Handlinger på sandsynligheder. Opgaver til den klassiske definition af sandsynlighed

At vide, hvordan man estimerer sandsynligheden for en begivenhed baseret på odds er afgørende for at vælge det rigtige væddemål. Hvis du ikke forstår, hvordan du oversætter betting odds til odds, vil du aldrig være i stand til at bestemme, hvordan betting odds sammenlignes med de faktiske odds for en begivenhed, der finder sted. Det skal forstås, at hvis sandsynligheden for en begivenhed ifølge bookmakerne er lavere end sandsynligheden for den samme begivenhed ifølge din egen version, vil et væddemål på denne begivenhed være værdifuldt. Du kan sammenligne odds for forskellige begivenheder på Odds.ru hjemmesiden.

1.1. Koefficienttyper

Bookmakere tilbyder normalt tre typer odds - decimal, brøk og amerikanske. Lad os tage et kig på hver af varianterne.

1.2. Decimal odds

Decimalodds, når ganget med størrelsen af ​​indsatsen, giver dig mulighed for at beregne hele det beløb, du vil modtage i hånden, hvis du vinder. For eksempel, hvis du satser $1 til odds 1,80, hvis du vinder, vil du modtage $1,80 ($1 er afkastet af indsatsen, $0,80 er gevinsten på indsatsen, hvilket også er din nettofortjeneste).

Det vil sige, at sandsynligheden for et udfald ifølge bookmakerne er 55%.

1.3. Fraktionelle odds

Fraktionelle odds er den mest traditionelle form for odds. Tælleren viser det potentielle beløb for nettogevinster. Nævneren er mængden af ​​indsats, der skal foretages for at få den samme gevinst. For eksempel betyder odds på 7/2, at for at få en nettogevinst på $7, skal du satse $2.

For at beregne sandsynligheden for en hændelse ud fra en decimalkoefficient bør der laves en simpel beregning - nævneren divideres med summen af ​​tæller og nævner. For ovenstående koefficient 7/2 vil beregningen være som følger:

2 / (7+2) = 2 / 9 = 0,22

Det vil sige, at sandsynligheden for et udfald ifølge bookmakerne er 22%.

1.4. Amerikanske odds

Denne type odds er populær i Nordamerika. Ved første øjekast virker de ret komplicerede og uforståelige, men vær ikke bange. Det kan være nyttigt at forstå amerikanske odds, for eksempel, når du spiller på amerikanske kasinoer, for at forstå citater, der vises i nordamerikanske sportsudsendelser. Lad os finde ud af, hvordan man vurderer sandsynligheden for et udfald baseret på amerikanske odds.

Først og fremmest skal du forstå, at amerikanske odds er positive og negative. Negative amerikanske odds er altid i formatet, for eksempel "-150". Dette betyder, at for at modtage $100 i nettofortjeneste (vindende), skal du satse $150.

En positiv amerikansk koefficient beregnes omvendt. For eksempel har vi en koefficient på "+120". Dette betyder, at for at modtage $120 nettooverskud (vindende), skal du satse $100.

Sandsynlighedsberegningen baseret på negative amerikanske odds udføres ved hjælp af følgende formel:

(-(negative amerikanske odds)) / ((-(negative amerikanske odds)) + 100)

(-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0,6

Det vil sige, at sandsynligheden for en hændelse, for hvilken der er givet en negativ amerikansk koefficient på "-150", er 60%.

Overvej nu lignende beregninger for en positiv amerikansk koefficient. Sandsynligheden i dette tilfælde beregnes ved hjælp af følgende formel:

100 / (positive amerikanske odds + 100)

100 / (120 + 100) = 100 / 220 = 0.45

Det vil sige, at sandsynligheden for en hændelse, for hvilken der er givet en positiv amerikansk koefficient på "+120", er 45%.

1.5. Hvordan konverteres koefficienter fra et format til et andet?

Evnen til at oversætte odds fra et format til et andet kan tjene dig godt senere. Mærkeligt nok er der stadig bookmakere, hvor oddsene ikke konverteres og kun vises i ét format, hvilket er usædvanligt for os. Lad os se på eksempler på, hvordan man gør dette. Men først skal vi lære, hvordan man beregner sandsynligheden for et udfald baseret på den koefficient, vi har fået.

1.6. Hvordan beregner man en decimalkoefficient baseret på sandsynlighed?

Alt er meget enkelt her. Det er nødvendigt at dividere 100 med sandsynligheden for hændelsen i procent. Det vil sige, at hvis den estimerede sandsynlighed for en hændelse er 60 %, skal du:

Med en estimeret sandsynlighed for en hændelse på 60 % ville decimaloddset være 1,66.

1.7. Hvordan beregner man en brøkkoefficient baseret på sandsynlighed?

I dette tilfælde er det nødvendigt at dividere 100 med sandsynligheden for en begivenhed og trække en fra det opnåede resultat. For eksempel er sandsynligheden for en hændelse 40 %:

(100 / 40) — 1 = 2,5 — 1 = 1,5

Det vil sige, at vi får en brøkkoefficient på 1,5/1 eller for nemheds skyld - 3/2.

1.8. Hvordan beregner man den amerikanske koefficient baseret på det sandsynlige udfald?

Her vil meget afhænge af sandsynligheden for hændelsen – om den bliver mere end 50 % eller mindre. Hvis sandsynligheden for en hændelse er mere end 50 %, vil beregningen blive foretaget efter følgende formel:

- ((sandsynlighed) / (100 - sandsynlighed)) * 100

For eksempel, hvis sandsynligheden for en hændelse er 80 %, så:

— (80 / (100 — 80)) * 100 = — (80 / 20) * 100 = -4 * 100 = (-400)

Med en estimeret sandsynlighed for en hændelse på 80 % fik vi en negativ amerikansk koefficient på "-400".

Hvis sandsynligheden for en hændelse er mindre end 50 procent, vil formlen være som følger:

((100 - sandsynlighed) / sandsynlighed) * 100

For eksempel, hvis sandsynligheden for en hændelse er 40 %, så:

((100-40) / 40) * 100 = (60 / 40) * 100 = 1,5 * 100 = 150

Med en estimeret sandsynlighed for en hændelse på 40 % fik vi en positiv amerikansk koefficient på "+150".

Disse beregninger vil hjælpe dig med bedre at forstå begrebet væddemål og odds, lære at vurdere den sande værdi af et bestemt væddemål.

Det er usandsynligt, at mange tænker over, om det er muligt at beregne hændelser, der er mere eller mindre tilfældige. Enkelt sagt, er det realistisk at vide, hvilken side af terningen vil falde næste gang. Det var dette spørgsmål, som to store videnskabsmænd stillede, som lagde grundlaget for en sådan videnskab som sandsynlighedsteorien, hvor sandsynligheden for en begivenhed studeres ret omfattende.

Oprindelse

Hvis du forsøger at definere et sådant begreb som sandsynlighedsteori, får du følgende: dette er en af ​​de grene af matematikken, der studerer konstanten af ​​tilfældige begivenheder. Selvfølgelig afslører dette koncept ikke rigtig hele essensen, så det er nødvendigt at overveje det mere detaljeret.

Jeg vil gerne starte med skaberne af teorien. Som nævnt ovenfor var der to af dem, og det var dem, der var blandt de første, der forsøgte at beregne udfaldet af en begivenhed ved hjælp af formler og matematiske udregninger. I det hele taget dukkede begyndelsen af ​​denne videnskab op i middelalderen. På det tidspunkt forsøgte forskellige tænkere og videnskabsmænd at analysere gambling, såsom roulette, craps og så videre, for derved at etablere et mønster og en procentdel af et bestemt tal, der faldt ud. Grundlaget blev lagt i det syttende århundrede af de førnævnte videnskabsmænd.

Til at begynde med kunne deres arbejde ikke tilskrives de store præstationer på dette område, fordi alt, hvad de gjorde, var simpelthen empiriske fakta, og eksperimenterne blev indstillet visuelt uden brug af formler. Over tid viste det sig at opnå gode resultater, som dukkede op som et resultat af observation af terningkast. Det var dette værktøj, der hjalp med at udlede de første forståelige formler.

Ligesindede mennesker

Det er umuligt ikke at nævne en sådan person som Christian Huygens, i færd med at studere et emne kaldet "sandsynlighedsteori" (sandsynligheden for en begivenhed er dækket præcist i denne videnskab). Denne person er meget interessant. Han forsøgte ligesom de ovenfor præsenterede videnskabsmænd at udlede regelmæssigheden af ​​tilfældige begivenheder i form af matematiske formler. Det er bemærkelsesværdigt, at han ikke gjorde dette sammen med Pascal og Fermat, det vil sige, at alle hans værker ikke på nogen måde krydsede disse sind. Huygens bragt ud

En interessant kendsgerning er, at hans arbejde kom ud længe før resultaterne af opdagernes arbejde, eller rettere sagt, tyve år tidligere. Blandt de udpegede koncepter er de mest berømte:

• begrebet sandsynlighed som en tilfældigheds størrelse;
• matematisk forventning til diskrete tilfælde;
• sætninger om multiplikation og addition af sandsynligheder.

Det er også umuligt ikke at huske, hvem der også ydede et væsentligt bidrag til undersøgelsen af ​​problemet. Ved at udføre sine egne tests, uafhængigt af nogen, lykkedes det ham at fremlægge et bevis på loven om store tal. Til gengæld var videnskabsmændene Poisson og Laplace, som arbejdede i begyndelsen af ​​det nittende århundrede, i stand til at bevise de oprindelige teoremer. Det var fra dette øjeblik, at sandsynlighedsteori begyndte at blive brugt til at analysere fejl i løbet af observationer. Russiske videnskabsmænd, eller rettere Markov, Chebyshev og Dyapunov, kunne heller ikke omgå denne videnskab. Baseret på det arbejde udført af de store genier fik de dette emne fast som en gren af ​​matematikken. Disse figurer virkede allerede i slutningen af ​​det nittende århundrede, og takket være deres bidrag, fænomener som:

• lov om store tal;
• teori om Markov kæder;
• central grænsesætning.

Så med historien om videnskabens fødsel og med de vigtigste mennesker, der påvirkede den, er alt mere eller mindre klart. Nu er det tid til at konkretisere alle fakta.

Basale koncepter

Før man rører ved love og teoremer, er det værd at studere de grundlæggende begreber i sandsynlighedsteori. Arrangementet tager hovedrollen i den. Dette emne er ret omfangsrigt, men uden det vil det ikke være muligt at forstå alt andet.

En begivenhed i sandsynlighedsteori er ethvert sæt af resultater af et eksperiment. Der er ikke så mange begreber om dette fænomen. Så videnskabsmanden Lotman, der arbejder i dette område, sagde, at i dette tilfælde taler vi om, hvad der "er sket, selvom det måske ikke er sket."

Tilfældige hændelser (sandsynlighedsteori lægger særlig vægt på dem) er et begreb, der indebærer absolut ethvert fænomen, der har evnen til at forekomme. Eller omvendt sker dette scenario muligvis ikke, når mange betingelser er opfyldt. Det er også værd at vide, at det er tilfældige begivenheder, der fanger hele mængden af ​​fænomener, der er opstået. Sandsynlighedsteori indikerer, at alle forhold kan gentages konstant. Det var deres adfærd, der blev kaldt "eksperiment" eller "test".

En bestemt hændelse er en, der vil 100% forekomme i en given test. Derfor er en umulig begivenhed en begivenhed, der ikke vil ske.

Kombinationen af ​​et par handlinger (betinget tilfælde A og tilfælde B) er et fænomen, der opstår samtidigt. De er udpeget som AB.

Summen af ​​par af begivenheder A og B er C, med andre ord, hvis mindst en af ​​dem sker (A eller B), vil C blive opnået. Formlen for det beskrevne fænomen er skrevet som følger: C \u003d A + B.

Usammenhængende begivenheder i sandsynlighedsteori indebærer, at de to tilfælde udelukker hinanden. De kan aldrig ske på samme tid. Fælles hændelser i sandsynlighedsteori er deres modsætning. Dette indebærer, at hvis A skete, så forhindrer det ikke B på nogen måde.

Modsatte begivenheder (sandsynlighedsteori behandler dem meget detaljeret) er lette at forstå. Det er bedst at håndtere dem i sammenligning. De er næsten det samme som uforenelige hændelser i sandsynlighedsteori. Men deres forskel ligger i, at et af de mange fænomener under alle omstændigheder skal forekomme.

Lige så sandsynlige begivenheder er de handlinger, hvis mulighed for gentagelse er lige stor. For at gøre det klarere, kan vi forestille os, at man kaster en mønt: tabet af den ene side er lige så sandsynligt, at den falder ud af den anden.

En gunstig begivenhed er lettere at se med et eksempel. Lad os sige, at der er episode B og episode A. Den første er kast med terningen med et ulige tal, og den anden er udseendet af tallet fem på terningen. Så viser det sig, at A favoriserer B.

Uafhængige begivenheder i sandsynlighedsteorien projiceres kun på to eller flere tilfælde og indebærer uafhængigheden af ​​enhver handling fra en anden. For eksempel A - taber haler, når du kaster en mønt, og B - får en knægt fra dækket. De er uafhængige begivenheder i sandsynlighedsteori. På dette tidspunkt blev det tydeligere.

Afhængige hændelser i sandsynlighedsteori er også kun tilladt for deres sæt. De indebærer, at den ene er afhængig af den anden, det vil sige, at fænomenet B kun kan opstå, hvis A allerede er sket eller tværtimod ikke er sket, når dette er hovedbetingelsen for B.

Resultatet af et tilfældigt eksperiment bestående af én komponent er elementære hændelser. Sandsynlighedsteori forklarer, at dette er et fænomen, der kun er sket én gang.

Grundlæggende formler

Så begreberne "begivenhed", "sandsynlighedsteori" blev overvejet ovenfor, definitionen af ​​hovedvilkårene for denne videnskab blev også givet. Nu er det tid til at sætte sig direkte ind i de vigtige formler. Disse udtryk bekræfter matematisk alle hovedbegreberne i et så vanskeligt emne som sandsynlighedsteori. Sandsynligheden for en begivenhed spiller også her en stor rolle.

Det er bedre at starte med de vigtigste. Og før du fortsætter til dem, er det værd at overveje, hvad det er.

Kombinatorik er primært en gren af ​​matematikken, den beskæftiger sig med studiet af et stort antal heltal såvel som forskellige permutationer af både tallene selv og deres elementer, forskellige data osv., hvilket fører til fremkomsten af ​​en række kombinationer. Ud over sandsynlighedsteori er denne gren vigtig for statistik, datalogi og kryptografi.

Så nu kan du gå videre til præsentationen af ​​selve formlerne og deres definition.

Den første af disse vil være et udtryk for antallet af permutationer, det ser sådan ud:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)...3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Ligningen gælder kun, hvis elementerne kun er forskellige i deres rækkefølge.

Nu vil placeringsformlen blive overvejet, den ser sådan ud:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Dette udtryk gælder ikke kun for elementets rækkefølge, men også for dets sammensætning.

Den tredje ligning fra kombinatorik, og det er også den sidste, kaldes formlen for antallet af kombinationer:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :m!

En kombination kaldes henholdsvis en markering, der ikke er bestilt, og denne regel gælder for dem.

Det viste sig at være let at finde ud af formlerne for kombinatorik, nu kan vi gå videre til den klassiske definition af sandsynligheder. Dette udtryk ser således ud:

I denne formel er m antallet af betingelser, der er gunstige for begivenheden A, og n er antallet af absolut alle lige mulige og elementære udfald.

Der er et stort antal udtryk, artiklen vil ikke dække dem alle, men de vigtigste af dem vil blive berørt, såsom for eksempel sandsynligheden for summen af ​​begivenheder:

P(A + B) = P(A) + P(B) - denne sætning er kun til at tilføje uforenelige hændelser;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - og denne er kun til at tilføje kompatible.

Sandsynlighed for at producere begivenheder:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - denne sætning er for uafhængige hændelser;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - og denne er for pårørende.

Hændelsesformlen afslutter listen. Sandsynlighedsteori fortæller os om Bayes' sætning, som ser sådan ud:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

I denne formel er H 1 , H 2 , …, H n den fulde gruppe af hypoteser.

Eksempler

Hvis du omhyggeligt studerer en gren af ​​matematikken, er den ikke komplet uden øvelser og prøveløsninger. Det samme er sandsynlighedsteorien: begivenheder, eksempler her er en integreret komponent, der bekræfter videnskabelige beregninger.

Formel for antal permutationer

Lad os sige, at der er tredive kort i et sæt kort, begyndende med pålydende værdi et. Næste spørgsmål. Hvor mange måder er der til at stable bunken, så kort med en pålydende værdi på en og to ikke er ved siden af ​​hinanden?

Opgaven er sat, lad os nu gå videre til at løse den. Først skal du bestemme antallet af permutationer af tredive elementer, for dette tager vi ovenstående formel, det viser sig P_30 = 30!.

Baseret på denne regel finder vi ud af, hvor mange muligheder der er for at folde bunken på forskellige måder, men vi skal trække dem fra dem, hvor det første og andet kort er det næste. For at gøre dette, lad os starte med muligheden, når den første er over den anden. Det viser sig, at det første kort kan tage niogtyve pladser - fra det første til det niogtyvende, og det andet kort fra det andet til det tredivte, viser det sig kun niogtyve pladser for et par kort. Til gengæld kan resten tage otteogtyve pladser, og i vilkårlig rækkefølge. Det vil sige, for en permutation på otteogtyve kort er der otteogtyve muligheder P_28 = 28!

Som et resultat viser det sig, at hvis vi overvejer løsningen, når det første kort er over det andet, er der 29 ⋅ 28 ekstra muligheder! = 29!

Ved hjælp af samme metode skal du beregne antallet af overflødige muligheder for sagen, når det første kort er under det andet. Det viser sig også 29 ⋅ 28! = 29!

Heraf følger, at der er 2 ⋅ 29! ekstra muligheder, mens der er 30 nødvendige måder at bygge dækket på! - 2 ⋅ 29!. Det er kun tilbage at tælle.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Nu skal du gange alle tallene fra et til niogtyve indbyrdes, og så til sidst gange alt med 28. Svaret er 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Eksempel løsning. Formel for placeringsnummer

I denne opgave skal du finde ud af, hvor mange måder der er at lægge femten bind på én hylde, men på betingelse af, at der er tredive bind i alt.

I dette problem er løsningen lidt enklere end i den forrige. Ved hjælp af den allerede kendte formel er det nødvendigt at beregne det samlede antal arrangementer fra tredive bind på femten.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 003

Svaret vil henholdsvis være lig med 202.843.204.931.727.360.000.

Lad os nu tage opgaven lidt sværere. Du skal finde ud af, hvor mange måder der er at arrangere tredive bøger på to bogreoler, forudsat at kun femten bind kan være på én hylde.

Inden jeg starter løsningen, vil jeg gerne præcisere, at nogle problemer løses på flere måder, så der er to måder i denne, men den samme formel bruges i begge.

I denne opgave kan du tage svaret fra den forrige, for der har vi regnet ud, hvor mange gange du kan fylde en hylde med femten bøger på forskellige måder. Det viste sig at A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Vi beregner den anden hylde i henhold til permutationsformlen, fordi der er placeret femten bøger i den, mens der kun er femten tilbage. Vi bruger formlen P_15 = 15!.

Det viser sig, at der i alt vil være A_30^15 ⋅ P_15 måder, men derudover skal produktet af alle tal fra tredive til seksten ganges med produktet af tal fra et til femten, som et resultat, produktet af alle tal fra et til tredive vil blive opnået, det vil sige, at svaret er lig med 30!

Men dette problem kan løses på en anden måde – nemmere. For at gøre dette kan du forestille dig, at der er en hylde til tredive bøger. Alle er placeret på dette plan, men da tilstanden kræver, at der er to hylder, skærer vi en lang i to, det bliver to femten hver. Heraf viser det sig, at placeringsmulighederne kan være P_30 = 30!.

Eksempel løsning. Formel for kombinationsnummer

Nu vil vi overveje en variant af det tredje problem fra kombinatorik. Du skal finde ud af, hvor mange måder der er at arrangere femten bøger på, forudsat at du skal vælge mellem tredive helt identiske.

For løsningen vil formlen for antallet af kombinationer naturligvis blive anvendt. Af betingelsen bliver det klart, at rækkefølgen af ​​de identiske femten bøger ikke er vigtig. Derfor skal du først finde ud af det samlede antal kombinationer af tredive bøger på femten.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : 15! = 155 117 520

Det er alt. Ved at bruge denne formel på kortest mulig tid var det muligt at løse et sådant problem, svaret er henholdsvis 155 117 520.

Eksempel løsning. Den klassiske definition af sandsynlighed

Ved at bruge formlen ovenfor kan du finde svaret i en simpel opgave. Men det vil hjælpe visuelt at se og spore handlingsforløbet.

Problemet er givet, at der er ti helt identiske bolde i urnen. Af disse er fire gule og seks er blå. Den ene kugle tages fra urnen. Du skal finde ud af sandsynligheden for at blive blå.

For at løse problemet er det nødvendigt at udpege at få den blå bold som begivenhed A. Denne oplevelse kan have ti udfald, som igen er elementære og lige så sandsynlige. Samtidig er seks ud af ti gunstige for begivenhed A. Vi løser ved hjælp af formlen:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Ved at anvende denne formel fandt vi ud af, at sandsynligheden for at få en blå kugle er 0,6.

Eksempel løsning. Sandsynlighed for summen af ​​begivenheder

Nu vil der blive præsenteret en variant, som løses ved hjælp af formlen for sandsynligheden for summen af ​​hændelser. Så i den betingelse, at der er to kasser, indeholder den første en grå og fem hvide kugler, og den anden indeholder otte grå og fire hvide kugler. Som et resultat blev en af ​​dem taget fra den første og anden kasse. Det er nødvendigt at finde ud af, hvad chancen er for, at kuglerne, der tages ud, bliver grå og hvide.

For at løse dette problem er det nødvendigt at udpege begivenheder.

• Så A - tag en grå kugle fra den første boks: P(A) = 1/6.
• A '- de tog også en hvid bold fra den første boks: P (A ") \u003d 5/6.
• B - en grå kugle blev taget ud allerede fra den anden boks: P(B) = 2/3.
• B' - de tog en grå kugle fra den anden boks: P(B") = 1/3.

Alt efter problemets tilstand er det nødvendigt, at et af fænomenerne opstår: AB 'eller A'B. Ved at bruge formlen får vi: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Nu er formlen til at gange sandsynligheden blevet brugt. Dernæst, for at finde ud af svaret, skal du anvende ligningen for deres tilføjelse:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Så ved at bruge formlen kan du løse lignende problemer.

Resultat

Artiklen gav information om emnet "Sandsynlighedsteori", hvor sandsynligheden for en begivenhed spiller en afgørende rolle. Selvfølgelig blev der ikke taget højde for alt, men ud fra den præsenterede tekst kan man teoretisk stifte bekendtskab med dette afsnit af matematik. Den pågældende videnskab kan være nyttig ikke kun i professionelt arbejde, men også i hverdagen. Med dens hjælp kan du beregne enhver mulighed for enhver begivenhed.

Teksten berørte også vigtige datoer i historien om dannelsen af ​​sandsynlighedsteorien som en videnskab, og navnene på personer, hvis værker var investeret i den. Sådan førte menneskelig nysgerrighed til, at folk lærte at beregne selv tilfældige hændelser. Engang var de bare interesserede i det, men i dag ved alle allerede om det. Og ingen vil sige, hvad der venter os i fremtiden, hvilke andre strålende opdagelser relateret til den undersøgte teori vil blive gjort. Men én ting er sikkert – forskningen står ikke stille!

Vil du vide, hvad de matematiske chancer er for, at dit væddemål bliver en succes? Så har vi to gode nyheder til dig. For det første: For at beregne patency behøver du ikke at udføre komplekse beregninger og bruge meget tid. Det er nok at bruge simple formler, som vil tage et par minutter at arbejde med. For det andet, efter at have læst denne artikel, vil du nemt være i stand til at beregne sandsynligheden for at bestå nogen af ​​dine handler.

For at bestemme åbenheden korrekt skal du tage tre trin:

• Beregn procentdelen af ​​sandsynligheden for udfaldet af en begivenhed i henhold til bookmakerens kontor;
• Beregn sandsynligheden selv ud fra statistiske data;
• Find ud af værdien af ​​et væddemål givet begge sandsynligheder.

Lad os overveje detaljeret hvert af trinene ved at bruge ikke kun formler, men også eksempler.

Hurtig passage

Beregning af sandsynligheden, der er indlejret i oddsene

Det første skridt er at finde ud af, med hvilken sandsynlighed bookmakeren vurderer chancerne for et bestemt udfald. Det er trods alt tydeligt, at bookmakere ikke satser odds bare sådan. Til dette bruger vi følgende formel:

PB=(1/K)*100 %,

hvor P B er sandsynligheden for udfaldet ifølge bookmakerens kontor;

K - bookmaker odds for udfaldet.

Lad os sige, at oddsene for sejren til London Arsenal i duellen mod Bayern er 4. Det betyder, at sandsynligheden for dens sejr af BC betragtes som (1/4) * 100% = 25%. Eller Djokovic spiller mod South. Multiplikatoren for Novaks sejr er 1,2, hans chancer er lig med (1/1,2)*100%=83%.

Sådan vurderer bookmakeren selv chancerne for succes for hver spiller og hold. Efter at have gennemført det første trin, går vi videre til det andet.

Spillerens beregning af sandsynligheden for en begivenhed

Det andet punkt i vores plan er vores egen vurdering af sandsynligheden for hændelsen. Da vi ikke matematisk kan tage højde for sådanne parametre som motivation, spiltone, vil vi bruge en forenklet model og kun bruge statistikken fra tidligere møder. For at beregne den statistiske sandsynlighed for et udfald bruger vi formlen:

POG\u003d (UM/M) * 100 %,

hvorPOG- sandsynligheden for begivenheden ifølge spilleren;

UM - antallet af succesfulde kampe, hvor en sådan begivenhed fandt sted;

M er det samlede antal kampe.

For at gøre det klarere, lad os give eksempler. Andy Murray og Rafael Nadal har spillet 14 kampe. I 6 af dem blev der registreret i alt under 21 kampe, i 8 - i alt overstået. Det er nødvendigt at finde ud af sandsynligheden for, at den næste kamp bliver spillet for en samlet over: (8/14)*100=57%. Valencia spillede 74 kampe i Mestalla mod Atlético, hvor de scorede 29 sejre. Sandsynlighed for at Valencia vinder: (29/74)*100%=39%.

Og vi ved alle dette kun takket være statistikken fra tidligere spil! En sådan sandsynlighed kan naturligvis ikke beregnes for nogle nye hold eller spillere, så denne væddemålsstrategi er kun egnet til kampe, hvor modstandere ikke mødes for første gang. Nu ved vi, hvordan vi bestemmer væddemål og egne sandsynligheder for udfald, og vi har al viden til at gå til det sidste trin.

Bestemmelse af værdien af ​​et væddemål

Værdien (værdien) af et væddemål og passabiliteten er direkte relateret: Jo højere værdiansættelsen er, jo større er chancen for et pass. Værdien beregnes som følger:

V=POG*K-100 %,

hvor V er værdien;

P I - sandsynligheden for et udfald i henhold til det bedre;

K - bookmaker odds for udfaldet.

Lad os sige, at vi vil satse på, at Milan vinder kampen mod Roma, og vi har beregnet, at sandsynligheden for, at de rød-sorte vinder, er 45 %. Bookmakeren tilbyder os en koefficient på 2,5 for dette resultat. Ville sådan en indsats være værdifuld? Vi udfører beregninger: V \u003d 45% * 2,5-100% \u003d 12,5%. Fantastisk, vi har en værdifuld indsats med gode chancer for at bestå.

Lad os tage en anden sag. Maria Sharapova spiller mod Petra Kvitova. Vi ønsker at lave en aftale om, at Maria vinder, som ifølge vores beregninger har 60 % sandsynlighed. Bookmakere tilbyder en multiplikator på 1,5 for dette resultat. Bestem værdien: V=60%*1,5-100=-10%. Som du kan se, er denne indsats uden værdi og bør afholdes fra.

Vil du vide, hvad de matematiske chancer er for, at dit væddemål bliver en succes? Så har vi to gode nyheder til dig. For det første: For at beregne patency behøver du ikke at udføre komplekse beregninger og bruge meget tid. Det er nok at bruge simple formler, som vil tage et par minutter at arbejde med. For det andet, efter at have læst denne artikel, vil du nemt være i stand til at beregne sandsynligheden for at bestå nogen af ​​dine handler.

For at bestemme åbenheden korrekt skal du tage tre trin:

• Beregn procentdelen af ​​sandsynligheden for udfaldet af en begivenhed i henhold til bookmakerens kontor;
• Beregn sandsynligheden selv ud fra statistiske data;
• Find ud af værdien af ​​et væddemål givet begge sandsynligheder.

Lad os overveje detaljeret hvert af trinene ved at bruge ikke kun formler, men også eksempler.

Hurtig passage

Beregning af sandsynligheden, der er indlejret i oddsene

Det første skridt er at finde ud af, med hvilken sandsynlighed bookmakeren vurderer chancerne for et bestemt udfald. Det er trods alt tydeligt, at bookmakere ikke satser odds bare sådan. Til dette bruger vi følgende formel:

PB=(1/K)*100 %,

hvor P B er sandsynligheden for udfaldet ifølge bookmakerens kontor;

K - bookmaker odds for udfaldet.

Lad os sige, at oddsene for sejren til London Arsenal i duellen mod Bayern er 4. Det betyder, at sandsynligheden for dens sejr af BC betragtes som (1/4) * 100% = 25%. Eller Djokovic spiller mod South. Multiplikatoren for Novaks sejr er 1,2, hans chancer er lig med (1/1,2)*100%=83%.

Sådan vurderer bookmakeren selv chancerne for succes for hver spiller og hold. Efter at have gennemført det første trin, går vi videre til det andet.

Spillerens beregning af sandsynligheden for en begivenhed

Det andet punkt i vores plan er vores egen vurdering af sandsynligheden for hændelsen. Da vi ikke matematisk kan tage højde for sådanne parametre som motivation, spiltone, vil vi bruge en forenklet model og kun bruge statistikken fra tidligere møder. For at beregne den statistiske sandsynlighed for et udfald bruger vi formlen:

POG\u003d (UM/M) * 100 %,

hvorPOG- sandsynligheden for begivenheden ifølge spilleren;

UM - antallet af succesfulde kampe, hvor en sådan begivenhed fandt sted;

M er det samlede antal kampe.

For at gøre det klarere, lad os give eksempler. Andy Murray og Rafael Nadal har spillet 14 kampe. I 6 af dem blev der registreret i alt under 21 kampe, i 8 - i alt overstået. Det er nødvendigt at finde ud af sandsynligheden for, at den næste kamp bliver spillet for en samlet over: (8/14)*100=57%. Valencia spillede 74 kampe i Mestalla mod Atlético, hvor de scorede 29 sejre. Sandsynlighed for at Valencia vinder: (29/74)*100%=39%.

Og vi ved alle dette kun takket være statistikken fra tidligere spil! En sådan sandsynlighed kan naturligvis ikke beregnes for nogle nye hold eller spillere, så denne væddemålsstrategi er kun egnet til kampe, hvor modstandere ikke mødes for første gang. Nu ved vi, hvordan vi bestemmer væddemål og egne sandsynligheder for udfald, og vi har al viden til at gå til det sidste trin.

Bestemmelse af værdien af ​​et væddemål

Værdien (værdien) af et væddemål og passabiliteten er direkte relateret: Jo højere værdiansættelsen er, jo større er chancen for et pass. Værdien beregnes som følger:

V=POG*K-100 %,

hvor V er værdien;

P I - sandsynligheden for et udfald i henhold til det bedre;

K - bookmaker odds for udfaldet.

Lad os sige, at vi vil satse på, at Milan vinder kampen mod Roma, og vi har beregnet, at sandsynligheden for, at de rød-sorte vinder, er 45 %. Bookmakeren tilbyder os en koefficient på 2,5 for dette resultat. Ville sådan en indsats være værdifuld? Vi udfører beregninger: V \u003d 45% * 2,5-100% \u003d 12,5%. Fantastisk, vi har en værdifuld indsats med gode chancer for at bestå.

Lad os tage en anden sag. Maria Sharapova spiller mod Petra Kvitova. Vi ønsker at lave en aftale om, at Maria vinder, som ifølge vores beregninger har 60 % sandsynlighed. Bookmakere tilbyder en multiplikator på 1,5 for dette resultat. Bestem værdien: V=60%*1,5-100=-10%. Som du kan se, er denne indsats uden værdi og bør afholdes fra.

Det grundlæggende begreb for sandsynlighedsteori er begrebet en tilfældig begivenhed. tilfældig begivenhed En hændelse kaldes en hændelse, der under visse betingelser kan eller ikke kan forekomme. For eksempel er det en tilfældig hændelse at ramme eller gå glip af en genstand, når man skyder mod denne genstand med et givet våben.

Arrangementet kaldes autentisk hvis det som følge af testen nødvendigvis forekommer. Umulig En hændelse kaldes en hændelse, der ikke kan opstå som et resultat af testen.

Tilfældige begivenheder kaldes uforenelig i en given retssag, hvis ikke to af dem kan optræde sammen.

Tilfældige begivenheder form fuld gruppe, hvis nogen af ​​dem kan optræde ved hvert forsøg, og ingen anden begivenhed, der er uforenelig med dem, kan optræde.

Overvej hele gruppen af ​​lige så mulige uforenelige tilfældige hændelser. Sådanne arrangementer vil blive kaldt resultater eller elementære begivenheder. Exodus kaldes gunstige forekomst af begivenheden $A$, hvis forekomsten af ​​dette udfald medfører fremkomsten af ​​begivenheden $A$.

Eksempel. En urne indeholder 8 nummererede kugler (hver kugle har et tal fra 1 til 8). Kugler med numrene 1, 2, 3 er røde, resten er sorte. Boldens udseende med tallet 1 (eller tallet 2 eller 3) er en begivenhed, der er gunstig for den røde bolds udseende. Udseendet af en bold med tallet 4 (eller tallet 5, 6, 7, 8) er en begivenhed, der favoriserer udseendet af en sort bold.

Sandsynlighed for en begivenhed$A$ er forholdet mellem antallet $m$ af udfald, der favoriserer denne begivenhed, og det samlede antal $n$ af alle lige mulige inkompatible elementære udfald, der udgør den komplette gruppe $$P(A)=\frac(m)(n ). \quad(1)$$

Ejendom 1. Sandsynligheden for en bestemt begivenhed er lig med én
Ejendom 2. Sandsynligheden for en umulig begivenhed er nul.
Ejendom 3. Sandsynligheden for en tilfældig hændelse er et positivt tal mellem nul og én.

Så sandsynligheden for enhver hændelse opfylder den dobbelte ulighed $0 \le P(A) \le 1$ .

Nyttige materialer

Online regnemaskiner

Et stort lag af problemer løst ved hjælp af formel (1) vedrører emnet hypergeometrisk sandsynlighed. Under linkene kan du finde beskrivelser af populære opgaver og online-beregnere til deres løsninger:

• Problem med kugler (en urne indeholder $k$ hvide og $n$ sorte kugler, $m$ kugler tages ud...)
• Deleproblem (en kasse indeholder $k$ standard og $n$ defekte dele, $m$ dele tages ud...)
• Problem med lottokuponer ($k$ vindende og $n$ tabende lodder deltager i lotteriet, $m$ lodder købes...)

Tutorial artikler med eksempler

• Hvordan finder man sandsynligheden i problemer med at kaste en mønt?

Eksempler på løsninger for klassisk sandsynlighed

Eksempel. Der er 10 nummererede kugler i urnen med tal fra 1 til 10. En kugle tages ud. Hvad er sandsynligheden for, at tallet på den trukne kugle ikke overstiger 10?

Opløsning. Lad begivenheden EN= (Antallet på den trukne kugle overstiger ikke 10). Antal forekomster af gunstige begivenheder EN er lig med antallet af alle mulige tilfælde m=n=10. Derfor, R(EN)=1. Begivenhed En pålidelig.

Eksempel. Der er 10 kugler i en urne: 6 hvide og 4 sorte. trak to bolde ud. Hvad er sandsynligheden for, at begge kugler er hvide?

Opløsning. Du kan tage to kugler ud af ti på følgende måder: .
Antallet af gange, hvor der er to hvide kugler blandt disse to er .
Ønsket sandsynlighed
.

Eksempel. Der er 15 kugler i en urne: 5 hvide og 10 sorte. Hvad er sandsynligheden for at trække en blå kugle fra urnen?

Opløsning. Da der ikke er blå kugler i urnen, m=0, n=15. Derfor den ønskede sandsynlighed R=0. Begivenheden med at tegne en blå kugle umulig.

Eksempel. Et kort trækkes fra et spil med 36 kort. Hvad er sandsynligheden for, at der dukker et hjertekort op?

Opløsning. Antal elementære udfald (antal kort) n=36. Begivenhed EN= (Udseende af et hjertefarvekort). Antal gange gunstigt for begivenhedens forekomst EN, m=9. Derfor,
.