Vrste brojeva. Prirodni, cjelobrojni, racionalni i realni

Broj je apstrakcija koja se koristi za kvantifikaciju objekata. Brojevi su nastali u primitivnom društvu u vezi s potrebom da ljudi broje predmete. Vremenom, razvojem nauke, broj je postao najvažniji matematički pojam.

Da biste riješili probleme i dokazali različite teoreme, morate razumjeti koje su vrste brojeva. Glavne vrste brojeva su: prirodni brojevi, cijeli brojevi, racionalni brojevi, realni brojevi.

Integers- to su brojevi dobijeni prirodnim brojanjem objekata, odnosno njihovim numerisanjem ("prvi", "drugi", "treći" ...). Skup prirodnih brojeva označava se latiničnim slovom N (može se zapamtiti na osnovu engleske riječi natural). Može se reći da N ={1,2,3,....}

Cijeli brojevi su brojevi iz skupa (0, 1, -1, 2, -2, ....). Ovaj skup se sastoji od tri dijela - prirodnih brojeva, negativnih cijelih brojeva (suprotno prirodnim brojevima) i broja 0 (nula). Cijeli brojevi su označeni latiničnim slovom Z . Može se reći da Z ={1,2,3,....}.

Racionalni brojevi su brojevi koji se mogu predstaviti kao razlomak, gdje je m cijeli broj, a n prirodan broj. Latinsko slovo se koristi za označavanje racionalnih brojeva Q . Svi prirodni i celobrojni brojevi su racionalni. Također, kao primjere racionalnih brojeva možete navesti: ,,.

Realni (realni) brojevi su brojevi koji se koriste za mjerenje kontinuiranih veličina. Skup realnih brojeva označava se latiničnim slovom R. Realni brojevi uključuju racionalne i iracionalne brojeve. Iracionalni brojevi su brojevi koji se dobiju kao rezultat izvođenja različitih operacija nad racionalnim brojevima (na primjer, vađenje korijena, izračunavanje logaritama), ali nisu racionalni. Primjeri iracionalnih brojeva su ,,.

Bilo koji realan broj može se prikazati na brojevnoj pravoj:

Za gore navedene skupove brojeva, tačna je sljedeća izjava:

To jest, skup prirodnih brojeva je uključen u skup cijelih brojeva. Skup cijelih brojeva je uključen u skup racionalnih brojeva. A skup racionalnih brojeva je uključen u skup realnih brojeva. Ova izjava se može ilustrirati korištenjem Ojlerovih krugova.

Državna obrazovna ustanova

srednje stručno obrazovanje

Tula region

"Aleksinsky Engineering College"

Numeric

setovi

Dizajnirano

nastavnik

matematike

Hristoforova M.Yu.

Broj - osnovni koncept koristi za karakteristike, poređenja, i njihovi dijelovi. Slova za označavanje brojeva su , kao i matematički .

Koncept broja nastao je u antičko doba iz praktičnih potreba ljudi i razvio se u procesu ljudskog razvoja. Širilo se polje ljudske aktivnosti i, shodno tome, porasla potreba za kvantitativnim opisom i istraživanjem. U početku je pojam broja bio određen potrebama brojanja i mjerenja, koje su se javljale u praktičnoj djelatnosti čovjeka, postajući sve složenije. Kasnije broj postaje osnovni pojam matematike, a potrebe ove nauke određuju dalji razvoj ovog pojma.

Skupovi čiji su elementi brojevi nazivaju se brojevima.

Primjeri numeričkih skupova su:

N=(1; 2; 3; ...; n; ... ) - skup prirodnih brojeva;

Zo=(0; 1; 2; ...; n; ... ) - skup nenegativnih cijelih brojeva;

Z=(0; ±1; ±2; ...; ±n; ...) - skup cijelih brojeva;

Q=(m/n: m Z,n N) je skup racionalnih brojeva.

R-skup realnih brojeva.

Između ovih skupova postoji relacija

N Zo Z Q R.

Unesite brojeveN = (1, 2, 3, ....) pozvaoprirodno . Prirodni brojevi su se pojavili u vezi sa potrebom za brojanjem objekata.

Bilo koji , veći od jedan, može se predstaviti kao proizvod stepena prostih brojeva, i to na jedinstven način, do reda faktora. Na primjer, 121968=2 4 3 2 7 11 2

Akom, n, k - onda prirodni brojevim - n = k oni to kažum - smanjeno, n - oduzeto, k - razlika; atm:n=k oni to kažum - dividenda, n - delilac, k - količnik, brojm takođe pozvanvišestruko brojevin, i brojn - djelitelj brojevim, Ako brojm- višestruko odn, onda postoji prirodan brojk, takav dam = kn.

Od brojeva uz pomoć znakova aritmetičkih operacija i zagrada,numeričke izraze. Ako izvršite naznačene radnje u numeričkom izrazu, poštujući prihvaćeni redoslijed, tada ćete dobiti broj koji se zovevrijednost izraza .

Redoslijed aritmetičkih operacija: radnje u zagradama se izvode prve; unutar bilo koje zagrade, prvo izvršite množenje i dijeljenje, a zatim sabiranje i oduzimanje.

Ako je prirodan brojm nije djeljiv prirodnim brojemn, one. ne postoji takavprirodni broj k, štam=kn, onda razmislitepodjela s ostatkom: m = np + r, gdjem - dividenda, n - djelitelj (m>n), p - količnik, r - ostatak .

Ako broj ima samo dva djelitelja (sam broj i jedan), onda se zovejednostavno : ako broj ima više od dva djelitelja, onda se zovekompozitni.

Svaki složeni prirodni broj može bitifaktorizovati , i samo na jedan način. Kada dekomponujete brojeve na proste faktore, koristiteznakove djeljivosti .

a Ib može se naćinajveći zajednički djelitelj. To je označenoD(a,b). Ako brojevia Ib su takvi daD(a, b) = 1, zatim brojevia Ib pozvaomeđusobno jednostavno.

Za bilo koje prirodne brojevea Ib može se naćinajmanji zajednički višekratnik. To je označenoK(a,b). Bilo koji zajednički višekratnik brojevaa Ib podijeljenaK(a,b).

Ako brojevia Ib coprime , tj.D(a, b) = 1, ondaK(a,b) = ab .

Unesite brojeve:Z = (... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....) pozvao cijeli brojevi , one. Cijeli brojevi su prirodni brojevi, suprotnosti prirodnih brojeva i broj 0.

Prirodni brojevi 1, 2, 3, 4, 5.... nazivaju se i pozitivni cijeli brojevi. Brojevi -1, -2, -3, -4, -5, ..., suprotni prirodnim brojevima, nazivaju se negativnim cijelim brojevima.

Značajni brojevi brojevima nazivaju se sve njegove cifre, osim vodećih nula.

Grupa znamenki koja se uzastopno ponavlja iza decimalnog zareza u decimalnom zapisu broja naziva seperiod, a beskonačni decimalni razlomak koji ima takav period u svojoj notaciji naziva seperiodični . Ako period počinje odmah nakon decimalnog zareza, tada se naziva razlomakčista periodična ; ako postoje druga decimalna mjesta između zareza i tačke, tada se naziva razlomakmješoviti periodični .

Zovu se brojevi koji nisu cijeli ili razlomciiracionalno .

Svaki iracionalni broj je predstavljen kao neperiodični beskonačni decimalni razlomak.

Zove se skup svih konačnih i beskonačnih decimalnih razlomakamnogi realni brojevi : racionalno i iracionalno.

Skup R realnih brojeva ima sljedeća svojstva.

1. Naređeno je: za bilo koja dva različita broja α i b, jedna od dvije relacije a

2. Skup R je gust: između bilo koja dva različita broja a i b postoji beskonačan skup realnih brojeva x, tj. brojeva koji zadovoljavaju nejednakost a<х

Dakle, ako a

(a 2a< ali+bali+b<2b  2 ali ali<(a+b)/2

Realni brojevi se mogu predstaviti kao tačke na brojevnoj pravoj. Da biste postavili brojevnu liniju, potrebno je označiti tačku na pravoj liniji, koja će odgovarati broju 0 ​​- referentnoj tački, a zatim odabrati jedan segment i označiti pozitivan smjer.

Svaka tačka na koordinatnoj liniji odgovara broju, koji je definisan kao dužina segmenta od početka do tačke o kojoj je reč, dok se kao jedinica mere uzima jedan segment. Ovaj broj je koordinata tačke. Ako se tačka uzme desno od ishodišta, njena koordinata je pozitivna, a ako je lijevo negativna. Na primjer, tačke O i A imaju koordinate 0 i 2, koje se mogu napisati na sljedeći način: 0 (0), A (2).

Skup prirodnih brojeva formiraju brojevi 1, 2, 3, 4, ... koji se koriste za brojanje objekata. Skup svih prirodnih brojeva obično se označava slovom N :

N = {1, 2, 3, 4, ..., n, ...} .

Zakoni sabiranja prirodnih brojeva

1. Za bilo koje prirodne brojeve a I b istinska jednakost a + b = b + a . Ovo svojstvo se zove komutativni (komutativni) zakon sabiranja.

2. Za bilo koje prirodne brojeve a, b, c istinska jednakost (a + b) + c = a + (b + c) . Ovo svojstvo se naziva kombinacijski (asocijativni) zakon sabiranja.

Zakoni množenja prirodnih brojeva

3. Za bilo koje prirodne brojeve a I b istinska jednakost ab = ba. Ovo svojstvo se naziva komutativnim (komutativnim) zakonom množenja.

4. Za bilo koje prirodne brojeve a, b, c istinska jednakost (ab)c = a(bc) . Ovo svojstvo naziva se kombinacijski (asocijativni) zakon množenja.

5. Za bilo koje vrijednosti a, b, c istinska jednakost (a + b)c = ac + bc . Ovo svojstvo se naziva distributivnim (distributivnim) zakonom množenja (u odnosu na sabiranje).

6. Za bilo koje vrijednosti a istinska jednakost a*1 = a. Ovo svojstvo se zove zakon množenja sa jedan.

Rezultat zbrajanja ili množenja dva prirodna broja uvijek je prirodan broj. Ili, drugačije rečeno, ove operacije se mogu izvesti dok ostaju u skupu prirodnih brojeva. Što se tiče oduzimanja i dijeljenja, to se ne može reći: na primjer, od broja 3 nemoguće je, ostajući u skupu prirodnih brojeva, oduzeti broj 7; Broj 15 se ne može podijeliti sa 4.

Znakovi djeljivosti prirodnih brojeva

djeljivost iznosa. Ako je svaki član djeljiv nekim brojem, tada je i zbir djeljiv tim brojem.

Deljivost rada. Ako je barem jedan od faktora u proizvodu djeljiv određenim brojem, tada je i proizvod djeljiv ovim brojem.

Ovi uslovi, i za zbir i za proizvod, su dovoljni, ali nisu neophodni. Na primjer, proizvod 12*18 je djeljiv sa 36, ​​iako ni 12 ni 18 nisu djeljivi sa 36.

Znak djeljivosti sa 2. Da bi prirodni broj bio djeljiv sa 2, potrebno je i dovoljno da mu zadnja znamenka bude paran.

Znak djeljivosti sa 5. Da bi prirodni broj bio djeljiv sa 5, potrebno je i dovoljno da njegova posljednja znamenka bude 0 ili 5.

Znak djeljivosti sa 10. Da bi prirodni broj bio djeljiv sa 10, potrebno je i dovoljno da cifra jedinica bude 0.

Znak djeljivosti sa 4. Da bi prirodni broj koji sadrži najmanje tri cifre bio djeljiv sa 4, potrebno je i dovoljno da posljednje cifre budu 00, 04, 08 ili je dvocifreni broj koji čine posljednje dvije cifre ovog broja djeljiv sa 4.

Znak djeljivosti sa 2 (sa 9). Da bi prirodni broj bio djeljiv sa 3 (sa 9), potrebno je i dovoljno da zbir njegovih cifara bude djeljiv sa 3 (sa 9).

Skup cijelih brojeva

Razmotrimo brojevnu pravu sa ishodištem u tački O. Koordinata broja nula na njemu će biti tačka O. Brojevi koji se nalaze na brojevnoj pravoj u datom smjeru nazivaju se pozitivni brojevi. Neka je data tačka na brojevnoj pravoj A sa koordinatom 3. Odgovara pozitivnom broju 3. Odvojimo sada tri puta jedinični segment od tačke O, u smjeru suprotnom od datog. Onda dobijamo poen A", simetrično prema tački A u odnosu na porijeklo O. koordinata tačke A" postojaće broj - 3. Ovo je broj suprotan broju 3. Brojevi koji se nalaze na brojevnoj pravoj u smeru suprotnom od datog nazivaju se negativni brojevi.

Brojevi suprotni prirodnim brojevima čine skup brojeva N" :

N" = {- 1, - 2, - 3, - 4, ...} .

Ako kombinujemo setove N , N" i singleton set {0} , onda dobijamo set Z svi cijeli brojevi:

Z = {0} ∪ N ∪ N" .

Za cijele brojeve su tačni svi gore navedeni zakoni sabiranja i množenja, koji su tačni za prirodne brojeve. Osim toga, dodaju se sljedeći zakoni oduzimanja:

a - b = a + (- b) ;

a + (- a) = 0 .

Skup racionalnih brojeva

Da bi operacija dijeljenja cijelih brojeva bilo kojim brojem koji nije jednak nuli izvediva, uvode se razlomci:

Gdje a I b su cijeli brojevi i b nije jednako nuli.

Ako skupu svih pozitivnih i negativnih razlomaka dodamo skup cijelih brojeva, onda ćemo dobiti skup racionalnih brojeva Q :

.

Štaviše, svaki cijeli broj je također racionalan broj, jer se, na primjer, broj 5 može predstaviti kao , gdje su brojnik i nazivnik cijeli brojevi. Ovo je važno u operacijama nad racionalnim brojevima, od kojih jedan može biti cijeli broj.

Zakoni aritmetičkih operacija nad racionalnim brojevima

Osnovno svojstvo razlomka. Ako se brojnik i imenilac datog razlomka pomnože ili podijele istim prirodnim brojem, onda će se dobiti razlomak jednak datom razlomku:

Ovo svojstvo se koristi pri redukciji razlomaka.

Sabiranje razlomaka. Sabiranje običnih frakcija definira se na sljedeći način:

.

To jest, da bi se sabrali razlomci s različitim nazivnicima, razlomci se svode na zajednički imenilac. U praksi, kada se sabiraju (oduzimaju) razlomci sa različitim nazivnicima, razlomci se svode na najmanji zajednički imenilac. Na primjer, ovako:

Da biste sabrali razlomke sa istim brojiocem, samo dodajte brojioce i ostavite imenilac istim.

Množenje razlomaka. Množenje običnih razlomaka definirano je na sljedeći način:

Odnosno, da biste pomnožili razlomak razlomkom, morate pomnožiti brojilac prvog razlomka sa brojnikom drugog razlomka i upisati proizvod u brojilac novog razlomka, a nazivnik prvog razlomka pomnožiti sa nazivnik drugog razlomka i upišite proizvod u nazivnik novog razlomka.

Podjela razlomaka. Podjela običnih razlomaka definirana je na sljedeći način:

Odnosno, da biste podijelili razlomak razlomkom, trebate pomnožiti brojilac prvog razlomka sa nazivnikom drugog razlomka i upisati proizvod u brojnik novog razlomka, a nazivnik prvog razlomka pomnožite sa brojilac drugog razlomka i proizvod upiši u nazivnik novog razlomka.

Podizanje razlomka na stepen sa prirodnim eksponentom. Ova operacija je definirana na sljedeći način:

To jest, da bi se razlomak podigao na stepen, brojilac se podiže na taj stepen, a imenilac na taj stepen.

Periodične decimale

Teorema. Svaki racionalni broj se može predstaviti kao konačan ili beskonačan periodični razlomak.

Na primjer,

.

Konzistentno ponavljajuća grupa cifara iza decimalne tačke u decimalnom zapisu broja naziva se period, a konačni ili beskonačni decimalni razlomak koji ima takav period u svom zapisu naziva se periodični.

U ovom slučaju, bilo koji konačni decimalni razlomak se smatra beskonačnim periodičnim razlomkom s nulom u periodu, na primjer:

Rezultat sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja (osim dijeljenja sa nulom) dva racionalna broja je također racionalan broj.

Skup realnih brojeva

Na brojevnoj pravoj, koju smo razmatrali u vezi sa skupom cijelih brojeva, mogu postojati tačke koje nemaju koordinate u obliku racionalnog broja. Dakle, ne postoji racionalan broj čiji je kvadrat 2. Dakle, broj nije racionalan broj. Također, ne postoje racionalni brojevi čiji su kvadrati jednaki 5, 7, 9. Dakle, brojevi , , su iracionalni. Broj je takođe iracionalan.

Nijedan iracionalni broj se ne može predstaviti kao periodični razlomak. Oni su predstavljeni kao neperiodični razlomci.

Unija skupova racionalnih i iracionalnih brojeva je skup realnih brojeva R .

Integers

Brojevi koji se koriste u brojanju nazivaju se prirodni brojevi. Na primjer, $1,2,3$ itd. Prirodni brojevi čine skup prirodnih brojeva koji se označava sa $N$. Ova notacija dolazi od latinske riječi naturalis- prirodno.

Suprotni brojevi

Definicija 1

Ako se dva broja razlikuju samo po predznacima, nazivaju se u matematici suprotni brojevi.

Na primjer, brojevi $5$ i $-5$ su suprotni brojevi, jer razlikuju se samo po znakovima.

Napomena 1

Za bilo koji broj postoji suprotan broj, i osim toga, samo jedan.

Napomena 2

Nula je suprotna samoj sebi.

Cijeli brojevi

Definicija 2

cijeli prirodni brojevi, njihovi suprotni brojevi i nula nazivaju se brojevima.

Skup cijelih brojeva uključuje skup prirodnih brojeva i njihovih suprotnosti.

Označite cijele brojeve $Z.$

Razlomci brojeva

Brojevi oblika $\frac(m)(n)$ nazivaju se razlomci ili razlomci. Također, razlomci se mogu pisati decimalnim zapisom, tj. u obliku decimala.

Na primjer: $\ \frac(3)(5)$ , $0.08$ itd.

Baš kao i cijeli brojevi, razlomci mogu biti pozitivni ili negativni.

Racionalni brojevi

Definicija 3

Racionalni brojevi je skup brojeva koji sadrži skup cijelih i razlomaka brojeva.

Bilo koji racionalni broj, bilo cijeli ili razlomak, može se predstaviti kao razlomak $\frac(a)(b)$, gdje je $a$ cijeli broj, a $b$ prirodan broj.

Dakle, isti racionalni broj se može napisati na različite načine.

Na primjer,

Ovo pokazuje da se svaki racionalni broj može predstaviti kao konačni decimalni razlomak ili beskonačan decimalni periodični razlomak.

Skup racionalnih brojeva je označen sa $Q$.

Kao rezultat izvođenja bilo koje aritmetičke operacije nad racionalnim brojevima, rezultirajući odgovor će biti racionalan broj. To je lako dokazati, zbog činjenice da pri sabiranju, oduzimanju, množenju i dijeljenju običnih razlomaka dobijete običan razlomak

Iracionalni brojevi

U toku izučavanja matematičkog predmeta često se susrećemo u rješavanju brojeva koji nisu racionalni.

Na primjer, da bismo potvrdili postojanje skupa neracionalnih brojeva, rješavamo jednačinu $x^2=6$.Korijeni ove jednačine su brojevi $\surd 6$ i -$\surd 6$. Ove brojke neće biti racionalne.

Također, kada se pronađe dijagonala kvadrata sa stranicom $3$, primjenom Pitagorine teoreme, dobijamo da će dijagonala biti jednaka $\surd 18$. Ovaj broj takođe nije racionalan.

Takvi brojevi se nazivaju iracionalno.

Dakle, iracionalan broj naziva se beskonačan decimalni neperiodični razlomak.

Jedan od najčešćih iracionalnih brojeva je broj $\pi $

Prilikom izvođenja aritmetičkih operacija s iracionalnim brojevima, dobiveni rezultat može biti i racionalan i iracionalan broj.

To ćemo dokazati na primjeru pronalaženja proizvoda iracionalnih brojeva. Hajde da pronađemo:

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6)$

$\ \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)$

Odluka

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6) = 6$

$\sqrt(2)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(6)$

Ovaj primjer pokazuje da rezultat može biti racionalan ili iracionalan broj.

Ako su racionalni i iracionalni brojevi uključeni u aritmetičke operacije u isto vrijeme, onda će rezultat biti iracionalan broj (osim, naravno, množenja sa $0$).

Realni brojevi

Skup realnih brojeva je skup koji sadrži skup racionalnih i iracionalnih brojeva.

Skup realnih brojeva je označen sa $R$. Simbolično, skup realnih brojeva može se označiti sa $(-?;+?).$

Ranije smo rekli da se beskonačni decimalni neperiodični razlomak naziva iracionalnim brojem, a svaki racionalni broj može biti predstavljen kao konačni decimalni razlomak ili beskonačan decimalni periodični razlomak, tako da će svaki konačni i beskonačni decimalni razlomak biti realan broj.

Prilikom izvođenja algebarskih operacija poštovat će se sljedeća pravila

1. kada se množe i dijele pozitivni brojevi, rezultirajući broj će biti pozitivan
2. pri množenju i dijeljenju negativnih brojeva, rezultirajući broj će biti pozitivan
3. kada se množe i dijele negativni i pozitivni brojevi, rezultirajući broj će biti negativan

Realni brojevi se takođe mogu međusobno porediti.

Mnogo je skup svih objekata koji se nazivaju elementima ovog skupa.

Na primjer: puno školaraca, puno automobila, puno brojeva .

U matematici se skup razmatra mnogo šire. Nećemo se previše upuštati u ovu temu, jer ona pripada višoj matematici i u početku može stvarati poteškoće u učenju. Razmotrićemo samo onaj dio teme kojim smo se već bavili.

Notacija

Skup se najčešće označava velikim slovima latinice, a njegovi elementi - malim slovima. Elementi su zatvoreni u vitičaste zagrade.

Na primjer, ako su naši prijatelji pozvani Tom, John i Leo , tada možemo specificirati skup prijatelja čiji će elementi biti Tom, John i Leo.

Skup naših prijatelja označimo velikim latiničnim slovom F(prijatelji), zatim stavite znak jednakosti i navedite naše prijatelje u vitičastim zagradama:

F = ( Tom, John, Leo)

Primjer 2. Zapišimo skup djelitelja broja 6.

Označimo ovaj skup bilo kojim velikim latiničnim slovom, na primjer, slovom D

tada stavljamo znak jednakosti i u vitičaste zagrade navodimo elemente ovog skupa, odnosno navodimo djelitelje broja 6

D = ( 1, 2, 3, 6 )

Ako neki element pripada datom skupu, tada se to članstvo označava znakom pripadnosti ∈ . Na primjer, djelitelj 2 pripada skupu djelitelja broja 6 (skup D). Napisano je ovako:

Čita se kao: "2 pripada skupu djelitelja broja 6"

Ako neki element ne pripada datom skupu, tada se to nečlanstvo označava precrtanim znakom članstva ∉. Na primjer, djelitelj 5 ne pripada skupu D. Napisano je ovako:

Čita se kao: "pet ne pripadaju set djelitelja od 6″

Pored toga, skup se može napisati direktnim nabrajanjem elemenata, bez velikih slova. Ovo može biti zgodno ako se set sastoji od malog broja elemenata. Na primjer, definirajmo skup od jednog elementa. Neka ovaj element bude naš prijatelj Volume:

( Volumen)

Hajde da definišemo skup koji se sastoji od jednog broja 2

{ 2 }

Postavimo skup koji se sastoji od dva broja: 2 i 5

{ 2, 5 }

Skup prirodnih brojeva

Ovo je prvi set sa kojim smo počeli da radimo. Prirodni brojevi su brojevi 1, 2, 3 itd.

Prirodni brojevi su se pojavili zbog potrebe ljudi da prebroje te druge objekte. Na primjer, prebrojite broj pilića, krava, konja. Prirodni brojevi nastaju prirodno u brojanju.

U prethodnim lekcijama, kada smo koristili riječ "broj", najčešće je to bio prirodan broj.

U matematici se skup prirodnih brojeva označava velikim latiničnim slovom N.

Na primjer, recimo da broj 1 pripada skupu prirodnih brojeva. Da bismo to učinili, pišemo broj 1, a zatim, koristeći znak članstva ∈, označavamo da jedinica pripada skupu N

1 ∈ N

Čita se kao: "jedan pripada skupu prirodnih brojeva"

Skup cijelih brojeva

Skup cijelih brojeva uključuje sve pozitivne i , kao i broj 0.

Skup cijelih brojeva označava se velikim latiničnim slovom Z .

Naznačimo, na primjer, da broj −5 pripada skupu cijelih brojeva:

−5 ∈ Z

Označavamo da 10 pripada skupu cijelih brojeva:

10 ∈ Z

Označavamo da 0 pripada skupu cijelih brojeva:

Ubuduće ćemo sve pozitivne i negativne brojeve zvati jednom frazom - cijeli brojevi.

Skup racionalnih brojeva

Racionalni brojevi su isti obični razlomci koje proučavamo do danas.

Racionalni broj je broj koji se može predstaviti kao razlomak, gdje a- brojilac razlomka b- imenilac.

Uloga brojioca i nazivnika može biti bilo koji broj, uključujući cijele brojeve (s izuzetkom nule, jer ne možete dijeliti nulom).

Na primjer, pretpostavimo umjesto a vrijedi broj 10, a umjesto b- broj 2

10 podijeljeno sa 2 jednako je 5. Vidimo da se broj 5 može predstaviti kao razlomak, što znači da je broj 5 uključen u skup racionalnih brojeva.

Lako je vidjeti da se broj 5 odnosi i na skup cijelih brojeva. Stoga je skup cijelih brojeva uključen u skup racionalnih brojeva. To znači da skup racionalnih brojeva uključuje ne samo obične razlomke, već i cijele brojeve oblika −2, −1, 0, 1, 2.

Sada zamislite to umjesto a je broj 12, a umjesto b- broj 5.

12 podijeljeno sa 5 jednako je 2,4. Vidimo da se decimalni razlomak 2.4 može predstaviti kao razlomak, što znači da je uključen u skup racionalnih brojeva. Iz ovoga zaključujemo da skup racionalnih brojeva uključuje ne samo obične razlomke i cijele brojeve, već i decimalne razlomke.

Izračunali smo razlomak i dobili odgovor 2.4. Ali mogli bismo izdvojiti cijeli broj u ovom razlomku:

Kada odaberete cijeli dio u razlomku, dobijete mješoviti broj. Vidimo da se mješoviti broj može predstaviti i kao razlomak. To znači da skup racionalnih brojeva uključuje i mješovite brojeve.

Kao rezultat, dolazimo do zaključka da skup racionalnih brojeva sadrži:

• cijeli brojevi
• obični razlomci
• decimale
• mešoviti brojevi

Skup racionalnih brojeva označava se velikim latiničnim slovom Q.

Na primjer, ukazujemo da razlomak pripada skupu racionalnih brojeva. Da bismo to učinili, pišemo sam razlomak, a zatim, koristeći znak pripadnosti ∈, označavamo da razlomak pripada skupu racionalnih brojeva:

∈ Q

Ukazujemo da decimalni razlomak 4.5 pripada skupu racionalnih brojeva:

4,5 ∈ Q

Ukazujemo da mješoviti broj pripada skupu racionalnih brojeva:

∈ Q

Uvodna lekcija o skupovima je sada završena. U budućnosti ćemo mnogo bolje gledati na setove, ali za sada će ovaj tutorijal biti dovoljan.

Da li vam se dopala lekcija?
Pridružite se našoj novoj Vkontakte grupi i počnite primati obavijesti o novim lekcijama