Plan lekcije Trigonometrijske funkcije i njihovi grafovi. Izrada nastavnog plana časa "Trigonometrijske funkcije, njihova svojstva i grafovi" na temu

1. Razvoj kognitivnog interesa za učenje.
2. Upotreba matematičkog modeliranja kao načina za aktiviranje analitičkog mišljenja.
3. Formiranje praktičnih vještina konstruisanja grafova funkcija na osnovu proučavanog teorijskog materijala.

1. Iskoristiti postojeći potencijal znanja o svojstvima funkcija u specifičnim situacijama.
2. Budite u stanju da odbranite svoje gledište.
3. Primijeniti svjesne veze između analitičkih i geometrijskih modela trigonometrijskih funkcija.

Napredak lekcije.

1. Organizacioni momenat.

2. “Ulazak u lekciju.”

Na tabli su napisane 3 izjave:

1) Trigonometrijske jednačine sin x = a, cos x = a, tan x = a, cot x = a uvijek imaju rješenja.

2) Graf trigonometrijske funkcije y = f(-x) može se dobiti iz grafa funkcije y = f(x) samo koristeći transformaciju simetrije oko ose Oy.

3) Graf harmonijskih oscilacija može se konstruisati koristeći jedan glavni polutalas.

Učenici diskutuju u parovima: da li su tvrdnje tačne? (1 minuta). Rezultati početne rasprave (da, ne) se zatim unose u tabelu u koloni „Prije“.

Nastavnik postavlja ciljeve i zadatke časa.

3. Oralne vježbe (frontalne ).

1) Provjerite pripadaju li tačke grafovima funkcija:

y = sin x tačka sa koordinatama

y = cos x tačka sa koordinatama.

2) Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije:

y = sin x na segmentu

y = cos x na poluintervalu

y = tan x na poluintervalu

3) Riješite jednačine: cos x = 0, tan x = -1, sin x = 2.

4) Da li je broj 15? period funkcija: y = sin x, y = cos x, y = tan x?

Navedite glavni period ovih funkcija.

5) Koristeći slike 14-17 na stranici 38 knjige zadataka, kreirajte analitičke modele funkcija koristeći grafove.

4. Zagrijavanje (samostalno, uz provjeru na dasci).

br. 216(b). Riješite grafički jednačinu sin x + cos x = 0.

5. Praktični rad br.1(rad na pripremljenim modelima u 4 grupe, grupe se sastavljaju prema stepenu pripremljenosti učenika).

1 grupa. br. 210 (g). Koliko rješenja ima sistem jednačina?

2. grupa. br. 183 (b). Riješite grafički jednačinu sin x = x 2 + 1.

3. grupa. br. 209 (c). Riješite jednačinu grafički

4 grupa. Koliko rješenja ima jednačina sin 2x = tan x na segmentu

(Provjera i diskusija o izgledima).

Praktični rad br. 2 (samostalni rad na papirima, 4 opcije, zadaci se sastavljaju prema stepenu pripremljenosti učenika).

Grafikujte funkciju:

7. Generalizacija i sumiranje.

br. 194 (b,c). Izgradite i pročitajte graf funkcije y = f(x), gdje je

8. Sažetak lekcije. Vraćamo se na iskaze (početak lekcije), raspravljamo o korištenju svojstava trigonometrijskih funkcija i popunjavamo kolonu “Nakon” u tabeli.

Lekcije 25-26. Funkcije y = tg x, y = ctg x, njihova svojstva i grafovi

Cilj: razmotriti grafove i svojstva funkcija y = tg x, y = ctg x.

I. Prenošenje teme i svrhe lekcija

II. Ponavljanje i konsolidacija obrađenog gradiva

1. Odgovori na pitanja o domaćem zadatku (analiza neriješenih problema).

2. Praćenje usvajanja gradiva (pisana anketa).

Opcija I

2. Grafikujte funkciju:

Opcija 2

1. Kako grafički prikazati funkciju:

2. Grafikujte funkciju:

III. Učenje novog gradiva

Razmotrimo dvije preostale trigonometrijske funkcije - tangentu i kotangens.

1. Funkcija y = tan x

Pogledajmo grafove tangentnih i kotangensnih funkcija. Prvo, razgovarajmo o konstrukciji grafa funkcije y = tg x na intervalu Ova konstrukcija je slična konstrukciji grafa funkcije y = grijeh x opisano ranije. U ovom slučaju, vrijednost tangentne funkcije u točki nalazi se pomoću tangentne linije (vidi sliku).

Uzimajući u obzir periodičnost tangentne funkcije, njen graf u cijelom domenu definicije dobijamo paralelnim translacijama duž ose apscise (desno i lijevo) već izgrađenog grafa za π, 2π itd. tangentna funkcija se naziva tangentoid.

Predstavimo glavna svojstva funkcije y = tg x:

1. Domen definicije - skup svih realnih brojeva, sa izuzetkom brojeva oblika

y(x

3. Funkcija se povećava na intervalima formegdje je k ∈ Z.

4. Funkcija nije ograničena.

6. Funkcija je kontinuirana.

8. Funkcija je periodična sa najmanjim pozitivnim periodom T = π, tj. y(x + n k) = y(x).

9. Graf funkcije ima vertikalne asimptote

Primjer 1

Postavimo da li je funkcija parna ili neparna:

Lako je provjeriti da je za funkcije a, b domen definicije simetričan skup. Ispitajmo ove funkcije na parnost ili neparnost. Da bismo to učinili, pronađemo y(-x) i uporedimo vrijednosti y(x) i y(-x).

a) Dobijamo: Pošto je jednakost zadovoljena y(-x ) = y(x), tada je funkcija y(x) parna po definiciji.

b) Imamo:

Pošto je jednakost zadovoljena y(-x ) = -y(x), tada je funkcija y(x) neparna po definiciji.

c) Područje definicije ove funkcije je asimetričan skup. Na primjer, funkcija je definirana u tački x = π/4 i nije definirana u simetričnoj tački x = -π/4. Stoga ova funkcija nema određeni paritet.

Primjer 2

Nađimo glavni period funkcije

Ova funkcija y(x) je algebarski zbir tri trigonometrijske funkcije čiji su periodi jednaki: T 1 = 2π, Zapišimo ove brojeve kao razlomke sa istim nazivnicimaNajmanji zajednički višekratnik LCM koeficijenata (6; 2; 3). Dakle, glavni period ove funkcije

Primjer 3

Nacrtajmo funkciju

Uzmimo u obzir pravila za transformaciju grafova funkcija. U skladu s njima, graf funkcijese dobija pomeranjem grafa funkcije y = tg x za π/4 jedinice udesno duž ose apscise i rastezanjem za 2 puta duž ordinatne ose.

Primjer 4

Nacrtajmo funkciju

Koristeći definiciju i svojstva modula, proširit ćemo znakove modula u argumentu funkcije razmatranjem tri slučaja. Ako je x< 0, то имеем: Za 0 ≤ x ≤ π /4 imamo: Za x > π /4 imamo: Zatim ostaje da se konstruišu tri dela ovog grafa. Na x< 0 строим прямую у = -1. Для 0 ≤ x ≤ π /4 izgraditi tangentuOvaj graf se dobija pomeranjem grafika funkcije y = tg x za π/8 udesno duž x-ose i dvostruko kompresovani duž ove ose. Za x > π/4 konstruisati pravu liniju y = 1.

2. Funkcija y = ctg x

Slično grafu funkcije y = tg x ili koristeći formulu redukcijekonstruiše se graf funkcije y = ctg x .

Nabrojimo glavna svojstva funkcije y = ctg x :

1. Domen definicije - skup svih realnih brojeva, sa izuzetkom brojeva oblika x = n k, k ∈ Z.

2. Funkcija je neparna (tj. y(-x) = - y(x )), a njegov graf je simetričan u odnosu na ishodište.

3. Funkcija se smanjuje na intervalima oblika (n k ; p + p k), k ∈ Z.

4. Funkcija nije ograničena.

5. Funkcija nema najmanju i najveću vrijednost.

6. Funkcija je kontinuirana.

7. Raspon vrijednosti E(y) = (-∞; +∞).

8. Funkcija je periodična sa najmanjim pozitivnim periodom T = n, tj. y(x + n k) = y(x).

9. Graf funkcije ima vertikalne asimptote x = n k.

Primjer 5

Nađimo domenu definicije i raspon vrijednosti funkcije

Očigledno, domen definicije funkcije y(x ) poklapa se sa domenom definicije funkcije z = ctg x, tj. domen definicije je skup svih realnih brojeva, osim brojeva oblika x = nk, k ∈ Z.

Funkcija y (x) kompleks. Stoga ga pišemo u oblikuKoordinate vrha parabole y(z): zB = 1 i y in = 2 - 4 + 5 = 3. Tada je raspon vrijednosti ove funkcije E(y) = )