किसी संख्या का प्राकृतिक मान क्या होता है। गणित पर सामग्री "संख्या"

1.1 परिभाषा

गिनती करते समय लोग जिन संख्याओं का उपयोग करते हैं, उन्हें कहते हैं प्राकृतिक(उदाहरण के लिए, एक, दो, तीन, ..., एक सौ, एक सौ एक, ..., तीन हजार दो सौ इक्कीस, ...) प्राकृत संख्याएँ लिखने के लिए विशेष चिन्हों (प्रतीकों) का प्रयोग किया जाता है , बुलाया आंकड़ों.

आजकल स्वीकृत दशमलव अंकन. संख्याओं को लिखने की दशमलव प्रणाली (या तरीका) अरबी अंकों का उपयोग करती है। ये दस अलग-अलग अंकों के वर्ण हैं: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .

कम से कमएक प्राकृतिक संख्या एक संख्या है एक, यहदशमलव अंक के साथ लिखा गया - 1. अगली प्राकृत संख्या पिछले एक (एक को छोड़कर) से 1 (एक) जोड़कर प्राप्त की जाती है। यह जोड़ कई बार (अनंत बार) किया जा सकता है। इसका मतलब है कि नहीं महानतमप्राकृतिक संख्या। इसलिए कहा जाता है कि प्राकृत संख्याओं की श्रृंखला असीमित या अनंत है, क्योंकि इसका कोई अंत नहीं है। प्राकृतिक संख्याएँ दशमलव अंकों का उपयोग करके लिखी जाती हैं।

1.2. संख्या "शून्य"

किसी चीज की अनुपस्थिति को इंगित करने के लिए, संख्या का प्रयोग करें" शून्य" या " शून्य". यह अंकों के साथ लिखा जाता है। 0 (शून्य)। उदाहरण के लिए, एक बॉक्स में सभी गेंदें लाल हैं। उनमें से कितने हरे हैं? - उत्तर: शून्य . तो बॉक्स में कोई हरी गेंद नहीं है! संख्या 0 का मतलब यह हो सकता है कि कुछ खत्म हो गया है। उदाहरण के लिए, माशा के पास 3 सेब थे। उसने दो दोस्तों के साथ साझा किया, एक उसने खुद खाया। तो वह चली गई है 0 (शून्य) सेब, यानी। कुछ भी शेष नहीं। संख्या 0 का अर्थ यह हो सकता है कि कुछ नहीं हुआ। उदाहरण के लिए, रूसी टीम और कनाडाई टीम के बीच एक हॉकी मैच स्कोर के साथ समाप्त हुआ 3:0 (पढ़ें "तीन - शून्य") रूसी टीम के पक्ष में। इसका मतलब है कि रूसी टीम ने 3 गोल किए, और कनाडा की टीम 0 गोल, एक भी गोल नहीं कर सकी। हमें याद रखना चाहिए कि शून्य एक प्राकृत संख्या नहीं है।

1.3. प्राकृतिक संख्याएँ लिखना

एक प्राकृतिक संख्या लिखने के दशमलव तरीके में, प्रत्येक अंक का अर्थ अलग-अलग संख्या हो सकता है। यह संख्या के अंकन में इस अंक के स्थान पर निर्भर करता है। प्राकृत संख्या के अंकन में एक निश्चित स्थान कहलाता है पद।इसलिए, दशमलव संकेतन कहा जाता है स्थितीय।संख्या के दशमलव संकेतन 7777 पर विचार करें सात हजार सात सौ सत्तर सात।इस प्रविष्टि में सात हजार, सात सौ, सात दहाई और सात इकाइयाँ हैं।

किसी संख्या के दशमलव अंकन में प्रत्येक स्थान (स्थिति) को कहा जाता है मुक्ति. प्रत्येक तीन अंकों को में जोड़ा जाता है कक्षा।यह मिलन दाएं से बाएं (संख्या प्रविष्टि के अंत से) किया जाता है। विभिन्न रैंकों और वर्गों के अपने-अपने नाम हैं। प्राकृत संख्याओं की संख्या असीमित होती है। इसलिए, रैंकों और वर्गों की संख्या भी सीमित नहीं है ( अंतहीन) दशमलव अंकन वाली संख्या के उदाहरण का उपयोग करके अंकों और वर्गों के नामों पर विचार करें

38 001 102 987 000 128 425:

तो, सबसे कम उम्र से शुरू होने वाली कक्षाओं के नाम हैं: इकाइयां, हजारों, लाखों, अरबों, खरब, क्वाड्रिलियन, क्विंटल।

1.4. बिट इकाइयां

प्राकृत संख्याओं के अंकन में प्रत्येक वर्ग में तीन अंक होते हैं। प्रत्येक रैंक है बिट इकाइयां. निम्नलिखित संख्याओं को बिट इकाई कहा जाता है:

1 - इकाइयों के अंकों की इकाई,

10 - दहाई के अंक की इकाई,

सौ अंकों की 100-बिट इकाई,

1 000 - हजारों जगह की बिट इकाई,

10,000 - दसियों हज़ारों की अंकों की इकाई,

100,000 - सैकड़ों हजारों की बिट इकाई,

1,000,000 लाखों आदि के अंकों की अंक इकाई है।

किसी भी अंक की संख्या इस अंक की इकाइयों की संख्या दर्शाती है। तो, संख्या 9, सैकड़ों अरबों के स्थान पर, का अर्थ है कि संख्या 38,01,102,987,000 128,425 में नौ अरब (अर्थात, 9 गुना 1,000,000,000 या अरबों की 9 बिट इकाइयाँ) शामिल हैं। सैकड़ों क्विंटल अंक के खाली होने का मतलब है कि इस संख्या में सैकड़ों क्विंटल नहीं हैं या उनकी संख्या शून्य के बराबर है। इस स्थिति में, संख्या 38 001 102 987 000 128 425 इस प्रकार लिखी जा सकती है: 038 001 102 987 000 128 425।

आप इसे अलग तरह से लिख सकते हैं: 000 038 001 102 987 000 128 425। संख्या की शुरुआत में शून्य खाली उच्च-आदेश अंक दर्शाते हैं। आमतौर पर वे दशमलव संकेतन के अंदर शून्य के विपरीत नहीं लिखे जाते हैं, जो अनिवार्य रूप से खाली अंकों को चिह्नित करते हैं। तो, लाखों के वर्ग में तीन शून्य का मतलब है कि सैकड़ों मिलियन, दसियों लाख और लाखों की इकाइयों के अंक खाली हैं।

1.5. अंक लिखने में संक्षिप्ताक्षर

प्राकृत संख्याएँ लिखते समय संक्षिप्ताक्षरों का प्रयोग किया जाता है। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

1,000 = 1 हजार (एक हजार)

23,000,000 = 23 मिलियन (तेईस मिलियन)

5,000,000,000 = 5 अरब (पांच अरब)

203,000,000,000,000 = 203 ट्रिलियन (दो सौ तीन ट्रिलियन)

107,000,000,000,000,000 = 107 वर्ग। (एक सौ सात क्वाड्रिलियन)

1,000,000,000,000,000,000 = 1 किलोवाट। (एक क्विंटल)

ब्लॉक 1.1. शब्दकोश

1 से नए नियमों और परिभाषाओं की शब्दावली संकलित करें। ऐसा करने के लिए, खाली कक्षों में, नीचे दी गई शर्तों की सूची से शब्द दर्ज करें। तालिका में (ब्लॉक के अंत में), प्रत्येक परिभाषा के लिए सूची से शब्द की संख्या इंगित करें।

ब्लॉक 1.2. आत्म प्रशिक्षण

बड़ी संख्या की दुनिया में

अर्थव्यवस्था .

1. अगले वर्ष के लिए रूस का बजट होगा: 6328251684128 रूबल।
2. इस वर्ष के लिए नियोजित व्यय: 5124983252134 रूबल।
3. देश का राजस्व खर्च 1203268431094 रूबल से अधिक हो गया।

प्रश्न और कार्य

1. दी गई तीनों संख्याओं को पढ़ें
2. तीनों संख्याओं में से प्रत्येक के मिलियन वर्ग में अंक लिखिए

1. संख्याओं के अंकन के अंत से सातवें स्थान पर प्रत्येक संख्या में कौन सा खंड अंक से संबंधित है?
2. पहली संख्या में संख्या 2 कितनी बिट इकाइयाँ दिखाती है?... दूसरी और तीसरी संख्या में?
3. तीन संख्याओं के अंकन में अंत से आठवें स्थान के लिए बिट इकाई का नाम बताइए।

भूगोल (लंबाई)

1. पृथ्वी की भूमध्यरेखीय त्रिज्या: 6378245 वर्ग मीटर
2. भूमध्य रेखा परिधि: 40075696 वर्ग मीटर
3. विश्व महासागर की सबसे बड़ी गहराई (प्रशांत महासागर में मैरिएन ट्रेंच) 11500 वर्ग मीटर

प्रश्न और कार्य

1. तीनों मानों को सेंटीमीटर में बदलें और परिणामी संख्याएँ पढ़ें।
2. पहली संख्या (सेमी में) के लिए, संख्याओं को अनुभागों में लिखें:

लाखों _______

करोड़ों _______

हज़ारों _______

अरबों _______

सैकड़ों लाखों _______

1. दूसरी संख्या (सेमी में) के लिए, संख्या प्रविष्टि में संख्या 4, 7, 5, 9 के संगत बिट इकाइयों को लिखें

1. तीसरे मान को मिलीमीटर में बदलें, परिणामी संख्या पढ़ें।
2. तीसरी संख्या (मिमी में) के रिकॉर्ड में सभी पदों के लिए, अंक और अंक इकाइयों को तालिका में इंगित करें:

भूगोल (वर्ग)

1. पृथ्वी की पूरी सतह का क्षेत्रफल 510,083 हजार वर्ग किलोमीटर है।
2. पृथ्वी पर राशियों की सतह का क्षेत्रफल 148,628 हजार वर्ग किलोमीटर है।
3. पृथ्वी की जल सतह का क्षेत्रफल 361,455 हजार वर्ग किलोमीटर है।

प्रश्न और कार्य

1. तीनों मानों को वर्ग मीटर में बदलें और परिणामी संख्याएँ पढ़ें।
2. इन संख्याओं (वर्ग एम में) के रिकॉर्ड में गैर-शून्य अंकों के अनुरूप वर्गों और रैंकों को नाम दें।
3. तीसरी संख्या (वर्ग एम में) की प्रविष्टि में, संख्या 1, 3, 4, 6 के अनुरूप बिट इकाइयों को नाम दें।
4. दूसरे मान की दो प्रविष्टियों में (वर्ग किमी और वर्ग मीटर में), इंगित करें कि संख्या 2 किस अंक से संबंधित है।
5. दूसरे मान के रिकॉर्ड में संख्या 2 के लिए बिट इकाइयों को लिखें।

ब्लॉक 1.3. एक कंप्यूटर के साथ संवाद।

यह ज्ञात है कि खगोल विज्ञान में अक्सर बड़ी संख्या में उपयोग किया जाता है। आइए उदाहरण देते हैं। चंद्रमा की पृथ्वी से औसत दूरी 384 हजार किमी है। सूर्य से पृथ्वी की दूरी (औसत) 149504 हजार किमी, मंगल से पृथ्वी की दूरी 55 मिलियन किमी है। कंप्यूटर पर, वर्ड टेक्स्ट एडिटर का उपयोग करके, टेबल बनाएं ताकि संकेतित संख्याओं के रिकॉर्ड में प्रत्येक अंक एक अलग सेल (सेल) में हो। ऐसा करने के लिए, टूलबार पर कमांड निष्पादित करें: तालिका → तालिका जोड़ें → पंक्तियों की संख्या (कर्सर के साथ "1" डालें) → स्तंभों की संख्या (स्वयं की गणना करें)। अन्य नंबरों के लिए टेबल बनाएं ("स्व-तैयारी" को ब्लॉक करें)।

ब्लॉक 1.4. बड़ी संख्या का रिले

तालिका की पहली पंक्ति में बड़ी संख्या है। इसे पढ़ें। फिर कार्यों को पूरा करें: संख्या प्रविष्टि में संख्याओं को दाईं या बाईं ओर ले जाकर, अगले नंबर प्राप्त करें और उन्हें पढ़ें। (संख्या के अंत में शून्य को स्थानांतरित न करें!) कक्षा में बैटन को एक-दूसरे को पास करके चलाया जा सकता है।

लाइन 2 . पहली पंक्ति में संख्या के सभी अंकों को दो कक्षों के माध्यम से बाईं ओर ले जाएँ। संख्या 5 को उसके बाद आने वाली संख्या से बदलें। रिक्त कक्षों को शून्य से भरें। संख्या पढ़ें।

लाइन 3 . संख्या के सभी अंकों को दूसरी पंक्ति में तीन कक्षों के माध्यम से दाईं ओर ले जाएं। संख्या प्रविष्टि में संख्या 3 और 4 को निम्नलिखित संख्याओं से बदलें। रिक्त कक्षों को शून्य से भरें। संख्या पढ़ें।

पंक्ति 4. संख्या के सभी अंकों को पंक्ति 3 एक सेल में बाईं ओर ले जाएं। ट्रिलियन वर्ग में संख्या 6 को पिछले एक में और अरब वर्ग में अगली संख्या में बदलें। रिक्त कक्षों को शून्य से भरें। परिणामी संख्या पढ़ें।

लाइन 5 . संख्या के सभी अंकों को पंक्ति 4 एक सेल में दाईं ओर ले जाएं। संख्या 7 को “दसियों हज़ार” के स्थान पर पिछले वाले से और “दसियों लाख” के स्थान पर अगले के साथ बदलें। परिणामी संख्या पढ़ें।

लाइन 6 . पंक्ति 5 में संख्या के सभी अंकों को 3 सेलों के बाद बाईं ओर ले जाएँ। सैकड़ों अरबों के स्थान पर 8 की संख्या को पिछले वाले में बदलें, और करोड़ों के स्थान पर 6 को अगली संख्या में बदलें। रिक्त कक्षों को शून्य से भरें। परिणामी संख्या की गणना करें।

लाइन 7 . पंक्ति 6 ​​में संख्या के सभी अंकों को एक सेल द्वारा दाईं ओर ले जाएं। दसियों क्वाड्रिलियन और दसियों अरब स्थानों में अंकों की अदला-बदली करें। परिणामी संख्या पढ़ें।

लाइन 8 . पंक्ति 7 में संख्या के सभी अंकों को एक सेल के माध्यम से बाईं ओर ले जाएँ। क्विंटिलियन और क्वाड्रिलियन स्थानों में अंकों की अदला-बदली करें। रिक्त कक्षों को शून्य से भरें। परिणामी संख्या पढ़ें।

लाइन 9 . पंक्ति 8 में संख्या के सभी अंकों को तीन कक्षों के माध्यम से दाईं ओर ले जाएं। लाखों और खरबों वर्गों से संख्या पंक्ति में दो आसन्न संख्याओं को स्वैप करें। परिणामी संख्या पढ़ें।

लाइन 10 . संख्या के सभी अंकों को पंक्ति 9 में एक सेल में दाईं ओर ले जाएं। परिणामी संख्या पढ़ें। मॉस्को ओलंपियाड के वर्ष को दर्शाने वाली संख्याओं पर प्रकाश डालिए।

ब्लॉक 1.5. आइए खेलते हैं

आग जलाओ

खेल का मैदान क्रिसमस ट्री की तस्वीर है। इसमें 24 बल्ब हैं। लेकिन उनमें से केवल 12 ही पावर ग्रिड से जुड़े हैं। कनेक्टेड लैंप का चयन करने के लिए, आपको "हां" या "नहीं" शब्दों के साथ प्रश्नों का सही उत्तर देना होगा। कंप्यूटर पर एक ही खेल खेला जा सकता है; सही उत्तर प्रकाश बल्ब को "रोशनी" देता है।

1. क्या यह सच है कि प्राकृत संख्याएँ लिखने के लिए संख्याएँ विशेष चिन्ह हैं? (1 - हाँ, 2 - नहीं)
2. क्या यह सत्य है कि 0 सबसे छोटी प्राकृत संख्या है? (3 - हाँ, 4 - नहीं)
3. क्या यह सच है कि स्थितीय संख्या प्रणाली में एक ही अंक विभिन्न संख्याओं को निरूपित कर सकता है? (5 - हाँ, 6 - नहीं)
4. क्या यह सच है कि संख्याओं के दशमलव अंकन में एक निश्चित स्थान को एक स्थान कहा जाता है? (7 - हाँ, 8 - नहीं)
5. 543 384 की संख्या दी गई है। क्या यह सच है कि इसमें सबसे महत्वपूर्ण अंकों की संख्या 543 है, और सबसे कम 384 है? (9 - हाँ, 10 - नहीं)
6. क्या यह सच है कि अरबों के वर्ग में, बिट इकाइयों में सबसे पुरानी एक सौ अरब है, और सबसे छोटी एक अरब है? (11 - हाँ, 12 - नहीं)
7. संख्या 458 121 दी गई है। क्या यह सच है कि सबसे महत्वपूर्ण अंकों की संख्या और सबसे कम महत्वपूर्ण की संख्या का योग 5 है? (13 - हाँ, 14 - नहीं)
8. क्या यह सच है कि खरब-वर्ग की इकाइयों में सबसे पुरानी दस लाख-श्रेणी की इकाइयों में सबसे पुरानी से दस लाख गुना बड़ी है? (15 - हाँ, 16 - नहीं)
9. दो संख्याएँ 637508 और 831 दी गई हैं। क्या यह सच है कि पहली संख्या का सबसे महत्वपूर्ण 1 दूसरी संख्या के सबसे महत्वपूर्ण 1 का 1000 गुना है? (17 - हाँ, 18 - नहीं)
10. संख्या 432 दी गई है। क्या यह सच है कि इस संख्या की सबसे महत्वपूर्ण बिट इकाई सबसे छोटी इकाई से 2 गुना बड़ी है? (19 - हाँ, 20 - नहीं)
11. संख्या 100,000,000 दी गई है। क्या यह सच है कि इसमें 10,000 को बनाने वाली बिट इकाइयों की संख्या 1000 है? (21 - हाँ, 22 - नहीं)
12. क्या यह सच है कि खरब वर्ग क्वाड्रिलियन वर्ग से पहले है, और क्विंटिलियन वर्ग उस वर्ग से पहले है? (23 - हाँ, 24 - नहीं)

1.6. संख्याओं के इतिहास से

प्राचीन काल से, मनुष्य को वस्तुओं की संख्या गिनने, वस्तुओं की संख्या की तुलना करने की आवश्यकता का सामना करना पड़ा है (उदाहरण के लिए, पांच सेब, सात तीर ...; एक जनजाति में 20 पुरुष और तीस महिलाएं हैं, .. ।) वस्तुओं की एक निश्चित संख्या के भीतर व्यवस्था स्थापित करने की भी आवश्यकता थी। उदाहरण के लिए, शिकार करते समय, जनजाति का नेता पहले आता है, जनजाति का सबसे मजबूत योद्धा दूसरा आता है, और इसी तरह। इन उद्देश्यों के लिए, संख्याओं का उपयोग किया गया था। उनके लिए विशेष नामों का आविष्कार किया गया था। भाषण में, उन्हें अंक कहा जाता है: एक, दो, तीन, आदि कार्डिनल नंबर हैं, और पहली, दूसरी, तीसरी क्रमिक संख्याएं हैं। संख्याएँ विशेष वर्णों - संख्याओं का उपयोग करके लिखी जाती थीं।

समय के साथ वहाँ थे संख्या प्रणाली।ये ऐसी प्रणालियाँ हैं जिनमें संख्याएँ लिखने के तरीके और उन पर विभिन्न क्रियाएँ शामिल हैं। सबसे पुरानी ज्ञात संख्या प्रणाली मिस्र, बेबीलोनियन और रोमन संख्या प्रणाली हैं। रूस में पुराने दिनों में, एक विशेष चिन्ह ~ (शीर्षक) के साथ वर्णमाला के अक्षरों का उपयोग संख्या लिखने के लिए किया जाता था। दशमलव संख्या प्रणाली वर्तमान में सबसे व्यापक रूप से उपयोग की जाती है। व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से कंप्यूटर की दुनिया में, बाइनरी, ऑक्टल और हेक्साडेसिमल नंबर सिस्टम हैं।

तो, एक ही संख्या लिखने के लिए, आप विभिन्न वर्णों - संख्याओं का उपयोग कर सकते हैं। तो, संख्या चार सौ पच्चीस मिस्र के अंकों में लिखी जा सकती है - चित्रलिपि:

यह संख्या लिखने का मिस्र का तरीका है। रोमन अंकों में समान संख्या: सीडीएक्सएक्सवी(संख्या लिखने का रोमन तरीका) या दशमलव अंक 425 (संख्याओं का दशमलव अंकन)। बाइनरी नोटेशन में, यह इस तरह दिखता है: 110101001 (संख्याओं का द्विआधारी या द्विआधारी अंकन), और अष्टक में - 651 (संख्याओं का अष्टक अंकन)। हेक्साडेसिमल नोटेशन में लिखा होगा: 1ए9(हेक्साडेसिमल संकेतन)। आप इसे काफी सरलता से कर सकते हैं: रॉबिन्सन क्रूसो की तरह, लकड़ी के खंभे पर चार सौ पच्चीस पायदान (या स्ट्रोक) बनाएं - IIIIIIIII…... तृतीय. ये प्राकृतिक संख्याओं की सबसे पहली छवियां हैं।

तो, संख्याओं को लिखने की दशमलव प्रणाली में (संख्या लिखने के दशमलव तरीके में), अरबी अंकों का उपयोग किया जाता है। ये दस अलग-अलग वर्ण हैं - संख्याएँ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . बाइनरी में, दो बाइनरी अंक: 0, 1; अष्टक में - आठ अष्टक अंक: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; हेक्साडेसिमल में - सोलह अलग हेक्साडेसिमल अंक: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ए, बी, सी, डी, ई, एफ; सेक्सजेसिमल (बेबीलोनियन) में - साठ अलग-अलग वर्ण - संख्याएं, आदि)

मध्य पूर्व, अरब देशों से यूरोपीय देशों में दशमलव अंक आए। इसलिए यह नाम - अरबी अंक. लेकिन वे भारत से अरबों में आए, जहां उनका आविष्कार पहली सहस्राब्दी के मध्य में हुआ था।

1.7. रोमन अंक प्रणाली

आज प्रयोग में आने वाली प्राचीन संख्या प्रणालियों में से एक रोमन प्रणाली है। हम तालिका में रोमन अंक प्रणाली की मुख्य संख्याएँ और दशमलव प्रणाली की संगत संख्याएँ देते हैं।

रोमन अंक प्रणाली है जोड़ प्रणाली।इसमें, स्थितीय प्रणालियों (उदाहरण के लिए, दशमलव) के विपरीत, प्रत्येक अंक एक ही संख्या को दर्शाता है। हाँ, रिकॉर्ड द्वितीय- संख्या दो को दर्शाता है (1 + 1 = 2), अंकन तृतीय- नंबर तीन (1 + 1 + 1 = 3), अंकन XXX- संख्या तीस (10 + 10 + 10 = 30), आदि। निम्नलिखित नियम संख्याओं को लिखने पर लागू होते हैं।

1. यदि छोटी संख्या है बाद मेंबड़ा, फिर इसे बड़े में जोड़ा जाता है: सातवीं- संख्या सात (5 + 2 = 5 + 1 + 1 = 7), XVII- संख्या सत्रह (10 + 7 = 10 + 5 + 1 + 1 = 17), एमसीएल- संख्या एक हजार एक सौ पचास (1000 + 100 + 50 = 1150)।
2. यदि छोटी संख्या है सामनेबड़ा है, तो इसे बड़े से घटाया जाता है: नौवीं- नंबर नौ (9 = 10 - 1), एलएम- संख्या नौ सौ पचास (1000 - 50 = 950)।

बड़ी संख्याएँ लिखने के लिए, आपको नए वर्णों - संख्याओं का उपयोग (आविष्कार) करना होगा। साथ ही, संख्याओं की प्रविष्टियां बोझिल हो जाती हैं, रोमन अंकों के साथ गणना करना बहुत कठिन है। तो रोमन संकेतन में पहले कृत्रिम पृथ्वी उपग्रह (1957) के प्रक्षेपण के वर्ष का रूप है एमसीएमएलवीआईआई .

ब्लॉक 1. 8. पंच कार्ड

प्राकृतिक संख्या पढ़ना

इन कार्यों को मंडलियों वाले मानचित्र का उपयोग करके चेक किया जाता है। आइए इसके आवेदन की व्याख्या करते हैं। सभी कार्यों को पूरा करने और सही उत्तर खोजने के बाद (उन्हें ए, बी, सी, आदि अक्षरों से चिह्नित किया जाता है), कार्ड पर पारदर्शी कागज की एक शीट लगाएं। सही उत्तरों को "X" अंकों के साथ चिह्नित करें, साथ ही संयोजन चिह्न "+"। फिर पृष्ठ पर पारदर्शी शीट बिछाएं ताकि संरेखण के निशान मेल खा सकें। यदि इस पृष्ठ पर सभी "X" चिह्न धूसर घेरे में हैं, तो कार्य सही ढंग से पूर्ण होते हैं।

1.9. प्राकृत संख्याओं का पठन क्रम

किसी प्राकृत संख्या को पढ़ते समय निम्नानुसार आगे बढ़ें।

1. संख्या प्रविष्टि के अंत से, मानसिक रूप से संख्या को दाएँ से बाएँ त्रिगुणों (वर्गों) में तोड़ें।

1. कनिष्ठ वर्ग से शुरू होकर, दाएं से बाएं (संख्या प्रविष्टि के अंत से), वे वर्गों के नाम लिखते हैं: इकाइयाँ, हजारों, लाखों, अरबों, खरब, क्वाड्रिलियन, क्विंटल।
2. हाई स्कूल से शुरू होने वाले नंबर को पढ़ें। इस मामले में, बिट इकाइयों की संख्या और वर्ग का नाम कहा जाता है।
3. यदि अंक शून्य है (अंक खाली है), तो इसे नहीं कहा जाता है। यदि बुलाए गए वर्ग के सभी तीन अंक शून्य हैं (अंक खाली हैं), तो इस वर्ग को नहीं कहा जाता है।

आइए पढ़ते हैं (नाम) तालिका में लिखी संख्या (§ 1 देखें), चरण 1 - 4 के अनुसार। मानसिक रूप से संख्या 38001102987000128425 को दाएं से बाएं वर्गों में विभाजित करें: 038 001 102 987 000 128 425। आइए नामों का संकेत दें इस संख्या में वर्ग, अंत से शुरू होकर इसकी प्रविष्टियाँ हैं: इकाइयाँ, हजारों, लाखों, अरबों, खरब, क्वाड्रिलियन, क्विंटल। अब आप सीनियर क्लास से शुरू करके नंबर पढ़ सकते हैं। हम तीन-अंकीय, दो-अंकीय और एक-अंकीय संख्याओं को नाम देते हैं, संबंधित वर्ग का नाम जोड़ते हैं। खाली वर्गों का नाम नहीं है। हमें निम्नलिखित संख्या मिलती है:

• 038 - अड़तीस क्विंटलियन
• 001 - एक क्वाड्रिलियन
• 102 - एक सौ दो ट्रिलियन
• 987 - नौ सौ अस्सी सात अरब
• 000 - नाम मत लो (पढ़ो मत)
• 128 - एक सौ अट्ठाईस हजार
• 425 - चार सौ पच्चीस

नतीजतन, प्राकृतिक संख्या 38 001 102 987 000 128 425 निम्नानुसार पढ़ी जाती है: "अड़तीस क्विंटल एक क्वाड्रिलियन एक सौ दो ट्रिलियन नौ सौ अस्सी-सात अरब एक सौ अट्ठाईस हजार चार सौ पच्चीस।"

1.9. प्राकृत संख्याओं को लिखने का क्रम

प्राकृत संख्याएँ निम्नलिखित क्रम में लिखी जाती हैं।

1. प्रत्येक वर्ग के लिए तीन अंक लिखें, जो उच्चतम वर्ग से शुरू होकर इकाइयों के अंक तक है। इस मामले में, संख्याओं के वरिष्ठ वर्ग के लिए, दो या एक हो सकते हैं।
2. यदि वर्ग या रैंक का नाम नहीं है, तो संबंधित अंकों में शून्य लिखा जाता है।

उदाहरण के लिए, संख्या पच्चीस लाख तीन सौ दोफॉर्म में लिखा है: 25 000 302 (हजार वर्ग का नाम नहीं है, इसलिए, हजार वर्ग के सभी अंकों में शून्य लिखा जाता है)।

1.10. बिट शब्दों के योग के रूप में प्राकृतिक संख्याओं का प्रतिनिधित्व

आइए एक उदाहरण दें: 7 563 429 संख्या का दशमलव प्रतिनिधित्व है सात लाख पांच सौ साठ-तीन हजार चार सौ उनतीस।इस संख्या में सात मिलियन, पांच सौ हजार, छह दसियों हजार, तीन हजार, चार सौ, दो दहाई और नौ इकाइयां हैं। इसे योग के रूप में दर्शाया जा सकता है: 7,563,429 \u003d 7,000,000 + 500,000 + 60,000 + + 3,000 + 400 + 20 + 9। इस तरह की प्रविष्टि को बिट शब्दों के योग के रूप में एक प्राकृतिक संख्या का प्रतिनिधित्व कहा जाता है।

ब्लॉक 1.11. आइए खेलते हैं

कालकोठरी खजाने

खेल के मैदान पर किपलिंग की परी कथा "मोगली" के लिए एक चित्र है। पांच चेस्ट में पैडलॉक होते हैं। उन्हें खोलने के लिए, आपको समस्याओं को हल करने की आवश्यकता है। वहीं, जब आप लकड़ी के चेस्ट को खोलते हैं तो आपको एक पॉइंट मिलता है। जब आप एक टिन की छाती खोलते हैं, तो आपको दो अंक मिलते हैं, एक तांबा एक - तीन अंक, एक चांदी एक - चार, और एक सोना - पांच। विजेता वह है जो सभी चेस्टों को तेजी से खोलता है। कंप्यूटर पर एक ही गेम खेला जा सकता है।

1. लकड़ी की पेटी

पता लगाएं कि इस सीने में कितना पैसा (हजार रूबल में) है। ऐसा करने के लिए, आपको संख्या के लिए लाखों वर्ग की कम से कम महत्वपूर्ण बिट इकाइयों की कुल संख्या ज्ञात करनी होगी: 125308453231।

1. टिन चेस्ट

पता लगाएं कि इस सीने में कितना पैसा (हजार रूबल में) है। ऐसा करने के लिए, संख्या 12530845323 में इकाई वर्ग की कम से कम महत्वपूर्ण बिट इकाइयों की संख्या और मिलियन वर्ग की कम से कम महत्वपूर्ण बिट इकाइयों की संख्या पाएं। फिर इन संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए और सही विशेषता पर दसियों लाख के स्थान पर संख्या ज्ञात कीजिए।

1. तांबे की छाती

इस तिजोरी का धन (हजारों रूबल में) खोजने के लिए, संख्या 751305432198203 में ट्रिलियन वर्ग में सबसे कम अंकों की इकाइयों की संख्या और अरब वर्ग में सबसे कम अंकों की इकाइयों की संख्या ज्ञात करें। फिर इन संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए और दाईं ओर इस संख्या की इकाइयों के वर्ग की प्राकृत संख्याओं को उनकी व्यवस्था के क्रम में निर्दिष्ट कीजिए।

1. चांदी की छाती

इस संदूक का पैसा (मिलियन रूबल में) दो संख्याओं के योग द्वारा दिखाया जाएगा: संख्या 481534185491502 के लिए हजारों वर्ग की सबसे कम अंक इकाइयों की संख्या और अरब वर्ग की औसत अंक इकाइयों की संख्या।

1. सुनहरी छाती

संख्या 800123456789123456789 दी गई है। यदि हम इस संख्या के सभी वर्गों के उच्चतम अंकों में संख्याओं को गुणा करते हैं, तो हमें इस छाती का पैसा मिलियन रूबल में मिलता है।

ब्लॉक 1.12. मिलान

प्राकृत संख्याएँ लिखिए। बिट शब्दों के योग के रूप में प्राकृतिक संख्याओं का प्रतिनिधित्व

बाएं कॉलम में प्रत्येक कार्य के लिए, दाएं कॉलम से समाधान चुनें। उत्तर को फॉर्म में लिखें: 1a; 2जी; 3बी…

विकल्प 2

ब्लॉक 1.13. पहलू परीक्षण

परीक्षण का नाम "कीड़ों की यौगिक आंख" शब्द से आया है। यह एक मिश्रित आंख है, जिसमें अलग-अलग "आंखें" होती हैं। पहलू परीक्षण के कार्य अलग-अलग तत्वों से बनते हैं, जो संख्याओं द्वारा इंगित किए जाते हैं। आम तौर पर पहलू परीक्षणों में बड़ी संख्या में आइटम होते हैं। लेकिन इस परीक्षण में केवल चार कार्य होते हैं, लेकिन वे बड़ी संख्या में तत्वों से बने होते हैं। यह आपको परीक्षण समस्याओं को "एकत्रित" करने का तरीका सिखाने के लिए किया जाता है। यदि आप उनकी रचना कर सकते हैं, तो आप आसानी से अन्य पहलू परीक्षणों का सामना कर सकते हैं।

आइए हम बताते हैं कि तीसरे कार्य के उदाहरण का उपयोग करके कार्यों की रचना कैसे की जाती है। यह क्रमांकित परीक्षण तत्वों से बना है: 1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 9, 10, 16, 17, 22, 21, 25

« अगर» 1) तालिका (संख्या) से संख्याएँ लें; 4) 7; 7) इसे एक श्रेणी में रखें; 11) अरब; 1) तालिका से एक संख्या लें; 5) 8; 7) इसे रैंकों में रखें; 9) करोड़ों; 10) लाखों में सैकड़ों; 16) लाखों; 17) दसियों हजारों की; 22) संख्या 9 और 6 को हजारों और सैकड़ों स्थानों पर रखें। 21) शेष अंकों को शून्य से भरें; " फिर» 26) हमें सेकंड (एस) में सूर्य के चारों ओर प्लूटो ग्रह की क्रांति के समय (अवधि) के बराबर संख्या मिलती है; " यह संख्या है»: 7880889600 एस। उत्तरों में, यह पत्र द्वारा इंगित किया गया है "वी"।

समस्याओं को हल करते समय, तालिका के कक्षों में संख्याओं को पेंसिल से लिखें।

पहलू परीक्षण। एक नंबर बनाओ

तालिका में संख्याएँ हैं:

अगर

1) तालिका से संख्या (संख्या) लें:

2) 4; 3) 5; 4) 7; 5) 8; 6) 9;

7) इस आंकड़े (संख्याओं) को श्रेणी (अंक) में रखें;

8) सैकड़ों क्वाड्रिलियन और दसियों क्वाड्रिलियन;

9) दसियों लाख;

10) सैकड़ों लाखों;

11) अरब;

12) क्विंटल;

13) दसियों क्विंटल;

14) सैकड़ों क्विंटल;

15) ट्रिलियन;

16) सैकड़ों हजारों;

17) दसियों हज़ार;

18) उसके साथ कक्षा (कक्षाएं) भरें;

19) क्विंटल;

20) अरब;

21) शेष अंकों को शून्य से भरें;

22) संख्या 9 और 6 को हजारों और सैकड़ों स्थानों पर रखें;

23) हमें दसियों टन में पृथ्वी के द्रव्यमान के बराबर संख्या मिलती है;

24) हमें घन मीटर में पृथ्वी के आयतन के लगभग बराबर संख्या मिलती है;

25) हमें सूर्य से सौर मंडल के सबसे दूर के ग्रह प्लूटो तक की दूरी (मीटर में) के बराबर संख्या मिलती है;

26) हमें प्लूटो ग्रह के सूर्य के चारों ओर चक्कर लगाने के समय (अवधि) के बराबर सेकंड (सेकंड) में मिलता है;

यह संख्या है:

क) 592900000000

बी) 99999000000000000000000

डी) 598000000000000000000

समस्याओं का समाधान:

1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23

1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24

1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26

1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25

जवाब

1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23 - जी

1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24 - बी

1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26 - इंच

1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25 - ए

प्राकृतिक संख्या सबसे पुरानी गणितीय अवधारणाओं में से एक है।

सुदूर अतीत में, लोग संख्याओं को नहीं जानते थे, और जब उन्हें वस्तुओं (जानवरों, मछलियों, आदि) को गिनने की आवश्यकता होती थी, तो उन्होंने इसे अब की तुलना में अलग तरीके से किया।

वस्तुओं की संख्या की तुलना शरीर के अंगों से की गई, उदाहरण के लिए, हाथ की उंगलियों से, और उन्होंने कहा: "मेरे पास उतने ही नट हैं जितने हाथ पर उंगलियां हैं।"

समय के साथ, लोगों ने महसूस किया कि पाँच नट, पाँच बकरियाँ और पाँच खरगोश एक सामान्य संपत्ति हैं - उनकी संख्या पाँच है।

याद रखना!

पूर्णांकोंसंख्याएं हैं, जो 1 से शुरू होती हैं, वस्तुओं की गिनती करते समय प्राप्त की जाती हैं।

1, 2, 3, 4, 5…

सबसे छोटी प्राकृत संख्या — 1 .

सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्यामौजूद नहीं होना।

गिनती करते समय, शून्य संख्या का उपयोग नहीं किया जाता है। अतः शून्य को प्राकृत संख्या नहीं माना जाता है।

लोगों ने संख्याओं को गिनने के बजाय बहुत बाद में लिखना सीखा। सबसे पहले, उन्होंने एक छड़ी के साथ इकाई का प्रतिनिधित्व करना शुरू किया, फिर दो छड़ियों के साथ - संख्या 2, तीन के साथ - संख्या 3।

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

फिर संख्याओं को निर्दिष्ट करने के लिए विशेष संकेत दिखाई दिए - आधुनिक संख्याओं के अग्रदूत। संख्याएँ लिखने के लिए हम जिन संख्याओं का उपयोग करते हैं, वे लगभग 1,500 साल पहले भारत में उत्पन्न हुई थीं। अरब उन्हें यूरोप लाए, इसलिए उन्हें कहा जाता है अरबी अंक.

कुल दस अंक होते हैं: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9। इन अंकों का प्रयोग किसी भी प्राकृत संख्या को लिखने के लिए किया जा सकता है।

याद रखना!

प्राकृतिक श्रृंखलासभी प्राकृतिक संख्याओं का क्रम है:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

प्राकृतिक श्रृंखला में, प्रत्येक संख्या पिछली संख्या से 1 अधिक होती है।

प्राकृतिक श्रृंखला अनंत है, इसमें कोई सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या नहीं है।

हमारे द्वारा उपयोग की जाने वाली गणना प्रणाली कहलाती है दशमलव स्थितीय.

दशमलव क्योंकि प्रत्येक अंक की 10 इकाइयाँ सबसे महत्वपूर्ण अंक की 1 इकाई बनाती हैं। स्थितीय क्योंकि किसी अंक का मान किसी संख्या के अंकन में उसके स्थान पर निर्भर करता है, अर्थात उस अंक पर जिसमें वह लिखा जाता है।

जरूरी!

अरबों का अनुसरण करने वाले वर्गों को संख्याओं के लैटिन नामों के अनुसार नामित किया गया है। प्रत्येक अगली इकाई में एक हजार पिछले होते हैं।

• 1,000 बिलियन = 1,000,000,000,000 = 1 ट्रिलियन ("तीन" लैटिन "तीन" के लिए है)
• 1,000 ट्रिलियन = 1,000,000,000,000 = 1 क्वाड्रिलियन ("क्वाड्रा" लैटिन में "चार" के लिए है)
• 1,000 क्वाड्रिलियन = 1,000,000,000,000,000,000 = 1 क्विंटल ("क्विंटा" लैटिन "पांच" के लिए है)

हालांकि, भौतिकविदों ने एक संख्या पाई है जो पूरे ब्रह्मांड में सभी परमाणुओं (पदार्थ के सबसे छोटे कण) की संख्या से अधिक है।

इस अंक का एक विशेष नाम है - गूगोल. गूगोल एक संख्या है जिसमें 100 शून्य होते हैं।

पूर्णांकों

प्राकृतिक संख्या परिभाषा सकारात्मक पूर्णांक हैं। प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग वस्तुओं को गिनने और कई अन्य उद्देश्यों के लिए किया जाता है। यहाँ संख्याएँ हैं:

यह संख्याओं की एक प्राकृतिक श्रृंखला है।
शून्य एक प्राकृत संख्या है? नहीं, शून्य कोई प्राकृत संख्या नहीं है।
प्राकृतिक संख्या कितनी होती है? प्राकृतिक संख्याओं का एक अनंत सेट है।
सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या कौन सी है? एक सबसे छोटी प्राकृत संख्या है।
सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या कौन सी है? इसे निर्दिष्ट नहीं किया जा सकता है, क्योंकि प्राकृतिक संख्याओं का एक अनंत सेट है।

प्राकृत संख्याओं का योग एक प्राकृत संख्या है। अतः प्राकृत संख्याओं का योग a और b:

प्राकृत संख्याओं का गुणनफल एक प्राकृत संख्या है। तो, प्राकृतिक संख्या a और b का गुणनफल:

c हमेशा एक प्राकृत संख्या होती है।

प्राकृत संख्याओं का अंतर हमेशा एक प्राकृत संख्या नहीं होती है। यदि मिन्यूएंड सबट्रेंड से बड़ा है, तो प्राकृतिक संख्याओं का अंतर एक प्राकृतिक संख्या है, अन्यथा ऐसा नहीं है।

प्राकृत संख्याओं का भागफल सदैव प्राकृत संख्या नहीं होता है। यदि प्राकृत संख्याओं के लिए a और b

जहाँ c एक प्राकृत संख्या है, इसका अर्थ है कि a, b से समान रूप से विभाज्य है। इस उदाहरण में, a भाज्य है, b भाजक है, c भागफल है।

एक प्राकृत संख्या का भाजक वह प्राकृत संख्या है जिससे पहली संख्या समान रूप से विभाज्य होती है।

प्रत्येक प्राकृत संख्या 1 और स्वयं से विभाज्य होती है।

साधारण प्राकृत संख्याएँ केवल 1 और स्वयं से विभाज्य होती हैं। यहां हमारा मतलब पूरी तरह से विभाजित है। उदाहरण, संख्या 2; 3; 5; 7 केवल 1 और स्वयं से विभाज्य है। ये सरल प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

एक को अभाज्य संख्या नहीं माना जाता है।

वे संख्याएँ जो एक से बड़ी हों और जो अभाज्य न हों, भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं। संयुक्त संख्याओं के उदाहरण:

एक को समग्र संख्या नहीं माना जाता है।

प्राकृत संख्याओं के समुच्चय में एक, अभाज्य संख्याएँ और भाज्य संख्याएँ होती हैं।

प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को लैटिन अक्षर N से निरूपित किया जाता है।

प्राकृत संख्याओं के योग और गुणन के गुण:

जोड़ की क्रमविनिमेय संपत्ति

जोड़ की साहचर्य संपत्ति

(ए + बी) + सी = ए + (बी + सी);

गुणन का क्रमविनिमेय गुण

गुणन का साहचर्य गुण

(एबी) सी = ए (बीसी);

गुणन का वितरण गुण

ए (बी + सी) = एबी + एसी;

पूर्ण संख्याएं

पूर्णांक प्राकृतिक संख्याएँ हैं, शून्य और प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत।

प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत संख्याएँ ऋणात्मक पूर्णांक होती हैं, उदाहरण के लिए:

1; -2; -3; -4;...

पूर्णांकों के समुच्चय को लैटिन अक्षर Z द्वारा निरूपित किया जाता है।

परिमेय संख्या

परिमेय संख्याएँ पूर्णांक और भिन्न होती हैं।

किसी भी परिमेय संख्या को आवर्त भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

उदाहरणों से यह देखा जा सकता है कि कोई भी पूर्णांक एक आवर्त भिन्न होता है जिसका आवर्त शून्य होता है।

किसी भी परिमेय संख्या को भिन्न m/n के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ m एक पूर्णांक है और n एक प्राकृत संख्या है। आइए पिछले उदाहरण से संख्या 3,(6) को ऐसे भिन्न के रूप में निरूपित करें।

प्राकृतिक संख्याएं और उनके गुण

जीवन में वस्तुओं को गिनने के लिए प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग किया जाता है। कोई भी प्राकृत संख्या $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ . अंकों का उपयोग करती है

प्राकृतिक संख्याओं का एक क्रम, प्रत्येक अगली संख्या जिसमें पिछले एक से $1$ अधिक है, एक प्राकृतिक श्रृंखला बनाती है जो एक से शुरू होती है (क्योंकि एक सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है) और इसका सबसे बड़ा मूल्य नहीं है, अर्थात। अनंत।

शून्य को प्राकृत संख्या नहीं माना जाता है।

निम्नलिखित संबंध गुण

प्राकृतिक संख्याओं और उन पर संचालन के सभी गुण अनुक्रम संबंधों के चार गुणों से अनुसरण करते हैं, जिन्हें डी। पीनो द्वारा $ 1891 $ में तैयार किया गया था:

एक एक प्राकृतिक संख्या है जो किसी भी प्राकृतिक संख्या का पालन नहीं करती है।

प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के बाद एक और केवल एक संख्या होती है

$1$ के अलावा प्रत्येक प्राकृतिक संख्या एक और केवल एक प्राकृतिक संख्या का अनुसरण करती है

प्राकृतिक संख्याओं के उपसमुच्चय में संख्या $1$ होती है, और प्रत्येक संख्या के साथ उसके बाद आने वाली संख्या में सभी प्राकृतिक संख्याएँ होती हैं।

यदि किसी प्राकृत संख्या के रिकॉर्ड में एक अंक होता है, तो इसे एकल-अंक (उदाहरण के लिए, $ 2.6.9 $, आदि) कहा जाता है, यदि रिकॉर्ड में दो अंक होते हैं, तो इसे दोहरे अंक (उदाहरण के लिए, $ 12.18) कहा जाता है। .45$), आदि। इसी तरह। दो अंक, तीन अंक, चार अंक, आदि। गणित में संख्याओं को बहुमान कहा जाता है।

प्राकृत संख्याओं का योग गुण

कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी: $a+b=b+a$

जब शर्तों को पुनर्व्यवस्थित किया जाता है तो योग नहीं बदलता है

सहयोगी संपत्ति: $a+ (b+c) =(a+b) +c$

किसी संख्या में दो संख्याओं का योग जोड़ने के लिए, आप पहले पहले पद को जोड़ सकते हैं, और फिर परिणामी योग में, दूसरा पद जोड़ सकते हैं

शून्य जोड़ने से संख्या नहीं बदलती है, और यदि आप शून्य में कोई संख्या जोड़ते हैं, तो आपको अतिरिक्त संख्या प्राप्त होती है।

घटाव गुण

संख्या $a-(b+c) =a-b-c$ से योग घटाने का गुण यदि $b+c ≤ a$

किसी संख्या से योग घटाने के लिए, आप पहले इस संख्या से पहले पद को घटा सकते हैं, और फिर परिणामी अंतर से, दूसरा पद घटा सकते हैं

योग $(a+b) -c=a+(b-c)$ से किसी संख्या को घटाने का गुण यदि $c b$

योग से किसी संख्या को घटाने के लिए, आप इसे एक पद से घटा सकते हैं, और परिणामी अंतर में दूसरा पद जोड़ सकते हैं

यदि आप किसी संख्या से शून्य घटाते हैं, तो संख्या नहीं बदलेगी।

यदि आप इसे संख्या में से ही घटा देते हैं, तो आपको शून्य प्राप्त होता है

गुणन गुण

विस्थापन $a\cdot b=b\cdot a$

गुणनखंडों को पुनर्व्यवस्थित करने पर दो संख्याओं का गुणनफल नहीं बदलता है

सहयोगी $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$

किसी संख्या को दो संख्याओं के गुणनफल से गुणा करने के लिए, आप पहले उसे पहले गुणनखंड से गुणा कर सकते हैं, और फिर परिणामी गुणनफल को दूसरे गुणनखंड से गुणा कर सकते हैं

जब एक से गुणा किया जाता है, तो उत्पाद नहीं बदलता है $m\cdot 1=m$

जब शून्य से गुणा किया जाता है, तो गुणनफल शून्य होता है

जब उत्पाद संकेतन में कोई कोष्ठक नहीं होते हैं, तो गुणा बाएं से दाएं क्रम में किया जाता है

जोड़ और घटाव के संबंध में गुणन के गुण

जोड़ के संबंध में गुणन की वितरण संपत्ति

$(a+b)\cdot c=ac+bc$

योग को किसी संख्या से गुणा करने के लिए, आप प्रत्येक पद को इस संख्या से गुणा कर सकते हैं और परिणामी गुणनफल जोड़ सकते हैं

उदाहरण के लिए, $5(x+y)=5x+5y$

घटाव के संबंध में गुणन का वितरण गुण

$(a-b)\cdot c=ac-bc$

किसी संख्या से अंतर को गुणा करने के लिए, इस संख्या से घटाए गए और घटाए गए अंश को गुणा करें और दूसरे को पहले उत्पाद से घटाएं

उदाहरण के लिए, $5(x-y)=5x-5y$

प्राकृतिक संख्याओं की तुलना

किसी भी प्राकृतिक संख्या $a$ और $b$ के लिए, तीन संबंधों में से केवल एक $a=b$, $a

छोटी संख्या वह है जो प्राकृतिक श्रृंखला में पहले दिखाई देती है, और बड़ी जो बाद में दिखाई देती है। शून्य किसी भी प्राकृत संख्या से छोटा होता है।

उदाहरण 1

संख्याओं $a$ और $555$ की तुलना करें, यदि यह ज्ञात है कि कुछ संख्या $b$ है, और निम्नलिखित संबंध हैं: $a

समाधान: निर्दिष्ट संपत्ति के आधार पर, क्योंकि शर्त के अनुसार $a

कम से कम एक संख्या वाली प्राकृतिक संख्याओं के किसी भी उपसमुच्चय की सबसे छोटी संख्या होती है

गणित में एक उपसमुच्चय समुच्चय का एक भाग होता है। एक समुच्चय को दूसरे समुच्चय का उपसमुच्चय कहा जाता है यदि उपसमुच्चय का प्रत्येक अवयव भी बड़े समुच्चय का अवयव हो।

अक्सर, संख्याओं की तुलना करने के लिए, वे अपना अंतर ढूंढते हैं और इसकी तुलना शून्य से करते हैं। यदि अंतर $0$ से अधिक है, लेकिन पहली संख्या दूसरी से बड़ी है, यदि अंतर $0$ से कम है, तो पहली संख्या दूसरी से कम है।

प्राकृतिक संख्याओं को गोल करना

जब पूर्ण सटीकता की आवश्यकता नहीं होती है, या संभव नहीं है, तो संख्याओं को गोल कर दिया जाता है, अर्थात, उन्हें अंत में शून्य के साथ निकट संख्याओं से बदल दिया जाता है।

प्राकृत संख्याएँ दसियों, सैकड़ों, हज़ारों आदि तक पूर्णांकित की जाती हैं।

जब किसी संख्या को दहाई में पूर्णांकित किया जाता है, तो उसे निकटतम संख्या से बदल दिया जाता है जिसमें पूर्ण दहाई होती है; ऐसी संख्या में इकाई के स्थान पर अंक $0$ होता है

जब किसी संख्या को सैकड़ा में पूर्णांकित किया जाता है, तो उसे निकटतम संख्या से बदल दिया जाता है जिसमें पूर्ण सैकड़ा होता है; ऐसी संख्या में दहाई और इकाई के स्थान पर अंक $0$ होना चाहिए। आदि

जिन संख्याओं को पूर्णांकित किया जाता है, उन्हें निर्दिष्ट अंकों की सटीकता के साथ संख्या का अनुमानित मान कहा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि आप संख्या $ 564 $ से दसियों तक गोल करते हैं, तो हम पाते हैं कि इसे नुकसान के साथ गोल किया जा सकता है और प्राप्त किया जा सकता है $560$, या अधिक के साथ और $570$ प्राप्त करें।

प्राकृत संख्याओं के लिए पूर्णांकन नियम

यदि उस अंक के दायीं ओर, जिस पर संख्या को गोल किया गया है, वह अंक $5$ है या कोई अंक $5$ से अधिक है, तो इस अंक के अंक में $1$ जोड़ा जाता है; अन्यथा, यह आंकड़ा अपरिवर्तित छोड़ दिया जाता है।

उस अंक के दाईं ओर स्थित सभी अंक, जिस पर संख्या को गोल किया जाता है, शून्य से बदल दिया जाता है

परिभाषा

प्राकृतिक संख्याएँ वस्तुओं को गिनने के लिए अभिप्रेत संख्याएँ कहलाती हैं। प्राकृतिक संख्याओं को रिकॉर्ड करने के लिए, 10 अरबी अंकों (0–9) का उपयोग किया जाता है, जो आमतौर पर गणितीय गणना के लिए स्वीकृत दशमलव संख्या प्रणाली का आधार बनते हैं।

प्राकृतिक संख्याओं का क्रम

प्राकृत संख्याएं 1 से शुरू होकर सभी धनात्मक पूर्णांकों के समुच्चय को कवर करती हुई एक श्रृंखला बनाती हैं। इस तरह के अनुक्रम में संख्या 1,2,3, ... होती है। इसका मतलब है कि प्राकृतिक श्रृंखला में:

1. सबसे छोटी संख्या होती है और सबसे बड़ी कोई नहीं।
2. प्रत्येक अगली संख्या पिछले एक से 1 से अधिक है (अपवाद स्वयं इकाई है)।
3. जैसे-जैसे संख्याएं अनंत तक जाती हैं, वे अनिश्चित काल तक बढ़ती जाती हैं।

कभी-कभी 0 को प्राकृत संख्याओं की श्रृंखला में भी पेश किया जाता है। यह अनुमेय है, और फिर वे इसके बारे में बात करते हैं विस्तारितप्राकृतिक श्रृंखला।

प्राकृतिक संख्याओं के वर्ग

एक प्राकृत संख्या का प्रत्येक अंक एक निश्चित अंक को व्यक्त करता है। अंतिम हमेशा संख्या में इकाइयों की संख्या होती है, इससे पहले एक दसियों की संख्या होती है, तीसरा अंत से सैकड़ों की संख्या होती है, चौथा हजारों की संख्या होती है, और इसी तरह।

• 276 की संख्या में: 2 शतक, 7 दहाई, 6 इकाइयाँ
• 1098 की संख्या में: 1 हजार, 9 दहाई, 8 वाले; यहां सैकड़ा का स्थान अनुपस्थित है, क्योंकि इसे शून्य के रूप में व्यक्त किया जाता है।

बड़ी और बहुत बड़ी संख्याओं के लिए, आप एक स्थिर प्रवृत्ति देख सकते हैं (यदि आप दाईं से बाईं ओर की संख्या की जांच करते हैं, यानी अंतिम अंक से पहले तक):

• संख्या में अंतिम तीन अंक इकाइयाँ, दहाई और सैकड़ों हैं;
• पिछले तीन इकाइयाँ, दहाई और सैकड़ों हज़ार हैं;
• उनके सामने तीन (अर्थात संख्या के 7वें, 8वें और 9वें अंक, अंत से गिनते हुए) इकाई, दहाई और करोड़ों आदि हैं।

यही है, हर बार हम तीन अंकों के साथ काम कर रहे हैं, जिसका अर्थ है इकाइयाँ, दहाई और सैकड़ों बड़े नाम। ऐसे समूह वर्ग बनाते हैं। और अगर आपको रोज़मर्रा की ज़िंदगी में पहले तीन वर्गों को कम या ज्यादा बार करना है, तो दूसरों को सूचीबद्ध किया जाना चाहिए, क्योंकि हर कोई उनके नाम को दिल से याद नहीं करता है।

• चौथी कक्षा, जो लाखों के वर्ग का अनुसरण करती है और 10-12 अंकों की संख्याओं का प्रतिनिधित्व करती है, एक अरब (या एक अरब) कहलाती है;
• 5 वीं कक्षा - ट्रिलियन;
• छठी कक्षा - क्वाड्रिलियन;
• 7 वीं कक्षा - क्विंटलियन;
• 8 वीं कक्षा - सेक्स्टिलियन;
• 9वीं कक्षा - सेप्टिलियन।

प्राकृत संख्याओं का योग

प्राकृत संख्याओं का योग एक अंकगणितीय संक्रिया है जो आपको एक संख्या प्राप्त करने की अनुमति देती है जिसमें उतनी ही इकाइयाँ होती हैं जितनी एक साथ जोड़ी गई संख्याओं में होती हैं।

जोड़ का चिन्ह "+" चिन्ह है। जोड़े गए नंबरों को पद कहा जाता है, परिणाम को योग कहा जाता है।

मौखिक रूप से छोटी संख्याओं को जोड़ा (सारांशित) किया जाता है, लिखित रूप में ऐसी क्रियाओं को एक पंक्ति में लिखा जाता है।

बहु-अंकीय संख्याएँ, जिन्हें दिमाग में जोड़ना मुश्किल होता है, आमतौर पर एक कॉलम में जोड़ दी जाती हैं। इसके लिए संख्याओं को एक के नीचे एक, अंतिम अंक के साथ संरेखित करते हुए लिखा जाता है, अर्थात वे इकाई अंक को इकाई अंक के नीचे, सैकड़ों अंक को सैकड़ों अंकों के नीचे, और इसी तरह लिखते हैं। इसके बाद, आपको अंकों को जोड़े में जोड़ना होगा। यदि अंकों का योग दस के माध्यम से संक्रमण के साथ होता है, तो यह दस बाईं ओर के अंक के ऊपर एक इकाई के रूप में तय किया जाता है (अर्थात, इसका अनुसरण करता है) और इस अंक के अंकों के साथ जोड़ा जाता है।

यदि कॉलम में 2 नहीं, बल्कि अधिक संख्याएँ जोड़ी जाती हैं, तो श्रेणी के अंकों का योग करते समय, 1 दर्जन नहीं, बल्कि कई, बेमानी हो सकते हैं। इस स्थिति में, ऐसे दहाई की संख्या को अगले अंक में स्थानांतरित कर दिया जाता है।

प्राकृतिक संख्याओं का घटाव

घटाव एक अंकगणितीय ऑपरेशन है, जोड़ का उल्टा, जो इस तथ्य पर उबलता है कि, राशि और शर्तों में से एक को देखते हुए, आपको एक और - एक अज्ञात शब्द खोजने की आवश्यकता है। जिस संख्या से घटाया जा रहा है उसे मिन्यूएंड कहते हैं; जिस संख्या को घटाया जा रहा है वह सबट्रेंड है। घटाव के परिणाम को अंतर कहा जाता है। घटाव की क्रिया को दर्शाने वाला चिन्ह "-" है।

जोड़ के संक्रमण में, सबट्रेंड और अंतर शब्दों में बदल जाते हैं, और घटा को योग में बदल देते हैं। जोड़ आमतौर पर प्रदर्शन किए गए घटाव की शुद्धता की जांच करता है, और इसके विपरीत।

यहां 74 मिन्यूएंड है, 18 सबट्रेंड है, 56 अंतर है।

प्राकृतिक संख्याओं को घटाने के लिए एक पूर्वापेक्षा निम्नलिखित है: माइन्यूएंड अनिवार्य रूप से सबट्रेंड से बड़ा होना चाहिए। केवल इस मामले में परिणामी अंतर भी एक प्राकृतिक संख्या होगी। यदि घटाव क्रिया एक विस्तारित प्राकृतिक श्रृंखला के लिए की जाती है, तो यह अनुमति दी जाती है कि मिन्यूएंड सबट्रेंड के बराबर है। और इस स्थिति में घटाव का परिणाम 0 होगा।

नोट: यदि सबट्रेंड शून्य के बराबर है, तो घटाव ऑपरेशन मिन्यूएंड के मान को नहीं बदलता है।

बहु-अंकीय संख्याओं का घटाव आमतौर पर एक कॉलम में किया जाता है। संख्याओं को उसी तरह लिखिए जैसे जोड़ के लिए। घटाव संबंधित अंकों के लिए किया जाता है। यदि यह पता चलता है कि मिन्यूएंड सबट्रेंड से कम है, तो एक को पिछले (बाईं ओर स्थित) अंक से लिया जाता है, जो स्थानांतरण के बाद स्वाभाविक रूप से 10 में बदल जाता है। इस दस को कम किए गए आंकड़े के साथ अभिव्यक्त किया जाता है अंक दिया और फिर घटाया। इसके अलावा, अगला अंक घटाते समय, यह ध्यान रखना आवश्यक है कि घटा हुआ 1 कम हो गया है।

प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल

प्राकृत संख्याओं का गुणनफल (या गुणन) एक अंकगणितीय संक्रिया है, जो समान पदों की एक मनमाना संख्या का योग ज्ञात कर रहा है। गुणन के संचालन को रिकॉर्ड करने के लिए, "·" (कभी-कभी "×" या "*") चिह्न का उपयोग करें। उदाहरण के लिए: 3 5=15।

जब बड़ी संख्या में पदों को जोड़ना आवश्यक हो तो गुणन की क्रिया अपरिहार्य है। उदाहरण के लिए, यदि आपको संख्या 4 7 बार जोड़ने की आवश्यकता है, तो 4 को 7 से गुणा करना इस जोड़ को करने से आसान है: 4+4+4+4+4+4+4।

जिन संख्याओं को गुणा किया जाता है, उन्हें गुणनखंड कहते हैं, गुणन का परिणाम गुणनफल होता है। तदनुसार, "कार्य" शब्द, संदर्भ के आधार पर, गुणन की प्रक्रिया और उसके परिणाम दोनों को व्यक्त कर सकता है।

बहु-अंकीय संख्याओं को एक कॉलम में गुणा किया जाता है। इसके लिए संख्या उसी तरह लिखी जाती है जैसे जोड़ और घटाव के लिए। पहले (ऊपर) लिखने की सिफारिश की जाती है कि 2 में से कौन सी संख्या लंबी है। इस मामले में, गुणन प्रक्रिया सरल होगी, और इसलिए अधिक तर्कसंगत होगी।

जब एक कॉलम में गुणा किया जाता है, तो दूसरी संख्या के प्रत्येक अंक के अंकों को उसके अंत से शुरू करते हुए, पहली संख्या के अंकों से क्रमिक रूप से गुणा किया जाता है। इस तरह का पहला काम मिलने के बाद, वे इकाइयों की संख्या लिखते हैं, और दसियों की संख्या को ध्यान में रखते हैं। दूसरी संख्या के अंक को पहली संख्या के अगले अंक से गुणा करने पर जो अंक ध्यान में रखा जाता है वह गुणनफल में जुड़ जाता है। और फिर से वे प्राप्त परिणाम की इकाइयों की संख्या लिखते हैं, और दसियों की संख्या याद करते हैं। पहली संख्या के अंतिम अंक से गुणा करने पर इस प्रकार प्राप्त संख्या पूर्ण रूप से लिख दी जाती है।

दूसरी संख्या के दूसरे अंक के अंकों को गुणा करने का परिणाम दूसरी पंक्ति में लिखा जाता है, इसे 1 सेल को दाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है। आदि। नतीजतन, एक "सीढ़ी" प्राप्त की जाएगी। संख्याओं की सभी परिणामी पंक्तियों को जोड़ा जाना चाहिए (एक कॉलम में जोड़ के नियम के अनुसार)। खाली कोशिकाओं को शून्य से भरा माना जाना चाहिए। परिणामी योग अंतिम उत्पाद है।

ध्यान दें

1. किसी भी प्राकृत संख्या का 1 (या 1 बटा संख्या) का गुणनफल स्वयं संख्या के बराबर होता है। उदाहरण के लिए: 376 1=376; 1 86=86.
2. जब कारकों में से एक या दोनों कारक 0 के बराबर होते हैं, तो उत्पाद 0 के बराबर होता है। उदाहरण के लिए: 32·0=0; 0 845=845; 0 0 = 0।

प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन

विभाजन को एक अंकगणितीय ऑपरेशन कहा जाता है, जिसकी सहायता से, एक ज्ञात उत्पाद और कारकों में से एक के अनुसार, यह एक और - अज्ञात - कारक पाया जा सकता है। भाग गुणन का विलोम है और इसका उपयोग यह जांचने के लिए किया जाता है कि क्या गुणन सही ढंग से किया गया है (और इसके विपरीत)।

जिस संख्या को विभाजित किया जा रहा है उसे विभाज्य कहा जाता है; जिस संख्या से इसे विभाजित किया जाता है वह भाजक है; भाग के परिणाम को भागफल कहते हैं। विभाजन चिह्न ":" है (कभी-कभी, कम बार - "÷")।

यहां 48 भाज्य है, 6 भाजक है और 8 भागफल है।

सभी प्राकृत संख्याओं को आपस में विभाजित नहीं किया जा सकता है। इस मामले में, विभाजन शेष के साथ किया जाता है। यह इस तथ्य में समाहित है कि भाजक के लिए इस तरह के कारक का चयन किया जाता है ताकि भाजक द्वारा इसका उत्पाद एक संख्या हो जो लाभांश के मूल्य के जितना करीब हो, लेकिन उससे कम हो। भाजक को इस कारक से गुणा किया जाता है और लाभांश से घटाया जाता है। अंतर विभाजन का शेष होगा। गुणनखंड द्वारा भाजक का गुणनफल अपूर्ण भागफल कहलाता है। ध्यान दें: शेष चयनित गुणक से कम होना चाहिए! यदि शेष बड़ा है, तो इसका मतलब है कि गुणक गलत तरीके से चुना गया है, और इसे बढ़ाया जाना चाहिए।

हम 7 के लिए एक कारक का चयन करते हैं। इस मामले में, यह संख्या 5 है। हम एक अपूर्ण भागफल पाते हैं: 7 5 \u003d 35। शेष की गणना करें: 38-35=3। 3 . से<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).

बहु-अंकीय संख्याओं को एक कॉलम में विभाजित किया जाता है। ऐसा करने के लिए, भाजक और भाजक को साथ-साथ लिखा जाता है, भाजक को एक ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज रेखा से अलग किया जाता है। लाभांश में, पहले अंक या पहले कुछ अंक (दाईं ओर) चुने जाते हैं, जो एक ऐसी संख्या होनी चाहिए जो एक भाजक द्वारा विभाजित करने के लिए न्यूनतम रूप से पर्याप्त हो (अर्थात यह संख्या भाजक से बड़ी होनी चाहिए)। इस संख्या के लिए, एक अपूर्ण भागफल का चयन किया जाता है, जैसा कि शेष के साथ विभाजन के नियम में वर्णित है। आंशिक भागफल ज्ञात करने के लिए प्रयुक्त गुणक की संख्या भाजक के नीचे लिखी जाती है। अधूरा भागफल उस संख्या के नीचे लिखा जाता है जिसे विभाजित किया गया था, सही-संरेखित किया गया था। उनका अंतर ज्ञात कीजिए। लाभांश के अगले अंक को इस अंतर के आगे लिखकर नष्ट कर दिया जाता है। परिणामी संख्या के लिए, भाजक के नीचे पिछले एक के बगल में, चयनित कारक का आंकड़ा लिखकर एक अधूरा भागफल फिर से पाया जाता है। आदि। इस तरह की कार्रवाइयाँ तब तक की जाती हैं जब तक कि लाभांश की संख्या समाप्त न हो जाए। उसके बाद, विभाजन को पूर्ण माना जाता है। यदि लाभांश और भाजक को पूरी तरह से विभाजित किया जाता है (बिना शेष के), तो अंतिम अंतर शून्य देगा। अन्यथा, शेष संख्या वापस कर दी जाएगी।

घातांक

घातांक एक गणितीय ऑपरेशन है जिसमें समान संख्याओं की एक मनमानी संख्या को गुणा करना शामिल है। उदाहरण के लिए: 2 2 2 2.

इस तरह के भाव इस प्रकार लिखे गए हैं: एक एक्स,

कहाँ पे एएक संख्या को स्वयं से गुणा किया जाता है एक्सऐसे कारकों की संख्या है।

अभाज्य और मिश्रित प्राकृत संख्याएं

1 को छोड़कर किसी भी प्राकृत संख्या को कम से कम 2 संख्याओं से विभाजित किया जा सकता है - एक और स्वयं। इस मानदंड के आधार पर, प्राकृतिक संख्याओं को अभाज्य और संयुक्त में विभाजित किया जाता है।

अभाज्य संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जो केवल 1 और स्वयं से विभाज्य होती हैं। वे संख्याएँ जो इन 2 से अधिक संख्याओं से विभाज्य होती हैं, भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं। केवल अपने आप से विभाज्य इकाई न तो अभाज्य है और न ही यौगिक।

संख्याएँ अभाज्य हैं: 2,3,5,7,11,13,17,19, आदि। भाज्य संख्याओं के उदाहरण: 4 (1,2,4 से विभाज्य), 6 (1,2,3,6 से विभाज्य), 20 (1,2,4,5,10,20 से विभाज्य)।

किसी भी भाज्य संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जा सकता है। इस मामले में, अभाज्य गुणनखंड इसके भाजक माने जाते हैं, जो अभाज्य संख्याएँ हैं।

प्रमुख कारकों में गुणनखंडन का एक उदाहरण:

प्राकृत संख्याओं के भाजक

भाजक वह संख्या है जिससे किसी दी गई संख्या को बिना किसी शेषफल के विभाजित किया जा सकता है।

इस परिभाषा के अनुसार, साधारण प्राकृत संख्याओं में 2 भाजक होते हैं, भाज्य संख्याओं में 2 से अधिक भाजक होते हैं।

कई संख्याओं में सामान्य भाजक होते हैं। सार्व भाजक वह संख्या है जिससे दी गई संख्याएँ बिना किसी शेषफल के विभाज्य होती हैं।

• संख्या 12 और 15 में एक सामान्य भाजक है 3
• संख्या 20 और 30 के उभयनिष्ठ भाजक 2,5,10 . हैं

विशेष महत्व का सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी) है। यह संख्या, विशेष रूप से, भिन्नों को कम करने के लिए खोजने में सक्षम होने के लिए उपयोगी है। इसे खोजने के लिए, दी गई संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना और इसे उनके सामान्य अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक है, जो उनकी सबसे छोटी घातों में लिया गया है।

संख्या 36 और 48 की GCD ज्ञात करना आवश्यक है।

प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता

"आंख से" निर्धारित करना हमेशा संभव नहीं होता है कि क्या एक संख्या शेष के बिना दूसरी संख्या से विभाज्य है। ऐसे मामलों में, संगत विभाज्यता परीक्षण उपयोगी होता है, अर्थात्, वह नियम जिसके द्वारा कुछ ही सेकंड में आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि क्या संख्याओं को बिना किसी शेषफल के विभाजित करना संभव है। विभाज्यता को इंगित करने के लिए "" चिन्ह का उपयोग किया जाता है।

न्यूनतम समापवर्तक

यह मान (जिसे LCM दर्शाया गया है) सबसे छोटी संख्या है जो दिए गए प्रत्येक से विभाज्य है। एलसीएम प्राकृतिक संख्याओं के एक मनमाना सेट के लिए पाया जा सकता है।

एलसीएम, जीसीडी की तरह, एक महत्वपूर्ण लागू अर्थ है। तो, यह एलसीएम है जिसे सामान्य अंशों को एक सामान्य हर में कम करके खोजने की आवश्यकता है।

एलसीएम दी गई संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके निर्धारित किया जाता है। इसके गठन के लिए, एक उत्पाद लिया जाता है, जिसमें प्रत्येक होने वाली (कम से कम 1 संख्या के लिए) प्रमुख कारक अधिकतम डिग्री तक प्रतिनिधित्व करते हैं।

संख्या 14 और 24 का LCM ज्ञात करना आवश्यक है।

औसत

प्राकृतिक संख्याओं की एक मनमाना (लेकिन परिमित) संख्या का अंकगणितीय माध्य इन सभी संख्याओं का योग है जो पदों की संख्या से विभाजित होता है:

अंकगणित माध्य एक संख्या सेट के लिए कुछ औसत मान है।

संख्या 2,84,53,176,17,28 दी गई है। उनका समांतर माध्य ज्ञात करना आवश्यक है।