Najveći broj u aritmetici. Najveći brojevi na svijetu

Ponekad se ljudi koji nisu vezani za matematiku pitaju: koji je najveći broj? S jedne strane, odgovor je očigledan - beskonačnost. Dosadnici će čak razjasniti tu "plus beskonačnost" ili "+∞" u zapisu matematičara. Ali ovaj odgovor neće uvjeriti one najkorozivnije, pogotovo jer ovo nije prirodan broj, već matematička apstrakcija. Ali pošto su dobro razumjeli problem, oni mogu otvoriti zanimljiv problem.

Zaista, u ovom slučaju ne postoji ograničenje veličine, ali postoji ograničenje ljudske mašte. Svaki broj ima ime: deset, sto, milijarda, sekstilion itd. Ali gdje prestaje fantazija ljudi?

Ne treba ih brkati sa zaštitnim znakom Google Corporation, iako imaju zajedničko porijeklo. Ovaj broj je zapisan kao 10100, odnosno jedan iza kojeg slijedi rep od sto nula. Teško je to zamisliti, ali se aktivno koristio u matematici.

Smiješno je što je smislilo njegovo dijete - nećak matematičara Edvarda Kasnera. Godine 1938. moj ujak je zabavljao mlađe rođake raspravama o veoma velikim brojevima. Na ogorčenje djeteta, pokazalo se da tako divan broj nema ime, a on je dao svoju verziju. Kasnije ga je moj ujak ubacio u jednu od svojih knjiga i termin se zadržao.

Teoretski, googol je prirodan broj, jer se može koristiti za brojanje. Samo retko ko ima strpljenja da broji do kraja. Dakle, samo teoretski.

Što se tiče imena kompanije Google, uvukla se uobičajena greška. Prvi investitor i jedan od suosnivača, prilikom ispisivanja čeka, žurio je, propustio je slovo "O", ali da bi ga unovčio, firma je morala da bude registrovana na ovaj način.

Googolplex

Ovaj broj je derivat gugola, ali znatno veći od njega. Prefiks "pleks" znači podizanje deset na stepen osnovnog broja, tako da je guloplex 10 na stepen od 10 na stepen od 100, ili 101000.

Dobijeni broj premašuje broj čestica u vidljivom svemiru, koji se procjenjuje na oko 1080 stepeni. Ali to nije spriječilo naučnike da povećaju broj jednostavnim dodavanjem prefiksa "plex": googolplexlex, googolplexplex, itd. A za posebno izopačene matematičare izmislili su opciju povećanja bez beskonačnog ponavljanja prefiksa "plex" - jednostavno su ispred njega stavili grčke brojeve: tetra (četiri), penta (pet) i tako dalje, do deka (deset) ). Posljednja opcija zvuči kao googoldekaplex i znači deseterostruko kumulativno ponavljanje postupka za podizanje broja 10 na stepen njegove baze. Glavna stvar je ne zamišljati rezultat. I dalje to nećete moći da shvatite, ali je lako dobiti traumu u psihi.

48. Mersenov broj

Glavni likovi: Cooper, njegov kompjuter i novi prost broj

Relativno nedavno, prije otprilike godinu dana, bilo je moguće otkriti sljedeći, 48. Mersenov broj. To je trenutno najveći prost broj na svijetu. Podsjetimo da su prosti brojevi oni koji su bez ostatka djeljivi samo sa 1 i sami sa sobom. Najjednostavniji primjeri su 3, 5, 7, 11, 13, 17 i tako dalje. Problem je u tome što što dalje u divljinu, to se takvi brojevi rjeđe javljaju. Ali, vrednije je otkriće svakog sledećeg. Na primjer, novi prost broj se sastoji od 17.425.170 cifara ako je predstavljen u obliku decimalnog brojevnog sistema koji nam je poznat. Prethodni je imao oko 12 miliona karaktera.

Otkrio ga je američki matematičar Curtis Cooper, koji je po treći put oduševio matematičku zajednicu ovakvim rekordom. Samo da bi provjerio njegov rezultat i dokazao da je ovaj broj zaista prost, trebalo mu je 39 dana njegovog osobnog kompjutera.

Ovako je Grahamov broj zapisan u Knuthovom zapisu strelice. Teško je reći kako to dešifrirati bez završenog visokog obrazovanja iz teorijske matematike. Takođe je nemoguće to zapisati u decimalnom obliku na koji smo navikli: vidljivi Univerzum jednostavno nije u stanju da ga zadrži. Ograđivanje stepena za stepen, kao u slučaju googolpleksa, takođe nije opcija.

Dobra formula, ali nerazumljiva

Pa zašto nam treba ovaj naizgled beskorisni broj? Prvo, za znatiželjnike, uvršten je u Ginisovu knjigu rekorda, a ovo je već mnogo. Drugo, korišćen je za rešavanje problema koji je deo Ramzijevog problema, koji je takođe neshvatljiv, ali zvuči ozbiljno. Treće, ovaj broj je prepoznat kao najveći ikad korišten u matematici, i to ne u stripovskim dokazima ili intelektualnim igrama, već za rješavanje vrlo specifičnog matematičkog problema.

Pažnja! Sljedeće informacije su opasne za vaše mentalno zdravlje! Čitanjem preuzimate odgovornost za sve posljedice!

Za one koji žele testirati svoj um i meditirati na Grahamov broj, možemo pokušati to objasniti (ali samo pokušati).

Zamislite 33. Prilično je lako - dobijate 3*3*3=27. Šta ako sada podignemo tri na ovaj broj? Ispada 3 3 na 3. stepen, ili 3 27. U decimalnom zapisu, ovo je jednako 7 625 597 484 987. Mnogo, ali za sada se može razumjeti.

U Knuthovoj notaciji strelice, ovaj broj se može prikazati nešto jednostavnije - 33. Ali ako dodate samo jednu strelicu, ispostavit će se da je teže: 33, što znači 33 na stepen od 33 ili u notaciji potenciranja. Ako se proširi na decimalni zapis, dobijamo 7,625,597,484,987 7,625,597,484,987 . Jeste li još uvijek u stanju pratiti misao?

Sljedeći korak: 33= 33 33 . Odnosno, morate izračunati ovaj divlji broj iz prethodne akcije i podići ga na isti stepen.

A 33 je samo prvi od 64 člana Grahamovog broja. Da biste dobili drugi, morate izračunati rezultat ove besne formule i zamijeniti odgovarajući broj strelica u šemu 3(...)3. I tako dalje, još 63 puta.

Pitam se hoće li iko osim njega i još desetak supermatematičara uspjeti doći barem do sredine niza, a da pritom ne poludi?

Jeste li razumjeli nešto? Mi nismo. Ali kakvo uzbuđenje!

Zašto su potrebni najveći brojevi? Laiku je to teško da shvati i shvati. Ali nekoliko stručnjaka uz njihovu pomoć u stanju je da stanovnicima predstavi nove tehnološke igračke: telefone, kompjutere, tablete. Građani također ne mogu razumjeti kako rade, ali ih rado koriste za vlastitu zabavu. I svi su sretni: građani dobivaju svoje igračke, "supernerds" - priliku da igraju svoje umne igre dugo vremena.

Stavite nule iza bilo kojeg broja ili pomnožite sa deseticama podignutim na proizvoljno veliki stepen. Neće se činiti mnogo. Izgledaće kao mnogo. Ali goli snimci, ipak, nisu previše impresivni. Nagomilane nule u humanističkim naukama ne izazivaju toliko iznenađenje koliko lagano zijevanje. U svakom slučaju, na bilo koji najveći broj na svijetu koji možete zamisliti, uvijek možete dodati još jedan... I broj će izaći još više.

Pa ipak, postoje li riječi na ruskom ili nekom drugom jeziku za označavanje vrlo velikih brojeva? Oni koji su više od milion, milijardi, triliona, milijardi? I uopšte, koliko je milijarda?

Ispostavilo se da postoje dva sistema za imenovanje brojeva. Ali ne arapske, egipatske ili bilo koje druge drevne civilizacije, već američke i engleske.

U američkom sistemu brojevi se nazivaju ovako: uzima se latinski broj + - milion (sufiks). Tako se dobijaju brojevi:

Trilion - 1.000.000.000.000 (12 nula)

Kvadrilion - 1.000.000.000.000.000 (15 nula)

Kvintilion - 1 i 18 nula

Sextillion - 1 i 21 nula

Septilion - 1 i 24 nula

oktilion - 1 praćeno sa 27 nula

Nonilion - 1 i 30 nula

Decilion - 1 i 33 nula

Formula je jednostavna: 3 x + 3 (x je latinski broj)

U teoriji bi trebali postojati i brojevi anilion (unus na latinskom - jedan) i duolion (duo - dva), ali, po mom mišljenju, takvi nazivi se uopće ne koriste.

Engleski sistem imenovanja rasprostranjenije.

I ovdje se uzima latinski broj i dodaje mu se sufiks -milion. Međutim, naziv sljedećeg broja, koji je 1.000 puta veći od prethodnog, formira se pomoću istog latinskog broja i sufiksa - milijarde. Mislim:

Trilion - 1 i 21 nula (u američkom sistemu - sekstilion!)

Trilion - 1 i 24 nule (u američkom sistemu - septilion)

Kvadrilion - 1 i 27 nula

Quadribilion - 1 praćeno sa 30 nula

Kvintilion - 1 i 33 nula

Quinilliard - 1 praćen sa 36 nula

Sextillion - 1 praćen sa 39 nula

Sextillion - 1 i 42 nula

Formule za brojanje nula su:

Za brojeve koji se završavaju na - illion - 6 x+3

Za brojeve koji se završavaju na - milijardu - 6 x+6

Kao što vidite, moguća je zabuna. Ali nemojmo se plašiti!

U Rusiji je usvojen američki sistem imenovanja brojeva. Iz engleskog sistema posudili smo naziv broja "milijarda" - 1.000.000.000 \u003d 10 9

A gdje je "njegovana" milijarda? - Pa, milijarda je milijarda! Američki stil. I iako koristimo američki sistem, "milijardu" smo uzeli iz engleskog.

Koristeći latinske nazive brojeva i američki sistem, nazovimo brojeve:

- vigintillion- 1 i 63 nule

- centilion- 1 i 303 nule

- Milion- jedan i 3003 nule! Oh-hoo...

No, ispostavilo se da to nije sve. Postoje i vansistemski brojevi.

A prvi je vjerovatno bezbroj- sto stotina = 10.000

googol(u njegovu čast je nazvan poznati pretraživač) - jedan i sto nula

U jednoj od budističkih rasprava, jedan broj je imenovan asankhiya- jedan sto četrdeset nula!

Naziv broja googolplex(kao Google) izmislili su engleski matematičar Edvard Kasner i njegov devetogodišnji nećak - jedinica c - draga majko! - googol nule!!!

Ali to nije sve...

Matematičar Skewes je nazvao Skewesov broj po sebi. To znači e u meri u kojoj e u meri u kojoj e na stepen 79, tj. e e e 79

A onda je nastao veliki problem. Možete smisliti imena za brojeve. Ali kako ih zapisati? Broj stepeni stepeni stepeni već je toliki da jednostavno ne stane na stranicu! :)

A onda su neki matematičari počeli pisati brojeve u geometrijskim oblicima. A prvu, kažu, takvu metodu snimanja izmislio je izvanredni pisac i mislilac Daniil Ivanovič Kharms.

Pa ipak, koji je NAJVEĆI BROJ NA SVIJETU? - Zove se STASPLEX i jednak je G 100,

gdje je G Grahamov broj, najveći broj ikada korišten u matematičkim dokazima.

Ovaj broj - stasplex - izmislila je divna osoba, naš sunarodnjak Stas Kozlovsky, u LJ na koji ti se obraćam :) - ctac

Nemoguće je tačno odgovoriti na ovo pitanje, jer brojčani niz nema gornju granicu. Dakle, bilo kojem broju dovoljno je samo dodati jedan da dobijete još veći broj. Iako su sami brojevi beskonačni, oni nemaju mnogo vlastitih imena, jer se većina njih zadovoljava imenima sastavljenim od manjih brojeva. Tako, na primjer, brojevi i imaju svoja imena "jedan" i "sto", a naziv broja je već složen ("sto jedan"). Jasno je da u konačnom nizu brojeva koje je čovječanstvo dodijelilo svojim imenom, mora biti neki najveći broj. Ali kako se to zove i čemu je jednako? Pokušajmo to shvatiti i u isto vrijeme otkriti do kakvih su velikih brojeva matematičari došli.

"Kratka" i "duga" skala

U Schückeovom sistemu, broj koji je bio između milion i milijardu nije imao svoje ime i jednostavno se zvao "hiljadu miliona", slično se zvao "hiljadu milijardi", - "hiljadu triliona" itd. To nije bilo baš zgodno, pa je 1549. godine francuski pisac i naučnik Jacques Peletier du Mans (1517-1582) predložio da se takvi "srednji" brojevi imenuju koristeći iste latinske prefikse, ali završetak "-billion". Dakle, počelo se zvati "milijarda", - "bilijar", - "trilijard" itd.

Shuquet-Peletier sistem je postepeno postao popularan i korišten u cijeloj Evropi. Međutim, u 17. vijeku pojavio se neočekivani problem. Ispostavilo se da su se iz nekog razloga neki naučnici počeli zbuniti i nazivati ​​broj ne "milijardu" ili "hiljadu miliona", već "milijardu". Ubrzo se ova greška brzo proširila i nastala je paradoksalna situacija - "milijarda" je istovremeno postala sinonim za "milijardu" () i "milijun miliona" ().

Ova konfuzija se nastavila dugo i dovela je do toga da su u SAD-u stvorili vlastiti sistem za imenovanje velikih brojeva. Prema američkom sistemu, nazivi brojeva su izgrađeni na isti način kao u sistemu Schuke - latinski prefiks i završetak "milion". Međutim, ove brojke su različite. Ako su u Schuecke sistemu imena sa završetkom "milion" dobila brojeve koji su bili stepen miliona, onda je u američkom sistemu završetak "-million" dobio stepen hiljade. Odnosno, hiljadu miliona () postalo je poznato kao "milijarda", () - "trilion", () - "kvadrilion" itd.

Stari sistem imenovanja velikih brojeva nastavio se koristiti u konzervativnoj Velikoj Britaniji i počeo se nazivati ​​"britanskim" u cijelom svijetu, uprkos činjenici da su ga izmislili Francuzi Shuquet i Peletier. Međutim, 1970-ih, Velika Britanija je službeno prešla na "američki sistem", što je dovelo do toga da je postalo nekako čudno jedan sistem nazivati ​​američkim, a drugi britanskim. Kao rezultat toga, američki sistem se sada obično naziva "kratka skala", a britanski ili Chuquet-Peletier sistem kao "duga skala".

Da ne bismo bili zbunjeni, sumiramo srednji rezultat:

Zanimljivo je da se kod nas konačni prelazak na kratku skalu dogodio tek u drugoj polovini 20. vijeka. Tako, na primjer, čak i Jakov Isidorovič Perelman (1882–1942) u svojoj “Zabavnoj aritmetici” spominje paralelno postojanje dvije skale u SSSR-u. Kratka skala se, prema Perelmanu, koristila u svakodnevnom životu i finansijskim proračunima, a duga u naučnim knjigama o astronomiji i fizici. Međutim, sada je pogrešno koristiti dugu skalu u Rusiji, iako su brojke tamo velike.

Ali vratimo se na pronalaženje najvećeg broja. Nakon deciliona, imena brojeva se dobijaju kombinovanjem prefiksa. Tako se dobijaju brojevi kao što su undecilion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecilion, novemdecillion, itd. Međutim, ova imena nas više ne zanimaju, jer smo se dogovorili da pronađemo najveći broj sa svojim nesloženim imenom.

Ako se okrenemo latinskoj gramatici, otkrićemo da su Rimljani imali samo tri nesložena imena za brojeve veće od deset: viginti - "dvadeset", centum - "sto" i mille - "hiljadu". Za brojeve veće od "hiljadu", Rimljani nisu imali svoja imena. Na primjer, milion () Rimljani su to zvali "decies centena milia", odnosno "deset puta sto hiljada". Prema Schueckeovom pravilu, ova tri preostala latinska broja daju nam imena za brojeve kao što su "vigintillion", "centillion" i "milleillion".

Dakle, saznali smo da je na "kratkoj skali" maksimalni broj koji ima svoje ime i nije kompozit manjih brojeva "milion" (). Kada bi se u Rusiji usvojila „duga skala“ brojeva za imenovanje, tada bi najveći broj s vlastitim imenom bio „milionion“ ().

Međutim, postoje nazivi i za veće brojeve.

Brojevi izvan sistema

Sve do 17. veka Rusija je koristila sopstveni sistem za imenovanje brojeva. Desetine hiljada zvali su se "mraci", stotine hiljada su nazivani "legijama", milioni su se zvali "leodras", desetine miliona su se zvali "gavrani", a stotine miliona su nazivani "palubama". Ovaj račun do stotina miliona nazvan je „mali račun“, au nekim rukopisima su autori smatrali i „veliki račun“, u kojem su isti nazivi korišćeni za velike brojeve, ali sa drugačijim značenjem. Dakle, "tama" više nije značila deset hiljada, već hiljadu hiljada () , "legija" - tama onih () ; "leodr" - legija legija () , "gavran" - leodr leodrov (). "Paluba" u velikom slavenskom izveštaju iz nekog razloga nije nazvana "gavran od gavrana" () , ali samo deset "gavrana", odnosno (vidi tabelu).

Naziv broja	Značenje u "malom broju"	Značenje u "odličnom računu"	Oznaka
Tama
Legion
Leodr
gavran (gavran)
Paluba
Mrak tema

Naziv za još veći broj od gugola nastao je 1950. godine zahvaljujući ocu kompjuterske nauke, Klodu Šenonu (Claude Elwood Shannon, 1916–2001). U svom članku "Programiranje kompjutera za igranje šaha" pokušao je da procijeni broj mogućih varijanti šahovske partije. Prema njemu, svaka partija traje u prosjeku poteza, a na svakom potezu igrač vrši prosječan izbor opcija, što odgovara (približno jednakim) opcijama igre. Ovaj rad je postao nadaleko poznat, a ovaj broj je postao poznat kao "Šenonov broj".

U poznatoj budističkoj raspravi Jaina Sutra, koja datira iz 100. godine prije nove ere, broj "asankheya" je jednak . Vjeruje se da je ovaj broj jednak broju kosmičkih ciklusa potrebnih za postizanje nirvane.

Devetogodišnji Milton Sirotta ušao je u istoriju matematike ne samo tako što je izmislio googol broj, već i predložio još jedan broj u isto vreme – „googolplex“, koji je jednak moći „gugola“, tj. sa gugolom nula.

Još dva broja veća od gugolpleksa predložio je južnoafrički matematičar Stanley Skewes (1899–1988) prilikom dokazivanja Riemannove hipoteze. Prvi broj, koji je kasnije počeo da se zove "Skewsov prvi broj", jednak je stepenu na stepen na stepen od , odnosno, . Međutim, "drugi Skewes broj" je još veći i iznosi .

Očigledno, što je više stupnjeva u broju stupnjeva, to je teže zapisati brojeve i razumjeti njihovo značenje pri čitanju. Štaviše, moguće je smisliti takve brojeve (a oni su, usput rečeno, već izmišljeni), kada se stepeni stepeni jednostavno ne uklapaju na stranicu. Da, kakva stranica! Neće stati ni u knjigu veličine čitavog svemira! U ovom slučaju postavlja se pitanje kako zapisati takve brojeve. Problem je, srećom, rješiv, a matematičari su razvili nekoliko principa za pisanje takvih brojeva. Istina, svaki matematičar koji je postavljao ovaj problem došao je do svog načina pisanja, što je dovelo do postojanja nekoliko nepovezanih načina za pisanje velikih brojeva - to su notacije Knutha, Conwaya, Steinhausa, itd. Sada ćemo se morati pozabaviti sa nekima od njih.

Druge oznake

"u trokutu" znači "",
"u kvadratu" znači "u trokutima",
"u krugu" znači "u kvadratima".

Objašnjavajući ovakav način pisanja, Štajnhaus dolazi do broja „mega“, jednakog u krugu i pokazuje da je jednak u „kvadratu“ ili u trouglovima. Da biste ga izračunali, trebate ga podići na stepen, podići rezultirajući broj na stepen, zatim podići rezultirajući broj na stepen rezultirajućeg broja, i tako dalje da povećate stepen vremena. Na primjer, kalkulator u MS Windows ne može izračunati zbog prelivanja čak ni u dva trougla. Otprilike ovaj ogroman broj je .

Odredivši broj "mega", Steinhaus poziva čitatelje da samostalno procijene drugi broj - "medzon", jednak u krugu. U drugom izdanju knjige, Steinhaus, umjesto medzone, predlaže da se procijeni još veći broj - "megiston", jednak u krugu. Prateći Steinhausa, preporučiću čitaocima da se malo odmore od ovog teksta i pokušaju sami da napišu ove brojeve koristeći obične moći kako bi osjetili njihovu gigantsku veličinu.

Međutim, postoje nazivi za velike brojeve. Tako je kanadski matematičar Leo Moser (Leo Moser, 1921–1970) finalizirao Steinhausovu notaciju, koja je bila ograničena činjenicom da ako bi bilo potrebno zapisivati ​​brojeve mnogo veće od megistona, onda bi se pojavile poteškoće i neugodnosti, jer mnogi krugovi bi morali biti nacrtani jedan u drugom. Moser je predložio da se ne crtaju krugovi nakon kvadrata, već petouglovi, zatim šesterokuti i tako dalje. On je također predložio formalnu notaciju za ove poligone, tako da se brojevi mogu pisati bez crtanja složenih obrazaca. Moserova notacija izgleda ovako:

"trougao" = = ;
"u kvadratu" = = "u trouglovima" =;
"u pentagonu" = = "u kvadratima" = ;
"in -gon" = = "u -gons" = .

Dakle, prema Moserovoj notaciji, Steinhausian "mega" se piše kao , "medzon" kao , a "megiston" kao . Osim toga, Leo Moser je predložio da se poligon s brojem strana jednakim mega nazove "megagonom". I ponudio broj « u megagonu", tj. Ovaj broj je postao poznat kao Moserov broj, ili jednostavno kao "moser".

Ali čak ni "moser" nije najveći broj. Dakle, najveći broj ikada korišten u matematičkom dokazu je "Grahamov broj". Ovaj broj je prvi upotrijebio američki matematičar Ronald Graham 1977. kada je dokazivao jednu procjenu u Ramseyevoj teoriji, odnosno kada je izračunavao dimenzije određenih -dimenzionalno dvobojne hiperkocke. Grahamov broj je stekao slavu tek nakon priče o njemu u knjizi Martina Gardnera iz 1989. "Od Penrose mozaika do sigurnih šifri".

Da bismo objasnili koliko je Grahamov broj veliki, potrebno je objasniti drugi način pisanja velikih brojeva, koji je uveo Donald Knuth 1976. godine. Američki profesor Donald Knuth osmislio je koncept superstepena, koji je predložio da se napiše sa strelicama usmjerenim prema gore.

Uobičajene aritmetičke operacije - sabiranje, množenje i eksponencijacija - mogu se prirodno proširiti u niz hiperoperatora na sljedeći način.

Množenje prirodnih brojeva može se definirati kroz ponovljene operacije sabiranja („dodavanje kopija broja“):

Na primjer,

Podizanje broja na stepen može se definirati kao ponovljena operacija množenja ("množenje kopija broja"), a u Knuthovoj notaciji ovaj unos izgleda kao jedna strelica koja pokazuje prema gore:

Na primjer,

Ovakva jedna strelica nagore korišćena je kao ikona stepena u programskom jeziku Algol.

Na primjer,

Ovdje i ispod, evaluacija izraza uvijek ide s desna na lijevo, a Knuthovi operatori strelice (kao i operacija eksponencijalnosti) po definiciji imaju desnu asocijativnost (redoslijed zdesna nalijevo). Prema ovoj definiciji,

Ovo već dovodi do prilično velikih brojeva, ali notacija se tu ne završava. Operator trostruke strelice se koristi za pisanje ponovljene eksponencijacije operatora dvostruke strelice (takođe poznato kao "pentacija"):

Zatim operator "četvorostruka strelica":

itd. Operator opšteg pravila "-Ja strelica", prema desnoj asocijativnosti, nastavlja se udesno u sekvencijalni niz operatora « strelica". Simbolično, ovo se može napisati na sljedeći način,

Na primjer:

Forma notacije se obično koristi za pisanje strelicama.

Neki brojevi su toliko veliki da čak i pisanje Knuthovim strelicama postaje preglomazno; u ovom slučaju, upotreba operatora -strelica je poželjnija (i takođe za opis sa promenljivim brojem strelica), ili ekvivalentna hiperoperatorima. Ali neki brojevi su toliko ogromni da čak ni takav zapis nije dovoljan. Na primjer, Grahamov broj.

Kada koristite notaciju Knuthove strelice, Grahamov broj se može napisati kao

Pri čemu je broj strelica u svakom sloju, počevši od vrha, određen brojem u sljedećem sloju, tj., gdje , gdje gornji indeks strelice označava ukupan broj strelica. Drugim rečima, računa se u koracima: u prvom koraku računamo sa četiri strelice između trojki, u drugom - sa strelicama između trojki, u trećem - sa strelicama između trojki, itd; na kraju računamo iz strelica između trojki.

Ovo se može napisati kao , gdje , gdje superskript y označava iteracije funkcije.

Ako se drugi brojevi sa “imenima” mogu upariti s odgovarajućim brojem objekata (na primjer, broj zvijezda u vidljivom dijelu Univerzuma procjenjuje se u sekstilionima - , a broj atoma koji čine globus ima red dodekaliona), onda je gugol već „virtualan“, da ne spominjemo Grahamov broj. Skala samog prvog pojma je toliko velika da ga je gotovo nemoguće shvatiti, iako je gornju notaciju relativno lako razumjeti. Iako - ovo je samo broj tornjeva u ovoj formuli za , ovaj broj je već mnogo veći od broja Planckovih volumena (najmanji mogući fizički volumen) koji se nalaze u vidljivom svemiru (otprilike ). Nakon prvog člana, čeka nas još jedan član brzo rastuće sekvence.

Jedno današnje dijete je pitalo: "Kako se zove najveći broj na svijetu?" Pitanje je zanimljivo. Ušao sam na internet i na prvom redu Yandexa našao sam detaljan članak u LiveJournalu. Tamo je sve detaljno. Ispostavilo se da postoje dva sistema za imenovanje brojeva: engleski i američki. I, na primjer, kvadrilion prema engleskom i američkom sistemu potpuno su različiti brojevi! Najveći nesloženi broj je Milion = 10 na stepen od 3003.
Kao rezultat toga, sin je došao do potpuno razumnog inputa koji se može računati beskonačno.

Original preuzet sa ctac Najveći broj na svijetu

Kao dijete me mučilo pitanje kakvo
najveći broj, a ja sam maltretirao ovu glupu
pitanje za skoro sve. Znajući broj
miliona, pitao sam da li postoji broj veći
miliona. Milijardu? I više od milijardu? Trilion?
I više od triliona? Konacno nasao nekog pametnog
ko mi je objasnio da je pitanje glupo, jer
dovoljno za dodati
na veliki broj jedan, i ispostavilo se da je
nikada nije bio najveći otkad postoji
broj je još veći.

I sada, nakon mnogo godina, odlučio sam da se zapitam drugo
pitanje, naime: šta je najviše
veliki broj koji ima svoje
naslov? Na sreću, sada postoji internet i zagonetka
oni mogu biti strpljivi pretraživači koji to ne čine
moja pitanja će nazvati idiotskim ;-).
Zapravo, ovo je ono što sam uradio, a ovo je rezultat
saznao.

Postoje dva sistema za imenovanje brojeva −
američki i engleski.

Američki sistem je prilično izgrađen
jednostavno. Sva imena velikih brojeva grade se ovako:
na početku je latinski redni broj,
a na kraju mu se dodaje sufiks -million.
Izuzetak je naziv "milion"
što je ime broja hiljadu (lat. mille)
i sufiks za uvećanje -milion (vidi tabelu).
Ovako izlaze brojke - trilion, kvadrilion,
kvintilion, sekstilion, septilion, oktilion,
nonilion i decilion. Američki sistem
koristi se u SAD, Kanadi, Francuskoj i Rusiji.
Saznaj broj nula u broju koji je napisao
Američki sistem, možete koristiti jednostavnu formulu
3 x+3 (gdje je x latinski broj).

Engleski sistem imenovanja većina
rasprostranjena u svijetu. Koristi se, na primjer, u
Velikoj Britaniji i Španiji, kao iu većini
bivše engleske i španske kolonije. Naslovi
brojevi u ovom sistemu su izgrađeni ovako: ovako: do
dodati nastavak latinskom broju
-milion, sljedeći broj (1000 puta veći)
izgrađen na istom principu
Latinski broj, ali sufiks je -billion.
Odnosno, nakon triliona u engleskom sistemu
ide trilion, a tek onda kvadrilion, for
slijedi kvadrilion, i tako dalje. Dakle
dakle, kvadrilion na engleskom i
Američki sistemi su potpuno drugačiji
brojevi! Pronađite broj nula u broju
napisano u engleskom sistemu i
koji se završava sufiksom -million, možete
formula 6 x+3 (gdje je x latinski broj) i
po formuli 6 x+6 za brojeve koji završavaju na
- milijarde.

Prebačen sa engleskog sistema na ruski jezik
samo broj milijardi (10 9), koji je i dalje
bilo bi ispravnije nazvati to kako se zove
Amerikanci - za milijardu, otkako smo usvojili
To je američki sistem. Ali koga imamo
država radi nešto po pravilima! ;-) Između ostalog,
ponekad na ruskom koriste tu riječ
triliona (možete vidjeti i sami,
pokrenuti pretragu u Google ili Yandex) i to znači, sudeći po tome
sve, 1000 triliona, tj. kvadrilion.

Pored brojeva napisanih latinicom
prefiksi u američkom ili engleskom sistemu,
poznati su i tzv. vansistemski brojevi,
one. brojevi koji imaju svoje
imena bez latiničnih prefiksa. Takve
ima nekoliko brojeva, ali više o njima ja
Reći ću ti malo kasnije.

Vratimo se pisanju uz pomoć latinice
brojevi. Čini se da mogu
pisati brojeve do beskonačnosti, ali ovo nije
sasvim tako. Sada ću objasniti zašto. Da vidimo za
počevši tako što se brojevi od 1 do 10 33 nazivaju:

I tako, sada se postavlja pitanje šta dalje. Šta
tamo za decilion? U principu, moguće je, naravno,
kombinovanjem prefiksa za generisanje takvih
čudovišta poput: andecillion, duodecillion,
tredecillion, quattordecillion, quindecillion,
sexdecillion, septemdecillion, oktodecillion i
novemdecillion, ali oni će već biti složeni
imena, ali su nas zanimala
vlastita imena brojeva. Stoga vlastiti
imena prema ovom sistemu, pored gore navedenih, postoje i imena
možete dobiti samo tri
- vigintillion (od lat. viginti —
dvadeset), centilion (od lat. posto- sto) i
miliona (od lat. mille- jedna hiljada). Više
hiljade vlastitih imena za brojeve kod Rimljana
nije bio dostupan (svi brojevi preko hiljadu koje su imali
kompozit). Na primjer, milion (1.000.000) Rimljana
pozvao centena milia, odnosno "deset stotina
hiljada". A sada, u stvari, tabela:

Dakle, prema sličnom sistemu brojeva
veći od 10 3003 , što bi imalo
dobiti svoje, nesloženo ime
nemoguće! Međutim, više brojeva
miliona poznatih - to su sami
vansistemski brojevi. Na kraju, hajde da pričamo o njima.

Najmanji takav broj je bezbroj
(to je čak i u Dahlovom rječniku), što znači
sto stotina, odnosno 10 000. Istina, ova reč
zastarjelo i jedva korišteno, ali
znatiželjan da se ta riječ široko koristi
"bezbroj", što znači nikako
određen broj, ali bezbroj, neubrojiv
puno nečega. Vjeruje se da je riječ bezbroj
(eng. myriad) došao je u evropske jezike od antičkih vremena
Egipat.

googol(od engleskog googol) je broj deset u
stoti stepen, odnosno jedan iza kojeg slijedi sto nula. O
"googole" je prvi put napisan 1938. godine u članku
"Nova imena u matematici" u januarskom broju časopisa
Scripta Mathematica Američki matematičar Edward Kasner
(Edward Kasner). Prema njegovim riječima, zovi "googol"
veliki broj je ponudio svog devetogodišnjaka
nećak Miltona Sirotte.
Ovaj broj je postao poznat zahvaljujući
nazvan po njemu, pretraživač Google. Zapiši to
"Google" je zaštitni znak, a googol je broj.

U poznatoj budističkoj raspravi Jaina Sutras,
vezano za 100. pne, postoji broj asankhiya
(sa kineskog asentzi- neuračunljivo), jednako 10 140.
Vjeruje se da je ovaj broj jednak broju
kosmičke cikluse neophodne za dobijanje
nirvana.

Googolplex(engleski) googolplex) - broj također
izumio Kasner sa svojim nećakom i
što znači jedan sa googolom od nula, tj. 10 10 100 .
Evo kako sam Kasner opisuje ovo "otkriće":

Mudre riječi djeca govore barem jednako često kao i naučnici. Ime
"googol" je izmislilo dijete (devetogodišnji nećak dr. Kasnera) koji je
zamolio je da smisli ime za veoma veliki broj, naime, 1 sa stotinu nula iza njega.
Bio je vrlo siguran da taj broj nije beskonačan, a samim tim i jednako siguran u to
moralo je da ima ime. U isto vrijeme kada je predložio "googol" dao je a
naziv za još veći broj: "Googolplex." Googolplex je mnogo veći od a
googol, ali je i dalje konačan, kao što je izumitelj imena brzo istakao.

Matematika i mašta(1940) Kasnera i Jamesa R.
Newman.

Čak i više od googolplex broja je broj
Skewes "broj" je predložio Skewes 1933. godine
godine (Skewes. J. London Math. soc. 8 , 277-283, 1933.) at
dokaz hipoteze
Riemann u vezi prostih brojeva. To
znači e u meri u kojoj e u meri u kojoj e in
potencije 79, tj. e e e 79 . kasnije,
Riele (te Riele, H. J. J. "O znaku razlike P(x)-Li(x)."
Math. Račun. 48 , 323-328, 1987) smanjio Skuseov broj na e e 27/4 ,
što je približno jednako 8.185 10 370 . razumljivo
poenta je u tome da budući da vrijednost Skewes broja zavisi od
brojevi e, onda nije cijeli broj, dakle
nećemo to razmatrati, inače bismo morali
opozvati druge ne-prirodne brojeve - broj
pi, e, Avogadrov broj, itd.

Ali treba napomenuti da postoji i drugi broj
Skewes, koji se u matematici označava kao Sk 2,
koji je čak i veći od prvog Skewes broja (Sk 1).
Skuseov drugi broj, predstavio je J.
Skewes u istom članku za označavanje broja, do
što je Riemannova hipoteza validna. Sk 2
jednako 10 10 10 10 3 , tj. 10 10 10 1000
.

Kao što razumete, što je više u broju stepeni,
to je teže shvatiti koji je od brojeva veći.
Na primjer, gledajući Skewes brojeve, bez
specijalni proračuni su gotovo nemogući
utvrdite koji je od dva broja veći. Dakle
Stoga, za super velike brojeve, koristite
stepeni postaje neprijatno. Štaviše, moguće je
smisliti takve brojeve (a oni su već izmišljeni) kada
stepeni stepeni jednostavno ne stanu na stranicu.
Da, kakva stranica! Ne stanu čak ni u knjigu,
veličine čitavog svemira! U ovom slučaju, ustanite
Pitanje je kako ih zapisati. Nevolja kako si
razumjeti se može odlučiti, a matematičari su se razvili
nekoliko principa za pisanje takvih brojeva.
Istina, svaki matematičar koji je ovo pitao
problem je došao s vlastitim načinom da to snimi
dovelo do postojanja nekoliko nepovezanih
jedni s drugima, načini pisanja brojeva su
notacije Knutha, Conwaya, Steinhousea, itd.

Razmotrimo notaciju Huga Stenhausa (H. Steinhaus. Matematički
Snimci, 3rd edn. 1983), što je prilično jednostavno. Stein
House je predložio pisanje velikih brojeva unutra
geometrijski oblici - trokut, kvadrat i
krug:

Steinhouse je smislio dva nova ekstra velika
brojevi. On je imenovao broj Mega, a broj je Megiston.

Matematičar Leo Moser završio je notaciju
Stenhouse, koji je bio ograničen na šta ako
bilo je potrebno mnogo više zapisati brojeve
megiston, bilo je poteškoća i neugodnosti, pa
kako sam morao nacrtati mnogo krugova jedan
unutar drugog. Moser je predložio nakon kvadrata
onda ne crtaj krugove, već peterokute
heksagone i tako dalje. On je takođe predložio
formalni zapis za ove poligone,
da mogu pisati brojeve bez crtanja
složeni crteži. Moserova notacija izgleda ovako:

Dakle, prema Moserovom zapisu
steinhouse mega se piše kao 2, i
megiston kao 10. Osim toga, predložio je Leo Moser
nazovite poligon sa brojem strana jednakim
mega - megagon. I predložio je broj "2 in
Megagon", odnosno 2. Ovaj broj je postao
poznat kao Moserov broj ili jednostavno
kako moser.

Ali moser nije najveći broj. najveći
broj ikada korišten u
matematički dokaz je
limit, poznat kao Grahamov broj
(Grahamov broj), prvi put korišten 1977. godine
dokaz jedne procjene u Ramseyevoj teoriji. To
povezan sa bihromatskim hiperkockama i ne
može se izraziti bez posebnog 64-nivoa
sistemi specijalnih matematičkih simbola,
uveo Knuth 1976.

Nažalost, broj je napisan Knuthom
ne može se pretvoriti u Moserovu notaciju.
Stoga će i ovaj sistem morati biti objašnjen. IN
U principu, ni u tome nema ništa komplikovano. Donald
Knut (da, da, ovo je isti Knut koji je pisao
"Umetnost programiranja" i kreirao
TeX urednik) osmislio je koncept supersile,
koju je predložio da napiše strelicama,
prema gore:

Generalno, to izgleda ovako:

Mislim da je sve jasno, pa da se vratimo na broj
Graham. Graham je predložio takozvane G-brojeve:

Počeo je da se zove broj G 63 broj
Graham(često se označava jednostavno kao G).
Ovaj broj je najveći poznat u
svjetski broj pa čak i uvršten u "Knjigu rekorda".
Guinness. „Ah, taj Grahamov broj je veći od broja
Moser.

P.S. Da bude od velike koristi
celom čovečanstvu i neka bude slavljen kroz vekove, I
Odlučio sam da smislim i imenujem najveće
broj. Ovaj broj će biti pozvan stasplex I
jednak je broju G 100 . Zapamtite to i kada
vaša djeca će pitati šta je najveće
svjetski broj, recite im kako se zove ovaj broj stasplex.

U detinjstvu smo učili da brojimo do deset, pa do sto, pa do hiljadu. Dakle, koji je najveći broj koji znate? Hiljadu, milion, milijardu, trilion... I onda? Petallion će, reći će neko, pogriješiti, jer brka SI prefiks sa sasvim drugim konceptom.

Zapravo, pitanje nije tako jednostavno kao što se čini na prvi pogled. Prvo, govorimo o imenovanju imena moći hiljadu. I ovdje, prva nijansa koju mnogi ljudi znaju iz američkih filmova je da našu milijardu nazivaju milijardom.

Nadalje, postoje dvije vrste vage - duge i kratke. Kod nas se koristi kratka skala. U ovoj skali, na svakom koraku, bogomoljka se povećava za tri reda veličine, tj. pomnožiti sa hiljadu - hiljadu 10 3, milion 10 6, milijardu / milijardu 10 9, trilion (10 12). U dugoj skali, nakon milijarde 10 9 dolazi milijarda 10 12, a u budućnosti se mantisa već povećava za šest redova veličine, a sljedeći broj, koji se zove trilion, već stoji za 10 18.

Ali da se vratimo na naše domaće razmere. Želite znati šta dolazi nakon triliona? molim:

10 3 hiljade
10 6 miliona
10 9 milijardi
10 12 triliona
10 15 kvadriliona
10 18 kvintiliona
10 21 sekstilion
10 24 septiliona
10 27 oktil
10 30 noniliona
10 33 deciliona
10 36 undecilion
10 39 dodeciliona
10 42 tredecillion
10 45 quattuordecillion
10 48 quindecillion
10 51 sedecilion
10 54 septdecilion
10 57 duodevigintillion
10 60 undegintillion
10 63 vigintillion
10 66 anvigintillion
10 69 duovigintillion
10 72 trevigintiliona
10 75 quattorvigintiliona
10 78 kvintiliona
10 81 sexwigintillion
10 84 septemvigintillion
10 87 octovigintillion
10 90 novemvigintillion
10 93 trigintiliona
10 96 antirigintillion

Na ovom broju naša kratka ljestvica ne stoji, a u budućnosti se mantisa progresivno povećava.

10 100 googol
10 123 kvadragintiliona
10 153 quinquagintillion
10,183 sexagintillion
10 213 septuagintillion
10,243 oktogintillion
10,273 nonagintillion
10 303 centiliona
10 306 centuniona
10 309 centduoliona
10 312 centtriliona
10 315 centkvadriliona
10 402 centtretrigintillion
10,603 decentiliona
10 903 trecentiliona
10 1203 quadringentillion
10 1503 kvingentiliona
10 1803 sescentilion
10 2103 septingentillion
10 2403 octingentillion
10 2703 nongentiliona
10 3003 miliona
10 6003 duomiliona
10 9003 trimiliona
10 3000003 miamimiliaillion
10 6000003 duomyamimiliaillion
10 10 100 googolplex
10 3×n+3 ziliona

googol(iz engleskog googol) - broj, u decimalnom brojevnom sistemu, predstavljen jedinicom sa 100 nula:
10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
Godine 1938. američki matematičar Edvard Kasner (Edward Kasner, 1878-1955) šetao je parkom sa svoja dva nećaka i s njima razgovarao o velikim brojevima. Tokom razgovora razgovarali smo o broju sa sto nula, koji nije imao svoje ime. Jedan od njegovih nećaka, devetogodišnji Milton Sirotta, predložio je da se ovaj broj zove "gugol". Edvard Kasner je 1940. godine zajedno sa Džejmsom Njumanom napisao naučnu popularnu knjigu "Matematika i imaginacija" ("Nova imena u matematici"), gde je podučavao ljubitelje matematike o googol broju.
Termin "googol" nema ozbiljan teorijski i praktični značaj. Kasner ga je predložio da ilustruje razliku između nezamislivo velikog broja i beskonačnosti, au tu svrhu se termin ponekad koristi u nastavi matematike.

Googolplex(od engleskog googolplex) - broj predstavljen jedinicom sa googol nula. Kao i googol, pojam googolplex su skovali američki matematičar Edward Kasner i njegov nećak Milton Sirotta.
Broj gugola je veći od broja svih čestica u nama poznatom dijelu svemira, koji se kreće od 1079 do 1081. Dakle, broj gugolpleksa, koji se sastoji od (googol + 1) znamenki, ne može se zapisati u klasičnom „decimalnom” obliku, čak i ako sva materija u poznatoj pretvori dijelove svemira u papir i mastilo ili u kompjuterski prostor na disku.

Zillion(eng. zillion) je uobičajeno ime za veoma velike brojeve.

Ovaj pojam nema strogu matematičku definiciju. Godine 1996. Conway (engleski J. H. Conway) i Guy (engleski R. K. Guy) u svojoj knjizi English. Knjiga brojeva je definisala zilion n-te stepena kao 10 3×n+3 za sistem imenovanja brojeva na kratkoj skali.