgovor:

x=3,5 .

Ostaje da razmotrimo rješenje kvadratnih jednadžbi s negativnim diskriminantom.

Primjer.

Riješite jednačinu 5 y 2 +6 y+2=0 .

Rješenje.

Evo koeficijenata kvadratne jednačine: a=5, b=6 i c=2. Zamjenom ovih vrijednosti u diskriminantnu formulu, imamo D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Diskriminant je negativan, stoga ova kvadratna jednadžba nema realne korijene.

Ako trebate specificirati kompleksne korijene, tada koristimo dobro poznatu formulu za korijene kvadratne jednadžbe i izvodimo operacije sa kompleksnim brojevima:

odgovor:

nema pravih korena, kompleksni koreni su: .

Još jednom napominjemo da ako je diskriminanta kvadratne jednadžbe negativna, onda škola obično odmah zapiše odgovor, u kojem ukazuju da nema pravih korijena, i da ne nalaze kompleksne korijene.

Formula korijena za parne druge koeficijente

Formula za korijene kvadratne jednadžbe, gdje D=b 2 −4 ac vam omogućava da dobijete kompaktniju formulu koja vam omogućava da rješavate kvadratne jednadžbe s parnim koeficijentom na x (ili jednostavno s koeficijentom koji izgleda kao 2 n , na primjer, ili 14 ln5=2 7 ln5 ). Hajde da je izvedemo.

Recimo da trebamo riješiti kvadratnu jednačinu oblika a x 2 +2 n x + c=0 . Pronađimo njegove korijene koristeći nam poznatu formulu. Da bismo to učinili, izračunavamo diskriminanta D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), a zatim koristimo formulu korijena:

Označimo izraz n 2 −a c kao D 1 (ponekad se označava kao D"). Tada formula za korijene razmatrane kvadratne jednadžbe sa drugim koeficijentom 2 n poprima oblik , gdje je D 1 =n 2 −a c .

Lako je vidjeti da je D=4·D 1 , ili D 1 =D/4 . Drugim riječima, D 1 je četvrti dio diskriminanta. Jasno je da je predznak D 1 isti kao i znak D . Odnosno, znak D 1 je takođe indikator prisustva ili odsustva korena kvadratne jednačine.

Dakle, da biste riješili kvadratnu jednačinu sa drugim koeficijentom 2 n, trebate

• Izračunajte D 1 =n 2 −a·c ;
• Ako je D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Ako je D 1 =0, onda izračunajte jedini korijen jednadžbe koristeći formulu;
• Ako je D 1 >0, pronađite dva realna korijena koristeći formulu.

Razmotrimo rješenje primjera koristeći formulu korijena dobivenu u ovom paragrafu.

Primjer.

Riješite kvadratnu jednačinu 5 x 2 −6 x−32=0 .

Rješenje.

Drugi koeficijent ove jednačine može se predstaviti kao 2·(−3) . To jest, možete prepisati originalnu kvadratnu jednačinu u obliku 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , ovdje a=5 , n=−3 i c=−32 , i izračunati četvrti dio diskriminatorno: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Pošto je njena vrijednost pozitivna, jednačina ima dva realna korijena. Pronalazimo ih pomoću odgovarajuće formule korijena:

Imajte na umu da je bilo moguće koristiti uobičajenu formulu za korijene kvadratne jednadžbe, ali u ovom slučaju bi se moralo obaviti više računskog rada.

odgovor:

Pojednostavljenje oblika kvadratnih jednadžbi

Ponekad, prije nego što se upustimo u izračunavanje korijena kvadratne jednadžbe pomoću formula, ne škodi postaviti pitanje: „Da li je moguće pojednostaviti oblik ove jednadžbe“? Slažemo se da će u smislu proračuna biti lakše riješiti kvadratnu jednačinu 11 x 2 −4 x −6=0 nego 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Obično se pojednostavljenje oblika kvadratne jednačine postiže množenjem ili dijeljenjem obje strane s nekim brojem. Na primjer, u prethodnom pasusu uspjeli smo postići pojednostavljenje jednačine 1100 x 2 −400 x −600=0 dijeljenjem obje strane sa 100 .

Slična transformacija se provodi s kvadratnim jednadžbama čiji koeficijenti nisu . U ovom slučaju, oba dijela jednadžbe se obično dijele apsolutnim vrijednostima njenih koeficijenata. Na primjer, uzmimo kvadratnu jednačinu 12 x 2 −42 x+48=0. apsolutne vrijednosti njegovih koeficijenata: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Podijeleći oba dijela originalne kvadratne jednačine sa 6, dolazimo do ekvivalentne kvadratne jednačine 2 x 2 −7 x+8=0.

A množenje oba dijela kvadratne jednadžbe obično se radi kako bi se riješili razlomaka koeficijenata. U ovom slučaju, množenje se vrši na nazivnicima njegovih koeficijenata. Na primjer, ako se oba dijela kvadratne jednadžbe pomnože sa LCM(6, 3, 1)=6, tada će poprimiti jednostavniji oblik x 2 +4 x−18=0.

U zaključku ovog paragrafa napominjemo da se skoro uvijek riješite minusa na vodećem koeficijentu kvadratne jednačine promjenom predznaka svih članova, što odgovara množenju (ili dijeljenju) oba dijela sa −1. Na primjer, obično iz kvadratne jednačine −2·x 2 −3·x+7=0 idemo na rješenje 2·x 2 +3·x−7=0 .

Odnos između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe

Formula za korijene kvadratne jednadžbe izražava korijene jednadžbe u smislu njenih koeficijenata. Na osnovu formule korijena, možete dobiti druge odnose između korijena i koeficijenata.

Najpoznatije i primjenjive formule iz Vietine teoreme su oblika i . Konkretno, za datu kvadratnu jednačinu, zbir korijena jednak je drugom koeficijentu suprotnog predznaka, a proizvod korijena je slobodni član. Na primjer, oblikom kvadratne jednadžbe 3 x 2 −7 x+22=0, možemo odmah reći da je zbir njenih korijena 7/3, a proizvod korijena 22/3.

Koristeći već napisane formule, možete dobiti niz drugih odnosa između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe. Na primjer, možete izraziti zbir kvadrata korijena kvadratne jednadžbe u smislu njenih koeficijenata: .

Bibliografija.

• algebra: udžbenik za 8 ćelija. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M. : Education, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8. razred. U 14 sati Prvi dio. Udžbenik za studente obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich. - 11. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.

U modernom društvu, sposobnost rada na jednačinama koje sadrže kvadratnu varijablu može biti korisna u mnogim poljima aktivnosti i široko se koristi u praksi u naučnom i tehničkom razvoju. To se može dokazati dizajnom morskih i riječnih plovila, aviona i projektila. Uz pomoć takvih proračuna određuju se putanje kretanja različitih tijela, uključujući svemirske objekte. Primjeri sa rješenjem kvadratnih jednadžbi koriste se ne samo u ekonomskom predviđanju, pri projektovanju i izgradnji zgrada, već iu najobičnijim svakodnevnim okolnostima. Mogu biti potrebni na kampiranju, na sportskim događajima, u trgovinama prilikom kupovine iu drugim vrlo čestim situacijama.

Podijelimo izraz na faktore komponenti

Stepen jednačine je određen maksimalnom vrijednošću stepena varijable koju dati izraz sadrži. Ako je jednako 2, onda se takva jednadžba naziva kvadratna jednačina.

Ako govorimo jezikom formula, onda se ovi izrazi, ma kako izgledali, uvijek mogu dovesti do oblika kada se lijeva strana izraza sastoji od tri pojma. Među njima: ax 2 (tj. varijabla na kvadrat sa svojim koeficijentom), bx (nepoznata bez kvadrata sa svojim koeficijentom) i c (slobodna komponenta, odnosno običan broj). Sve je to na desnoj strani jednako 0. U slučaju kada takav polinom nema jedan od svojih sastavnih članova, sa izuzetkom ose 2, naziva se nepotpuna kvadratna jednačina. Prvo treba razmotriti primjere sa rješenjem ovakvih problema, u kojima nije teško pronaći vrijednost varijabli.

Ako izraz izgleda kao da ima dva člana na desnoj strani izraza, tačnije ax 2 i bx, najlakše je pronaći x stavljanjem varijable u zagrade. Sada će naša jednadžba izgledati ovako: x(ax+b). Nadalje, postaje očigledno da je ili x=0, ili se problem svodi na pronalaženje varijable iz sljedećeg izraza: ax+b=0. Ovo diktira jedno od svojstava množenja. Pravilo kaže da proizvod dva faktora rezultira 0 samo ako je jedan od njih nula.

Primjer

x=0 ili 8x - 3 = 0

Kao rezultat, dobijamo dva korijena jednadžbe: 0 i 0,375.

Jednačine ove vrste mogu opisati kretanje tijela pod djelovanjem gravitacije, koja su se počela kretati iz određene tačke, uzete kao ishodište. Ovdje matematička notacija ima sljedeći oblik: y = v 0 t + gt 2 /2. Zamjenom potrebnih vrijednosti, izjednačavanjem desne strane sa 0 i pronalaženjem mogućih nepoznanica, možete saznati vrijeme koje je proteklo od trenutka kada se tijelo diže do trenutka kada pada, kao i mnoge druge veličine. Ali o tome ćemo kasnije.

Faktoriranje izraza

Gore opisano pravilo omogućava rješavanje ovih problema u složenijim slučajevima. Razmotrimo primjere sa rješenjem kvadratnih jednadžbi ovog tipa.

X2 - 33x + 200 = 0

Ovaj kvadratni trinom je potpun. Prvo, transformišemo izraz i dekomponujemo ga na faktore. Ima ih dva: (x-8) i (x-25) = 0. Kao rezultat, imamo dva korijena 8 i 25.

Primjeri sa rješenjem kvadratnih jednadžbi u razredu 9 omogućavaju ovoj metodi da pronađe varijablu u izrazima ne samo drugog, već čak i trećeg i četvrtog reda.

Na primjer: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Kada se desna strana rastavlja na faktore s promjenljivom, postoje tri od njih, odnosno (x + 1), (x-3) i (x + 3).

Kao rezultat, postaje očigledno da ova jednadžba ima tri korijena: -3; -jedan; 3.

Izdvajanje kvadratnog korijena

Drugi slučaj nepotpune jednačine drugog reda je izraz napisan jezikom slova na način da se desna strana gradi od komponenti ax 2 i c. Ovdje, da bi se dobila vrijednost varijable, slobodni član se prenosi na desnu stranu, a nakon toga se iz obje strane jednakosti izdvaja kvadratni korijen. Treba napomenuti da u ovom slučaju obično postoje dva korijena jednačine. Jedini izuzetak su jednakosti koje uopće ne sadrže pojam c, gdje je varijabla jednaka nuli, kao i varijante izraza kada se desna strana pokaže kao negativna. U potonjem slučaju uopće nema rješenja, jer se gore navedene radnje ne mogu izvesti s korijenima. Treba razmotriti primjere rješenja kvadratnih jednačina ovog tipa.

U ovom slučaju, korijeni jednadžbe će biti brojevi -4 i 4.

Obračun površine zemljišta

Potreba za ovakvim proračunima pojavila se još u antičko doba, jer je razvoj matematike u tim dalekim vremenima u velikoj mjeri bio rezultat potrebe da se s najvećom preciznošću odrede površine i perimetri zemljišnih parcela.

Treba razmotriti i primjere sa rješenjem kvadratnih jednadžbi sastavljenih na osnovu problema ove vrste.

Dakle, recimo da postoji pravougaoni komad zemlje čija je dužina 16 metara veća od širine. Trebali biste pronaći dužinu, širinu i obim lokacije, ako se zna da je njegova površina 612 m 2.

Prelazeći na posao, prvo ćemo napraviti potrebnu jednačinu. Označimo širinu presjeka sa x, tada će njegova dužina biti (x + 16). Iz napisanog proizilazi da je površina određena izrazom x (x + 16), koji je, prema uslovu našeg zadatka, 612. To znači da je x (x + 16) = 612.

Rješenje kompletnih kvadratnih jednadžbi, a ovaj izraz je upravo to, ne može se uraditi na isti način. Zašto? Iako njegova lijeva strana još uvijek sadrži dva faktora, njihov proizvod uopće nije jednak 0, pa se ovdje koriste druge metode.

Diskriminantno

Prije svega, izvršit ćemo potrebne transformacije, a onda će izgled ovog izraza izgledati ovako: x 2 + 16x - 612 = 0. To znači da smo dobili izraz u obliku koji odgovara prethodno navedenom standardu, gdje a=1, b=16, c= -612.

Ovo može biti primjer rješavanja kvadratnih jednadžbi preko diskriminanta. Ovdje se vrše potrebni proračuni prema šemi: D = b 2 - 4ac. Ova pomoćna vrijednost ne samo da omogućava pronalaženje željenih vrijednosti u jednadžbi drugog reda, već određuje i broj mogućih opcija. U slučaju D>0, postoje dva; za D=0 postoji jedan korijen. U slučaju D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

O korijenima i njihovoj formuli

U našem slučaju, diskriminant je: 256 - 4(-612) = 2704. Ovo ukazuje da naš problem ima odgovor. Ako znate, do, rješavanje kvadratnih jednadžbi mora se nastaviti pomoću formule u nastavku. Omogućava vam izračunavanje korijena.

To znači da je u prikazanom slučaju: x 1 =18, x 2 =-34. Druga opcija u ovoj dilemi ne može biti rešenje, jer se veličina parcele ne može meriti negativnim vrednostima, što znači da je x (odnosno širina parcele) 18 m. Odavde izračunavamo dužinu: 18+16=34, a obod 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Primjeri i zadaci

Nastavljamo proučavanje kvadratnih jednadžbi. Primjeri i detaljna rješenja nekoliko njih bit će dati u nastavku.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Prebacimo sve na lijevu stranu jednakosti, izvršimo transformaciju, odnosno dobijemo oblik jednačine, koji se obično naziva standardnim, i izjednačimo ga sa nulom.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Dodavanjem sličnih, određujemo diskriminanta: D = 49 - 48 = 1. Dakle, naša jednadžba će imati dva korijena. Računamo ih prema gornjoj formuli, što znači da će prvi od njih biti jednak 4/3, a drugi 1.

2) Sada ćemo otkriti zagonetke druge vrste.

Hajde da saznamo da li ovde uopšte postoje koreni x 2 - 4x + 5 = 1? Da bismo dobili iscrpan odgovor, dovodimo polinom u odgovarajući poznati oblik i izračunavamo diskriminanta. U ovom primjeru nije potrebno rješavati kvadratnu jednačinu, jer suština problema uopće nije u tome. U ovom slučaju, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, što znači da zaista nema korijena.

Vietin teorem

Kvadratne jednadžbe je prikladno rješavati preko gornjih formula i diskriminanta, kada se kvadratni korijen izvuče iz vrijednosti potonjeg. Ali to se ne dešava uvijek. Međutim, u ovom slučaju postoji mnogo načina da se dobiju vrijednosti varijabli. Primjer: rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću Vietine teoreme. Ime je dobio po čovjeku koji je živio u Francuskoj u 16. vijeku i imao briljantnu karijeru zahvaljujući svom matematičkom talentu i vezama na dvoru. Njegov portret se može vidjeti u članku.

Obrazac koji je slavni Francuz uočio bio je sljedeći. On je dokazao da je zbir korijena jednadžbe jednak -p=b/a, a njihov proizvod odgovara q=c/a.

Pogledajmo sada konkretne zadatke.

3x2 + 21x - 54 = 0

Radi jednostavnosti, transformirajmo izraz:

x 2 + 7x - 18 = 0

Koristeći Vietinu teoremu, ovo će nam dati sljedeće: zbir korijena je -7, a njihov proizvod je -18. Odavde dobijamo da su korijeni jednadžbe brojevi -9 i 2. Nakon provjere, uvjerit ćemo se da se ove vrijednosti varijabli zaista uklapaju u izraz.

Grafikon i jednadžba parabole

Koncepti kvadratne funkcije i kvadratne jednadžbe su usko povezani. Primjeri za to su već navedeni ranije. Pogledajmo sada neke matematičke zagonetke malo detaljnije. Bilo koja jednačina opisanog tipa može se vizualno prikazati. Takva zavisnost, nacrtana u obliku grafa, naziva se parabola. Njegove različite vrste prikazane su na donjoj slici.

Svaka parabola ima vrh, odnosno tačku iz koje izlaze njene grane. Ako je a>0, oni idu visoko do beskonačnosti, a kada je a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizuelni prikazi funkcija pomažu u rješavanju svih jednadžbi, uključujući i one kvadratne. Ova metoda se naziva grafička. A vrijednost varijable x je koordinata apscise u tačkama gdje se linija grafikona seče sa 0x. Koordinate vrha se mogu naći po formuli koja je upravo data x 0 = -b / 2a. I, zamjenom rezultirajuće vrijednosti u originalnu jednadžbu funkcije, možete saznati y 0, odnosno drugu koordinatu vrha parabole koji pripada y-osi.

Presjek grana parabole sa osom apscise

Postoji mnogo primjera sa rješenjem kvadratnih jednadžbi, ali postoje i opći obrasci. Hajde da ih razmotrimo. Jasno je da je presjek grafa sa 0x osom za a>0 moguć samo ako y 0 ima negativne vrijednosti. I za a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Inače D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Iz grafa parabole možete odrediti i korijene. I obrnuto je tačno. To jest, ako nije lako dobiti vizualni prikaz kvadratne funkcije, možete izjednačiti desnu stranu izraza sa 0 i riješiti rezultirajuću jednadžbu. A znajući tačke preseka sa 0x osom, lakše je crtati.

Iz istorije

Uz pomoć jednadžbi koje sadrže kvadratnu varijablu, u starim danima, nisu samo vršili matematičke proračune i određivali površinu geometrijskih oblika. Drevnima su takvi proračuni bili potrebni za grandiozna otkrića u oblasti fizike i astronomije, kao i za pravljenje astroloških prognoza.

Kao što sugerišu savremeni naučnici, stanovnici Babilona bili su među prvima koji su rešili kvadratne jednačine. Desilo se to četiri veka pre dolaska naše ere. Naravno, njihovi proračuni su se suštinski razlikovali od onih koji su trenutno prihvaćeni i pokazali su se mnogo primitivnijim. Na primjer, mezopotamski matematičari nisu imali pojma o postojanju negativnih brojeva. Takođe nisu bili upoznati sa drugim suptilnostima koje su poznate bilo kom studentu našeg vremena.

Možda čak i ranije od babilonskih naučnika, mudrac iz Indije, Baudhajama, preuzeo je rješenje kvadratnih jednačina. To se dogodilo oko osam vekova pre dolaska Hristove ere. Istina, jednačine drugog reda, metode za rješavanje koje je on dao, bile su najjednostavnije. Pored njega, za slična pitanja u stara vremena su se zanimali i kineski matematičari. U Evropi su kvadratne jednačine počele da se rešavaju tek početkom 13. veka, ali su ih kasnije u svom radu koristili veliki naučnici kao što su Newton, Descartes i mnogi drugi.

Nakon što ste dobili opću ideju o jednakostima i upoznali se s jednom od njihovih vrsta - numeričkim jednakostima, možete početi govoriti o drugom obliku jednakosti koji je vrlo važan s praktične točke gledišta - o jednadžbama. U ovom članku ćemo analizirati šta je jednačina, i ono što se naziva korijenom jednačine. Ovdje dajemo odgovarajuće definicije, a također dajemo različite primjere jednadžbi i njihovih korijena.

Navigacija po stranici.

Šta je jednačina?

Namjerno upoznavanje s jednačinama obično počinje na časovima matematike u 2. razredu. U ovom trenutku sljedeće definicija jednačine:

Definicija.

Jednačina je jednakost koja sadrži nepoznati broj koji se može pronaći.

Nepoznati brojevi u jednadžbama obično se označavaju malim latiničnim slovima, na primjer, p, t, u, itd., ali se najčešće koriste slova x, y i z.

Dakle, jednačina je određena sa stanovišta oblika zapisa. Drugim riječima, jednakost je jednačina kada poštuje navedena pravila notacije - sadrži slovo čiju vrijednost treba pronaći.

Navedimo primjere prvih i najjednostavnijih jednadžbi. Počnimo sa jednadžbama kao što su x=8, y=3, itd. Jednačine koje sadrže znakove aritmetičkih operacija zajedno sa brojevima i slovima izgledaju malo komplikovanije, na primjer, x+2=3, z−2=5, 3 t=9, 8:x=2.

Raznolikost jednačina raste nakon upoznavanja - počinju da se pojavljuju jednačine sa zagradama, na primjer, 2 (x−1)=18 i x+3 (x+2 (x−2))=3 . Nepoznato slovo se može pojaviti više puta u jednačini, na primjer, x+3+3 x−2−x=9, a slova mogu biti na lijevoj strani jednačine, na desnoj strani ili na obje strane jednačine , na primjer, x (3+1)−4=8 , 7−3=z+1 ili 3 x−4=2 (x+12) .

Dalje, nakon proučavanja prirodnih brojeva, dolazi do upoznavanja sa cijelim, racionalnim, realnim brojevima, proučavaju se novi matematički objekti: stupnjevi, korijeni, logaritmi itd., dok se pojavljuje sve više novih vrsta jednačina koje sadrže ove stvari. Primjere možete pronaći u članku. glavne vrste jednačina studirao u školi.

U 7. razredu, uz slova, koja označavaju neke specifične brojeve, počinju razmatrati slova koja mogu poprimiti različite vrijednosti, zovu se varijable (vidi članak). U ovom slučaju, riječ "varijabla" se uvodi u definiciju jednačine i ona postaje ovako:

Definicija.

Jednačina imenovati jednakost koja sadrži varijablu čija vrijednost treba pronaći.

Na primjer, jednačina x+3=6 x+7 je jednačina sa varijablom x, a 3 z−1+z=0 je jednačina sa varijablom z.

Na časovima algebre u istom 7. razredu dolazi do susreta sa jednačinama koje u svom zapisu sadrže ne jednu, već dvije različite nepoznate varijable. Zovu se jednadžbe s dvije varijable. U budućnosti je dozvoljeno prisustvo tri ili više varijabli u zapisu jednačine.

Definicija.

Jednačine sa jedan, dva, tri, itd. varijable- to su jednačine koje sadrže jednu, dvije, tri, ... nepoznate varijable u svom zapisu, redom.

Na primjer, jednačina 3.2 x+0.5=1 je jednačina sa jednom promjenljivom x, zauzvrat, jednačina oblika x−y=3 je jednačina sa dvije varijable x i y. I još jedan primjer: x 2 +(y−1) 2 +(z+0.5) 2 =27 . Jasno je da je takva jednačina jednačina sa tri nepoznate varijable x, y i z.

Šta je korijen jednačine?

Definicija korijena jednadžbe je direktno povezana sa definicijom jednačine. Provešćemo neko rezonovanje koje će nam pomoći da razumemo šta je koren jednačine.

Pretpostavimo da imamo jednačinu sa jednim slovom (varijabilnom). Ako se umjesto slova uključenog u zapis ove jednadžbe zamijeni određeni broj, tada će se jednačina pretvoriti u numeričku jednakost. Štaviše, rezultirajuća jednakost može biti i istinita i netačna. Na primjer, ako umjesto slova a u jednadžbi a+1=5 zamijenimo broj 2, onda ćemo dobiti netačnu brojčanu jednakost 2+1=5. Ako u ovoj jednačini zamijenimo broj 4 umjesto a, onda ćemo dobiti tačnu jednakost 4+1=5.

U praksi, u velikoj većini slučajeva, od interesa su takve vrijednosti varijable, čija zamjena u jednadžbu daje ispravnu jednakost, te vrijednosti se nazivaju korijenima ili rješenjima ove jednadžbe.

Definicija.

Korijen jednadžbe- ovo je vrijednost slova (varijable), prilikom zamjene koja se jednačina pretvara u tačnu brojčanu jednakost.

Imajte na umu da se korijen jednadžbe s jednom promjenljivom naziva i rješenjem jednačine. Drugim riječima, rješenje jednačine i korijen jednačine su ista stvar.

Objasnimo ovu definiciju na primjeru. Da bismo to učinili, vraćamo se na gore napisanu jednačinu a+1=5. Prema izgovorenoj definiciji korijena jednačine, broj 4 je korijen ove jednačine, jer zamjenom ovog broja umjesto slova a dobijamo tačnu jednakost 4+1=5, a broj 2 nije njegov korijen, jer odgovara netačnoj jednakosti oblika 2+1= 5 .

U ovom trenutku postavljaju se brojna prirodna pitanja: “Da li bilo koja jednačina ima korijen i koliko korijena ima data jednačina”? Mi ćemo im odgovoriti.

Postoje i jednadžbe sa korijenima i jednačine bez korijena. Na primjer, jednadžba x+1=5 ima korijen 4, a jednačina 0 x=5 nema korijena, jer bez obzira koji broj ubacimo u ovu jednačinu umjesto varijable x, dobićemo pogrešnu jednakost 0= 5.

Što se tiče broja korijena jednadžbe, postoje i jednadžbe koje imaju konačan broj korijena (jedan, dva, tri, itd.) i jednačine koje imaju beskonačno mnogo korijena. Na primjer, jednačina x−2=4 ima jedan korijen 6 , korijeni jednačine x 2 =9 su dva broja −3 i 3 , jednačina x (x−1) (x−2)=0 ima tri korijeni 0 , 1 i 2 , a rješenje jednačine x=x je bilo koji broj, odnosno ima beskonačan broj korijena.

Treba reći nekoliko riječi o prihvaćenom zapisu korijena jednačine. Ako jednačina nema korijena, tada obično pišu „jednačina nema korijena“ ili koriste znak praznog skupa ∅. Ako jednadžba ima korijene, onda se pišu odvojene zarezima ili pišu kao set elemenata u vitičastim zagradama. Na primjer, ako su korijeni jednadžbe brojevi −1, 2 i 4, onda napišite −1, 2, 4 ili (−1, 2, 4) . Također je moguće napisati korijene jednačine u obliku jednostavnih jednakosti. Na primjer, ako slovo x ulazi u jednačinu, a korijeni ove jednačine su brojevi 3 i 5, tada možete napisati x=3, x=5, a često se dodaju indeksi x 1 =3, x 2 =5 na varijablu, kao da brojevima označavaju korijene jednadžbe. Beskonačan skup korijena jednadžbe obično se piše u obliku, također, ako je moguće, koristi se notacija skupova prirodnih brojeva N, cijelih Z, realnih brojeva R. Na primjer, ako je korijen jednadžbe s varijablom x bilo koji cijeli broj, onda napišite , a ako su korijeni jednadžbe s promjenljivom y bilo koji realni broj od 1 do 9 uključujući, onda napišite .

Za jednačine sa dvije, tri i više varijabli, po pravilu se ne koristi termin „korijen jednačine“, u tim slučajevima se kaže „rješenje jednačine“. Šta se naziva rješenjem jednačina sa više varijabli? Hajde da damo odgovarajuću definiciju.

Definicija.

Rješavanje jednačine sa dva, tri itd. varijable pozovite par, trojku itd. vrijednosti varijabli, što ovu jednačinu pretvara u pravu numeričku jednakost.

Pokazat ćemo primjere s objašnjenjima. Razmotrimo jednačinu sa dvije varijable x+y=7. Umjesto x zamjenjujemo broj 1, a umjesto y broj 2, dok imamo jednakost 1+2=7. Očigledno je netačno, dakle, par vrijednosti x=1, y=2 nije rješenje napisane jednačine. Ako uzmemo par vrijednosti x=4, y=3, tada ćemo nakon zamjene u jednadžbu doći do tačne jednakosti 4+3=7, dakle, ovaj par vrijednosti varijabli je, po definiciji, rješenje jednačine x+y=7 .

Jednačine s više varijabli, poput jednadžbi s jednom promjenljivom, mogu imati bez korijena, mogu imati konačan broj korijena ili mogu imati beskonačno mnogo korijena.

Parovi, trojke, četvorke itd. vrijednosti varijabli se često pišu ukratko, navodeći njihove vrijednosti odvojene zarezima u zagradama. U ovom slučaju, napisani brojevi u zagradama odgovaraju varijablama po abecednom redu. Hajde da razjasnimo ovu tačku vraćanjem na prethodnu jednačinu x+y=7. Rješenje ove jednačine x=4, y=3 može se ukratko zapisati kao (4, 3) .

Najveća pažnja u školskom predmetu matematike, algebre i početku analize posvećena je pronalaženju korena jednačina sa jednom promenljivom. U članku ćemo detaljno analizirati pravila ovog procesa. rješenje jednačina.

Bibliografija.

• Matematika. 2 ćelije Proc. za opšte obrazovanje institucije sa pril. na elektron. nosilac. U 2 sata, 1. dio / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova i drugi] - 3. izd. - M.: Obrazovanje, 2012. - 96 str.: ilustr. - (Ruska škola). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• algebra: udžbenik za 7 ćelija. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 17. izd. - M. : Education, 2008. - 240 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• algebra: 9. razred: udžbenik. za opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M. : Obrazovanje, 2009. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Prvi nivo

Kvadratne jednadžbe. Sveobuhvatni vodič (2019.)

U terminu "kvadratna jednačina" ključna riječ je "kvadratna". To znači da jednačina mora nužno sadržavati promjenljivu (isti X) u kvadratu, a da istovremeno ne bi trebalo biti X u trećem (ili većem) stepenu.

Rješenje mnogih jednadžbi svodi se na rješenje kvadratnih jednačina.

Naučimo odrediti da imamo kvadratnu jednačinu, a ne neku drugu.

Primjer 1

Oslobodite se nazivnika i svaki član jednačine pomnožite sa

Pomerimo sve na lijevu stranu i rasporedimo članove u opadajućem redoslijedu po stepenu x

Sada možemo sa sigurnošću reći da je ova jednačina kvadratna!

Primjer 2

Pomnožite lijevu i desnu stranu sa:

Ova jednadžba, iako je prvobitno bila u njoj, nije kvadrat!

Primjer 3

Pomnožimo sve sa:

Strahovito? Četvrti i drugi stepen... Međutim, ako izvršimo zamjenu, vidjet ćemo da imamo jednostavnu kvadratnu jednačinu:

Primjer 4

Čini se da jeste, ali hajde da pogledamo izbliza. Pomerimo sve na lijevu stranu:

Vidite, smanjio se - i sada je to jednostavna linearna jednačina!

Sada pokušajte sami odrediti koje su od sljedećih jednačina kvadratne, a koje nisu:

primjeri:

odgovori:

1. kvadrat;
2. kvadrat;
3. ne kvadratna;
4. ne kvadratna;
5. ne kvadratna;
6. kvadrat;
7. ne kvadratna;
8. kvadrat.

Matematičari uslovno dijele sve kvadratne jednadžbe na sljedeće vrste:

• Potpune kvadratne jednadžbe- jednadžbe u kojima koeficijenti i, kao i slobodni član c, nisu jednaki nuli (kao u primjeru). Osim toga, među potpunim kvadratnim jednadžbama postoje dato su jednadžbe u kojima je koeficijent (jednačina iz primjera jedan ne samo potpuna, već i smanjena!)

• Nepotpune kvadratne jednadžbe- jednadžbe u kojima su koeficijent i/ili slobodni član c jednaki nuli:

  Nepotpune su jer im nedostaje neki element. Ali jednadžba uvijek mora sadržavati x na kvadrat !!! U suprotnom, to više neće biti kvadratna, već neka druga jednačina.

Zašto su smislili takvu podjelu? Čini se da postoji X na kvadrat, i u redu. Takva podjela je zbog metoda rješavanja. Razmotrimo svaki od njih detaljnije.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Prvo, fokusirajmo se na rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi - one su mnogo jednostavnije!

Nepotpune kvadratne jednadžbe su tipova:

1. , u ovoj jednačini koeficijent je jednak.
2. , u ovoj jednačini slobodni član je jednak.
3. , u ovoj jednačini koeficijent i slobodni član su jednaki.

1. i. Pošto znamo kako uzeti kvadratni korijen, izrazimo iz ove jednačine

Izraz može biti negativan ili pozitivan. Broj na kvadrat ne može biti negativan, jer kada se množe dva negativna ili dva pozitivna broja, rezultat će uvijek biti pozitivan broj, dakle: ako, onda jednačina nema rješenja.

A ako, onda dobijamo dva korijena. Ove formule ne treba pamtiti. Glavna stvar je da uvijek treba znati i zapamtiti da ne može biti manje.

Pokušajmo riješiti neke primjere.

Primjer 5:

Riješite jednačinu

Sada ostaje izvući korijen iz lijevog i desnog dijela. Uostalom, sjećate li se kako izvaditi korijenje?

odgovor:

Nikada ne zaboravite na korijene sa negativnim predznakom!!!

Primjer 6:

Riješite jednačinu

odgovor:

Primjer 7:

Riješite jednačinu

Jao! Kvadrat broja ne može biti negativan, što znači da je jednačina

bez korijena!

Za takve jednadžbe u kojima nema korijena, matematičari su smislili posebnu ikonu - (prazan skup). A odgovor se može napisati ovako:

odgovor:

Dakle, ova kvadratna jednadžba ima dva korijena. Ovdje nema ograničenja, jer nismo izvukli root.
Primjer 8:

Riješite jednačinu

Izvadimo zajednički faktor iz zagrada:

Na ovaj način,

Ova jednadžba ima dva korijena.

odgovor:

Najjednostavniji tip nepotpunih kvadratnih jednadžbi (iako su sve jednostavne, zar ne?). Očigledno, ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen:

Ovdje ćemo bez primjera.

Rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi

Podsjećamo vas da je kompletna kvadratna jednadžba jednačina oblika jednadžbe gdje je

Rješavanje punih kvadratnih jednadžbi je malo složenije (samo malo) od navedenih.

zapamti, bilo koja kvadratna jednadžba se može riješiti korištenjem diskriminanta! Čak i nepotpuna.

Ostale metode će vam pomoći da to učinite brže, ali ako imate problema s kvadratnim jednadžbama, prvo savladajte rješenje pomoću diskriminanta.

1. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću diskriminanta.

Rješavanje kvadratnih jednadžbi na ovaj način je vrlo jednostavno, glavna stvar je zapamtiti slijed radnji i nekoliko formula.

Ako, onda jednačina ima korijen Posebnu pažnju treba obratiti na korak. Diskriminant () nam govori o broju korijena jednadžbe.

• Ako, onda će se formula u koraku svesti na. Dakle, jednačina će imati samo korijen.
• Ako, onda nećemo moći izvući korijen diskriminanta u koraku. Ovo ukazuje da jednačina nema korijen.

Vratimo se na naše jednadžbe i pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 9:

Riješite jednačinu

Korak 1 preskoči.

Korak 2

Pronalaženje diskriminanta:

Dakle, jednadžba ima dva korijena.

Korak 3

odgovor:

Primjer 10:

Riješite jednačinu

Jednačina je u standardnom obliku, dakle Korak 1 preskoči.

Korak 2

Pronalaženje diskriminanta:

Dakle, jednačina ima jedan korijen.

odgovor:

Primjer 11:

Riješite jednačinu

Jednačina je u standardnom obliku, dakle Korak 1 preskoči.

Korak 2

Pronalaženje diskriminanta:

To znači da nećemo moći izvući korijen iz diskriminanta. Ne postoje korijeni jednadžbe.

Sada znamo kako ispravno zapisati takve odgovore.

odgovor: nema korijena

2. Rješenje kvadratnih jednadžbi korištenjem Vietine teoreme.

Ako se sjećate, postoji takva vrsta jednadžbi koje se nazivaju redukovane (kada je koeficijent a jednak):

Takve je jednadžbe vrlo lako riješiti korištenjem Vietine teoreme:

Zbir korijena dato kvadratna jednadžba je jednaka, a proizvod korijena jednak.

Primjer 12:

Riješite jednačinu

Ova jednadžba je pogodna za rješenje pomoću Vietine teoreme, jer .

Zbir korijena jednadžbe je, tj. dobijamo prvu jednačinu:

A proizvod je:

Kreirajmo i riješimo sistem:

• i. Zbroj je;
• i. Zbroj je;
• i. Iznos je jednak.

i su rješenje sistema:

odgovor: ; .

Primjer 13:

Riješite jednačinu

odgovor:

Primjer 14:

Riješite jednačinu

Jednačina je redukovana, što znači:

odgovor:

KVADRATNE JEDNAČINE. PROSJEČAN NIVO

Šta je kvadratna jednačina?

Drugim riječima, kvadratna jednačina je jednačina oblika, gdje je - nepoznato, - neki brojevi, štaviše.

Broj se naziva najvišim ili prvi koeficijent kvadratna jednadžba, - drugi koeficijent, a - besplatni član.

Zašto? Jer ako, jednačina će odmah postati linearna, jer će nestati.

U ovom slučaju, i može biti jednako nuli. U ovoj se jednadžba stolice naziva nepotpuna. Ako su svi pojmovi na mjestu, to jest, jednačina je potpuna.

Rješenja različitih tipova kvadratnih jednadžbi

Metode za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

Za početak ćemo analizirati metode rješavanja nepotpunih kvadratnih jednadžbi - one su jednostavnije.

Mogu se razlikovati sljedeće vrste jednačina:

I. , u ovoj jednačini koeficijent i slobodni član su jednaki.

II. , u ovoj jednačini koeficijent je jednak.

III. , u ovoj jednačini slobodni član je jednak.

Sada razmotrite rješenje svakog od ovih podtipova.

Očigledno, ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen:

Broj na kvadrat ne može biti negativan, jer kada se množe dva negativna ili dva pozitivna broja, rezultat će uvijek biti pozitivan broj. dakle:

ako, onda jednačina nema rješenja;

ako imamo dva korijena

Ove formule ne treba pamtiti. Glavna stvar koju treba zapamtiti je da ne može biti manje.

primjeri:

rješenja:

odgovor:

Nikada ne zaboravite na korijene sa negativnim predznakom!

Kvadrat broja ne može biti negativan, što znači da je jednačina

nema korijena.

Da bismo ukratko napisali da problem nema rješenja, koristimo ikonu praznog skupa.

odgovor:

Dakle, ova jednadžba ima dva korijena: i.

odgovor:

Izvadimo zajednički faktor iz zagrada:

Proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. To znači da jednačina ima rješenje kada:

Dakle, ova kvadratna jednadžba ima dva korijena: i.

primjer:

Riješite jednačinu.

Rješenje:

Faktorizujemo lijevu stranu jednačine i nalazimo korijene:

odgovor:

Metode za rješavanje kompletnih kvadratnih jednadžbi:

1. Diskriminant

Rješavanje kvadratnih jednadžbi na ovaj način je jednostavno, glavna stvar je zapamtiti slijed radnji i nekoliko formula. Zapamtite, bilo koja kvadratna jednadžba se može riješiti pomoću diskriminanta! Čak i nepotpuna.

Jeste li primijetili korijen diskriminanta u korijenskoj formuli? Ali diskriminant može biti negativan. šta da radim? Moramo obratiti posebnu pažnju na korak 2. Diskriminant nam govori o broju korijena jednačine.

• Ako, onda jednačina ima korijen:
• Ako, onda jednadžba ima isti korijen, ali u stvari, jedan korijen:

  Takvi korijeni se nazivaju dvostrukim korijenima.

• Ako, tada se korijen diskriminanta ne izdvaja. Ovo ukazuje da jednačina nema korijena.

Zašto postoje različiti brojevi korijena? Okrenimo se geometrijskom značenju kvadratne jednadžbe. Grafikon funkcije je parabola:

U posebnom slučaju, koji je kvadratna jednadžba, . A to znači da su korijeni kvadratne jednadžbe točke presjeka sa x-osom (osom). Parabola možda uopće ne prelazi os, ili je može sjeći u jednoj (kada vrh parabole leži na osi) ili dvije tačke.

Osim toga, koeficijent je odgovoran za smjer grana parabole. Ako, onda su grane parabole usmjerene prema gore, a ako - onda prema dolje.

primjeri:

rješenja:

odgovor:

Odgovor: .

odgovor:

To znači da nema rješenja.

Odgovor: .

2. Vietina teorema

Korištenje Vietine teoreme je vrlo jednostavno: samo trebate odabrati par brojeva čiji je proizvod jednak slobodnom članu jednačine, a zbir je jednak drugom koeficijentu, uzetom sa suprotnim predznakom.

Važno je zapamtiti da se Vietina teorema može primijeniti samo na date kvadratne jednadžbe ().

Pogledajmo nekoliko primjera:

Primjer #1:

Riješite jednačinu.

Rješenje:

Ova jednadžba je pogodna za rješenje pomoću Vietine teoreme, jer . Ostali koeficijenti: ; .

Zbir korijena jednadžbe je:

A proizvod je:

Odaberimo takve parove brojeva, čiji je proizvod jednak, i provjerimo da li je njihov zbir jednak:

• i. Zbroj je;
• i. Zbroj je;
• i. Iznos je jednak.

i su rješenje sistema:

Dakle, i su korijeni naše jednadžbe.

Odgovor: ; .

Primjer #2:

Rješenje:

Odaberemo takve parove brojeva koji daju u proizvodu, a zatim provjerimo da li je njihov zbir jednak:

i: dati ukupno.

i: dati ukupno. Da biste ga dobili, samo trebate promijeniti znakove navodnih korijena: i, na kraju krajeva, posao.

odgovor:

Primjer #3:

Rješenje:

Slobodni član jednadžbe je negativan, pa je stoga proizvod korijena negativan broj. To je moguće samo ako je jedan od korijena negativan, a drugi pozitivan. Dakle, zbir korijena je razlike njihovih modula.

Odabiremo takve parove brojeva koji daju u proizvodu, a čija je razlika jednaka:

i: njihova razlika je - nije prikladno;

i: - nije prikladno;

i: - nije prikladno;

i: - pogodan. Ostaje samo zapamtiti da je jedan od korijena negativan. Pošto njihov zbir mora biti jednak, onda korijen koji je manji po apsolutnoj vrijednosti mora biti negativan: . Provjeravamo:

odgovor:

Primjer #4:

Riješite jednačinu.

Rješenje:

Jednačina je redukovana, što znači:

Slobodni član je negativan, pa je stoga proizvod korijena negativan. A to je moguće samo kada je jedan korijen jednadžbe negativan, a drugi pozitivan.

Odaberemo takve parove brojeva čiji je proizvod jednak, a zatim odredimo koji korijeni trebaju imati negativan predznak:

Očigledno, samo korijeni i pogodni su za prvi uslov:

odgovor:

Primjer #5:

Riješite jednačinu.

Rješenje:

Jednačina je redukovana, što znači:

Zbir korijena je negativan, što znači da je barem jedan od korijena negativan. Ali budući da je njihov proizvod pozitivan, to znači da su oba korijena minus.

Odabiremo takve parove brojeva, čiji je proizvod jednak:

Očigledno, korijeni su brojevi i.

odgovor:

Slažete se, vrlo je zgodno - izmišljati korijene usmeno, umjesto da brojite ovaj gadni diskriminator. Pokušajte koristiti Vietinu teoremu što je češće moguće.

Ali Vieta teorema je potrebna kako bi se olakšalo i ubrzalo pronalaženje korijena. Da bi vam bilo isplativo da ga koristite, morate radnje dovesti do automatizma. A za ovo riješite još pet primjera. Ali nemojte varati: ne možete koristiti diskriminator! Samo Vietina teorema:

Rješenja zadataka za samostalan rad:

Zadatak 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Prema Vietovoj teoremi:

Kao i obično, odabir počinjemo sa proizvodom:

Nije prikladno zbog količine;

: iznos je ono što vam treba.

Odgovor: ; .

Zadatak 2.

I opet, naša omiljena Vieta teorema: zbir bi trebao ispasti, ali proizvod je jednak.

Ali pošto ne bi trebalo biti, ali, mijenjamo znakove korijena: i (ukupno).

Odgovor: ; .

Zadatak 3.

Hmm... Gdje je?

Potrebno je sve termine prenijeti u jedan dio:

Zbir korijena jednak je proizvodu.

Da, stani! Jednačina nije data. Ali Vietin teorem je primjenjiv samo u datim jednačinama. Dakle, prvo morate donijeti jednačinu. Ako to ne možete iznijeti, odbacite ovu ideju i riješite je na drugi način (na primjer, kroz diskriminant). Dozvolite mi da vas podsjetim da donijeti kvadratnu jednačinu znači učiniti vodeći koeficijent jednakim:

U redu. Tada je zbir korijena jednak proizvodu.

Ovdje je lakše pokupiti: na kraju krajeva - prost broj (izvinite na tautologiji).

Odgovor: ; .

Zadatak 4.

Slobodni termin je negativan. Šta je tu tako posebno? I činjenica da će korijeni biti različitih znakova. A sada, tokom odabira, ne provjeravamo zbir korijena, već razliku između njihovih modula: ova razlika je jednaka, već proizvod.

Dakle, korijeni su jednaki i, ali jedan od njih je sa minusom. Vietin teorem nam govori da je zbir korijena jednak drugom koeficijentu suprotnog predznaka, tj. To znači da će manji korijen imati minus: i, pošto.

Odgovor: ; .

Zadatak 5.

Šta prvo treba uraditi? Tako je, dajte jednačinu:

Opet: biramo faktore broja, a njihova razlika treba biti jednaka:

Korijeni su jednaki i, ali jedan od njih je minus. Koji? Njihov zbir mora biti jednak, što znači da će sa minusom biti veći korijen.

Odgovor: ; .

Dozvolite mi da rezimiram:

1. Vietin teorem se koristi samo u datim kvadratnim jednačinama.
2. Korištenjem Vietine teoreme možete pronaći korijene odabirom, usmeno.
3. Ako jednadžba nije data ili nije pronađen odgovarajući par faktora slobodnog člana, onda ne postoje cjelobrojni korijeni i morate je riješiti na drugi način (na primjer, preko diskriminanta).

3. Metoda odabira punog kvadrata

Ako se svi pojmovi koji sadrže nepoznato predstavljaju kao članovi iz formula skraćenog množenja - kvadrata zbira ili razlike - onda se nakon promjene varijabli jednačina može predstaviti kao nepotpuna kvadratna jednačina tipa.

Na primjer:

Primjer 1:

Riješite jednačinu: .

Rješenje:

odgovor:

Primjer 2:

Riješite jednačinu: .

Rješenje:

odgovor:

Generalno, transformacija će izgledati ovako:

Ovo implicira: .

Zar te ne podsjeća ni na šta? To je diskriminator! Upravo tako je dobijena diskriminantna formula.

KVADRATNE JEDNAČINE. UKRATKO O GLAVNOM

Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika, gdje je nepoznata, su koeficijenti kvadratne jednačine, je slobodni član.

Potpuna kvadratna jednadžba- jednačina u kojoj koeficijenti nisu jednaki nuli.

Redukovana kvadratna jednačina- jednačina u kojoj je koeficijent, odnosno: .

Nepotpuna kvadratna jednadžba- jednačina u kojoj su koeficijent i/ili slobodni član c jednaki nuli:

• ako je koeficijent, jednačina ima oblik: ,
• ako je slobodan član, jednačina ima oblik: ,
• ako i, jednadžba ima oblik: .

1. Algoritam za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednačina

1.1. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je, :

1) Izrazite nepoznato: ,

2) Provjerite predznak izraza:

• ako, onda jednačina nema rješenja,
• ako, onda jednačina ima dva korijena.

1.2. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je, :

1) Uzmimo zajednički faktor iz zagrada: ,

2) Proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. Dakle, jednadžba ima dva korijena:

1.3. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je:

Ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen: .

2. Algoritam za rješavanje potpunih kvadratnih jednačina oblika gdje

2.1. Rješenje korištenjem diskriminanta

1) Dovedemo jednačinu u standardni oblik: ,

2) Izračunajte diskriminanta koristeći formulu: , koja označava broj korijena jednačine:

3) Pronađite korijene jednačine:

• ako, onda jednadžba ima korijen, koji se nalazi po formuli:
• ako, tada jednadžba ima korijen, koji se nalazi po formuli:
• ako, onda jednačina nema korijena.

2.2. Rješenje korištenjem Vietine teoreme

Zbir korijena redukovane kvadratne jednadžbe (jednačina oblika, gdje) je jednak, a proizvod korijena jednak, tj. , a.

2.3. Potpuno kvadratno rješenje

Kvadratne jednadžbe. Diskriminantno. Rješenje, primjeri.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom dijelu 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Vrste kvadratnih jednadžbi

Šta je kvadratna jednačina? Kako izgleda? U terminu kvadratna jednačina ključna riječ je "kvadrat". To znači da u jednačini obavezno mora postojati x na kvadrat. Pored toga, u jednačini može postojati (ili ne mora biti!) samo x (do prvog stepena) i samo broj (besplatni član). I ne bi trebalo biti x u stepenu većem od dva.

U matematičkom smislu, kvadratna jednačina je jednačina oblika:

Evo a, b i c- neki brojevi. b i c- apsolutno bilo koje, ali a- sve osim nule. Na primjer:

Evo a =1; b = 3; c = -4

Evo a =2; b = -0,5; c = 2,2

Evo a =-3; b = 6; c = -18

Pa, shvatili ste...

U ovim kvadratnim jednačinama, na lijevoj strani, postoji full setčlanovi. x na kvadrat sa koeficijentom a, x na prvi stepen sa koeficijentom b i besplatni član

Takve kvadratne jednačine se nazivaju kompletan.

I ako b= 0, šta ćemo dobiti? Imamo X će nestati u prvom stepenu. To se događa množenjem sa nulom.) Ispada, na primjer:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

itd. A ako oba koeficijenta b i c jednaki su nuli, onda je još jednostavnije:

2x 2 = 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Takve jednačine, gdje nešto nedostaje, nazivaju se nepotpune kvadratne jednadžbe.Što je sasvim logično.) Imajte na umu da je x na kvadrat prisutan u svim jednadžbama.

Usput zašto a ne može biti nula? I umjesto toga zamijenite a nula.) X u kvadratu će nestati! Jednačina će postati linearna. I to se radi drugačije...

To su sve glavne vrste kvadratnih jednačina. Potpuna i nepotpuna.

Rješenje kvadratnih jednadžbi.

Rješenje kompletnih kvadratnih jednadžbi.

Kvadratne jednačine je lako riješiti. Prema formulama i jasnim jednostavnim pravilima. U prvoj fazi potrebno je zadatu jednačinu dovesti u standardni oblik, tj. do pogleda:

Ako vam je jednadžba već data u ovom obliku, ne morate raditi prvu fazu.) Glavna stvar je ispravno odrediti sve koeficijente, a, b i c.

Formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe izgleda ovako:

Izraz pod znakom korijena se zove diskriminatorno. Ali više o njemu u nastavku. Kao što vidite, za pronalaženje x koristimo se samo a, b i c. One. koeficijenti iz kvadratne jednadžbe. Samo pažljivo zamijenite vrijednosti a, b i c u ovu formulu i računajte. Zamena sa tvojim znacima! Na primjer, u jednadžbi:

a =1; b = 3; c= -4. Ovdje pišemo:

Primjer skoro riješen:

Ovo je odgovor.

Sve je vrlo jednostavno. A šta mislite, ne možete pogriješiti? Pa da, kako...

Najčešće greške su zabuna sa znakovima vrijednosti a, b i c. Ili bolje rečeno, ne njihovim predznacima (gdje se tu treba zbuniti?), nego zamjenom negativnih vrijednosti u formulu za izračunavanje korijena. Ovdje se čuva detaljan zapis formule s određenim brojevima. Ako postoje problemi sa proračunima, pa uradi to!

Pretpostavimo da trebamo riješiti sljedeći primjer:

Evo a = -6; b = -5; c = -1

Recimo da znate da retko dobijate odgovore prvi put.

Pa, nemoj biti lijen. Trebat će 30 sekundi da se napiše dodatni red i broj grešaka će naglo pasti. Zato pišemo detaljno, sa svim zagradama i znakovima:

Čini se da je neverovatno teško slikati tako pažljivo. Ali to samo izgleda. Probaj. Pa, ili biraj. Što je bolje, brzo ili ispravno? Osim toga, usrećit ću te. Nakon nekog vremena neće biti potrebe da sve tako pažljivo farbate. Samo će ispasti kako treba. Pogotovo ako primjenjujete praktične tehnike, koje su opisane u nastavku. Ovaj zao primjer sa gomilom minusa će se riješiti lako i bez grešaka!

Ali, često kvadratne jednadžbe izgledaju malo drugačije. Na primjer, ovako:

Da li ste znali?) Da! Ovo nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješenje nepotpunih kvadratnih jednadžbi.

Oni se također mogu riješiti općom formulom. Samo treba ispravno shvatiti šta je ovdje jednako a, b i c.

Realized? U prvom primjeru a = 1; b = -4; a c? Uopšte ne postoji! Pa, da, tako je. U matematici to znači da c = 0 ! To je sve. Umjesto nule u formulu c, i sve će nam uspjeti. Slično i sa drugim primjerom. Samo nulu nemamo ovdje With, a b !

Ali nepotpune kvadratne jednadžbe mogu se riješiti mnogo lakše. Bez ikakvih formula. Razmotrimo prvu nepotpunu jednačinu. Šta se može učiniti na lijevoj strani? Možete izvaditi X iz zagrada! Hajde da ga izvadimo.

I šta s tim? A činjenica da je proizvod jednak nuli ako, i samo ako je bilo koji od faktora jednak nuli! Ne vjerujete? Pa, onda smislite dva broja različita od nule koji će, kada se pomnože, dati nulu!
Ne radi? nešto...
Stoga sa sigurnošću možemo napisati: x 1 = 0, x 2 = 4.

Sve. Ovo će biti korijeni naše jednadžbe. Obojica odgovaraju. Prilikom zamjene bilo koje od njih u originalnu jednačinu, dobijamo tačan identitet 0 = 0. Kao što vidite, rješenje je mnogo jednostavnije od opće formule. Napominjem, uzgred, koji će X biti prvi, a koji drugi - apsolutno je svejedno. Lako pisati po redu x 1- šta god je manje x 2- ono što je više.

Druga jednačina se također može lako riješiti. Idemo 9 na desnu stranu. Dobijamo:

Ostaje izdvojiti korijen iz 9 i to je to. Nabavite:

takođe dva korena . x 1 = -3, x 2 = 3.

Ovako se rješavaju sve nepotpune kvadratne jednadžbe. Ili uklanjanjem X iz zagrada, ili jednostavnim prenošenjem broja udesno, nakon čega slijedi izdvajanje korijena.
Izuzetno je teško zbuniti ove metode. Jednostavno zato što ćete u prvom slučaju morati izvući korijen iz X, što je nekako neshvatljivo, a u drugom slučaju nema šta vaditi iz zagrada...

Diskriminantno. Diskriminantna formula.

Čarobna riječ diskriminatorno ! Rijetki srednjoškolac nije čuo ovu riječ! Izraz „odlučite se kroz diskriminator“ umiruje i umiruje. Jer nema potrebe čekati trikove od diskriminatora! Jednostavan je i bez problema za korištenje.) Podsjećam vas na najopštiju formulu za rješavanje bilo koji kvadratne jednadžbe:

Izraz pod znakom korijena naziva se diskriminant. Diskriminant se obično označava slovom D. Diskriminantna formula:

D = b 2 - 4ac

I šta je tako posebno u ovom izrazu? Zašto zaslužuje poseban naziv? Šta značenje diskriminanta? Nakon svega -b, ili 2a u ovoj formuli ne imenuju posebno ... Slova i slova.

Poenta je u ovome. Prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe pomoću ove formule, moguće je samo tri slučaja.

1. Diskriminant je pozitivan. To znači da možete izvući korijen iz njega. Drugo je pitanje da li je korijen dobro ili loše izvađen. Bitno je šta se izvlači u principu. Tada vaša kvadratna jednadžba ima dva korijena. Dva različita rješenja.

2. Diskriminant je nula. Onda imate jedno rješenje. Pošto dodavanje ili oduzimanje nule u brojiocu ne mijenja ništa. Strogo govoreći, ovo nije jedan korijen, ali dva identična. Ali, u pojednostavljenoj verziji, uobičajeno je govoriti o tome jedno rešenje.

3. Diskriminant je negativan. Negativan broj ne uzima kvadratni korijen. Pa, ok. To znači da nema rješenja.

Da budem iskren, sa jednostavnim rješenjem kvadratnih jednadžbi, koncept diskriminanta zapravo nije potreban. Zamjenjujemo vrijednosti koeficijenata u formuli i razmatramo. Tamo sve ispada samo od sebe, i dva korijena, i jedan, a ne jedan. Međutim, kod rješavanja složenijih zadataka, bez znanja značenje i diskriminantna formula nije dovoljno. Posebno - u jednadžbama s parametrima. Takve jednadžbe su akrobatika za GIA i Jedinstveni državni ispit!)

dakle, kako se rješavaju kvadratne jednadžbe kroz diskriminant kojeg si zapamtio. Ili naučeno, što također nije loše.) Znate kako se ispravno identificirati a, b i c. Znate li kako pažljivo zamijenite ih u korijen formulu i pažljivo prebrojati rezultat. Da li ste razumeli da je ključna reč ovde - pažljivo?

Sada uzmite u obzir praktične tehnike koje dramatično smanjuju broj grešaka. Baš one koje su zbog nepažnje... za koje je onda bolno i uvredljivo...

Prvi prijem . Nemojte biti lijeni prije rješavanja kvadratne jednadžbe kako biste je doveli u standardni oblik. Šta to znači?
Pretpostavimo da nakon bilo koje transformacije dobijete sljedeću jednačinu:

Nemojte žuriti da napišete formulu korijena! Gotovo sigurno ćete pomiješati šanse a, b i c. Napravi primjer ispravno. Prvo, x na kvadrat, zatim bez kvadrata, zatim slobodni član. Volim ovo:

I opet, ne žurite! Minus prije x na kvadrat može vas jako uznemiriti. Lako je zaboraviti... Oslobodite se minusa. Kako? Da, kao što smo učili u prethodnoj temi! Moramo pomnožiti cijelu jednačinu sa -1. Dobijamo:

A sada možete sigurno zapisati formulu za korijene, izračunati diskriminanta i dovršiti primjer. Odlučite sami. Trebali biste završiti s korijenima 2 i -1.

Drugi prijem. Provjerite svoje korijene! Prema Vietinoj teoremi. Ne brini, sve ću ti objasniti! Provjeravam zadnja stvar jednačina. One. onaj kojim smo zapisali formulu korijena. Ako (kao u ovom primjeru) koeficijent a = 1, lako provjerite korijenje. Dovoljno ih je umnožiti. Trebao bi dobiti slobodan termin, tj. u našem slučaju -2. Obratite pažnju, ne 2, već -2! besplatni član sa tvojim znakom . Ako nije išlo, znači da su već negdje zabrljali. Potražite grešku.

Ako je uspjelo, morate presavijati korijene. Poslednja i konačna provera. Trebao bi biti omjer b With suprotno sign. U našem slučaju -1+2 = +1. Koeficijent b, koji je ispred x, je jednako -1. Dakle, sve je u redu!
Šteta što je tako jednostavno samo za primjere gdje je x na kvadrat čist, sa koeficijentom a = 1. Ali barem provjerite takve jednadžbe! Biće manje grešaka.

Prijem treći . Ako vaša jednadžba ima frakcione koeficijente, riješite se razlomaka! Pomnožite jednačinu sa zajedničkim nazivnikom kao što je opisano u lekciji "Kako riješiti jednadžbe? Transformacije identiteta". Kada radite sa razlomcima, greške se iz nekog razloga penju ...

Inače, obećao sam zao primjer sa gomilom minusa za pojednostavljenje. Nema na čemu! Evo ga.

Da se ne bismo zabunili u minusima, pomnožimo jednačinu sa -1. Dobijamo:

To je sve! Odlučivanje je zabavno!

Dakle, da rezimiramo temu.

Praktični savjeti:

1. Prije rješavanja, dovodimo kvadratnu jednačinu u standardni oblik, gradimo je u pravu.

2. Ako postoji negativan koeficijent ispred x u kvadratu, eliminiramo ga množenjem cijele jednačine sa -1.

3. Ako su koeficijenti razlomci, razlomke eliminišemo množenjem cijele jednačine odgovarajućim faktorom.

4. Ako je x na kvadrat čist, koeficijent za njega jednak je jedan, rješenje se lako može provjeriti Vietinom teoremom. Učini to!

Sada možete odlučiti.)

Riješite jednačine:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Odgovori (u neredu):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - bilo koji broj

x 1 = -3
x 2 = 3

nema rješenja

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Da li sve odgovara? Fino! Kvadratne jednačine nisu vaša glavobolja. Prva tri su ispala, ali ostali nisu? Tada problem nije u kvadratnim jednačinama. Problem je u identičnim transformacijama jednačina. Pogledajte link, od pomoći je.

Ne radi baš? Ili uopšte ne radi? Onda će vam pomoći Odjeljak 555. Tu su svi ovi primjeri razvrstani po kostima. Showing main greške u rješenju. Naravno, opisana je i primjena identičnih transformacija u rješavanju različitih jednačina. Pomaže puno!

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učenje - sa interesovanjem!)

možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.