Простые числа. Составные числа

Простые числа представляют собой одно из самых интересных математических явлений, которое привлекает к себе внимание ученых и простых граждан на протяжении уже более двух тысячелетий. Несмотря на то, что сейчас мы живем в век компьютеров и самых современных информационных программ, многие загадки простых чисел не решены до сих пор, есть даже такие, к которым ученые не знают, как подступиться.

Простые числа - это, как известно еще из курса элементарной арифметики, те которые делятся без остатка только на единицу и самое себя. Кстати, если натуральное число делится, кроме выше перечисленных, еще на какое-либо число, то оно именуется составным. Одна из самых знаменитых теорем гласит, что любое составное число может быть представлено в виде единственно возможного произведения простых чисел.

Несколько любопытных фактов. Во-первых, единица является уникальной в том плане, что, по сути, не принадлежит ни к простым, ни к составным числам. В то же время в научной среде все же принято относить ее именно к первой группе, так как формально она полностью удовлетворяет ее требованиям.

Во-вторых, единственным четным числом, затесавшимся в группу «простые числа» является, естественно, двойка. Любое другое четное число сюда попасть попросту не может, так как уже по определению, кроме себя и единицы, делится еще и на два.

Простые числа, список которых, как было указано выше, можно начинать с единицы, представляют собой бесконечный ряд, такой же бесконечный, как и ряд натуральных чисел. Опираясь на основную теорему арифметики, можно прийти к выводу, что простые числа никогда не прерываются и никогда не заканчиваются, так как в противном случае неизбежно прервался бы и ряд натуральных чисел.

Простые числа не появляются в натуральном ряду беспорядочно, как это может показаться на первый взгляд. Внимательно проанализировав их, можно сразу заметить несколько особенностей, наиболее любопытные из которых связаны с так называемыми числами-«близнецами». Называют их так потому, что каким-то непостижимым образом они оказались по соседству друг с другом, разделенные только четным разграничителем (пять и семь, семнадцать и девятнадцать).

Если внимательно к ним присмотреться, то можно заметить, что сумма этих чисел всегда кратна трем. Более того, при делении на тройку левого собрата в остатке всегда остается двойка, а правого - единица. Кроме того, само распределение этих чисел по натуральному ряду можно спрогнозировать, если представить весь этот ряд в виде колебательных синусоид, основные точки которых образуются при делении чисел на три и два.

Простые числа являются не только объектом пристального рассмотрения со стороны математиков всего мира, но уже давно и успешно используются в составлении различных рядов чисел, что является основой, в том числе, для шифрографии. При этом следует признать, что огромное количество загадок, связанных с этими замечательными элементами, все еще ждут своих разгадок, многие вопросы имеют не только философское, но и практичное значение.

Ответ Ильи корректный, но не очень подробный. В 18 веке, кстати, единицу ещё считали простым числом. Например, такие крупные математики как Эйлер и Гольдбах. Гольдбах автор одной из семи задач тысячелетия - гипотезы Гольдбаха. В изначальной формулировке утверждается, что всякое чётное число представимо в виде суммы двух простых чисел. Причём изначально 1 учитывалась как простое число, и мы видим такое: 2 = 1+1. Это наименьший пример, удовлетворяющий исходной формулировке гипотезы. Позднее её подправили, и формулировка приобрела современный вид: "всякое чётное число, начиная с 4, представимо в виде суммы двух простых чисел".

Вспомним определение. Простым является натуральное число р, имеющее только 2 различных натуральных делителя: само р и 1. Следствие из определения: у простого числа р только один простой делитель - само р.

Теперь предположим, что 1 простое число. По определению у простого числа только один простой делитель - оно само. Тогда получится, что любое простое число, большее 1, делится на отличающееся от него простое число (на 1). Но два различных простых числа не могут делиться друг на друга, т.к. иначе это не простые, а составные числа, и это противоречит определению. При таком подходе получается, что существует только 1 простое число - сама единица. Но это абсурд. Следовательно, 1 не простое число.

1, равно как и 0, образуют другой класс чисел - класс нейтральных элементов относительно n-нарных операций в каком-то подмножестве алгебраического поля. При этом относительно операции сложения 1 является также образующим элементом для кольца целых чисел.

При таком рассмотрении не трудно обнаружить аналоги простых чисел в других алгебраических структурах. Предположим, что у нас есть мультипликативная группа, образованная из степеней 2, начиная с 1: 2, 4, 8, 16, ... и т.д. 2 выступает здесь образующим элементом. Простым числом в этой группе назовём число, большее наименьшего элемента, и делящееся только на себя и на наименьший элемент. В нашей группе такими свойствами обладает только 4. Всё. Больше простых чисел в нашей группе не существует.

Если бы 2 тоже была простым числом в нашей группе, то см. первый абзац, - снова получилось бы, что простым числом является только 2.

простое число

натуральное число, большее, чем единица, и не имеющее других делителей, кроме самого себя и единицы: 2, 3, 5, 7, 11, 13... Число простых чисел бесконечно.

Простое число

целое положительное число, большее, чем единица, не имеющее других делителей, кроме самого себя и единицы: 2, 3, 5, 7, 11, 13,... Понятие П. ч. является основным при изучении делимости натуральных (целых положительных) чисел; именно, основная теорема теории делимости устанавливает, что всякое целое положительное число, кроме 1, единственным образом разлагается в произведении П. ч. (порядок сомножителей при этом не принимается во внимание). П. ч. бесконечно много (это предложение было известно ещё древнегреческим математикам, его доказательство имеется в 9-й книге «Начал» Евклида). Вопросы делимости натуральных чисел, а следовательно, вопросы, связанные с П. ч., имеют важное значение при изучении групп; в частности, строение группы с конечным числом элементов тесно связано с тем, каким образом это число элементов (порядок группы) разлагается на простые множители. В теории алгебраических чисел рассматриваются вопросы делимости целых алгебраических чисел; понятия П. ч. оказалось недостаточным для построения теории делимости ≈ это привело к созданию понятия идеала. П. Г. Л. Дирихле в 1837 установил, что в арифметической прогрессии а + bx при х = 1, 2,... с целыми взаимно простыми а и b содержится бесконечно много П. ч. Выяснение распределения П. ч. в натуральном ряде чисел является весьма трудной задачей чисел теории. Она ставится как изучение асимптотического поведения функции p(х), обозначающей число П. ч., не превосходящих положительного числа х. Первые результаты в этом направлении принадлежат П. Л. Чебышеву, который в 1850 доказал, что имеются такие две такие постоянные а и А, что ═< p(x) < ═при любых x ³ 2 [т. е., что p(х) растет, как функция ]. Хронологически следующим значительным результатом, уточняющим теорему Чебышева, является т. н. асимптотический закон распределения П. ч. (Ж. Адамар, 1896, Ш. Ла Валле Пуссен, 1896), заключающийся в том, что предел отношения p(х) к ═равен

В дальнейшем значительные усилия математиков направлялись на уточнение асимптотического закона распределения П. ч. Вопросы распределения П. ч. изучаются и элементарными методами, и методами математического анализа. Особенно плодотворным является метод, основанный на использовании тождества

(произведение распространяется на все П. ч. р = 2, 3,...), впервые указанного Л. Эйлером; это тождество справедливо при всех комплексных s с вещественной частью, большей единицы. На основании этого тождества вопросы распределения П. ч. приводятся к изучению специальной функции ≈ дзета-функции x(s), определяемой при Res > 1 рядом

Эта функция использовалась в вопросах распределения П. ч. при вещественных s Чебышевым; Б. Риман указал на важность изучения x(s) при комплексных значениях s. Риман высказал гипотезу о том, что все корни уравнения x(s) = 0, лежащие в правой полуплоскости, имеют вещественную часть, равную 1/

Эта гипотеза до настоящего времени (1975) не доказана; её доказательство дало бы весьма много в решении вопроса о распределении П. ч. Вопросы распределения П. ч. тесно связаны с Гольдбаха проблемой, с не решенной ещё проблемой «близнецов» и другими проблемами аналитической теории чисел. Проблема «близнецов» состоит в том, чтобы узнать, конечно или бесконечно число П. ч., разнящихся на 2 (таких, например, как 11 и 13). Таблицы П. ч., лежащих в пределах первых 11 млн. натуральных чисел, показывают наличие весьма больших «близнецов» (например, 10006427 и 10006429), однако это не является доказательством бесконечности их числа. За пределами составленных таблиц известны отдельные П. ч., допускающие простое арифметическое выражение [например, установлено (1965), что 211213 ≈1 есть П. ч.; в нём 3376 цифр].

Лит.: Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972; Хассе Г., Лекции по теории чисел, пер. с нем., М., 1953; Ингам А. Е., Распределение простых чисел, пер. с англ., М. ≈ Л., 1936; Прахар К., Распределение простых чисел, пер. с нем., М., 1967; Трост Э., Простые числа, пер, с нем., М., 1959.

Википедия

Простое число

Просто́е число́ - натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя - и самого себя. Другими словами, число x является простым, если оно больше 1 и при этом делится без остатка только на 1 и на x . К примеру, 5 - простое число, а 6 является составным числом, так как, помимо 1 и 6, также делится на 2 и на 3.

Натуральные числа, которые больше единицы и не являются простыми, называются составными. Таким образом, все натуральные числа разбиваются на три класса: единицу. Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел. В теории колец простым числам соответствуют неприводимые элементы.

Последовательность простых чисел начинается так:

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 , 109 , 113 , 127 , 131 , 137 , 139 , 149 , 151 , 157 , 163 , 167 , 173 , 179 , 181 , 191 , 193 , 197 , 199 …

Числа бывают разными: натуральными, естественными, рациональными, целыми и дробными, положительными и отрицательными, комплексными и простыми, нечетными и четными, действительными и др. Из данной статьи можно узнать, что такое простые числа.

Какие числа называют английским словом “симпл”?

Очень часто школьники на один из самых несложных на первый взгляд вопросов математики, о том что такое простое число, не знают, как ответить. Они часто путают простые числа с натуральными (то есть числа, которые используются людьми при счете предметов, при этом в некоторых источниках они начинаются с нуля, а в других - с единицы). Но это совершенно два разных понятия. Простые числа - это, натуральные, то есть целые и положительные числа, которые большее единицы и которые имеют всего лишь 2 натуральных делителя. При этом один из этих делителей - это данное число, а второй - единица. Например, три - это простое число, поскольку он не делится без остатка ни на какое другое число, кроме себя самого и единицы.

Составные числа

Противоположностью простых чисел являются составные. Они также являются натуральным, также больше единицы, но имеют не два, а большее количество делителей. Так, например, числа 4, 6, 8, 9 и т. д. являются натуральными, составными, но не простыми числами. Как видите - это в основном четные числа, но не все. А вот “двойка” - четное число и “первый номер” в ряду простых чисел.

Последовательность

Чтобы построить ряд простых чисел, необходимо совершить отбор из всех натуральных чисел с учетом их определения, то есть нужно действовать методом от противного. Необходимо рассмотреть каждое из натуральных положительных чисел на предмет того, имеет ли оно более двух делителей. Давайте постараемся построить ряд (последовательность), который составляют простые числа. Список начинается с двух, следующим идет три, поскольку оно делится только на себя и на единицу. Рассмотрим число четыре. Имеет ли оно делители, кроме четырех и единицы? Да, это число 2. Значит, четыре не является простым числом. Пять также является простым (оно, кроме 1 и 5, ни на какое другое число не делится), а вот шесть - делится. И вообще, если проследить за всеми четными числами, то можно заметить, что кроме “двух”, ни одно из них не является простым. Отсюда сделаем вывод, что четные числа, кроме двух, не являются простыми. Еще одно открытие: все числа, делящиеся на три, кроме самой тройки, будь то четные или нечетные, также не являются простыми (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 и т.д.). То же самое касается и чисел, которые делятся на пять и на семь. Все их множество также не является простым. Давайте подведем итоги. Итак, к простым однозначным числам относятся все нечетные числа, кроме единицы и девятки, а из четных - только “два”. Сами десятки (10, 20,... 40 и др.) не являются простыми. Двузначные, трехзначные и т. д. простые числа можно определить, исходя из вышеизложенных принципов: если они не имеют других делителей, кроме их самих и единицы.

Теории о свойствах простых чисел

Существует наука, которая изучает свойства целых чисел, в том числе и простых. Это раздел математики, которая называется высшей. Помимо свойств целых чисел, она также занимается алгебраическими, трансцендентными числами, а также функциями различного происхождения, связанными с арифметикой этих чисел. В этих исследованиях, помимо элементарных и алгебраических методов, также используются аналитические и геометрические. Конкретно изучением простых чисел занимается “Теория чисел”.

Простые числа — “строительные блоки” натуральных чисел

В арифметике есть теорема, которая называется основной. Согласно ей, любое натуральное число, кроме единицы, можно представить в виде произведения, множителями которого являются простые числа, причем порядок следования множителей единственен, этот означает, что и способ представления единственен. Он называется разложением натурального числа на простые множители. Есть и другое название этого процесса - факторизация чисел. Исходя из этого, простые числа можно назвать “строительным материалом”, "блоками" для построения натуральных чисел.

Поиск простых чисел. Тесты простоты

Множество ученых разных времен пытались найти какие-то принципы (системы) для нахождения списка простых чисел. Науке известны системы, которые называются решето Аткина, решето Сундартама, решето Эратосфена. Однако они не дают каких-то существенных результатов, и для нахождения простых чисел используется простая проверка. Также математиками были созданы алгоритмы. Их принято называть тестами простоты. Например, существует тест, разработанный Рабином и Миллером. Его используют криптографы. Также существует тест Каяла-Агравала- Саскены. Однако он, несмотря на достаточную точность, очень сложен в вычислении, что принижает его прикладное значение.

Имеет ли множество простых чисел предел?

О том, что множество простых является бесконечностью, писал в книге “Начала” древнегреческий ученый Евклид. Он говорил так: “Давайте на минуту представим, что простые числа имеют предел. Тогда давайте перемножим их друг с другом, а к произведению прибавим единицу. Число, полученное в результате этих простых действий, не может делиться ни на одно из ряда простых чисел, потому что в остатке всегда будет единица. А это значит, что существует какое-то другое число, которое еще не включено в список простых чисел. Следовательно, наше допущение не верно, и это множество не может иметь предела. Помимо доказательства Евклида, существует более современная формула, данная швейцарским математиком восемнадцатого века Леонардом Эйлером. Согласно ему, сумма, обратная сумме первых n чисел растет неограниченно с ростом числа n. А вот формула теоремы относительно распределения простых чисел: (n) растёт, как n/ln (n).

Какое наибольшее простое число?

Все тот же Леонард Эйлер смог найти самое большое для своего времени простое число. Это 2 31 - 1 = 2147483647. Однако к 2013 году было вычислено другое наиболее точное самое большое в списке простых чисел - 2 57885161 - 1. Его называют числом Мерсенна. Оно содержит около 17 миллионов десятичных цифр. Как видите, число, найденное ученым из восемнадцатого века, в несколько раз меньше этого. Так и должно было быть, ведь Эйлер вел данный подсчет вручную, нашему же современнику наверняка помогала вычислительная машина. Более того, это число было получено на факультете математики в одном из американских факультетов. Числа, названные в честь этого ученого, проходят через тест простоты Люка-Лемера. Однако наука не желает останавливаться на достигнутом. Фонд Электронных рубежей, который был основан в 1990 году в Соединенных Штатах Америки (EFF), назначил за нахождение больших простых чисел денежную награду. И если до 2013 года приз полагался тем ученным, которые найдут их из числа 1 и 10 миллионов десятичных чисел, то сегодня это цифра достигла от 100 миллионов до 1 миллиарда. Размер призов составляет от 150 до 250 тысяч долларов США.

Названия специальных простых чисел

Те числа, которые были найдены благодаря алгоритмам, созданным теми или иными учеными, и прошли тест простоты, называются специальными. Вот некоторые из них:

1. Мерссена.

4. Каллена.

6. Миллса и др.

Простота этих чисел, названных в честь вышеперечисленных ученых, устанавливается с использованием следующих тестов:

1. Люка-Лемера.

2. Пепина.

3. Ризеля.

4. Биллхарта - Лемера - Селфриджа и др.

Современная наука не останавливается на достигнутом, и, вероятно, в ближайшем будущем мир узнает имена тех, кто смог получить приз в 250.000 долларов, найдя наибольшее простое число.

Простое число — это натуральное (целое положительное) число , которое делится без остатка только на два натуральных числа: на и на само себя. Иными словами, простое число имеет ровно два натуральных делителя: и само число .

В силу определения, множество всех делителей простого числа является двухэлементным, т.е. представляет собой множество .

Множество всех простых чисел обозначают символом . Таким образом, в силу определения множества простых чисел, мы можем записать: .

Последовательность простых чисел выглядит так:

Основная теорема арифметики

Основная теорема арифметики утверждает, что каждое натуральное число, большее единицы, представимо в виде произведения простых чисел, причём единственным способом с точностью до порядка следования сомножителей. Таким образом, простые числа являются элементарными «строительными блоками» множества натуральных чисел.

Разложение натурального числа title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> в произведение простых чисел называют каноническим :

где — простое число, и . Например, каноническое разложение натурального числа выглядит так: .

Представление натурального числа в виде произведения простых также называют факторизацией числа .

Свойства простых чисел

Решето Эратосфена

Одним из наиболее известных алгоритмов поиска и распознавания простых чисел является решето Эратосфена . Так этот алгоритм был назван в честь греческого математика Эратосфена Киренского, которого считают автором алгоритма.

Для нахождения всех простых чисел, меньших заданного числа , следуя методу Эратосфена, нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1. Выписать подряд все натуральные числа от двух до , т.е. .
Шаг 2. Присвоить переменной значение , то есть значение равное наименьшему простому числу.
Шаг 3. Вычеркнуть в списке все числа от до кратные , то есть числа: .
Шаг 4. Найти первое незачёркнутое число в списке, большее , и присвоить переменной значение этого числа.
Шаг 5. Повторить шаги 3 и 4 до достижения числа .

Процесс применения алгоритма будет выглядеть следующим образом:

Все оставшиеся незачёркнутые числа в списке по завершении процесса применения алгоритма будут представлять собой множество простых чисел от до .

Гипотеза Гольдбаха

Обложка книги «Дядюшка Петрос и гипотеза Гольдбаха»

Несмотря на то, что простые числа изучаются математиками достаточно давно, на сегодняшний день остаются нерешёнными многие связанные с ними проблемы. Одной из наиболее известных нерешённых проблем является гипотеза Гольдбаха , которая формулируется следующим образом:

• Верно ли, что каждое чётное число, большее двух, может быть представлено в виде суммы двух простых чисел (бинарная гипотеза Гольдбаха)?
• Верно ли, что каждое нечётное число, большее 5, может быть представлено в виде суммы трёх простых чисел (тернарная гипотеза Гольдбаха)?

Следует сказать, что тернарная гипотеза Гольдбаха является частным случаем бинарной гипотезы Гольдбаха, или, как говорят математики, тернарная гипотеза Гольдбаха является более слабой, чем бинарная гипотеза Гольдбаха.

Гипотеза Гольдбаха получила широкую известность за пределами математического сообщества в 2000-м году благодаря рекламному маркетинговому трюку издательских компаний Bloomsbury USA (США) и Faber and Faber (Великобритания). Указанные издательства, выпустив книгу «Uncle Petros and Goldbach’s Conjecture» («Дядюшка Петрос и гипотеза Гольдбаха»), пообещали выплатить в течение 2-х лет с момента издания книги приз 1 миллион долларов США тому, кто докажет гипотезу Гольдбаха. Иногда упомянутый приз от издательств путают с премиями за решение «Задач тысячелетия» (Millennium Prize Problems). Не стоит заблужаться, гипотеза Гольдбаха не отнесена «Институтом Клэя» к «задачам тысячелетия», хотя и является при этом тесно связанной с гипотезой Римана — одной из «задач тысячелетия».

Книга «Простые числа. Долгая дорога к бесконечности»

Обложка книги «Мир математики. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности»

Дополнительно рекомендую прочесть увлекательную научно-популярную книгу , в аннотации к которой сказано: «Поиск простых чисел - одна из самых парадоксальных проблем математики. Ученые пытались решить ее на протяжении нескольких тысячелетий, но, обрастая новыми версиями и гипотезами, эта загадка по-прежнему остается неразгаданной. Появление простых чисел не подчинено какой-либо системе: они возникают в ряду натуральных чисел самопроизвольно, игнорируя все попытки математиков выявить закономерности в их последовательности. Эта книга позволит читателю проследить эволюцию научных представлений с древнейших времен до наших дней и познакомит с самыми любопытными теориями поиска простых чисел».

Дополнительно процитирую начало второй главы этой книги: «Простые числа представляют из себя одну из важных тем, которые возвращают нас к самым истокам математики, а затем по пути возрастающей сложности приводят на передний край современной науки. Таким образом, было бы очень полезно проследить увлекательную и сложную историю теории простых чисел: как именно она развивалась, как именно были собраны факты и истины, которые в настоящее время считаются общепринятыми. В этой главе мы увидим, как целые поколения математиков тщательно изучали натуральные числа в поисках правила, предсказывающего появление простых чисел, - правила, которое в процессе поиска становилось все более и более ускользающим. Мы также подробно рассмотрим исторический контекст: в каких условиях математики работали и в какой степени в их работе применялись мистические и полурелигиозные практики, которые совсем не похожи на научные методы, используемые в наше время. Тем не менее медленно и с трудом, но была подготовлена почва для новых воззрений, вдохновлявших Ферма и Эйлера в XVII и XVIII в.в.»