Конспект урока на тему
«Информационные модели управления объектами»

Цели:

образовательная: составить упрощенную математическую модель управления объектами.

воспитательная: формирование самостоятельности и ответственности при изучении нового материала;

развивающая: развить умение описывать модели управления, выделяя существенные различия моделирования.

Программно – дидактическое обеспечение урока: ПК, карточки с заданиями.
Ход урока

Орг. момент:

приветствие;

проверка присутствующих.

Актуализация прежних знаний:

Что такое модель?
Какие типы моделей вы знаете?

III. Изучение нового материала:
В процессе функционирования сложных систем (биологических, технических и т.д.), входящие в них объекты постоянно обмениваются информацией. Изменение сложных систем во времени имеет свои особенности. Так, для поддержания своей жизнедеятельности любой живой организм постоянно получает информацию из внешнего мира с помощью органов чувств, обрабатывает ее и управляет своим поведением (например, перемещаясь в пространстве, избегает опасности).
В повседневной жизни мы встречаемся с процессами управления очень часто:

пилот управляет самолетом, а помогает ему в этом автоматическое устройство- автопилот;

директор и его заместители управляют производством, а учитель - обучением школьников;

процессор обеспечивает синхронную работу всех узлов компьютера, каждым его внешним устройством руководит специальный контроллер;

без дирижера большой оркестр не может согласованно исполнить музыкальное произведение, а хоккейная или баскетбольная команда обязательно имеет одного или нескольких тренеров, которые организуют подготовку спортсменов к соревнованиям.

Управление - это целенаправленное взаимодействие объектов, одни из которых являются управляющими, а другие - управляемыми. Модели, описывающие информационные процессы управления в сложных системах, называются информационными моделями процессов управления.
В любом процессе управления всегда происходит взаимодействие двух объектов – управляющего и управляемого , которые соединены каналами прямой и обратной связи . По каналу прямой связи передаются управляющие сигналы, а по каналу обратной связи – информация о состоянии управляемого объекта.
Разомкнутые системы управления. Если в процессе управления не учитывается состояние управляемого объекта и обеспечивается управление только по прямому каналу (от управляющего объекта к управляемому), то такие системы управления называются разомкнутыми . Информационную модель разомкнутой системы управления можно наглядно представить с помощью следующей схемы:

Для демонстрации принципа работы разомкнутых систем управления разработаем компьютерную модель на языке программирования Visual Basic. Пусть управляемым объектом будет точка, которую управляющий объект (пользователь) должен переместить в центр мишени (круга). Прямое управление положением точки будем производить путем нажатия на кнопки, которые перемещают объект вверх, вниз, влево и вправо. Обратная связь будет отсутствовать.

Модель разомкнутой системы управления.

Поместить на форму графическое поле, по которому будет перемещаться точка, кнопку для вывода первоначального положения точки, четыре кнопки для управления движением точки и кнопку для вывода положения мишени.

Событийная процедура первоначального вывода точки должна включать задание масштаба и случайную генерацию координат точки:
Dim bytX1, bytY1, bytX2, bytY2 As Byte
Private Sub cmdP_Click()
pic1.Scale (0, 20)-(20, 0)
bytX1 = Int(Rnd * 20)
bytY1 = Int(Rnd * 20)
pic1.PSet (bytX1, bytY1), vbRed
End Sub

Четыре событийные процедуры перемещения точки должны обеспечивать изменение координат точки. Для перемещения влево событийная процедура:
Private Sub cmdL_Click()
pic1.Scale (0, 20)-(20, 0)
bytX1 = bytX1 - 1
End Sub

Событийная процедура вывода мишени и положения точки:
Private Sub cmd2_Click()
pic1.Scale (0, 20)-(20, 0)
pic1.Circle (10, 10), 5
pic1.PSet (bytX1, bytY1), vbBlack
End Sub

Щелкнуть по кнопке Упр. объект и перемещать его кнопками со стрелками. Щелкнуть по кнопке Результат . Отклонение точки от центра мишени, скорее всего, будет достаточно велико.

Замкнутые системы управления. В замкнутых системах управления управляющий объект по прямому каналу управления производит необходимые действия над объектом управления, а по каналу обратной связи получает информацию о его реальных параметрах. Это позволяет осуществлять управление с гораздо большей точностью.
Информационную модель замкнутой системы управления можно наглядно представить с помощью следующей схемы:

Для демонстрации принципа работы замкнутых систем управления разработаем компьютерную модель. Для осуществления обратной связи будем при каждом шаге рисовать новое положение точки, а также выводить значения координат точки в текстовые поля.

Модель замкнутой системы управления.

Усовершенствовать предыдущий проект и поместить на форму два текстовых поля.
В коды процедур добавить строки:
pic1.PSet (bytX1, bytY1), vbRed
txtX.Text = bytX1
txtY.Text = bytY1
Использование обратной связи обеспечивает гарантированное попадание точки в мишень.

IV. Закрепление.

Выполнение проектов.

Какие системы управления называются разомкнутыми?

Какие системы управления называются замкнутыми?

В чем разомкнутой системы управления от замкнутой?

VI . Итог урока.
VII . Дом. задание .
Прочитать конспект.

Введение . 2

Понятие сложной системы .. 2

Понятие обратной связи . 2

Понятие целесообразности . 3

Кибернетика . 3

ЭВМ и персональные компьютеры .. 5

Модели мира . 5

.. 7

7

8

Список литературы .. 10

Введение. 3

Понятие сложной системы.. 3

Понятие обратной связи. 3

Понятие целесообразности. 4

Кибернетика. 5

ЭВМ и персональные компьютеры.. 6

Модели мира. 7

Информационные модели систем управления. 8

Создание компьютерной модели систем управления. 9

Система управления без обратной связью .. 9

Модель разомкнутой системы управления. 9

Система управления с обратной связью. 10

Список литературы.. 12

Введение .

В процессе функционирования сложных систем (биологических, технических и т. д.), входящие в них объекты постоянно обмениваются информацией. Изменение сложных систем во времени имеет свои особенности. Так, для поддержания своей жизнедеятельности любой живой организм постоянно получает информацию из внешнего мира с помощью органов чувств, обрабатывает ее и управляет своим поведением (например, перемещаясь в пространстве, избегает опасности). В повседневной жизни мы встречаемся с процессами управления очень часто:

1. пилот управляет самолетом, а помогает ему в этом автоматическое устройство - автопилот ;

2. директор и его заместители управляют производством, а учитель - обучением школьников;

3. процессор обеспечивает синхронную работу всех узлов компьютера, каждым его внешним устройством руководит специальный контроллер;

Работу можно условно разделить на теоретическую и практическую часть . В теоретической части я познакомилась с основными типами существующих систем управления. В практической части создана компьютерная модель системы управления.

Целью работы является изучение систем управления на предмет создания компьютерной модели системы управления.

Задачи:

2. Проанализировать собранную информацию

3. Создать компьютерную модель системы управления.

4. Сделать выводы

Результатом работы является компьютерная модель системы управления, которая используется на уроках информатики в качестве учебного пособия .

Понятие сложной системы

Теория относительности, изучающая универсальные физические закономерности, относящиеся ко всей Вселенной, и квантовая механика, изучающая законы микромира, нелегки для понимания, и, тем не менее, они имеют дело с системами, которые с точки зрения современного естествознания считаются простыми. Простыми, в том смысле, что в них входит небольшое число переменных и, поэтому, взаимоотношение между ними поддается математической обработке, и выведению универсальных законов.

Однако, помимо простых, существуют сложные системы, которые состоят из большого числа переменных и стало быть большого количества связей между ними. Чем оно больше, тем труднее поддается предмет исследования достижению конечного результата - выведению закономерностей функционирования данного объекта. Трудности изучения данных систем связаны и с тем обстоятельством, что чем сложнее система, тем больше у нее так называемых эмерджентных свойств, т. е. свойств, которых нет у ее частей и которые являются следствием эффекта целостности системы.

Такие сложные системы изучает, например, метеорология - наука о климатических процессах. Именно потому, что метеорология изучает сложные системы, процессы образования погоды гораздо менее известны, чем гравитационные процессы, что, на первый взгляд, кажется парадоксом. Действительно, почему мы точно можем определить, в какой точке будет находиться Земля или какое-либо другое небесное тело через миллионы лет, но не можем точно предсказать погоду на завтра? Потому, что климатические процессы представляют гораздо более сложные системы, состоящие из огромного количества переменных и взаимодействий между ними.

Разделение систем на простые и сложные является фундаментальным в естествознании. Среди всех сложных систем наибольший интерес представляют системы с так называемой «обратной связью». Это еще одно важное понятие современного естествознания.

Понятие обратной связи

Если мы ударим по бильярдному шару, то он полетит в том направлении, в котором мы его направили, и с той скоростью, с которой мы хотели. Полет брошенного камня тоже соответствует нашему желанию, если ничего не препятствует этому. Сам камень совершенно безразличен по отношению к нам. Он не сопротивляется, если только не иметь в виду закона инерции.

Совсем иным будет поведение кошки, которая активно реагирует на наше воздействие. Так вот, если поведение объекта (поведением будем называть любое изменение объекта по отношению к окружающей среде) зависит от воздействия на него, мы говорим, что в такой системе имеется обратная связь - между воздействием и ее реакцией.

Поведение системы может усиливать внешнее воздействие: это называется положительной обратной связью. Если же оно уменьшает внешнее воздействие, то это отрицательная обратная связь. Особый случай - гомеостатические обратные связи, которые действуют, чтобы свести внешнее воздействие к нулю. Пример: температура тела человека, которая остается постоянной благодаря гомеостатическим обратным связям. Таких механизмов в живом теле огромное количество. Свойство системы, остающееся без изменений в потоке событий, называется инвариантом системы.

В любом нашем движении с определенной целью участвуют механизмы обратной связи. Мы не замечаем их действия, потому что они включаются автоматически. Но иногда мы пользуемся ими сознательно. Скажем, один человек предлагает место встречи, а другой повторяет: да, мы встречаемся там-то и во столько-то. Это обратная связь, делающая договоренность более надежной. Механизм обратной связи и призван сделать систему более устойчивой, надежной и эффективной.

В широком смысле понятие обратной связи «означает, что часть выходной энергии аппарата или машины возвращается на вход. Положительная обратная связь прибавляется к входным сигналам, она не корректирует их. Термин «обратная связь» применяется также в более узком смысле для обозначения того, что поведение объекта управляется величиной ошибки в положении объекта по отношению к некоторой цели».

Механизм обратной связи делает систему принципиально иной, повышая степень ее внутренней организованности и давая возможность говорить о самоорганизации в данной системе.

Итак, все системы можно разделить на системы с обратной связью и без таковой. Наличие механизма обратной связи позволяет заключить о том, что система преследует какие-то цели, т. е. что ее поведение целесообразно.

Понятие целесообразности

Активное поведение системы может быть случайным или целесообразным, если «действие или поведение допускает истолкование как направленное на достижение некоторой цели, т. е. некоторого конечного состояния, при котором объект вступает в определенную связь в пространстве или во времени с некоторым другим объектом или событием. Нецеленаправленным поведением является такое, которое нельзя истолковать подобным образом».

Для обозначения машин с внутренне целенаправленным поведением был специально введен термин «сервомеханизмы». Например, торпеда, снабженная механизмом поиска цели. Всякое целенаправленное поведение требует отрицательной обратной связи. Оно может быть предсказывающим или непредсказывающим. Предсказание может быть первого, второго и последующих порядков в зависимости от того, на сколько параметров распространяется предсказание. Чем их больше, тем совершеннее система.

Понятие целесообразности претерпело длительную эволюцию в истории человеческой культуры. Во времена господства мифологического мышления деятельность любых, в том числе неживых, тел могла быть признана целесообразной на основе антропоморфизма, т. е. приписывания явлениям природы причин по аналогии с деятельностью человека. Философ Аристотель в числе причин функционирования мира, наряду с материальной, формальной, действующей, назвал и целевую. Религиозное понимание целесообразности основывается на представлении о том, что Бог создал мир с определенной целью, и стало быть мир в целом целесообразен.

Научное понимание целесообразности строилось на обнаружении в изучаемых предметах объективных механизмов целеполагания. Поскольку в Новое время наука изучала простые системы, постольку она скептически относилась к понятию цели. Положение изменилось в XX веке, когда естествознание перешло к изучению сложных систем с обратной связью, так как именно в таких системах существует внутренний механизм целеполагания. Наука, которая первой начала исследование подобных систем, получила название кибернетики.

Кибернетика

Кибернетика (от греч. kybernetike - искусство управления) - это наука об управлении сложными системами с обратной связью. Она возникла на стыке математики, техники и нейрофизиологии, и ее интересовал целый класс систем, как живых, так и неживых, в которых существовал механизм обратной связи. Основателем кибернетики по праву считается американский математик Н. Винер (1894-1964), выпустивший в 1948 году книгу, которая так и называлась «Кибернетика».

Оригинальность этой науки заключается в том, что она изучает не вещественный состав систем и не их структуру (строение), а результат работы данного класса систем. В кибернетике впервые было сформулировано понятие «черного ящика» как устройства, которое выполняет определенную операцию над настоящим и прошлым входного потенциала, но для которого мы не обязательно располагаем информацией о структуре, обеспечивающей выполнение этой операции.

Системы изучаются в кибернетике по их реакциям на внешние воздействия, другими словами, по тем функциям, которые они выполняют. Наряду с субстратным (вещественным) и структурным подходом, кибернетика ввела в научный обиход функциональный подход как еще один вариант системного подхода в широком смысле слова.

Если XVII столетие и начало XVIII столетия - век часов, а конец XVII и все XIX столетие - век паровых машин, то настоящее время есть век связи и управления. В изучение этих процессов кибернетика внесла значительный вклад. Она изучает способы связи и модели управления, и в этом исследовании ей понадобилось еще одно понятие, которое было давно известным, но впервые получило фундаментальный статус в естествознании - понятие информации (от лат. informatio - ознакомление, разъяснение) как меры организованности системы в противоположность понятию энтропии как меры неорганизованности.

Понятие информации имеет такое большое значение, что оно вошло в заглавие нового научного направления, возникшего на базе кибернетики - информатики (название произошло из соединения слов информация и математика).

Кибернетика выявляет зависимости между информацией и другими характеристиками систем.

С повышением энтропии уменьшается информация (поскольку все усредняется) и наоборот, понижение энтропии увеличивает информацию. Связь информации с энтропией свидетельствует и о связи информации с энергией.

Энергия (от греч. energeia - деятельность) характеризует общую меру различных видов движения и взаимодействия в формах: механической, тепловой, электромагнитной, химической, гравитационной, ядерной. Информация характеризует меру разнообразия систем. Эти два фундаментальных параметра системы (наравне с ее вещественным составом) относительно обособлены друг от друга. Точность сигнала, передающего информацию, не зависит от количества энергии, которая используется для передачи сигнала. Тем не менее энергия и информация связаны между собой. Винер приводит такой пример: «Кровь, оттекающая от мозга, на долю градуса теплее, чем кровь, притекающая к нему».

Информация растет с повышением разнообразия системы, но на этом ее связь с разнообразием не кончается. Одним из основных законов кибернетики является закон «необходимого разнообразия». В соответствии с ним эффективное управление какой-либо системой возможно только в том случае, когда разнообразие управляющей си­стемы больше разнообразия управляемой системы. Учитывая связь между разнообразием и управлением, можно сказать, что чем больше мы имеем информации о системе, которой собираемся управлять, тем эффективнее будет этот процесс.

Общее значение кибернетики обозначается в следующих направлениях:

1. Философское значение, поскольку кибернетика дает новое представление о мире, основанное на роли связи, управления, информации, организованности, обратной связи, целесообразности, вероятности.

2. Социальное значение, поскольку кибернетика дает новое представление об обществе как организованном целом. О пользе кибернетики для изучения общества немало было сказано уже в момент возникновения этой науки.

3. Общенаучное значение в трех смыслах: во-первых, потому что кибернетика дает общенаучные понятия, которые оказываются важными в других областях науки - понятия управления, сложно-динамической системы и т. п.; во-вторых, потому что дает науке новые методы исследования: вероятностные, стохастические, моделирования на ЭВМ и т. д.; в-третьих, потому что на основе функционального подхода «сигнал - отклик» кибернетика формирует гипотезы о внутреннем составе и строении систем, которые затем могут быть проверены в процессе содержательного исследования. Например, в кибернетике выработано правило (впервые для технических систем), в соответствии с которым для того, чтобы найти ошибку в работе системы, необходима проверка работы трех одинаковых систем. По работе двух находят ошибку в третьей. Возможно так действует и мозг.

4. Методологическое значение кибернетики определяется тем обстоятельством, что изучение функционирования более простых технических систем используется для выдвижения гипотез о механизме работы качественно более сложных систем (живых организмов, мышления человека) с целью познания происходящих в них процессов - воспроизводства жизни, обучения и т. п. Подобное кибернетическое моделирование особенно важно в настоящее время во многих областях науки, поскольку отсутствуют математические теории процессов, протекающих в сложных системах и приходится ограничиваться их простыми моделями.

5. Наиболее известно техническое значение кибернетики - создание на основе кибернетических принципов электронно-вычислительных машин, роботов, персональных компьютеров, породившее тенденцию кибернетизации и информатизации не только научного познания, но и всех сфер жизни.

ЭВМ и персональные компьютеры

Точно так же, как разнообразные машины и механизмы облегчают физический труд людей, ЭВМ и персональные компьютеры облегча­ют его умственный труд, заменяя человеческий мозг в его наиболее простых и рутинных функциях. ЭВМ действуют по принципу «да-нет», и этого оказалось достаточно для того, чтобы создать вычисли­тельные машины, хотя и уступающие человеческому мозгу в гибкости, но превосходящие его по быстроте выполнения вычислительных операций. Аналогия между ЭВМ и мозгом человека дополняется тем, что ЭВМ как бы выполняет роль центральной нервной системы для устройств автоматического управления.

Введенное чуть позже в кибернетике понятие самообучаю­щихся машин аналогично воспроизводству живых систем. И то, и другое есть созидание себя (в себе и в другом), возможное в отношении машин, как и живых систем. Обучение онтогенетически есть то же, что и самовоспроизводство филогенетически.

Как бы не протекал процесс воспроизводства, «это - динамический процесс, включающий какие-то силы или их эквиваленты. Один из возможных способов представления этих сил состоит в том, чтобы поместить активный носитель специфики молекулы в частотном строении ее молекулярного излучения, значительная часть ко­торого лежит, по-видимому, в области инфракрасных электромагнитных частот или даже ниже. Может оказаться, что специфические вещества вируса при некоторых обстоятельствах излучают инфракрасные колебания, которые обладают способностью содействовать формированию других молекул вируса из неопределенной магмы аминокислот и нуклеиновых кислот. Вполне возможно, что такое явление позволительно рассматривать как некоторое притягательное взаимодействие частот»

(Такова гипотеза воспроизводства Винера, которая позволяет предложить единый механизм самовоспроизводства для живых и неживых систем.

Современные ЭВМ значительно превосходят те, которые появились на заре кибернетики. Еще 10 лет назад специалисты сомневались, что шахматный компьютер когда-нибудь сможет обыграть приличного шахматиста, но теперь он почти на равных сражается с чемпионом мира. То, что машина чуть было не выиграла у Каспарова за счет громадной скорости перебора вариантов (100 млн. в сек. против двух у человека) остро ставит вопрос не только о возможностях ЭВМ, но и о том, что такое человеческий разум.

Предполагалось два десятилетия назад, что ЭВМ будут с годами все более мощными и массивными, но вопреки прогнозам крупнейших ученых, были созданы персональные компьютеры, которые стали повсеместным атрибутом нашей жизни. В перспективе нас ждет всеобщая компьютеризация и создание человекоподобных роботов.

Надо, впрочем, иметь в виду, что человек не только логически мыслящее существо, но и творческое, и эта способность - результат всей предшествующей эволюции. Если же будут построены не просто человекоподобные роботы, но и превосходящие его по уму, то это повод не только для радости, но и для беспокойства, связанного как с роботизацией самого человека, так и с проблемой возможного «бунта машин», выхода их из-под контроля людей.

Модели мира

Благодаря кибернетике и созданию ЭВМ одним из основных способов познания, наравне с наблюдением и экспериментом, стал метод моделирования. Применяемые модели становятся все более масштабными: от моделей функционирования предприятия и экономической отрасли до комплексных моделей управления биогеоценозами, эколого-экономических моделей рационального природопользования в пределах целых регионов, до глобальных моделей.

В 1972 году на основе метода «системной динамики» Дж. Форрестера были построены первые так называемые «модели мира», нацеленные на выработку сценариев развития всего человечества в его взаимоотношениях с биосферой . Их недостатки заключались в чрезмерно высокой степени обобщения переменных, характеризующих процессы, протекающие в мире; отсутствии данных об особенностях и традициях различных культур и т. д. Однако, это оказалось очень многообещающим направлением. Постепенно указанные недостатки преодолевались в процессе создания последующих глобальных моделей, которые принимали все более конструктивный характер, ориентируясь на рассмотрение вопросов улучшения существующего эколого-экономического положения на планете.

М. Месаровичем и Э. Пестелем были построены глобальные модели на основе теории иерархических систем, а В. Леонтьевым - на основе разработанного им в экономике метода «затраты - выпуск». Дальнейший прогресс в глобальном моделировании ожидается на путях построения моделей, все более адекватных реальности, сочетающих в себе глобальный, региональные и локальные моменты.

Создатель метода системной динамики Дж. Форрестер выдвинул так называемый «контринтуитивный принцип», в соответствии с которым сложные системы функционируют таким образом, что это принципиально противоречит человеческой интуиции, и таким образом машины могут дать более точный прогноз их поведения, чем человек. Другие исследователи считают, что «контринтуитивное по­ведение» свойственно тем системам, которые находятся в критической ситуации.

Трудности формализации многих важных данных, необходимых для построения глобальных моделей, а также ряд других моментов свидетельствуют о том, что значение машинного моделирования не следует абсолютизировать. Моделирование может принести наибольшую пользу в том случае, если будет сочетаться с другими видами исследований.

Простираясь на изучение все более сложных систем метод моделирования становится необходимым средством как познания, так и преобразования действительности. В настоящее время можно говорить как об одной из основных о преобразовательной функции моделирования, выполняя которую оно вносит прямой вклад в оптимизацию сложных систем. Преобразовательная функция моделирования способствует уточнению целей и средств реконструкции реальности. Свойственная моделированию трансляционная функция способствует синтезу знаний - задаче, имеющей первостепенное значение на современном этапе изучения мира.

Прогресс в области моделирования следует ожидать не на пути противопоставления одних типов моделей другим, а на основе их синтеза. Универсальный характер моделирования на ЭВМ дает возможность синтеза самых разнообразных знаний, а свойственный моделированию на ЭВМ функциональный подход служит целям управления сложными системами.

Информационные модели систем управления.

В любом процессе управления всегда происходит взаимодействие двух объектов – управляющего объекта и управляемого, которые соединены каналами управления и обратной связью. По каналу управления передаются управляющие сигналы.

В системах управления без обратной связи не учитывается состояние

управляемого объекта и обеспечивается управление только по прямому каналу от управляющего объекта к управляемому объекту.

Создание компьютерной модели систем управления .

Пусть управляемым объектом будет точка, которую управляющий объект (пользователь) должен переместить в центр мишени (круга). Прямое управление положением точки будем производить путем нажатия на кнопки, которые перемещают объект вверх, вниз, влево и вправо. Обратная связь будет отсутствовать.

Модель разомкнутой системы управления.

Система управления без обратной связью

Поместить на форму графическое поле, по которому будет перемещаться точка, кнопку для вывода первоначального положения точки, четыре кнопки для управления движением точки и кнопку для вывода положения мишени.

https://pandia.ru/text/80/310/images/image004_7.jpg" width="381" height="321 id=">

Система управления с обратной связью.

Событийная процедура вывода мишени и положения точки:

Для кнопки Мишень и точка

Dim X1, Y1, X2, Y2 As Byte

Private Sub ………..

Pic1.Scale (0, 200)-(200, 0)

Pic1.Circle (100, 100), 50

X1 = Int(Rnd * 200)

Y1 = Int(Rnd * 200)

Pic1.PSet (X1, Y1), vbRed

LblX. Caption = X1

LblY. Caption = Y1

Для кнопки влево

Private Sub …….

pic1.PSet (X1, Y1), vbRed

lblX. Caption = X1

lblY. Caption = Y1

Выводы:

В процессе работы я познакомилась с системами управления, при изучении научной литературы почерпнула много информации о работе систем управления. Стало понятно различие между системами управления с обратной связью и системами управления с автоматической обратной связью. Создана компьютерная модель систем управления, которая используется на уроках информатики в качестве учебного пособия.

Список литературы

1. ибернетика. М., 1968.

2. Кендрью Дж. Нить жизни. М., 1968.

3. Эшби мозга. М., 1964.

4. Эшби в кибернетику. М., 1959.

5. Угринович и ИКТ М, 2009

3.1. Средства и этапы описания объектов управления

Объект управления сокращенно ОУ, это часть среды, выделенная таким образом, что на ОУ можно воздействовать и это воздействие позволяет перевести состояние ОУ в заданном направлении.

Объектами управления могут быть технические устройства и агрегаты, технологические установки и процессы, роботы и робототехнические системы, участок, цех и предприятие.

В практике проектирования и управления используются различные средства (модели) для описания ОУ. Под моделью понимают зависимость, которая в удобной форме отражает существенные стороны (процессы) реального объекта управления (проектирования).

Различают модели для целей управления, для целей проектирования, для прогнозирования, для отражения физико-химических процессов, протекающих в объекте, для исследования, для диагностики, для классификации, для обучения и т.д.

Модель не обязательно должна быть описанием фактического устройства объекта. Модель не должна быть слишком сложной. Ее сложность должна находиться в определенном соотношении со сложностью объекта управления (проектирования). Она должна воспроизводить фактическое поведение объекта. Один и тот же объект управления (проектирования) может быть описан моделями разной степени сложности и разного назначения (для управления, для проектирования, для исследования). Модели бывают концептуальные, физические, математические (аналитические) в зависимости от средств их описания.

В современной теории управления наиболее часто используют параметрические модели в пространстве состояний . Хотя и классическое представление в частотной области особенно для объектов со скалярным входом

и выходом весьма информативно, особенно если учесть возможности систем моделирования, например системы Matlab.

Для построения непараметрических моделей обычно применяют методы, основанные на преобразовании Фурье или корреляционном анализе.

Параметрические модели наиболее приспособлены для задач управления. По ним удобно синтезировать алгоритм управления.

Наибольшее распространение получили следующие средства описания: - словесное описание; - чертежи и принципиальные (электрические, монтажные и др.) схе-

Логические схемы, графы, сети; - программы на языке программирования;

- кривые, номограммы, таблицы;

- математические модели.

Словесное описание доступно для понимания каждого специалиста, но неоднозначно, и не позволяет провести синтез необходимого управления.

В задачах проектирования, сборки, монтажа широко применяют чертежи и принципиальные схемы, которые обладают хорошими описательными свойствами, однозначны, но малопригодны в задачах синтеза управления.

Для программирования весьма удобны логические блок-схемы, которые обеспечивают однозначную последовательность процедур управления (проектирования), но обладает слабой описательной способностью.

Кривые, номограммы, таблицы обеспечивают наглядное представление зависимостей между переменными ОУ, например, управляющих воздействий от состояния ОУ, выходных переменных от состояния и т.п.

Математические модели наиболее приспособлены для анализа состояния ОУ и синтеза управляющих воздействий для достижения цели, но обладают слабой описательной возможностью.

В зависимости от сложности ОУ применяют комбинацию перечисленных средств описания. Так словесное описание в основном используется для описания функциональных (технологических) моделей ОУ , которые описы-

вают функции (технологический процесс) объекта управления с позиции технологов и проектировщиков.

Принципиальные схемы, логические блок-схемы более всего подходят для описанияпроцедурных моделей , описывающих порядок действий по управлению технической системой.

Математические модели, кривые, номограммы, таблицы более всего подходят для представления физических процессов, протекающих в ОУ, для описания взаимосвязи переменных и ограничений в задачах проектирования.

В кибернетике объект управления, в котором известны только входы и выходы, принято называть «черный ящик».

Если имеется априорная информация о свойствах модели, например, что она динамическая или линейная, то можно говорить уже о «сером ящике».

Процесс разработки или построения модели объекта управления (проектирования) нельзя формализовать какой либо процедурой, даже очень сложной. Эффективность процесса разработки модели, особенно ее структуры во многом определяется квалификацией, опытом, интуицией исследователя, возможностями используемых программно-технических средств.

В большинстве случаев для разработки модели используют основные физические законы (Ньютона, Максвелла, Кирхгоффа, законы сохранения массы, энергии, перераспределения количества тепла и энтропии). На их основе разрабатывают физико-химические модели (называемые также аналитическими или теоретическими). Эти модели, как правило, представляются в

виде сложных систем уравнений (алгебраических, дифференциальных или в частных производных).

Другой подход разработки модели основан на применении эксперимен- тально-статистических методов, когда сведения об объекте получают непосредственно в условиях эксплуатации объекта (пассивный эксперимент), либо путем намеренных воздействий (активно-пассивный эксперимент). При этом структура модели может быть относительно простой.

Отметим, что для моделей проектирования более предпочтительны теоретические модели.

Условно выделяют следующие этапы построения модели эксперимен- тально-статистическими методами:

1) разработка структуры модели на основе априорной информации о физических процессах объекта управления (проектирования) и цели управления (проектирования);

2) планирование эксперимента и сбор экспериментальных данных;

3) оценивание неизвестных параметров (коэффициентов) выбранной структуры модели к имеющимся входным и выходным данным объекта управления (проектирования);

4) проверка адекватности разработанной модели реальному объекту;

5) использование полученной модели в соответствии с выбранной це-

3.2. Характеристика моделей объектов управления

Независимо от сложности объекта управления его структурная схема может быть представлена в виде (рис. 3.1).

F (u ,z ,w )

x состояние

Рис. 3.1. Структурная схема ОУ

Здесь u u (t )u 1 (t )u 2 (t )...u m (t )T – вектор управляющих воздействий,t – время,T – знак транспонирования;

z z (t )z 1 (t )z 2 (t )...z r (t )T – вектор контролируемых неуправляемых воздействий (возмущений);

– m -мерное

w w (t )w 1 (t )w 2 (t )...w l (t )T – вектор неконтролируемых воздействий (помех и возмущений);

x x (t )x 1 (t )x 2 (t )...x n (t )T – вектор состояния ОУ, содержащий всю информацию о прошлом ОУ, необходимую для определения реакции на входные

Если F – функция, то модель (3.1) описывает статические объекты. ЕслиF – оператор (интегрирование, дифференцирование, преобразование Лапласа), то объекты динамические.

Возможная классификация моделей ОУ вида (3.1) приведена на рис.

Такое многообразие моделей обусловлено, с одной стороны, видом входных воздействий, с другой – видом зависимости F .

Кратко характеризуем входные воздействия.

Управляющие воздействия u i (t ) , как правило, представляют кусочнонепрерывную функцию, удовлетворяющую ограничениям

по физической реализуемости или энергетическим возможностям устройства управления.

Множество всех допустимых значений управляющих воздействий

где U – допустимое множество управляющих воздействий;E m евклидово пространство.

Выражение (3.3) читается следующим образом: «Множество U состоит из элементовu , принадлежащихm -мерному евклидову пространству и удовлетворяющих позиционным ограничениям по всем переменным».

Предполагается, что переменные u i (t ) можно изменить мгновенно. Ес-

ли реализация управления исполнительным механизмом описывается дифференциальным уравнением, то эти динамические процессы следует отнести к ОУ и выделить такое u i (t ) , которое по отношению к вновь выделенному

объекту является безынерционным. Здесь не рассматриваются следящие системы, где исполнительные механизмы можно считать инерционными.

Поведение вектора возмущений z (t ) во многом определяет состояние

объекта, методологию исследования ОУ и синтез управления. Различают:

1) детерминированную возмущающую среду, когда закон изменения составляющих вектора z (t ) известен, и можно рассчитать значения возмуще-

ний в будущие моменты времени. Например, z (t ) cost ,z (t ) t ;

Модели ОУ

Рис. 3.2. Классификация моделей объектов управления

2) полудетерминированную возмущающую среду или возмущения волновой структуры. В этом случае возмущение можно выразить уравнением

менилось случайным образом и оставалось постоянным до момента t .

Структура управления (система управления)

Функции системы управления:

1. Измерение физических величин;

2. Контролирование;

3. Регулирование;

4. Оптимизация.

Объект управления всегда является составной частью системы управления. Поэтому его модель должна отражать взаимодействия объекта с подсистемой системы управления так и с окружающей средой.

Модель объекта управления должна состоять из следующих основных составляющих:

1. Модель преобразующих каналов объекта, отражающая влияние изменений всех входных (управляющих и внешних) воздействий на изменение выходных воздействий объекта (Рисунок 2):

Рисунок 2 - Модель преобразующих каналов объекта

Примером таких моделей, статических и динамических являются выражения (11) и (14).

2. Модель внешних воздействий, как контролируемых, так и неконтролируемых.

Моделируемый объект управления является составной частью собственной системы управления. Зачастую эта система управления является составной частью другой системы (более верхнего уровня), тогда модели предыдущих (по производственному циклу) объектов и систем можно использовать в качестве моделей внешних воздействий, при условии, что выходные воздействия этих предыдущих систем являются входными воздействиями моделируемого нами объекта. Если нет таких объектов или это сложно осуществить, то в данном случае речь идет о построении модели временных рядов данных. Модель временного ряда внешних воздействий должна отображать свойства натурного временного ряда, характеризующего изменения натурных внешних воздействий W . Один из вариантов формирования временного ряда внешних воздействий (модель внешних воздействий) имеет следующий вид (Рисунок 3):

Рисунок 3 - Модель внешних воздействий

МБ 1,2 – масштабирующие блоки;

ГТФ – генератор типовых функций, реализующий детерминированные составляющие временного ряда W д (t);

ГСЧ – генератор случайных чисел, вырабатывающий отклонение

По заданному закону распределения вероятностей;

К1, К2 – ключи;

К у – ключ управления.

Часто между ГСЧ и МБ ставят формирующие фильтры (фф) для придания временному ряду заданных статистических свойств.

В последнее время, в качестве моделей внешнего воздействия используют нелинейные рекуррентные модели динамического хаоса.

3. Модель измерений.

Поскольку процесс измерения всегда сопровождается погрешностью, то при построении модели объекта это необходимо учитывать.

В простейшем случае эту модель можно записать в виде следующей суммы:

Y u (t) = Y д (t) + и (t) , (17)

где Y u (t) – измеренное значение выходной величины;

Y д (t) – действительное значение выходной величины;

и (t) – погрешность измерения.

4. Модель исполнительных блоков, реализующих управляющие команды, поступающие с выхода управляющих устройств.

Структурно модель исполнительного блока может выглядит как и модель измерения. В простейшем случае она выглядит также как и выражение (17).

Вернемся к модели внешних воздействий. Мы описали один из вариантов моделей контролируемых внешних воздействий. Возникает вопрос, можно ли и если можно, то как построить модель неконтролируемых внешних воздействий?

Установить наличие действующих на объект неконтролируемых возмущений возможно 2-мя путями.

1) Экспериментальный путь. Для этого необходимо установить все контролируемые входные воздействия (управляющие и внешние) на какой-то постоянный уровень, то есть провести активный эксперимент над объектом, зарегистрировать изменение выходных воздействий и проанализировать их. Наличие колебаний относительно установившегося режима функционирования объекта или относительно опорной траектории выходных воздействий (если объект не имеет установившегося состояния, в частности, обладает накопительными свойствами) характеризует действие на объект неконтролируемых возмущений.

Рассмотрим задачу определения неконтролируемых возмущений на объекте.

Дано:

Судя по структуре, видно, что это ОУ, подверженный влиянию неконтролируемых возмущений.

Предположим, что реализован активный эксперимент, при котором:

U (t+õ) = U 0 , õ>0

Wk (t+õ) = Wk o , õ>0

Переход к постоянному значению произошел скачкообразно.

Т.е входные воздействия ОИ, начиная с момента t+õ является постоянным.

Требуется: нарисовать качественно-характеристические изменения Y(t) при наличии и при отсутствии Wн(t), как для объектов, обладающих свойством самовыравнивания, так и нет.

С самовыравниванием, когда присутствуют неконтролируемые возмущения:

Без самовыравниванием, когда присутствуют неконтролируемые возмущения:

С самовыравниванием, когда отсутствуют неконтролируемые возмущения:

Без самовыравниванием, когда отсутствуют неконтролируемые возмущения:

При этом уровень отклонений от базовых траекторий характеризует и уровень наличия неконтролируемых возмущений. И чем больше этот уровень, тем выше степень неопределенности в оценке поведения такого объекта. Полученную таким образом оценку колебаний выходного воздействия обозначим y w н (t) и будем называть приведенным к выходу объекта возмущением .

Таким образом, приведенное к выходу объекта возмущение характеризует в масштабе изменения выходного воздействия интегральный эффект всех действующих на объект неконтролируемых возмущений . Однако практически провести такой активный эксперимент невозможно, поэтому используют второй путь.

2) Расчетный путь (моделирование)

Для этого используются следующие соотношения, записанные в общем виде. Предварительно примем следующие обозначения (рисунок 4):

Рисунок 4 - Расчетный путь установления наличия неконтролируемых возмущений

Y(i) = Y 0 (i) + y(i); (18)

y(i) = y u (i) + y w (i) + y w н (i); (19)

y u (i) = ; - модель в малом преобразующих каналов (20)

более точно отражают то, что объект динамический.

y w = ; (21)

u(i) = U(i) – U 0 (i); (22)

w(i) = W(i) – W 0 (i). (23)

Классическая схема расчета приведенных возмущений, предложенная Ротачом, записывается следующим образом:

y w н (i) = Y(i) – Y 0 (i) – y u (i) – y w (i); (24)

Y 0 (i) = ; (25)

y u (i) = ; (26)

y w (i) = ; ; (27)

u(i) = U(i) – U 0 (i); (28)

w k (i) = W k (i) – W k0 (i); (29)

где l u , l w – дискретное запаздывание по каналам преобразования регулирующих и внешних возмущающих воздействий;

j – фиктивная переменная, означающая память динамического объекта.

Ф {∙} – модель внутреннего механизма процесса или модель объекта в большом диапазоне изменения входных и выходных воздействий.

В общем случае можно указать следующие факторы, обуславливающие функционирование натурных объектов в условиях неопределенности:

· влияние неконтролируемых внешних воздействий;

· слабая изученность объекта (отсутствие математической модели внутренних механизмов процесса) Ошибки измерения и отсчета могут входить в состав неконтролируемых внешних воздействий;

· погрешности измерений физических величин и передачи сигналов.

В рассматриваемой нами схеме расчета приведенных к выходу объекта возмущений предполагается, что объект хорошо изучен, то есть имеется адекватная математическая модель внутренних механизмов процессов.

Для вычисления приведенных к выходу объекта возмущений, если отсутствует математическая модель внутренних механизмов процесса можно предложить:

1. Согласованное выделение опорных уровней входных и выходных воздействий не с помощью математических моделей внутренних механизмов процесса, а с помощью сглаживающих фильтров типа РЭС или ЭС с большой инерционностью. То есть выбирается достаточно малой величины, в пределах (0; 0,1). Согласованное сглаживание здесь понимается так, чтобы имело место хотя бы приближенное соответствие между сглаженными (опорными) значениями входных воздействий и сглаженными (опорными) значениями выходных воздействий.

Согласованное сглаживание здесь означает, что сглаживание выходных воздействий должно осуществляться фильтрами большей инерционности, чем для входных (с меньшим значением коэффициента сглаживания ). Причем это уменьшение должно осуществляться с учетом динамических свойств преобразующих каналов для соответствующих входных воздействий, а конкретнее, с учетом их инерционности. Другими словами, для этого необходимо располагать функциональными математическими моделями соответствующих преобразующих каналов (Рисунок 5).

Рисунок 5 - Функциональная математическая модель преобразующих каналов

2. В инженерной практике оценки эффектов неконтролируемых внешних возмущений можно использовать схемы аналогов приведенных к выходу возмущений, например, оценивать не приведенное к выходу возмущение, а приведенное выходное воздействие в виде:

Y пр (t) = Y 0 (t 0) + y w н (t) (30)

Математические (аналитические) модели широко используются при изучении разнообразных процессов в науке и технике, экономике, в сфере социальных явлений. Известный шведский ученый Леннарт Льюнг пишет в своей книге «Идентификация систем»: «Формирование моделей на основе результатов наблюдений и исследование их свойств - вот, по существу, основное содержание науки. Модели («гипотезы», «законы природы», «парадигмы» и т.п.) могут быть более или менее формализованными, но все обладают той главной особенностью, что связывают наблюдения в некую общую картину». А вот высказывание известного специалиста в области автоматического управления Р. Калмана: «Теория управления не занимается исследованием реального мира, а лишь математическими моделями определенных аспектов реального мира».

Математические модели используются при синтезе систем управления, при анализе различных вариантов развития событий во многих сферах человеческой деятельности, при составлении прогнозов (например, составлении прогноза погоды или формировании экономического прогноза изменений цен на нефть).

Необходимо помнить, что объект моделирования, в соответствии с терминологией Канта, есть «вещь в себе» - он не доступен для непосредственного познания. Нам доступны лишь его отдельные фрагменты, полученные с помощью ощущений (измерений), которые можно сложить в единую картину только путем синтеза модели. Модель - это «вещь для нас», с ее помощью мы можем прогнозировать поведение объекта и затем сравнить результаты прогноза с реальной действительностью. Поскольку модель всегда проще объекта, прогноз и реальность никогда идеально не совпадают между собой. Обычно создание модели представляет собой итерационный процесс. Вначале создается простая, но неточная модель. Затем она совершенствуется.

Базовым понятием математического моделирования является понятие системы. Система является абстрактным (математическим) образом реального объекта, а значит - это эквивалент понятия математической модели. Она представляет собой совокупность взаимосвязанных элементов, представляющих единое целое. Свойства системы могут отсутствовать у составляющих ее элементов. Система имеет входы и выходы (рис. 1.1.).

Рис. 1.1.

Если система не имеет входов, то внешний мир не имеет возможности воздействовать на нее. Если система не имеет выходов, то она не воздействует на окружающий мир. Система, которая не имеет ни входов, ни выходов, практически не существует в реальном мире. Поэтому такие системы никогда не рассматриваются в приложениях.

Системой можно назвать процесс решения любой задачи. При этом входами будут являться исходные данные, выходами - результаты, а целью - правильное решение. В формальном смысле система задается парой множеств и (- множество входов, - множество выходов) и отношением на, которое определяет зависимость между входами и выходами.

Соединение систем также является системой и задается отношением. Например, последовательное соединение систем, есть отношение: . Таким образом, можно определять сколь угодно сложные системы, исходя из простых.

Любой системе присущи два основных атрибута: целостность и структурированность.

Целостность (единство) означает, что система отделена от внешней среды; среда может оказывать на нее действие (акцию) через входы и воспринимать отклик (реакцию) на эти действия через выходы.

Структурированность означает, что система разделена внутри на несколько подсистем, связанных и взаимодействующих между собой так же, как целая система взаимодействует с внешней средой.

Третье свойство, присущее системе, - целенаправленность - требует задания некоторой цели, достижение которой говорит о правильной работе системы.

Функционирование системы - это процесс, разворачивающийся во времени, т. е. множества возможных входов и выходов U, Y - это множества функций времени. Система называется функциональной (определенной), если каждой входной функции u(t) соответствует единственная выходная функция y(t). В противном случае система называется неопределенной. Неопределенность обычно возникает из-за неполноты информации о внешних условиях работы системы. Важным свойством, присушим реальным системам, является причинность. Она означает, что если входные функции и совпадают при, т.е. при, то соответствующие выходные функции удовлетворяют условию, т.е. «настоящее не зависит от будущего при заданном прошлом».

Индивидуальные свойства системы описываются на языке математики. Например, на рис. 1.1 свойства системы заданы в виде передаточной функции.

Аналитическими моделями различных объектов реального мира являются математические уравнения.

Динамические системы описываются с помощью дифференциальных уравнений, статические системы - с помощью алгебраических. Входы системы (- текущий номер входа) входят в дифференциальные уравнения как известные функции времени, а выходы (- текущий номер выхода) - как неизвестные функции времени - они определятся путем решения данной системы уравнений.

Числовые величины, связанные с системой, делятся на переменные и параметры. Переменные описывают изменяющееся состояние системы.

Параметры - это величины, которые можно считать постоянными на промежутке времени наблюдения за работой системы. В математическом смысле - это постоянные коэффициенты в дифференциальном или алгебраическом уравнении, которое является моделью объекта. Значения переменных и параметров определяют количественную информацию о системе. Оставшаяся информация, т. е. качественная, определяет структуру системы.

Типовым приемом построения математических моделей системы является параметризация - выбор в качестве моделей семейства функций, зависящих от конечного (обычно небольшого) количества чисел - параметров.

Пример 1.1. Построим аналитическую модель электронной схемы, изображенной на рис. 1.2.

Рис. 1.2.

В данной системе входным сигналом является входное напряжение, а выходным сигналом - выходное напряжение. Для составления модели воспользуемся известными физическими законами. Согласно закону Ома протекающий через резистор ток равен

где - величина сопротивления резистора.

Конденсатор имеет в цепи постоянного тока бесконечно большое сопротивление. Если же приложить к нему переменное напряжение, то он будет периодически перезаряжаться и в цепи потечет ток. Мгновенное значение тока определяется выражением

где - величина емкости конденсатора.

Приравнивая правые части уравнений (1.1) и (1.2), получим

Уравнение (1.3) равносильно линейному дифференциальному уравнению первого порядка

Уравнение (1.4) является аналитической моделью электрической схемы, изображенной на рис. 1.2. Если задать входной сигнал как известную функцию времени, то, решив уравнение (1.4) при заданных начальных условиях, получим выходной сигнал как функцию времени. Другими словами, уравнение (1.4) позволяет нам моделировать реакцию системы на различные входные сигналы. Поэтому оно и называется моделью. Произведение, имеющее размерность времени, является параметром данной системы.

Если полученная модель представляет собой линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (как в данном случае), то в качестве модели также используют его изображение по Лапласу. Изображение по Лапласу уравнения (1.4) выглядит следующим образом

где - комплексный параметр преобразования Лапласа, и - изображения по Лапласу функций и соответственно.

Уравнение (1.5) является алгебраическим, а не дифференциальным - в этом его преимущество. Мы можем вынести изображение за скобки и найти отношение изображения выходного сигнала системы к изображению входного, которое называется передаточной функцией системы.

По виду передаточной функции (1.6) можно установить, что моделируемая система является апериодическим звеном с единичным статическим коэффициентом усиления и постоянной времени, равной. Определим реакцию такой системы на ступенчатый входной сигнал. Для этого найдем оригинал изображения.

График функции, описываемой уравнением (1.7) для случая, когда, показан на рис. 1.3.

График показывает, что в ответ на ступенчатый входной сигнал система переходит в новое состояние не сразу, а спустя некоторое время. Приблизительно оно равно: (точнее, спустя промежуток времени выход системы составляет 63 % от величины выходного сигнала в установившемся режиме).

Рис. 1.3.

Положив в (1.6) , где - частота гармонических колебаний, - мнимая единица, получим частотную функцию

где - модуль и - аргумент частотной функции.

Амплитудно-частотная (АЧХ) и фазово-частотная (ФЧХ) характеристики данной системы показаны на рис. 1.4.

Графики 1.4 показывают, что электрическая схема на рис. 1.2 является фильтром низких частот, причем гармонические сигналы передаются с задержкой по фазе.

Рис. 1.4.

Пример 1.2. Построим аналитическую модель электронной схемы, изображенной на рис. 1.5.

Рис. 1.5.

Здесь резистор включен параллельно конденсатору и добавлена катушка индуктивностью. Падение напряжения на катушке определяется выражением

где - ток, протекающий через резистор,

Ток, протекающий через конденсатор. На основании (1.9) и (1.10) можем записать

После преобразований получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка, являющееся математической моделью схемы, изображенной на рис. 1.5.

В общепринятых обозначениях

Уравнение в изображениях: - позволит найти передаточную функцию

Передаточная функция линейной системы второго порядка в общем случае записывается следующим образом

где - частота собственных колебаний системы,

Коэффициент демпфирования системы. Сравнивая формулы (1.13) и (1.14), получим:

На рис. 1.6 показаны реакции линейной системы второго порядка на ступенчатый сигнал при различных коэффициентах демпфирования (; ;). График получен в системе MATLAB.

Рис. 1.6.

Если коэффициент демпфирования равен нулю, то реакцией системы на ступенчатый сигнал будут бесконечные гармонические колебания. Они возникнут в изображенной на рис. 1.5 электрической схеме в том случае, когда сопротивление резистора будет равно бесконечности. Если, то колебания станут затухающими. Если, то колебаний вообще не будет (случай критического демпфирования).

Пример 1.3. Построим аналитическую модель механической системы, изображенной на рис. 1.7.

Рис. 1.7.

Предполагаем, что движение возможно только в одном направлении - вдоль оси y(t). Никакое движение в поперечном направлении не допускается. На тело массы М действует три силы: внешняя сила, сила трения и сила упругости. Согласно принципу д"Аламбера, к ним нужно добавить силу инерции и результат приравнять нулю. В результате получим дифференциальное уравнение:

где В - коэффициент трения,

К - коэффициент упругости.

Это дифференциальное уравнение является моделью механической системы, изображенной на рис. 1.7. Сравнив его с уравнением (1.12), можно заметить, что они отличаются только коэффициентами. Коэффициенту LC соответствует коэффициент М, коэффициенту - коэффициент В, единице соответствует коэффициент К.

Передаточная функция механической системы равна

Частота собственных колебаний механической системы равна, а коэффициент демпфирования: .

Рассмотренные примеры показывают, что различные объекты реального мира могут описываться одинаковыми моделями.