Jokainen luonnollinen luku on Tarkkaa aihetta tutkien: luonnolliset luvut ovat mitä lukuja, esimerkkejä ja ominaisuuksia

Luonnolliset luvut ovat yksi vanhimmista matemaattisista käsitteistä.

Kaukaisessa menneisyydessä ihmiset eivät tienneet numeroita, ja kun heidän piti laskea esineitä (eläimet, kalat jne.), he tekivät sen eri tavalla kuin me nyt.

Esineiden määrää verrattiin kehon osiin, esimerkiksi käden sormiin, ja he sanoivat: "Minulla on yhtä monta pähkinää kuin on sormia kädessä."

Ajan myötä ihmiset ymmärsivät, että viidellä pähkinällä, viidellä vuohella ja viidellä jäniksellä on yhteinen omaisuus - niiden lukumäärä on viisi.

Muistaa!

Kokonaisluvut ovat numeroita, jotka alkavat 1:stä ja jotka saadaan laskettaessa esineitä.

1, 2, 3, 4, 5…

pienin luonnollinen luku — 1 .

suurin luonnollinen luku ei ole olemassa.

Laskettaessa numeroa nolla ei käytetä. Siksi nollaa ei pidetä luonnollisena lukuna.

Ihmiset oppivat kirjoittamaan numeroita paljon myöhemmin kuin laskemaan. Ensinnäkin he alkoivat edustaa yksikköä yhdellä kepillä, sitten kahdella kepillä - numerolla 2, kolmella - numerolla 3.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Sitten ilmestyi erityisiä merkkejä numeroiden osoittamiseksi - nykyaikaisten numeroiden edeltäjät. Numerot, joita käytämme numeroiden kirjoittamiseen, ovat peräisin Intiasta noin 1500 vuotta sitten. Arabit toivat ne Eurooppaan, joten niitä kutsutaan arabialaiset numerot.

Numeroita on yhteensä kymmenen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Näitä numeroita voidaan käyttää minkä tahansa luonnollisen luvun kirjoittamiseen.

Muistaa!

luonnollinen sarja on kaikkien luonnollisten lukujen sarja:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

Luonnollisessa sarjassa jokainen luku on 1:llä suurempi kuin edellinen.

Luonnollinen sarja on ääretön, siinä ei ole suurinta luonnollista lukua.

Käyttämämme laskentajärjestelmä on ns desimaalipaikka.

Desimaali, koska 10 yksikköä kustakin numerosta muodostaa 1 yksikön merkittävimästä numerosta. Positiaalinen, koska luvun arvo riippuu sen paikasta luvun merkinnässä, eli numerosta, jolla se kirjoitetaan.

Tärkeä!

Miljardia seuraavat luokat on nimetty numeroiden latinankielisten nimien mukaan. Jokainen seuraava yksikkö sisältää tuhat edellistä.

• 1 000 miljardia = 1 000 000 000 000 = 1 biljoona ("kolme" tarkoittaa latinaa "kolme")
• 1 000 biljoonaa = 1 000 000 000 000 000 = 1 kvadriljoona ("quadra" on latinaa ja tarkoittaa "neljää")
• 1 000 kvadriljoona = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 kvintiljoona ("quinta" on latinaksi "viisi")

Fyysikot ovat kuitenkin löytäneet luvun, joka ylittää kaikkien atomien (pienimpien aineen hiukkasten) määrän koko maailmankaikkeudessa.

Tällä numerolla on erityinen nimi - googol. Googol on luku, jossa on 100 nollaa.

Luonnolliset luvut ja niiden ominaisuudet

Luonnollisia lukuja käytetään elämän esineiden laskemiseen. Mikä tahansa luonnollinen luku käyttää numeroita $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$

Luonnollisten lukujen sarja, jossa jokainen seuraava luku on $1 $ suurempi kuin edellinen, muodostaa luonnollisen sarjan, joka alkaa ykkösellä (koska yksi on pienin luonnollinen luku) ja jolla ei ole suurinta arvoa, ts. loputon.

Nollaa ei pidetä luonnollisena lukuna.

Seuraavat suhteen ominaisuudet

Kaikki luonnollisten lukujen ominaisuudet ja niiden operaatiot johtuvat sekvenssirelaatioiden neljästä ominaisuudesta, jotka D. Peano muotoili $1891$:ssa:

Yksi on luonnollinen luku, joka ei seuraa mitään luonnollista lukua.

Jokaista luonnollista lukua seuraa yksi ja vain yksi luku

Jokainen luonnollinen luku paitsi $1 $ seuraa yhtä ja vain yhtä luonnollista lukua

Luonnollisten lukujen osajoukko, joka sisältää luvun $1$ ja jokaisen luvun kanssa sitä seuraavan luvun, sisältää kaikki luonnolliset luvut.

Jos luonnollisen luvun tietue koostuu yhdestä numerosta, sitä kutsutaan yksinumeroiseksi (esim. $ 2,6,9 $ jne.), jos tietue koostuu kahdesta numerosta, sitä kutsutaan kaksinumeroiseksi (esim. $ 12,18 .45 $) jne. Samoin. Kaksinumeroinen, kolminumeroinen, nelinumeroinen jne. lukuja kutsutaan matematiikassa moniarvoisiksi.

Luonnollisten lukujen yhteenlaskuominaisuus

Kommutatiivinen ominaisuus: $a+b=b+a$

Summa ei muutu, kun ehtoja järjestetään uudelleen

Assosiatiivinen ominaisuus: $a+ (b+c) =(a+b) +c$

Jos haluat lisätä kahden luvun summan numeroon, voit ensin lisätä ensimmäisen termin ja sitten tuloksena olevaan summaan toisen termin

Nollan lisääminen ei muuta numeroa, ja jos lisäät minkä tahansa luvun nollaan, saat lisätyn numeron.

vähennysominaisuudet

Ominaisuus vähentää summa luvusta $a-(b+c) =a-b-c$, jos $b+c ≤ a$

Vähentääksesi summan luvusta, voit ensin vähentää tästä luvusta ensimmäisen termin ja sitten tuloksena olevasta erotuksesta toisen termin

Ominaisuus vähentää luku summasta $(a+b) -c=a+(b-c)$, jos $c ≤ b$

Jos haluat vähentää summasta luvun, voit vähentää sen yhdestä termistä ja lisätä tuloksena olevaan erotukseen toisen termin

Jos vähennät luvusta nollan, luku ei muutu.

Jos vähennät sen itse luvusta, saat nollan

Kertolaskuominaisuudet

Siirtymä $a\cdot b=b\cdot a$

Kahden luvun tulo ei muutu, kun tekijät järjestetään uudelleen

Assosiatiivinen $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$

Jos haluat kertoa luvun kahden luvun tulolla, voit kertoa sen ensin ensimmäisellä kertoimella ja sitten kertoa tuloksena saadun tuotteen toisella kertoimella

Kun kerrotaan yhdellä, tulo ei muutu $m\cdot 1=m$

Nollalla kerrottuna tulo on nolla

Kun tulomerkinnöissä ei ole hakasulkuja, kertolasku suoritetaan järjestyksessä vasemmalta oikealle

Kertolaskuominaisuudet suhteessa yhteen- ja vähennyslaskuun

Kertolaskun jakautumisominaisuus summauksen suhteen

$(a+b)\cdot c=ac+bc$

Jos haluat kertoa summan luvulla, voit kertoa jokaisen termin tällä luvulla ja lisätä tuloksena saadut tulot

Esimerkiksi $5(x+y)=5x+5y$

Kertolaskun jakautumisominaisuus vähennyksen suhteen

$(a-b)\cdot c=ac-bc$

Jos haluat kertoa eron luvulla, kerro minuend ja vähennetty tällä luvulla ja vähennä toinen ensimmäisestä tulosta

Esimerkiksi $5(x-y)=5x-5y$

Luonnollisten lukujen vertailu

Luonnollisille luvuille $a$ ja $b$ vain yksi kolmesta suhteesta $a=b$, $a

Pienempi numero on se, joka esiintyy aiemmin luonnollisessa sarjassa, ja suurempi, joka ilmestyy myöhemmin. Nolla on pienempi kuin mikä tahansa luonnollinen luku.

Esimerkki 1

Vertaa lukuja $a$ ja $555$, jos tiedetään, että on jokin luku $b$ ja seuraavat suhteet pätevät: $a

Ratkaisu: Määritetyn ominaisuuden perusteella, koska ehdolla $a

millä tahansa luonnollisten lukujen osajoukolla, joka sisältää vähintään yhden luvun, on pienin luku

Matematiikan osajoukko on osa joukkoa. Joukon sanotaan olevan toisen osajoukon, jos jokainen osajoukon elementti on myös suuremman joukon alkio.

Usein lukujen vertailua varten he löytävät eronsa ja vertaavat sitä nollaan. Jos ero on suurempi kuin $0$, mutta ensimmäinen numero on suurempi kuin toinen, jos ero on pienempi kuin $0$, niin ensimmäinen numero on pienempi kuin toinen.

Luonnollisten lukujen pyöristys

Kun täyttä tarkkuutta ei tarvita tai se ei ole mahdollista, luvut pyöristetään, eli ne korvataan lähiluvuilla, joiden lopussa on nolla.

Luonnolliset luvut pyöristetään ylöspäin kymmeniin, satoihin, tuhansiin jne.

Kun luku pyöristetään kymmeneen, se korvataan lähimmällä luvulla, joka koostuu kokonaisista kymmenistä; tällaisessa numerossa on numero $0$ yksikköpaikassa

Kun luku pyöristetään satoihin, se korvataan lähimmällä luvulla, joka koostuu kokonaisista sadoista; tällaisessa numerossa pitäisi olla numero $0$ kymmenissä ja ykkösissä. Jne

Lukuja, joihin annettu on pyöristetty, kutsutaan luvun likimääräiseksi arvoksi määritettyjen numeroiden tarkkuudella. Jos esimerkiksi pyöristät luvun $ 564 $ kymmeniin, niin saadaan, että se voidaan pyöristää haitallisesti ja saa 560 dollaria tai ylijäämällä ja saat 570 dollaria.

Luonnollisten lukujen pyöristyssääntö

Jos sen numeron oikealla puolella, johon luku pyöristetään, on luku $5$ tai luku, joka on suurempi kuin $5$, tämän luvun numeroon lisätään $1$; muuten tämä luku jätetään ennalleen.

Kaikki sen numeron oikealla puolella olevat numerot, johon luku pyöristetään, korvataan nolilla

Kokonaisluvut- numerot, joita käytetään esineiden laskemiseen . Mikä tahansa luonnollinen luku voidaan kirjoittaa kymmenellä numerot: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Sellaista numerotietuetta kutsutaan ns. desimaali.

Kaikkien luonnollisten lukujen sarjaa kutsutaan luonnollinen vierekkäin .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

Useimmat pieni luonnollinen luku on yksi (1). Luonnollisessa sarjassa jokainen seuraava numero on 1 enemmän kuin edellinen. luonnollinen sarja loputon ei ole suurinta lukua.

Numeron merkitys riippuu sen paikasta numeromerkinnässä. Esimerkiksi numero 4 tarkoittaa: 4 yksikköä, jos se on numeromerkinnän viimeisellä paikalla (yksiköiden paikalla); 4 kymmenen, jos hän on viimeisellä sijalla (kymmenen paikalla); 4 satoja, jos se on kolmannella sijalla lopusta (v satojen paikka).

Numero 0 tarkoittaa tämän luokan yksiköiden puute luvun desimaalimuodossa. Se toimii myös merkitsemään numeroa " nolla". Tämä numero tarkoittaa "ei mitään". Jalkapallo-ottelun tulos 0:3 tarkoittaa, että ensimmäinen joukkue ei tehnyt yhtään maalia vastustajaa vastaan.

Nolla älä sisällytä luonnollisiin lukuihin. Ja todellakin tavaroiden laskenta ei koskaan aloita tyhjästä.

Jos luonnollisessa luvussa on vain yksi numero – yksi numero, niin sitä kutsutaan yksiselitteinen. Nuo. yksiselitteinenluonnollinen luku- luonnollinen luku, jonka tietue koostuu yhdestä merkistä – yksi numero. Esimerkiksi numerot 1, 6, 8 ovat yksinumeroisia.

kaksinumeroinenluonnollinen luku- luonnollinen luku, jonka tietue koostuu kahdesta merkistä - kahdesta numerosta.

Esimerkiksi luvut 12, 47, 24, 99 ovat kaksinumeroisia.

Lisäksi tietyn numeron merkkien lukumäärän mukaan nimet annetaan muille numeroille:

numerot 326, 532, 893 - kolminumeroinen;

numerot 1126, 4268, 9999 - nelinumeroinen jne.

Kaksi numeroa, kolme numeroa, neljä numeroa, viisi numeroa jne. numeroita kutsutaan moninumeroisia lukuja .

Moninumeroisten lukujen lukemista varten ne jaetaan oikealta alkaen kolminumeroisiin ryhmiin (vasemmanpuoleisin ryhmä voi koostua yhdestä tai kahdesta numerosta). Näitä ryhmiä kutsutaan luokat.

Miljoonaa on tuhat tuhatta (1000 tuhatta), se on kirjoitettu 1 miljoona tai 1 000 000.

Miljardia on 1000 miljoonaa. Se on kirjattu 1 miljardille tai 1 000 000 000:lle.

Oikealla olevat kolme ensimmäistä numeroa muodostavat yksiköiden luokan, seuraavat kolme - tuhansien luokan, sitten ovat miljoonien, miljardien jne. (Kuva 1).

Riisi. 1. Miljoonien luokka, tuhansien luokka ja yksikköluokka (vasemmalta oikealle)

Numero 15389000286 kirjoitetaan bittiruudukkoon (kuva 2).

Riisi. 2. Numeroverkko: numero 15 miljardia 389 miljoonaa 286

Tässä luvussa on 286 ykköstä yksiluokassa, nolla ykköstä tuhansien luokassa, 389 ykköstä miljoonien luokassa ja 15 ykköstä miljardien luokassa.

Kokonaisluvut meille hyvin tuttua ja luonnollista. Ja tämä ei ole yllättävää, koska tutustuminen heihin alkaa elämämme ensimmäisistä vuosista intuitiivisella tasolla.

Tämän artikkelin tiedot luovat perusymmärryksen luonnollisista luvuista, paljastavat niiden tarkoituksen, juurruttavat taitoja kirjoittaa ja lukea luonnollisia lukuja. Aineiston paremman omaksumisen varmistamiseksi annetaan tarvittavat esimerkit ja kuvat.

Sivulla navigointi.

Luonnolliset luvut ovat yleinen esitys.

Seuraava mielipide ei ole vailla tervettä logiikkaa: objektien laskentaongelman (ensimmäinen, toinen, kolmas objekti jne.) ilmeneminen ja objektien lukumäärän ilmoittamisen ongelma (yksi, kaksi, kolme objektia jne.) johti. työkalun luomiseen sen ratkaisua varten, tämä työkalu oli kokonaislukuja.

Tämä ehdotus osoittaa luonnollisten lukujen päätarkoitus- sisältää tiedot mahdollisten tuotteiden lukumäärästä tai tietyn tavaran sarjanumerosta tarkastelussa tuotesarjassa.

Jotta ihminen voisi käyttää luonnollisia lukuja, niiden on oltava jollakin tavalla saavutettavissa, sekä havainnointia että lisääntymistä varten. Jos kuulostat jokaisen luonnollisen luvun, se tulee havaittavaksi korvalla, ja jos kuvaat luonnollisen luvun, se voidaan nähdä. Nämä ovat luonnollisimpia tapoja välittää ja havaita luonnollisia lukuja.

Aloitetaan siis luonnollisten lukujen kuvaamis- (kirjoitus)- ja äänitaitojen (luku) hankkiminen, samalla kun opit niiden merkityksen.

Luonnollisen luvun desimaaliluku.

Ensinnäkin meidän pitäisi päättää, mihin rakennamme luonnollisia lukuja kirjoittaessamme.

Muistetaanpa seuraavien merkkien kuvat (näytetään pilkuilla erotettuina): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Esitetyt kuvat ovat tallenne ns numeroita. Sovitaan heti, ettemme käännä, kallista tai muuten vääristä numeroita kirjoitettaessa.

Nyt olemme samaa mieltä siitä, että vain osoitetut numerot voivat olla läsnä minkä tahansa luonnollisen luvun merkinnässä, eikä muita symboleja voi olla läsnä. Olemme myös samaa mieltä siitä, että luonnollisen luvun merkinnöissä olevat numerot ovat yhtä korkeita, ne on järjestetty riville peräkkäin (lähes ilman sisennyksiä) ja vasemmalla on numero, joka eroaa numerosta 0 .

Tässä on esimerkkejä luonnollisten lukujen oikeasta merkinnästä: 604 , 777 277 , 81 , 4 444 , 1 001 902 203, 5 , 900 000 (Huomaa: lukujen väliset sisennykset eivät aina ole samat, tästä keskustellaan lisää tarkastelun yhteydessä). Yllä olevista esimerkeistä voidaan nähdä, että luonnollinen luku ei välttämättä sisällä kaikkia numeroita 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; Jotkut tai kaikki luonnollisen luvun kirjoittamiseen liittyvät numerot voivat toistua.

merkinnät 014 , 0005 , 0 , 0209 eivät ole luonnollisten lukujen tietueita, koska vasemmalla on numero 0 .

Kutsutaan luonnollisen luvun tietue, joka suoritetaan ottaen huomioon kaikki tässä kappaleessa kuvatut vaatimukset luonnollisen luvun desimaaliluku.

Emme myöskään tee eroa luonnollisten lukujen ja niiden merkintätavan välillä. Selvennetään tätä: tekstissä edelleen lauseita, kuten "annattu luonnollinen luku 582 ", mikä tarkoittaa, että on annettu luonnollinen luku, jonka merkinnällä on muoto 582 .

Luonnolliset luvut esineiden lukumäärän merkityksessä.

On aika käsitellä kvantitatiivista merkitystä, jonka tallennettu luonnollinen luku kantaa. Luonnollisten lukujen merkitystä numerointiobjektien kannalta tarkastellaan luonnollisten lukujen artikkelivertailussa.

Aloitetaan luonnollisista luvuista, joiden syötöt ovat samat kuin numeroiden syötteet, eli numerot 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 ja 9 .

Kuvittele, että avasimme silmämme ja näimme jonkin esineen, esimerkiksi tämän. Tässä tapauksessa voimme kirjoittaa mitä näemme 1 asia. Luonnollinen luku 1 luetaan " yksi"(numeron "yksi", samoin kuin muiden numeroiden, käännös, annamme kappaleessa), numerolle 1 otti toisen nimen - " yksikkö».

Termi "yksikkö" on kuitenkin moniarvoinen luonnollisen luvun lisäksi 1 , kutsutaan joksikin, jota pidetään kokonaisuutena. Esimerkiksi mitä tahansa esinettä niiden joukosta voidaan kutsua yksiköksi. Esimerkiksi mikä tahansa omena monista omenoista on yksi, mikä tahansa lintuparvi monista lintuparvista on myös yksi ja niin edelleen.

Nyt avaamme silmämme ja näemme: Eli näemme yhden ja toisen esineen. Tässä tapauksessa voimme kirjoittaa mitä näemme 2 aihe. Luonnollinen luku 2 , lukee kuin " kaksi».

Samoin - 3 aihe (lue " kolme» aihe), - 4 (« neljä"") aiheesta, - 5 (« viisi»), - 6 (« kuusi»), - 7 (« seitsemän»), - 8 (« kahdeksan»), - 9 (« yhdeksän”) kohteita.

Joten tarkastelusta paikasta luonnolliset luvut 1 , 2 , 3 , …, 9 osoittaa määrä kohteita.

Luku, jonka merkintätapa vastaa numeron merkintää 0 , olla nimeltään " nolla". Luku nolla EI ole luonnollinen luku, mutta sitä pidetään yleensä yhdessä luonnollisten lukujen kanssa. Muista: nolla tarkoittaa jonkin puuttumista. Esimerkiksi nolla kohdetta ei ole yksittäinen kohde.

Artikkelin seuraavissa kappaleissa jatkamme luonnollisten lukujen merkityksen paljastamista määrän osoittamisessa.

yksinumeroisia luonnollisia lukuja.

Ilmeisesti jokaisen luonnollisen luvun tietue 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 koostuu yhdestä merkistä - yhdestä numerosta.

Määritelmä.

Yksinumeroiset luonnolliset luvut ovat luonnollisia lukuja, joiden tietue koostuu yhdestä merkistä - yhdestä numerosta.

Listataan kaikki yksinumeroiset luonnolliset luvut: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Yksinumeroisia luonnollisia lukuja on yhdeksän.

Kaksi- ja kolminumeroiset luonnolliset luvut.

Ensin määritellään kaksinumeroiset luonnolliset luvut.

Määritelmä.

Kaksinumeroiset luonnolliset luvut- nämä ovat luonnollisia lukuja, joiden tietue on kaksi merkkiä - kaksi numeroa (eri tai sama).

Esimerkiksi luonnollinen luku 45 - kaksinumeroiset numerot 10 , 77 , 82 myös kaksinumeroinen 5 490 , 832 , 90 037 - ei kaksinumeroinen.

Selvitetään, mitä merkitystä kaksinumeroisilla luvuilla on, samalla kun aloitamme meille jo tuntemien yksinumeroisten luonnollisten lukujen kvantitatiivisesta merkityksestä.

Ensin esitellään konsepti kymmenen.

Kuvitellaanpa tällainen tilanne - avasimme silmämme ja näimme joukon, joka koostui yhdeksästä esineestä ja yhdestä muusta esineestä. Tässä tapauksessa puhutaan 1 kymmenen (yksi tusina) kohdetta. Jos ajatellaan yhdessä yhtä kymmentä ja yhtä vielä kymmenen, niin puhutaan 2 kymmeniä (kaksi kymmeniä). Jos lisäämme vielä kymmenestä kahteen kymmeniä, meillä on kolme kymmentä. Jatkamalla tätä prosessia, saamme neljä kymmeniä, viisi kymmeniä, kuusi kymmeniä, seitsemän kymmeniä, kahdeksan kymmeniä ja lopuksi yhdeksän kymmeniä.

Nyt voimme siirtyä kaksinumeroisten luonnollisten lukujen olemukseen.

Tarkastele tätä varten kaksinumeroista lukua kahdeksi yksinumeroiseksi luvuksi - toinen on kaksinumeroisen luvun merkinnässä vasemmalla, toinen oikealla. Vasemmalla oleva numero osoittaa kymmenien lukumäärän ja oikealla oleva numero osoittaa yksiköiden määrän. Lisäksi, jos oikealla on numero kaksinumeroisen luvun tietueessa 0 , tämä tarkoittaa yksiköiden puuttumista. Tämä on kaksinumeroisten luonnollisten lukujen koko pointti summan ilmoittamisen kannalta.

Esimerkiksi kaksinumeroinen luonnollinen luku 72 vastaa 7 kymmeniä ja 2 yksiköitä (eli 72 omenat on seitsemän tusinaa omenaa ja kaksi muuta omenaa), ja numero 30 vastauksia 3 kymmeniä ja 0 ei ole yksiköitä, eli yksiköitä, jotka eivät ole yhdistetty kymmeneen.

Vastataan kysymykseen: "Kuinka monta kaksinumeroista luonnollista lukua on olemassa"? Vastaa heille 90 .

Siirrymme kolminumeroisten luonnollisten lukujen määritelmään.

Määritelmä.

Luonnolliset luvut, joiden merkintätapa koostuu 3 merkit - 3 numeroita (eri tai toistuvia) kutsutaan kolminumeroinen.

Esimerkkejä luonnollisista kolminumeroisista luvuista ovat 372 , 990 , 717 , 222 . Kokonaisluvut 7 390 , 10 011 , 987 654 321 234 567 eivät ole kolme numeroa.

Ymmärtääksemme kolminumeroisten luonnollisten lukujen merkityksen, tarvitsemme käsitteen satoja.

Kymmenen kymmenen sarja on 1 sata (sata). Sata ja sata on 2 satoja. Kaksisataa ja toinen sata on kolmesataa. Ja niin edelleen, meillä on neljäsataa, viisisataa, kuusisataa, seitsemänsataa, kahdeksansataa ja lopuksi yhdeksänsataa.

Tarkastellaan nyt kolminumeroista luonnollista lukua kolmena yksinumeroisena luonnollisena lukuna, jotka kulkevat peräkkäin oikealta vasemmalle kolminumeroisen luonnollisen luvun merkinnässä. Oikealla oleva numero ilmaisee yksiköiden määrän, seuraava numero kymmenien lukumäärän, seuraava numero satojen määrän. Numerot 0 kolminumeroisen luvun tietueessa tarkoittaa kymmenien ja (tai) ykkösten puuttumista.

Eli kolminumeroinen luonnollinen luku 812 vastaa 8 satoja 1 kymmenen parhaan ja 2 yksiköt; määrä 305 - kolmesataa 0 kymmeniä, eli kymmeniä, joita ei ole yhdistetty satoihin, ei) ja 5 yksiköt; määrä 470 - neljäsataa seitsemän kymmenen (ei ole yksikköä, joita ei ole yhdistetty kymmeniksi); määrä 500 - viisisataa (kymmeniä ei ole yhdistetty satoihin ja yksiköitä ei yhdistetty kymmeniksi, ei).

Vastaavasti voidaan määritellä nelinumeroinen, viisinumeroinen, kuusinumeroinen ja niin edelleen. luonnolliset luvut.

Moniarvoiset luonnolliset luvut.

Joten siirrymme moniarvoisten luonnollisten lukujen määritelmään.

Määritelmä.

Moniarvoiset luonnolliset luvut- nämä ovat luonnollisia lukuja, joiden tietue koostuu kahdesta tai kolmesta tai neljästä jne. merkkejä. Toisin sanoen moninumeroiset luonnolliset luvut ovat kaksinumeroisia, kolminumeroisia, nelinumeroisia jne. numeroita.

Sanotaan heti, että kymmenestä sadosta koostuva joukko on tuhat, tuhat tuhatta on miljoona, tuhat miljoonaa on yksi miljardi, tuhat miljardia on yksi triljoona. Tuhat biljoonaa, tuhatta biljoonaa ja niin edelleen voidaan myös antaa omat nimensä, mutta sille ei ole erityistä tarvetta.

Joten mikä on moniarvoisten luonnollisten lukujen merkitys?

Tarkastellaan moninumeroista luonnollista lukua yksinumeroisina luonnollisina lukuina, jotka seuraavat peräkkäin oikealta vasemmalle. Oikealla oleva numero ilmaisee yksiköiden määrän, seuraava numero on kymmenien lukumäärä, seuraava on satojen lukumäärä, seuraava on tuhansien lukumäärä, seuraava on kymmenien tuhansien lukumäärä, seuraava on satoja tuhansista seuraava on miljoonien lukumäärä, seuraava on kymmenien miljoonien lukumäärä, seuraava on satojen miljoonien lukumäärä, seuraava - miljardien lukumäärä, sitten - kymmenien miljardien lukumäärä, sitten - satojen miljardien määrä , sitten - biljoonia, sitten - kymmeniä biljoonia, sitten - satoja biljoonia ja niin edelleen.

Esimerkiksi moninumeroinen luonnollinen luku 7 580 521 vastaa 1 yksikkö, 2 kymmeniä, 5 satoja 0 tuhansia 8 kymmeniä tuhansia 5 satoja tuhansia ja 7 miljoonia.

Siten opimme ryhmittelemään yksiköitä kymmeniin, kymmeniä satoihin, satoja tuhansiin, tuhansia kymmeniin tuhansiin ja niin edelleen ja huomasimme, että moninumeroisen luonnollisen luvun tietueessa olevat luvut osoittavat vastaavan luvun ryhmien yläpuolella.

Luonnollisten lukujen, luokkien lukeminen.

Olemme jo maininneet, kuinka yksinumeroisia luonnollisia lukuja luetaan. Opitaan ulkoa seuraavien taulukoiden sisältö.

Ja miten muut kaksinumeroiset luvut luetaan?

Selitetäänpä esimerkillä. Luonnollisen luvun lukeminen 74 . Kuten yllä havaitsimme, tämä numero vastaa 7 kymmeniä ja 4 yksiköitä, eli 70 ja 4 . Siirrymme juuri kirjoitettuihin taulukoihin ja numeroihin 74 luemme seuraavasti: "Seitsemänkymmentäneljä" (emme lausu liittoa "ja"). Jos haluat lukea numeron 74 lauseessa: "Ei 74 omenat" (genitiivi), silloin se kuulostaa tältä: "Ei ole seitsemänkymmentäneljä omenaa." Toinen esimerkki. Määrä 88 - se 80 ja 8 siksi luemme: "Kahdeksankymmentäkahdeksan." Ja tässä on esimerkki lauseesta: "Hän ajattelee kahdeksankymmentäkahdeksaa ruplaa."

Siirrytään kolminumeroisten luonnollisten lukujen lukemiseen.

Tätä varten meidän on opittava vielä muutama uusi sana.

Jäljelle jää näyttää, kuinka loput kolminumeroiset luonnolliset luvut luetaan. Tässä tapauksessa käytämme jo hankittuja taitoja yksi- ja kaksinumeroisten lukujen lukemiseen.

Otetaan esimerkki. Luetaan numero 107 . Tämä numero vastaa 1 sata ja 7 yksiköitä, eli 100 ja 7 . Kääntyessämme pöytiin luemme: "Sata seitsemän." Sanotaan nyt numero 217 . Tämä numero on 200 ja 17 Siksi luemme: "Kaksisataa seitsemäntoista." Samoin 888 - se 800 (kahdeksasataa) ja 88 (kahdeksankymmentäkahdeksan), luemme: "Kahdeksasataa kahdeksankymmentäkahdeksan."

Siirrymme lukemaan moninumeroisia lukuja.

Lukemista varten moninumeroisen luonnollisen luvun tietue jaetaan oikealta alkaen kolminumeroisiin ryhmiin, kun taas vasemmanpuoleisessa ryhmässä voi olla joko 1 , tai 2 , tai 3 numeroita. Näitä ryhmiä kutsutaan luokat. Oikealla olevaa luokkaa kutsutaan yksikköluokka. Seuraava luokka (oikealta vasemmalle) kutsutaan tuhansien luokka, seuraava luokka on miljoonien luokka, Seuraava - miljardien luokka, sitten menee biljoonaa luokkaa. Voit antaa seuraavien luokkien nimet, mutta luonnollisia lukuja, joiden tietue koostuu 16 , 17 , 18 jne. merkkejä ei yleensä lueta, koska niitä on erittäin vaikea havaita korvalla.

Katso esimerkkejä moninumeroisten lukujen jakamisesta luokkiin (selvyyden vuoksi luokat on erotettu toisistaan ​​pienellä sisennyksellä): 489 002 , 10 000 501 , 1 789 090 221 214 .

Laitetaan tallennetut luonnolliset luvut taulukkoon, jonka mukaan niitä on helppo opetella lukemaan.

Luonnollisen luvun lukemiseksi soitetaan vasemmalta oikealle sen muodostavia numeroita luokittain ja lisätään luokan nimi. Samaan aikaan emme lausu yksikköluokan nimeä ja ohitamme myös ne luokat, jotka muodostavat kolme numeroa 0 . Jos luokan tietueessa on numero vasemmalla 0 tai kaksi numeroa 0 , jätä sitten nämä numerot huomioimatta 0 ja lue numero, joka on saatu hylkäämällä nämä numerot 0 . Esimerkiksi, 002 luetaan "kaksi" ja 025 - kuten "kaksikymmentäviisi".

Luetaan numero 489 002 annettujen sääntöjen mukaan.

Luimme vasemmalta oikealle,

• lue numero 489 , joka edustaa tuhansien luokkaa, on "neljasataakahdeksankymmentäyhdeksän";
• lisää luokan nimi, saamme "neljasataa kahdeksankymmentäyhdeksän tuhatta";
• pidemmälle näkemämme yksiköiden luokassa 002 , nollat ​​ovat vasemmalla, joten jätämme ne huomiotta 002 luetaan "kaksi";
• yksikköluokan nimeä ei tarvitse lisätä;
• seurauksena meillä on 489 002 - neljäsataa kahdeksankymmentäyhdeksän tuhatta kaksi.

Aloitetaan numeron lukeminen 10 000 501 .

• Vasemmalla miljoonien luokassa näemme numeron 10 , luemme "kymmenen";
• lisää luokan nimi, meillä on "kymmentä miljoonaa";
• seuraavaksi näemme levyn 000 tuhansien luokassa, koska kaikki kolme numeroa ovat numeroita 0 , sitten ohitamme tämän luokan ja siirrymme seuraavaan;
• yksikköluokka edustaa numeroa 501 , jonka luemme "viisisataa ja yksi";
• täten, 10 000 501 kymmenen miljoonaa viisisataa yksi.

Tehdään se ilman tarkempia selityksiä: 1 789 090 221 214 - "triljoona seitsemänsataa kahdeksankymmentäyhdeksän miljardia yhdeksänkymmentä miljoonaa kaksisataa kaksikymmentäyksituhatta kaksisataa neljätoista."

Joten moninumeroisten luonnollisten lukujen lukutaidon perusta on kyky jakaa moninumeroiset luvut luokkiin, luokkanimien tuntemus ja kyky lukea kolminumeroisia lukuja.

Luonnollisen luvun numerot, numeron arvo.

Luonnollista lukua kirjoitettaessa kunkin numeron arvo riippuu sen sijainnista. Esimerkiksi luonnollinen luku 539 vastaa 5 satoja 3 kymmeniä ja 9 yksikköä, joten kuva 5 numeromerkinnässä 539 määrittää satojen määrän, numeron 3 on kymmenien lukumäärä ja numero 9 - yksiköiden lukumäärä. Sanotaan, että numero 9 seisoo sisään yksiköiden numero ja numero 9 on yksikön numeroarvo, numero 3 seisoo sisään kymmenien paikka ja numero 3 on kymmenien paikkaarvo, ja numero 5 - v satojen paikka ja numero 5 on satojen paikka-arvo.

Tällä tavalla, purkaa- tämä on toisaalta luvun paikka luonnollisen luvun merkinnässä ja toisaalta tämän numeron arvo, joka määräytyy sen sijainnin perusteella.

Riveille on annettu nimet. Jos katsot luonnollisen luvun tietueen numeroita oikealta vasemmalle, seuraavat numerot vastaavat niitä: yksiköt, kymmenet, sadat, tuhannet, kymmenet tuhannet, sadat tuhannet, miljoonat, kymmenet miljoonat ja pian.

Luokkien nimet on helppo muistaa, kun ne esitetään taulukon muodossa. Kirjoitetaan taulukko, joka sisältää 15 numeron nimet.

Huomaa, että tietyn luonnollisen luvun numeroiden määrä on yhtä suuri kuin tämän luvun kirjoittamiseen käytettyjen merkkien lukumäärä. Näin ollen tallennettu taulukko sisältää kaikkien luonnollisten lukujen numeroiden nimet, joiden tietue sisältää enintään 15 merkkiä. Myös seuraavilla numeroilla on omat nimensä, mutta niitä käytetään hyvin harvoin, joten niiden mainitseminen on turhaa.

Numerotaulukon avulla on kätevää määrittää tietyn luonnollisen luvun numerot. Tätä varten sinun on kirjoitettava tämä luonnollinen luku tähän taulukkoon siten, että jokaisessa numerossa on yksi numero ja oikeanpuoleisin numero on yksikkönumerossa.

Otetaan esimerkki. Kirjoitetaan luonnollinen luku 67 922 003 942 taulukossa, ja numerot ja näiden numeroiden arvot tulevat selvästi näkyviin.

Tämän numeron tietueessa numero 2 seisoo yksiköissä paikka, numero 4 - kymmenissä, numero 9 - sadoissa jne. Kiinnitä huomiota numeroihin 0 , jotka ovat kymmenien tuhansien ja satojen tuhansien luvuissa. Numerot 0 näissä numeroissa tarkoittaa näiden numeroiden yksiköiden puuttumista.

On myös mainittava moniarvoisen luonnollisen luvun ns. alin (pienin) ja korkein (korkein) kategoria. Alempi (juniori) arvo mikä tahansa moniarvoinen luonnollinen luku on yksikkönumero. Luonnollisen luvun suurin (korkein) numero on numero, joka vastaa tämän luvun tietueen oikeanpuoleista numeroa. Esimerkiksi luonnollisen luvun 23004 pienin merkitsevä numero on yksikkönumero ja suurin numero on kymmenientuhansien numero. Jos luonnollisen luvun merkinnöissä liikutaan numeroilla vasemmalta oikealle, niin jokainen seuraava numero alempi (nuorempi) edellinen. Esimerkiksi tuhansien luku on pienempi kuin kymmenien tuhansien luku, erityisesti tuhansien luku on pienempi kuin satojen tuhansien, miljoonien, kymmenien miljoonien jne. Jos luonnollisen luvun merkinnöissä siirrytään numeroissa oikealta vasemmalle, niin jokainen seuraava numero korkeampi (vanhempi) edellinen. Esimerkiksi sadan numero on vanhempi kuin kymmenluku, ja vielä enemmän, se on vanhempi kuin ykkösnumero.

Joissakin tapauksissa (esimerkiksi yhteen- tai vähennyslaskua suoritettaessa) ei käytetä itse luonnollista lukua, vaan tämän luonnollisen luvun bittitermien summaa.

Lyhyesti desimaalilukujärjestelmästä.

Joten tutustuimme luonnollisiin lukuihin, niiden luontaiseen merkitykseen ja tapaan kirjoittaa luonnollisia lukuja kymmenellä numerolla.

Yleensä kutsutaan tapaa kirjoittaa numeroita merkkejä käyttäen numerojärjestelmä. Numeromerkinnän numeron arvo voi riippua sen sijainnista tai ei. Kutsutaan lukujärjestelmiä, joissa numeromerkinnän numeron arvo riippuu sen sijainnista paikallinen.

Näin ollen tarkastelemamme luonnolliset luvut ja niiden kirjoitustapa osoittavat, että käytämme paikkalukujärjestelmää. On huomattava, että tässä numerojärjestelmässä erityinen paikka on numero 10 . Pisteet todellakin pidetään kymmenissä: kymmenen yksikköä yhdistetään kymmeneen, kymmenen kymmenen yksikköä sataan, kymmenen sataa tuhanneksi ja niin edelleen. Määrä 10 olla nimeltään perusta annettu numerojärjestelmä, ja itse numerojärjestelmää kutsutaan desimaali.

Desimaalilukujärjestelmän lisäksi on muitakin, esimerkiksi tietojenkäsittelytieteessä käytetään binääristä paikkalukujärjestelmää, ja ajan mittaamisessa kohtaamme seksagesimaalijärjestelmän.

Bibliografia.

• Matematiikka. Kaikki oppikirjat 5 oppilaitoksen luokalle.

Määritelmä

Luonnollisia lukuja kutsutaan numeroiksi, jotka on tarkoitettu esineiden laskemiseen. Luonnollisten lukujen kirjaamiseen käytetään 10 arabialaista numeroa (0–9), jotka muodostavat matemaattisissa laskelmissa yleisesti hyväksytyn desimaalilukujärjestelmän perustan.

Luonnollisten lukujen sarja

Luonnolliset luvut muodostavat sarjan, joka alkaa numerosta 1 ja kattaa kaikki positiiviset kokonaisluvut. Tällainen sarja koostuu luvuista 1,2,3, ... . Tämä tarkoittaa, että luonnollisessa sarjassa:

1. On pienin luku ja ei suurinta.
2. Jokainen seuraava luku on 1:llä suurempi kuin edellinen (poikkeus on itse yksikkö).
3. Kun luvut menevät äärettömään, ne kasvavat loputtomasti.

Joskus luonnollisten lukujen sarjaan lisätään myös 0. Tämä on sallittua, ja sitten puhutaan laajennettu luonnollinen sarja.

Luonnollisten lukujen luokat

Jokainen luonnollisen luvun numero ilmaisee tietyn numeron. Viimeinen on aina yksiköiden lukumäärä luvussa, sitä edeltävä on kymmenien lukumäärä, kolmas lopusta on satojen lukumäärä, neljäs on tuhansien lukumäärä ja niin edelleen.

• numerossa 276: 2 sataa, 7 kymmeniä, 6 yksikköä
• numerossa 1098: 1 tuhat, 9 kymmeniä, 8 ykköstä; sadan paikka puuttuu tästä, koska se ilmaistaan ​​nollana.

Suurilla ja erittäin suurilla luvuilla voit nähdä tasaisen trendin (jos tarkastelet numeroa oikealta vasemmalle, eli viimeisestä numerosta ensimmäiseen):

• luvun kolme viimeistä numeroa ovat yksiköitä, kymmeniä ja satoja;
• kolme edellistä ovat yksiköitä, kymmeniä ja satoja tuhansia;
• niiden edessä olevat kolme (eli luvun 7., 8. ja 9. numero, lopusta laskettuna) ovat yksiköitä, kymmeniä ja satoja miljoonia jne.

Toisin sanoen joka kerta kun käsittelemme kolmea numeroa, jotka tarkoittavat yksiköitä, kymmeniä ja satoja suurempaa nimeä. Tällaiset ryhmät muodostavat luokkia. Ja jos joudut käsittelemään kolmea ensimmäistä luokkaa jokapäiväisessä elämässä useammin tai harvemmin, niin muut tulisi luetella, koska kaikki eivät muista nimeään ulkoa.

• 4. luokkaa, joka seuraa miljoonien luokkaa ja edustaa 10-12-numeroisia lukuja, kutsutaan miljardiksi (tai miljardiksi);
• 5. luokka - biljoona;
• 6. luokka - kvadriljoona;
• 7. luokka - kvintiljoona;
• 8. luokka - sextillion;
• 9. luokka - septiljoona.

Luonnollisten lukujen yhteenlasku

Luonnollisten lukujen yhteenlasku on aritmeettinen operaatio, jonka avulla voit saada luvun, joka sisältää niin monta yksikköä kuin on yhteenlasketuissa luvuissa.

Lisäyksen merkki on "+"-merkki. Lisättyjä lukuja kutsutaan termeiksi, tulosta kutsutaan summaksi.

Pienet numerot lasketaan yhteen (summataan) suullisesti, kirjallisesti tällaiset toimet kirjoitetaan riville.

Moninumeroiset luvut, joita on vaikea lisätä mielessä, lisätään yleensä sarakkeeseen. Tätä varten luvut kirjoitetaan toistensa alle, kohdistetaan viimeiseen numeroon, eli ne kirjoittavat yksiköiden numeron yksikkönumeron alle, sadat numerot satojen numeron alle ja niin edelleen. Seuraavaksi sinun on lisättävä numerot pareittain. Jos numeroiden lisääminen tapahtuu siirtymällä kymmeneen, tämä kymmenen kiinnitetään yksiköksi vasemmalla olevan numeron yläpuolelle (eli sen jälkeen) ja lisätään yhteen tämän numeron numeroiden kanssa.

Jos sarakkeeseen ei lisätä 2, vaan useampia numeroita, niin luokan numeroita summattaessa ei 1 tusinaa, vaan useita voi olla tarpeeton. Tässä tapauksessa tällaisten kymmenien lukumäärä siirretään seuraavaan numeroon.

Luonnollisten lukujen vähentäminen

Vähennys on aritmeettinen operaatio, summauksen käänteinen, joka tiivistyy siihen tosiasiaan, että summan ja yhden ehdon perusteella sinun on löydettävä toinen - tuntematon termi. Lukua, josta vähennetään, kutsutaan minuendiksi; luku, josta vähennetään, on aliosa. Vähennyksen tulosta kutsutaan erotukseksi. Vähennyksen toimintoa ilmaiseva merkki on "-".

Yhteenlaskuun siirtymisessä aliosa ja erotus muuttuvat termeiksi ja pelkistetty summaksi. Summa yleensä tarkistaa suoritetun vähennyksen oikeellisuuden ja päinvastoin.

Tässä 74 on minuutti, 18 on aliosa, 56 on ero.

Luonnollisten lukujen vähentämisen edellytys on seuraava: minuutin on välttämättä oltava suurempi kuin miinusluku. Vain tässä tapauksessa tuloksena oleva ero on myös luonnollinen luku. Jos vähennystoiminto suoritetaan laajennetulle luonnolliselle sarjalle, on sallittua, että minuutti on yhtä suuri kuin vähennysosa. Ja vähennyksen tulos on tässä tapauksessa 0.

Huomaa: jos vähennysosa on nolla, vähennystoiminto ei muuta minuendin arvoa.

Moninumeroisten lukujen vähennys tehdään yleensä sarakkeessa. Kirjoita numerot muistiin samalla tavalla kuin summaus. Vähennys suoritetaan vastaaville numeroille. Jos käy ilmi, että minuendi on pienempi kuin aliosa, niin edellisestä (vasemmalla olevasta) numerosta otetaan yksi, joka siirron jälkeen luonnollisesti muuttuu 10:ksi. Tämä kymmenen summataan pienennetyn numeron kanssa. annettu numero ja sitten vähennetty. Lisäksi, kun vähennetään seuraavaa numeroa, on otettava huomioon, että vähennetystä on tullut 1 vähemmän.

Luonnollisten lukujen tulo

Luonnollisten lukujen tulo (tai kertolasku) on aritmeettinen operaatio, joka etsii mielivaltaisen määrän identtisiä termejä. Tallenna kertolaskuoperaatio käyttämällä merkkiä "·" (joskus "×" tai "*"). Esimerkki: 3 5=15.

Kertolasku on välttämätön, kun on tarpeen lisätä suuri määrä termejä. Esimerkiksi, jos sinun on lisättävä luku 4 7 kertaa, niin 4:n kertominen 7:llä on helpompaa kuin tämä yhteenlasku: 4+4+4+4+4+4+4.

Kerrottuja lukuja kutsutaan tekijöiksi, kertolaskun tulos on tulo. Näin ollen termi "työ" voi kontekstista riippuen ilmaista sekä kertolaskuprosessin että sen tuloksen.

Moninumeroiset luvut kerrotaan sarakkeessa. Tämä luku kirjoitetaan samalla tavalla kuin yhteen- ja vähennyslasku. On suositeltavaa kirjoittaa ensin (yläpuolelle), kumpi kahdesta numerosta on pidempi. Tässä tapauksessa kertolaskuprosessi on yksinkertaisempi ja siksi järkevämpi.

Kun kerrotaan sarakkeessa, toisen luvun jokaisen numeron numerot kerrotaan peräkkäin ensimmäisen luvun numeroilla sen lopusta alkaen. Löytettyään ensimmäisen sellaisen teoksen he kirjoittavat muistiin yksiköiden lukumäärän ja pitävät mielessä kymmenien lukumäärän. Kun 2. luvun numero kerrotaan 1. luvun seuraavalla numerolla, tuotteeseen lisätään muistissa oleva luku. Ja taas he kirjoittavat muistiin saadun tuloksen yksiköiden lukumäärän ja muistavat kymmenien lukumäärän. Kun kerrotaan ensimmäisen luvun viimeisellä numerolla, tällä tavalla saatu luku kirjoitetaan kokonaan ylös.

Toisen luvun 2. numeron numeroiden kertomisen tulokset kirjoitetaan toiselle riville siirtämällä sitä 1 solun oikealle. Jne. Tämän seurauksena saadaan "tikkaat". Kaikki tuloksena olevat numerorivit tulee lisätä (sarakkeen yhteenlaskusäännön mukaisesti). Tyhjät solut on katsottava täytetyiksi nolilla. Tuloksena oleva summa on lopputuote.

Merkintä

1. Minkä tahansa luonnollisen luvun tulo 1:llä (tai 1:llä luvulla) on yhtä suuri kuin itse luku. Esimerkki: 376 1=376; 1 86 = 86.
2. Kun yksi tekijöistä tai molemmat tekijät ovat yhtä kuin 0, tulo on yhtä suuri kuin 0. Esimerkiksi: 32·0=0; 0 845 = 845; 0 0 = 0.

Luonnollisten lukujen jako

Jakoa kutsutaan aritmeettiseksi operaatioksi, jonka avulla tunnetun tuotteen ja yhden tekijän mukaan voidaan löytää toinen - tuntematon - tekijä. Jako on kertolaskujen käänteisluku, ja sitä käytetään tarkistamaan, onko kertolasku suoritettu oikein (ja päinvastoin).

Lukua, jota jaetaan, kutsutaan jaettavaksi; luku, jolla se jaetaan, on jakaja; jaon tulosta kutsutaan osamääräksi. Jakomerkki on ":" (joskus, harvemmin - "÷").

Tässä 48 on osinko, 6 on jakaja ja 8 on osamäärä.

Kaikkia luonnollisia lukuja ei voida jakaa keskenään. Tässä tapauksessa jako suoritetaan jäännöksellä. Se koostuu siitä, että jakajalle valitaan sellainen tekijä, että sen tulo jakamalla on luku, joka on arvoltaan mahdollisimman lähellä osinkoa, mutta pienempi kuin se. Jakaja kerrotaan tällä kertoimella ja vähennetään osingosta. Ero on jaon loppuosa. Jakajan tuloa kertoimella kutsutaan epätäydelliseksi osamääräksi. Huomio: jäännösosan on oltava pienempi kuin valittu kerroin! Jos jäännös on suurempi, tämä tarkoittaa, että kerroin on valittu väärin, ja sitä tulisi lisätä.

Valitsemme kertoimen 7:lle. Tässä tapauksessa tämä luku on 5. Löydämme epätäydellisen osamäärän: 7 5 \u003d 35. Laske jäännös: 38-35=3. Vuodesta 3<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).

Moninumeroiset luvut on jaettu sarakkeeseen. Tätä varten osinko ja jakaja kirjoitetaan vierekkäin erottamalla jakaja pysty- ja vaakaviivalla. Osingossa valitaan ensimmäinen numero tai muutamat ensimmäiset numerot (oikealla), joiden tulee olla luku, joka riittää jaettavaksi jakajalla (eli tämän luvun on oltava suurempi kuin jakaja). Tälle numerolle valitaan epätäydellinen osamäärä, kuten on kuvattu jäännöksellä jakosäännössä. Osaosamäärän löytämiseen käytetyn kertoimen numero kirjoitetaan jakajan alle. Epätäydellinen osamäärä kirjoitetaan jaetun luvun alle, tasataan oikealle. Löydä niiden ero. Osingon seuraava numero puretaan kirjoittamalla se tämän eron viereen. Tuloksena olevalle luvulle löydetään jälleen epätäydellinen osamäärä kirjoittamalla valitun tekijän luku edellisen viereen jakajan alle. Jne. Tällaisia ​​toimia suoritetaan, kunnes osingon numerot loppuvat. Tämän jälkeen jako katsotaan suoritetuksi. Jos osinko ja jakaja jaetaan kokonaan (ilman jäännöstä), niin viimeinen erotus antaa nollan. Muussa tapauksessa loput numerot palautetaan.

Eksponentointi

Eksponenttioiminen on matemaattinen operaatio, joka koostuu mielivaltaisen määrän identtisiä lukuja kertomisesta. Esimerkiksi: 2 2 2 2.

Tällaiset ilmaisut kirjoitetaan seuraavasti: x,

missä a on itsellään kerrottu luku x on tällaisten tekijöiden lukumäärä.

Luonnolliset alkuluvut ja yhdistelmäluvut

Mikä tahansa luonnollinen luku, paitsi 1, voidaan jakaa vähintään kahdella luvulla - yhdellä ja itsellään. Tämän kriteerin perusteella luonnolliset luvut jaetaan alkulukuihin ja yhdistelmälukuihin.

Alkuluvut ovat lukuja, jotka ovat jaollisia vain 1:llä ja itsellään. Lukuja, jotka ovat jaollisia useammalla kuin näillä kahdella luvulla, kutsutaan yhdistelmäluvuiksi. Yksikkö, joka on jaollinen yksinään itsestään, ei ole alkuluku eikä yhdiste.

Numerot ovat alkulukuja: 2,3,5,7,11,13,17,19 jne. Esimerkkejä yhdistelmäluvuista: 4 (jaollinen luvulla 1,2,4), 6 (jaollinen luvulla 1,2,3,6), 20 (jaollinen luvuilla 1,2,4,5,10,20).

Mikä tahansa yhdistelmäluku voidaan jakaa alkutekijöiksi. Tässä tapauksessa alkutekijöiden ymmärretään olevan sen jakajia, jotka ovat alkulukuja.

Esimerkki tekijöiden jakamisesta ensisijaisiksi tekijöiksi:

Luonnollisten lukujen jakajat

Jakaja on luku, jolla tietty luku voidaan jakaa ilman jäännöstä.

Tämän määritelmän mukaan yksinkertaisissa luonnollisissa luvuissa on 2 jakajaa, yhdistelmäluvuissa enemmän kuin 2 jakajaa.

Monilla luvuilla on yhteiset jakajat. Yhteinen jakaja on luku, jolla annetut luvut ovat jaollisia ilman jäännöstä.

• Numeroilla 12 ja 15 on yhteinen jakaja 3
• Numeroilla 20 ja 30 on yhteiset jakajat 2,5,10

Erityisen tärkeä on suurin yhteinen jakaja (GCD). Tämä luku on erityisesti hyödyllinen, jotta voidaan löytää murto-osien pelkistämistä varten. Sen löytämiseksi on hajotettava annetut luvut alkutekijöiksi ja esitettävä se niiden yhteisten alkutekijöiden tulona, ​​otettuna niiden pienimmällä potenssilla.

On löydettävä numeroiden 36 ja 48 GCD.

Luonnollisten lukujen jaollisuus

Ei läheskään aina ole mahdollista "silmällä" määrittää, onko yksi luku jaollinen toisella ilman jäännöstä. Tällaisissa tapauksissa on hyödyllinen vastaava jakotesti, eli sääntö, jonka avulla voit muutamassa sekunnissa määrittää, onko lukujen jakaminen mahdollista ilman jäännöstä. Merkkiä "" käytetään osoittamaan jaettavuutta.

Pienin yleinen monikerta

Tämä arvo (merkitty LCM) on pienin luku, joka on jaollinen kullakin annetuista arvoista. LCM löytyy mielivaltaiselle luonnollisten lukujen joukolle.

LCM:llä, kuten GCD:llä, on merkittävä sovellettu merkitys. Joten LCM on löydettävä vähentämällä tavalliset murtoluvut yhteiseksi nimittäjäksi.

LCM määritetään kertomalla annetut luvut alkutekijöiksi. Sen muodostamiseksi otetaan tulo, joka koostuu kustakin esiintyvästä (vähintään 1 luvun) alkutekijästä, joka on edustettuna maksimiasteessa.

On löydettävä lukujen 14 ja 24 LCM.

Keskiverto

Satunnaisen (mutta äärellisen) luonnollisten lukujen aritmeettinen keskiarvo on kaikkien näiden lukujen summa jaettuna termien lukumäärällä:

Aritmeettinen keskiarvo on jokin lukujoukon keskiarvo.

Numerot 2,84,53,176,17,28 on annettu. Niiden aritmeettinen keskiarvo on löydettävä.