09.10.2019
स्थिर यांत्रिकी में बोल्ट्जमान स्थिरांक एक प्रमुख भूमिका निभाता है। बोल्ट्जमान स्थिरांक
बोल्ट्जमान नियतांक (k (\displaystyle k)या के बी (\displaystyle k_(\rm (बी)))) एक भौतिक स्थिरांक है जो तापमान और ऊर्जा के बीच संबंध को निर्धारित करता है। ऑस्ट्रियाई भौतिक विज्ञानी लुडविग बोल्ट्जमैन के नाम पर, जिन्होंने सांख्यिकीय भौतिकी में प्रमुख योगदान दिया, जिसमें यह स्थिरांक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। बुनियादी एसआई इकाइयों (2018) की परिभाषाओं में परिवर्तन के अनुसार एसआई की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली में इसका मूल्य बिल्कुल बराबर है
k = 1.380 649 × 10 - 23 (\displaystyle k=1(,)380\,649\times 10^(-23))जे / ।तापमान और ऊर्जा के बीच संबंध
निरपेक्ष तापमान पर एक सजातीय आदर्श गैस में टी (\ डिस्प्लेस्टाइल टी), स्वतंत्रता की प्रति अनुवादित डिग्री की ऊर्जा, मैक्सवेल वितरण से निम्नानुसार है, kT / 2 (\displaystyle kT/2). कमरे के तापमान (300 ) पर, यह ऊर्जा है 2 , 07 × 10 − 21 (\displaystyle 2(,)07\times 10^(-21))जे, या 0.013 ईवी। एक मोनोएटोमिक आदर्श गैस में, प्रत्येक परमाणु में तीन स्थानिक अक्षों के अनुरूप तीन डिग्री स्वतंत्रता होती है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक परमाणु में ऊर्जा होती है 3 2 k T (\displaystyle (\frac (3)(2))kT).
ऊष्मीय ऊर्जा को जानकर, कोई भी मूल-माध्य-वर्ग परमाणु वेग की गणना कर सकता है, जो परमाणु द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होता है। कमरे के तापमान पर मूल माध्य वर्ग वेग हीलियम के लिए 1370 m/s से लेकर क्सीनन के लिए 240 m/s तक भिन्न होता है। आणविक गैस के मामले में, स्थिति और अधिक जटिल हो जाती है, उदाहरण के लिए, एक डायटोमिक गैस में 5 डिग्री स्वतंत्रता होती है - 3 ट्रांसलेशनल और 2 रोटेशनल (कम तापमान पर, जब एक अणु में परमाणुओं के कंपन उत्तेजित नहीं होते हैं और अतिरिक्त डिग्री स्वतंत्रता नहीं जोड़ी जाती है)।
एन्ट्रापी की परिभाषा
एक थर्मोडायनामिक प्रणाली की एन्ट्रापी को विभिन्न माइक्रोस्टेट्स की संख्या के प्राकृतिक लघुगणक के रूप में परिभाषित किया गया है Z (\displaystyle Z)किसी दिए गए मैक्रोस्कोपिक राज्य के अनुरूप (उदाहरण के लिए, किसी दिए गए कुल ऊर्जा वाला राज्य)।
एस = के लॉग जेड। (\displaystyle S=k\ln Z.)आनुपातिकता कारक k (\displaystyle k)और बोल्ट्जमान स्थिरांक है। यह एक अभिव्यक्ति है जो सूक्ष्म के बीच संबंध को परिभाषित करती है ( Z (\displaystyle Z)) और स्थूल अवस्थाएँ ( एस (\ डिस्प्लेस्टाइल एस)), सांख्यिकीय यांत्रिकी के केंद्रीय विचार को व्यक्त करता है।
बोल्ट्जमान नियतांक (k (\displaystyle k)या के बी (\displaystyle k_(\rm (बी)))) - भौतिक-स्थिरांक जो तापमान और ऊर्जा के बीच संबंध को निर्धारित करता है। ऑस्ट्रियाई भौतिक विज्ञानी लुडविग बोल्ट्जमैन के नाम पर, जिन्होंने सांख्यिकीय भौतिकी में एक महान योगदान दिया, जिसमें यह स्थिरांक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। इंटरनेशनल सिस्टम ऑफ यूनिट्स (SI) में इसका प्रायोगिक मूल्य है:
के = 1.380 648 52 (79) × 10 - 23 (\displaystyle k=1(,)380\,648\,52(79)\times 10^(-23))जे / ।कोष्ठकों में संख्याएँ मान के अंतिम अंकों में मानक त्रुटि दर्शाती हैं।
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थर्मल विकिरण। स्टीफन-बोल्ट्जमैन कानून
बोल्ट्जमान वितरण मॉडल।
भौतिकी। एमकेटी: एक आदर्श गैस के लिए मेंडेलीव-क्लैपेरॉन समीकरण। फॉक्सफोर्ड ऑनलाइन लर्निंग सेंटर
उपशीर्षक
तापमान और ऊर्जा के बीच संबंध
निरपेक्ष तापमान पर एक सजातीय आदर्श गैस में टी (\ डिस्प्लेस्टाइल टी), स्वतंत्रता की प्रत्येक अनुवादात्मक डिग्री के कारण होने वाली ऊर्जा, मैक्सवेल वितरण से निम्नानुसार है, kT / 2 (\displaystyle kT/2). कमरे के तापमान (300 ) पर, यह ऊर्जा है 2 , 07 × 10 − 21 (\displaystyle 2(,)07\times 10^(-21))जे, या 0.013 ईवी। एक मोनोएटोमिक आदर्श गैस में, प्रत्येक परमाणु में तीन स्थानिक अक्षों के अनुरूप तीन डिग्री स्वतंत्रता होती है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक परमाणु में ऊर्जा होती है 3 2 k T (\displaystyle (\frac (3)(2))kT).
ऊष्मीय ऊर्जा को जानकर, कोई भी मूल-माध्य-वर्ग परमाणु वेग की गणना कर सकता है, जो परमाणु द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होता है। कमरे के तापमान पर मूल माध्य वर्ग वेग हीलियम के लिए 1370 m/s से लेकर क्सीनन के लिए 240 m/s तक भिन्न होता है। एक आणविक गैस के मामले में, स्थिति अधिक जटिल हो जाती है, उदाहरण के लिए, एक डायटोमिक गैस में पांच डिग्री स्वतंत्रता होती है (कम तापमान पर, जब एक अणु में परमाणुओं के कंपन उत्तेजित नहीं होते हैं)।
एन्ट्रापी की परिभाषा
एक थर्मोडायनामिक प्रणाली की एन्ट्रापी को विभिन्न माइक्रोस्टेट्स की संख्या के प्राकृतिक लघुगणक के रूप में परिभाषित किया गया है Z (\displaystyle Z)किसी दिए गए मैक्रोस्कोपिक राज्य के अनुरूप (उदाहरण के लिए, किसी दिए गए कुल ऊर्जा वाला राज्य)।
एस = के लॉग जेड। (\displaystyle S=k\ln Z.)आनुपातिकता कारक k (\displaystyle k)और बोल्ट्जमान स्थिरांक है। यह एक अभिव्यक्ति है जो सूक्ष्म के बीच संबंध को परिभाषित करती है ( Z (\displaystyle Z)) और स्थूल अवस्थाएँ ( एस (\ डिस्प्लेस्टाइल एस)), सांख्यिकीय यांत्रिकी के केंद्रीय विचार को व्यक्त करता है।
मान लिया गया मान फिक्स
17-21 अक्टूबर, 2011 को आयोजित माप और वजन पर XXIV सामान्य सम्मेलन ने एक संकल्प अपनाया, जिसने विशेष रूप से, बोल्ट्जमान स्थिरांक के मूल्य को ठीक करने के लिए इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली के भविष्य के संशोधन का प्रस्ताव दिया। , जिसके बाद इसे निश्चित माना जाएगा बिल्कुल सही. नतीजतन, यह चलेगा सटीकसमानता क=1.380 6X⋅10 −23 J/K, जहां X सर्वोत्तम CODATA अनुशंसाओं के आधार पर भविष्य में निर्धारित किए जाने वाले एक या अधिक महत्वपूर्ण आंकड़ों को प्रतिस्थापित करता है। इस तरह का एक कथित निर्धारण थर्मोडायनामिक तापमान की इकाई, केल्विन को फिर से परिभाषित करने की इच्छा से जुड़ा है, इसके मूल्य को बोल्ट्ज़मान स्थिरांक के मूल्य से जोड़कर।
(कया केबी)एक भौतिक स्थिरांक है जो तापमान और ऊर्जा के बीच संबंध को निर्धारित करता है। इसका नाम ऑस्ट्रियाई भौतिक विज्ञानी लुडविग बोल्ट्जमैन के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने सांख्यिकीय भौतिकी में एक महान योगदान दिया, जिसमें यह एक महत्वपूर्ण स्थान बन गया है। एसआई प्रणाली में इसका प्रायोगिक मूल्य हैकोष्ठकों में संख्याएँ मान के अंतिम अंकों में मानक त्रुटि दर्शाती हैं। सिद्धांत रूप में, बोल्ट्जमान स्थिरांक को निरपेक्ष तापमान और अन्य भौतिक स्थिरांक के निर्धारण से प्राप्त किया जा सकता है (इसके लिए आपको पहले सिद्धांतों से पानी के त्रिगुण बिंदु के तापमान की गणना करने में सक्षम होना चाहिए)। लेकिन बुनियादी सिद्धांतों का उपयोग करते हुए बोल्ट्जमैन की परिभाषा इस क्षेत्र में ज्ञान के वर्तमान विकास के साथ बहुत जटिल और अवास्तविक है।
यदि तापमान को ऊर्जा इकाइयों में मापा जाता है, जो कि भौतिकी में अक्सर किया जाता है, तो बोल्ट्जमैन का स्थिरांक एक अनावश्यक भौतिक स्थिरांक है। वास्तव में, यह एक अच्छी तरह से परिभाषित मात्रा - ऊर्जा और एक डिग्री के बीच एक संबंध है, जिसका मूल्य ऐतिहासिक रूप से विकसित हुआ है।
एन्ट्रापी की परिभाषा
एक थर्मोडायनामिक प्रणाली की एन्ट्रापी को किसी दिए गए मैक्रोस्कोपिक राज्य (उदाहरण के लिए, किसी दिए गए कुल ऊर्जा वाले राज्य) के अनुरूप विभिन्न माइक्रोस्टेट्स Z की संख्या के प्राकृतिक लघुगणक के रूप में परिभाषित किया गया है।
आनुपातिकता कारक कऔर बोल्ट्जमान स्थिरांक है। यह अभिव्यक्ति, जो सूक्ष्म (जेड) और मैक्रोस्कोपिक (एस) विशेषताओं के बीच संबंध को परिभाषित करती है, सांख्यिकीय यांत्रिकी के मुख्य (केंद्रीय) विचार को व्यक्त करती है।
बोल्ट्जमैन लुडविग (1844-1906)- महान ऑस्ट्रियाई भौतिक विज्ञानी, आणविक गतिज सिद्धांत के संस्थापकों में से एक। बोल्ट्जमैन के कार्यों में, आणविक-गतिज सिद्धांत पहली बार तार्किक रूप से सुसंगत, सुसंगत भौतिक सिद्धांत के रूप में प्रकट हुआ। बोल्ट्जमैन ने ऊष्मागतिकी के दूसरे नियम की सांख्यिकीय व्याख्या की। उन्होंने मैक्सवेल के विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के सिद्धांत के विकास और लोकप्रिय बनाने के लिए बहुत कुछ किया है। स्वभाव से एक लड़ाकू, बोल्ट्जमैन ने थर्मल घटना की आणविक व्याख्या की आवश्यकता का उत्साहपूर्वक बचाव किया और अणुओं के अस्तित्व से इनकार करने वाले वैज्ञानिकों के खिलाफ लड़ाई का खामियाजा खुद को उठाया।
समीकरण (4.5.3) में सार्वभौमिक गैस स्थिरांक का अनुपात शामिल है आर अवोगाद्रो स्थिरांक के लिए एन ए . यह अनुपात सभी पदार्थों के लिए समान है। आणविक गतिज सिद्धांत के संस्थापकों में से एक, एल. बोल्ट्जमैन के सम्मान में इसे बोल्ट्जमैन स्थिरांक कहा जाता है।
बोल्ट्जमान नियतांक है :
समीकरण (4.5.3), बोल्ट्जमान स्थिरांक को ध्यान में रखते हुए, इस प्रकार लिखा गया है:
बोल्ट्जमान स्थिरांक का भौतिक अर्थ
ऐतिहासिक रूप से, तापमान को पहली बार थर्मोडायनामिक मात्रा के रूप में पेश किया गया था, और इसके लिए माप की एक इकाई स्थापित की गई थी - एक डिग्री (§ 3.2 देखें)। तापमान और अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा के बीच संबंध स्थापित करने के बाद, यह स्पष्ट हो गया कि तापमान को अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जा सकता है और मात्रा के बजाय जूल या एर्ग में व्यक्त किया जा सकता है। टीमूल्य दर्ज करें टी*ताकि
इस प्रकार निर्धारित तापमान डिग्री में व्यक्त तापमान से निम्नानुसार संबंधित है:
इसलिए, बोल्ट्ज़मान स्थिरांक को एक मात्रा के रूप में माना जा सकता है जो तापमान से संबंधित है, ऊर्जा इकाइयों में व्यक्त किया गया है, तापमान के साथ, डिग्री में व्यक्त किया गया है।
इसके अणुओं और तापमान की सांद्रता पर गैस के दबाव की निर्भरता
जताते इसंबंध (4.5.5) से और सूत्र (4.4.10) में प्रतिस्थापित करने पर, हम अणुओं की सांद्रता और तापमान पर गैस के दबाव की निर्भरता को दर्शाने वाला एक व्यंजक प्राप्त करते हैं:
सूत्र (4.5.6) से यह निम्नानुसार है कि समान दबाव और तापमान पर, सभी गैसों में अणुओं की एकाग्रता समान होती है।
इसका अर्थ है अवोगाद्रो का नियम: समान तापमान और दबाव पर समान मात्रा में गैसों में अणुओं की संख्या समान होती है।
अणुओं की स्थानांतरीय गति की औसत गतिज ऊर्जा निरपेक्ष तापमान के सीधे आनुपातिक होती है। आनुपातिकता कारक- बोल्ट्जमान नियतांकक \u003d 10 -23 जे / के - याद करने की जरूरत है।
4.6। मैक्सवेल वितरण
बड़ी संख्या में मामलों में, केवल भौतिक मात्राओं के औसत मूल्यों को जानना पर्याप्त नहीं है। उदाहरण के लिए, लोगों की औसत ऊंचाई जानने से विभिन्न आकारों के कपड़ों के उत्पादन की योजना बनाने की अनुमति नहीं मिलती है। आपको उन लोगों की अनुमानित संख्या जानने की जरूरत है जिनकी ऊंचाई एक निश्चित अंतराल में है। इसी तरह, उन अणुओं की संख्या जानना महत्वपूर्ण है जिनमें औसत के अलावा अन्य वेग हैं। मैक्सवेल ने सबसे पहले यह पता लगाया था कि इन संख्याओं को कैसे निर्धारित किया जा सकता है।
यादृच्छिक घटना की प्रायिकता
4.1 में हम पहले ही उल्लेख कर चुके हैं कि जे मैक्सवेल ने अणुओं के एक बड़े समूह के व्यवहार का वर्णन करने के लिए संभाव्यता की अवधारणा की शुरुआत की।
जैसा कि बार-बार जोर दिया गया है, सिद्धांत रूप में लंबे समय के अंतराल में एक अणु की गति (या गति) में परिवर्तन का पालन करना असंभव है। एक निश्चित समय में सभी गैस अणुओं की गति को सटीक रूप से निर्धारित करना भी असंभव है। मैक्रोस्कोपिक स्थितियों से जिसमें गैस स्थित है (एक निश्चित मात्रा और तापमान), अणुओं के वेग के कुछ मूल्यों का पालन करना जरूरी नहीं है। एक अणु की गति को एक यादृच्छिक चर के रूप में माना जा सकता है, जो दी गई मैक्रोस्कोपिक स्थितियों के तहत अलग-अलग मान ले सकता है, जैसे कि एक पासा फेंकते समय, 1 से 6 तक के किसी भी अंक (पासे के चेहरों की संख्या छह है) बाहर गिर सकता है। यह अनुमान लगाना असंभव है कि पासे के दिए गए थ्रो में कितने अंक निकलेंगे। लेकिन पांच अंक लुढ़कने की संभावना रक्षात्मक है।
एक यादृच्छिक घटना के घटित होने की प्रायिकता क्या है? चलो एक बहुत बड़ी संख्या का उत्पादन किया जाता है एनपरीक्षण (एन मरने के रोल की संख्या है)। साथ ही, इं एन" मामलों में, परीक्षणों का अनुकूल परिणाम था (यानी, पांच की हानि)। फिर इस घटना की संभावना कुल परीक्षणों की संख्या के अनुकूल परिणाम वाले मामलों की संख्या के अनुपात के बराबर है, बशर्ते कि यह संख्या मनमाने ढंग से बड़ी हो:
एक सममित पासे के लिए, 1 से 6 तक किसी भी चुने हुए अंक की प्रायिकता है।
हम देखते हैं कि कई यादृच्छिक घटनाओं की पृष्ठभूमि के खिलाफ, एक निश्चित मात्रात्मक पैटर्न प्रकट होता है, एक संख्या प्रकट होती है। यह संख्या - संभाव्यता - आपको औसत की गणना करने की अनुमति देती है। इसलिए, यदि आप एक पासे के 300 फेंकते हैं, तो पांच के फेंकने की औसत संख्या, जैसा कि सूत्र (4.6.1) से निम्नानुसार है, बराबर होगी: 300 = 50, और एक ही पासे को फेंकना पूरी तरह से उदासीन है 300 बार या एक साथ 300 समान पासे।
निस्संदेह, एक बर्तन में गैस के अणुओं का व्यवहार फेंके गए पासे की गति से कहीं अधिक जटिल होता है। लेकिन यहां भी कोई कुछ मात्रात्मक नियमितताओं की खोज की उम्मीद कर सकता है जो सांख्यिकीय औसत की गणना करना संभव बनाता है, अगर केवल समस्या को गेम थ्योरी के समान ही पेश किया जाता है, न कि शास्त्रीय यांत्रिकी में। एक निश्चित क्षण में एक अणु की गति के सटीक मूल्य को निर्धारित करने की अघुलनशील समस्या को त्यागना आवश्यक है और इस संभावना को खोजने का प्रयास करें कि गति का एक निश्चित मूल्य है।
ब्लैक बॉडी विकिरण ऊर्जा से संबंधित निरंतर के लिए, स्टीफन-बोल्ट्ज़मान कॉन्सटेंट देखें
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स्थिरांक का मान क |
आयाम |
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1,380 6504(24) 10 −23 |
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8,617 343(15) 10 −5 |
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1,3807 10 −16 |
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नीचे विभिन्न इकाइयों में मान भी देखें। |
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बोल्ट्जमान स्थिरांक (कया कबी) एक भौतिक स्थिरांक है जो किसी पदार्थ के तापमान और इस पदार्थ के कणों की ऊष्मीय गति की ऊर्जा के बीच संबंध को निर्धारित करता है। इसका नाम ऑस्ट्रियाई भौतिक विज्ञानी लुडविग बोल्ट्जमैन के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने सांख्यिकीय भौतिकी में एक महान योगदान दिया, जिसमें यह स्थिरांक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। एसआई प्रणाली में इसका प्रायोगिक मूल्य है
तालिका में, कोष्ठक में अंतिम अंक स्थिरांक के मान की मानक त्रुटि को दर्शाता है। सिद्धांत रूप में, बोल्ट्ज़मान स्थिरांक को निरपेक्ष तापमान और अन्य भौतिक स्थिरांक के निर्धारण से प्राप्त किया जा सकता है। हालांकि, बुनियादी सिद्धांतों का उपयोग करते हुए बोल्ट्जमान स्थिरांक की सटीक गणना ज्ञान के वर्तमान स्तर के साथ बहुत जटिल और असंभव है।
प्रायोगिक तौर पर, बोल्ट्ज़मान स्थिरांक को प्लांक के थर्मल विकिरण के नियम का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है, जो विकिरण शरीर के एक निश्चित तापमान पर संतुलन विकिरण के स्पेक्ट्रम में ऊर्जा के वितरण का वर्णन करता है, साथ ही साथ अन्य तरीकों से भी।
सार्वभौमिक गैस स्थिरांक और अवोगाद्रो संख्या के बीच एक संबंध है, जिससे बोल्ट्ज़मान स्थिरांक का मान इस प्रकार है:
बोल्ट्जमान स्थिरांक का आयाम एन्ट्रापी के समान ही होता है।
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इतिहास
1877 में, बोल्ट्जमैन एन्ट्रापी और प्रायिकता को जोड़ने वाला पहला व्यक्ति था, लेकिन स्थिरांक का काफी सटीक मान था कएंट्रोपी के सूत्र में युग्मन गुणांक के रूप में केवल एम। प्लैंक के कार्यों में दिखाई दिया। 1900-1901 में एक काले पिंड के विकिरण के नियम की व्युत्पत्ति करते समय, प्लैंक। बोल्ट्ज़मान स्थिरांक के लिए 1.346 10 -23 J/K का मान मिला, जो वर्तमान में स्वीकृत से लगभग 2.5% कम है।
1900 तक, बोल्ट्ज़मान स्थिरांक के साथ अब जो संबंध लिखे गए हैं, वे गैस स्थिरांक का उपयोग करके लिखे गए थे आर, और प्रति अणु औसत ऊर्जा के बजाय, पदार्थ की कुल ऊर्जा का उपयोग किया गया था। फॉर्म का संक्षिप्त सूत्र एस = कलॉग वूबोल्ट्जमैन के बस्ट पर प्लैंक के लिए ऐसा धन्यवाद बन गया। 1920 में अपने नोबेल व्याख्यान में प्लैंक ने लिखा:
इस स्थिरांक को अक्सर बोल्ट्ज़मान स्थिरांक कहा जाता है, हालाँकि, जहाँ तक मुझे पता है, बोल्ट्ज़मैन ने स्वयं इसे कभी पेश नहीं किया - मामलों की एक अजीब स्थिति, यह देखते हुए कि बोल्ट्ज़मैन के बयानों में इस स्थिरांक के सटीक माप की कोई बात नहीं थी।
पदार्थ की परमाणु संरचना के सार को स्पष्ट करने के लिए उस समय की वैज्ञानिक बहस द्वारा इस स्थिति को समझाया जा सकता है। 19वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में, इस बात पर काफी असहमति थी कि क्या परमाणु और अणु वास्तविक हैं या घटना का वर्णन करने का एक सुविधाजनक तरीका है। इस बात पर भी एकमत नहीं थी कि क्या "रासायनिक अणु" जो उनके परमाणु द्रव्यमान से प्रतिष्ठित हैं, गतिज सिद्धांत के समान अणु हैं। आगे प्लैंक के नोबेल व्याख्यान में निम्नलिखित पाया जा सकता है:
"पिछले बीस वर्षों में प्रयोग की कला की तुलना में प्रगति की सकारात्मक और त्वरित दर को बेहतर ढंग से प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, जब किसी भी ग्रह के द्रव्यमान को मापने के समान सटीकता के साथ अणुओं के द्रव्यमान को मापने के लिए कई तरीकों की खोज की गई है। "
राज्य का आदर्श गैस समीकरण
एक आदर्श गैस के लिए, दबाव से संबंधित एकीकृत गैस कानून मान्य है पी, आयतन वी, पदार्थ की मात्रा एनमोल में, गैस स्थिरांक आरऔर पूर्ण तापमान टी:
इस समीकरण में, हम एक प्रतिस्थापन कर सकते हैं। तब गैस नियम को बोल्ट्जमान स्थिरांक और अणुओं की संख्या के रूप में व्यक्त किया जाएगा एनगैस की मात्रा में वी:
तापमान और ऊर्जा के बीच संबंध
निरपेक्ष तापमान पर एक सजातीय आदर्श गैस में टी, स्वतंत्रता की प्रति अनुवादित डिग्री की ऊर्जा, मैक्सवेल वितरण से निम्नानुसार है, के.टी./ 2। कमरे के तापमान (≈ 300 K) पर, यह ऊर्जा J, या 0.013 eV है।
गैस ऊष्मप्रवैगिकी के संबंध
एक मोनोएटोमिक आदर्श गैस में, प्रत्येक परमाणु में तीन स्थानिक अक्षों के अनुरूप तीन डिग्री स्वतंत्रता होती है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक परमाणु में 3 की ऊर्जा होती है के.टी./ 2। यह प्रयोगात्मक डेटा से अच्छी तरह सहमत है। ऊष्मीय ऊर्जा को जानकर, कोई भी मूल-माध्य-वर्ग परमाणु वेग की गणना कर सकता है, जो परमाणु द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होता है। कमरे के तापमान पर rms वेग हीलियम के लिए 1370 m/s से लेकर क्सीनन के लिए 240 m/s तक भिन्न होता है।
गतिज सिद्धांत औसत दबाव का सूत्र देता है पीआदर्श गैस:
यह देखते हुए कि सरल रेखीय गति की औसत गतिज ऊर्जा है:
हम एक आदर्श गैस के लिए अवस्था का समीकरण पाते हैं:
यह संबंध आणविक गैसों के लिए भी अच्छा है; हालांकि, गर्मी क्षमता की निर्भरता में परिवर्तन होता है, क्योंकि अणुओं में स्वतंत्रता की उन डिग्री के संबंध में स्वतंत्रता की अतिरिक्त आंतरिक डिग्री हो सकती है जो अंतरिक्ष में अणुओं की गति से जुड़ी होती हैं। उदाहरण के लिए, एक द्विपरमाणुक गैस में पहले से ही लगभग पाँच डिग्री स्वतंत्रता होती है।
बोल्ट्जमान गुणक
सामान्य तौर पर, सिस्टम एक तापमान पर गर्मी जलाशय के साथ संतुलन में होता है टीएक संभावना है पीऊर्जा की स्थिति ले लो इ, जिसे संबंधित घातीय बोल्ट्ज़मान गुणक का उपयोग करके लिखा जा सकता है:
इस व्यंजक में मान है के.टी.ऊर्जा के आयाम के साथ।
संभाव्यता की गणना का उपयोग न केवल आदर्श गैसों के गतिज सिद्धांत में गणना के लिए किया जाता है, बल्कि अन्य क्षेत्रों में भी किया जाता है, उदाहरण के लिए, अरहेनियस समीकरण में रासायनिक कैनेटीक्स में।
एन्ट्रापी की सांख्यिकीय परिभाषा में भूमिका
मुख्य लेख: थर्मोडायनामिक एन्ट्रापी
एन्ट्रापी एसथर्मोडायनामिक संतुलन में एक पृथक थर्मोडायनामिक प्रणाली को विभिन्न माइक्रोस्टेट्स की संख्या के प्राकृतिक लघुगणक के माध्यम से परिभाषित किया जाता है वूकिसी दिए गए मैक्रोस्कोपिक राज्य के अनुरूप (उदाहरण के लिए, दी गई कुल ऊर्जा वाला राज्य इ):
आनुपातिकता कारक कबोल्ट्जमान स्थिरांक है। यह एक अभिव्यक्ति है जो सूक्ष्म और स्थूल अवस्थाओं के बीच संबंध को परिभाषित करती है (के माध्यम से वूऔर एन्ट्रापी एसक्रमशः), सांख्यिकीय यांत्रिकी के केंद्रीय विचार को व्यक्त करता है और बोल्ट्जमैन की मुख्य खोज है।
शास्त्रीय ऊष्मप्रवैगिकी में, एन्ट्रापी के लिए क्लॉसियस अभिव्यक्ति का उपयोग किया जाता है:
इस प्रकार, बोल्ट्जमान स्थिरांक की उपस्थिति कएंट्रोपी की थर्मोडायनामिक और सांख्यिकीय परिभाषाओं के बीच संबंध के परिणाम के रूप में देखा जा सकता है।
एन्ट्रापी को इकाइयों में व्यक्त किया जा सकता है क, जो निम्नलिखित देता है:
ऐसी इकाइयों में, एन्ट्रापी सूचनात्मक एन्ट्रापी से बिल्कुल मेल खाती है।
विशेषता ऊर्जा के.टी.एंट्रोपी को बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा की मात्रा के बराबर है एस"एक नट पर।
अर्धचालक भौतिकी में भूमिका: थर्मल तनाव
अन्य पदार्थों के विपरीत, अर्धचालकों में तापमान पर विद्युत चालकता की प्रबल निर्भरता होती है:
जहां कारक 0 बल्कि कमजोर रूप से घातांक की तुलना में तापमान पर निर्भर करता है, ई एचालन की सक्रियता ऊर्जा है। चालन इलेक्ट्रॉनों का घनत्व भी तापमान पर घातीय रूप से निर्भर करता है। एक अर्धचालक पी-एन जंक्शन के माध्यम से वर्तमान के लिए, सक्रियण ऊर्जा के बजाय, इस पी-एन जंक्शन की विशेषता ऊर्जा को तापमान पर माना जाता है टीविद्युत क्षेत्र में इलेक्ट्रॉन की अभिलक्षणिक ऊर्जा के रूप में:
कहाँ पे क्यू- , लेकिन वी टीएक थर्मल तनाव है जो तापमान पर निर्भर करता है।
यह अनुपात बोल्ट्ज़मान नियतांक को eV∙K −1 की इकाइयों में व्यक्त करने का आधार है। कमरे के तापमान (≈ 300 के) पर, थर्मल वोल्टेज लगभग 25.85 मिलीवोल्ट 26 एमवी है।
शास्त्रीय सिद्धांत में, सूत्र का अक्सर उपयोग किया जाता है, जिसके अनुसार किसी पदार्थ में आवेश वाहकों का प्रभावी वेग वाहक गतिशीलता μ और विद्युत क्षेत्र की शक्ति के गुणनफल के बराबर होता है। एक अन्य सूत्र में, वाहक प्रवाह घनत्व प्रसार गुणांक से संबंधित है डीऔर एक वाहक एकाग्रता ढाल के साथ एन :
आइंस्टीन-स्मोलुचोव्स्की संबंध के अनुसार, प्रसार गुणांक गतिशीलता से संबंधित है:
बोल्ट्जमान स्थिरांक क Wiedemann-Franz कानून में भी शामिल है, जिसके अनुसार धातुओं में विद्युत चालकता के लिए तापीय चालकता का अनुपात तापमान के समानुपाती होता है और विद्युत आवेश के लिए बोल्ट्जमैन स्थिरांक के अनुपात का वर्ग होता है।
अन्य क्षेत्रों में आवेदन
तापमान क्षेत्रों के बीच अंतर करने के लिए जिसमें किसी पदार्थ के व्यवहार को क्वांटम या शास्त्रीय तरीकों से वर्णित किया जाता है, डेबी तापमान का उपयोग किया जाता है:
