Hvad vil det sige at opregne en funktions egenskaber. Funktionskoncept

Referencedata om eksponentialfunktionen er givet - grundlæggende egenskaber, grafer og formler. Følgende spørgsmål tages i betragtning: definitionsdomæne, værdisæt, monotoni, invers funktion, afledet, integral, potensrækkeudvidelse og repræsentation ved hjælp af komplekse tal.

Definition

Eksponentiel funktion er en generalisering af produktet af n tal lig med a:
y (n) = a n = a a a a,
til mængden af ​​reelle tal x :
y (x) = x.
Her er a et fast reelt tal, som kaldes bunden af ​​eksponentialfunktionen.
En eksponentiel funktion med basis a kaldes også eksponentiel til basis a.

Generaliseringen udføres som følger.
For naturlig x = 1, 2, 3,... , den eksponentielle funktion er produktet af x faktorer:
.
Desuden har den egenskaberne (1,5-8) (), som følger af reglerne for multiplikation af tal. Ved nul og negative værdier af heltal bestemmes eksponentialfunktionen af ​​formlerne (1,9-10). For brøkværdier x = m/n af rationelle tal, bestemmes det af formlen (1.11). For reel er den eksponentielle funktion defineret som grænsen for sekvensen:
,
hvor er en vilkårlig sekvens af rationelle tal, der konvergerer til x : .
Med denne definition er den eksponentielle funktion defineret for alle , og opfylder egenskaberne (1,5-8), såvel som for naturlig x .

En stringent matematisk formulering af definitionen af ​​en eksponentiel funktion og et bevis for dens egenskaber er givet på siden "Definition og bevis for egenskaberne af en eksponentiel funktion".

Egenskaber for den eksponentielle funktion

Eksponentialfunktionen y = a x har følgende egenskaber på mængden af ​​reelle tal ():
(1.1) er defineret og kontinuerlig, for , for alle ;
(1.2) når en ≠ 1 har mange betydninger;
(1.3) stiger strengt ved , strengt falder ved ,
er konstant ved ;
(1.4) kl ;
kl ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Andre nyttige formler
.
Formlen for konvertering til en eksponentiel funktion med en anden potensbase:

For b = e får vi udtrykket af eksponentialfunktionen i form af eksponenten:

Private værdier

, , , , .

Figuren viser grafer for eksponentialfunktionen
y (x) = x
for fire værdier gradsgrundlag:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 og en = 1/8 . Det kan ses, at for en > 1 eksponentiel funktion er monotont stigende. Jo større basis af graden a, jo stærkere vækst. På 0 < a < 1 eksponentiel funktion er monotont aftagende. Jo mindre eksponent a, jo stærkere fald.

Stigende, faldende

Den eksponentielle funktion ved er strengt monotonisk, så den har ingen ekstrema. Dens vigtigste egenskaber er præsenteret i tabellen.

Omvendt funktion

Det reciproke af en eksponentiel funktion med en basis af grad a er logaritmen til basis a.

Hvis så
.
Hvis så
.

Differentiering af eksponentialfunktionen

For at differentiere en eksponentiel funktion skal dens grundtal reduceres til tallet e, anvende afledte tabel og reglen for differentiering af en kompleks funktion.

For at gøre dette skal du bruge egenskaben for logaritmer
og formlen fra tabellen over derivater:
.

Lad en eksponentiel funktion være givet:
.
Vi bringer det til basen e:

Vi anvender reglen om differentiering af en kompleks funktion. For at gøre dette introducerer vi en variabel

Derefter

Fra tabellen over afledte har vi (erstat variablen x med z):
.
Da er en konstant, er den afledede af z med hensyn til x
.
Ifølge reglen om differentiering af en kompleks funktion:
.

Afledt af eksponentiel funktion

.
Afledt af n. orden:
.
Afledning af formler > > >

Et eksempel på differentiering af en eksponentiel funktion

Find den afledede af en funktion
y= 35 x

Opløsning

Vi udtrykker basis for eksponentialfunktionen i form af tallet e.
3 = e log 3
Derefter
.
Vi introducerer en variabel
.
Derefter

Fra tabellen over afledte finder vi:
.
For så vidt 5ln 3 er en konstant, så er den afledede af z med hensyn til x:
.
Ifølge reglen om differentiering af en kompleks funktion har vi:
.

Svar

Integral

Udtryk i form af komplekse tal

Overvej den komplekse talfunktion z:
f (z) = az
hvor z = x + iy; jeg 2 = - 1 .
Vi udtrykker den komplekse konstant a i form af modulet r og argumentet φ :
a = r e i φ
Derefter


.
Argumentet φ er ikke entydigt defineret. Generelt
φ = φ 0 + 2 pn,
hvor n er et heltal. Derfor er funktionen f (z) er også tvetydig. Ofte betragtet som dens vigtigste betydning
.

Udvidelse i serie

.

Referencer:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematikhåndbog for ingeniører og studerende ved videregående uddannelsesinstitutioner, Lan, 2009.

Funktionen y=x^2 kaldes en andengradsfunktion. Grafen for en kvadratisk funktion er en parabel. Det generelle billede af parablen er vist i figuren nedenfor.

kvadratisk funktion

Fig 1. Generelt billede af parablen

Som det ses af grafen, er den symmetrisk om Oy-aksen. Aksen Oy kaldes parablens symmetriakse. Det betyder, at hvis du tegner en lige linje parallelt med Ox-aksen over denne akse på diagrammet. Så skærer den parablen i to punkter. Afstanden fra disse punkter til y-aksen vil være den samme.

Symmetriaksen deler grafen for parablen så at sige i to dele. Disse dele kaldes parablens grene. Og punktet af parablen, der ligger på symmetriaksen, kaldes parablens toppunkt. Det vil sige, at symmetriaksen går gennem toppen af ​​parablen. Koordinaterne for dette punkt er (0;0).

Grundlæggende egenskaber for en kvadratisk funktion

1. For x=0, y=0 og y>0 for x0

2. Den kvadratiske funktion når sin minimumsværdi ved sit toppunkt. Ymin ved x=0; Det skal også bemærkes, at den maksimale værdi af funktionen ikke eksisterer.

3. Funktionen falder med intervallet (-∞; 0] og øges med intervallet )