Koji je lik u osnovi pravilne četvorougaone piramide? Piramida

Prilikom rješavanja Zadatka C2 primjenom koordinatnog metoda mnogi učenici se suočavaju sa istim problemom. Ne mogu da izračunaju koordinate tačaka uključeno u formulu skalarnog proizvoda. Najveće poteškoće se javljaju piramide. A ako se bazne tačke smatraju manje-više normalnim, onda su vrhovi pravi pakao.

Danas ćemo raditi na pravilnoj četvorougaonoj piramidi. Tu je i trouglasta piramida (tzv. tetraedar). Ovo je složeniji dizajn, pa će mu biti posvećena posebna lekcija.

Prvo, sjetimo se definicije:

Pravilna piramida je ona koja:

1. Osnova je pravilan poligon: trokut, kvadrat, itd.;
2. Visina povučena do baze prolazi kroz njeno središte.

Konkretno, osnova četvorougaone piramide je kvadrat. Baš kao Keops, samo malo manji.

Ispod su proračuni za piramidu u kojoj su sve ivice jednake 1. Ako to nije slučaj u vašem zadatku, proračuni se ne mijenjaju - samo će brojevi biti drugačiji.

Vrhovi četvorougaone piramide

Dakle, neka je dana pravilna četvorougaona piramida SABCD, gde je S vrh, a osnova ABCD kvadrat. Sve ivice su jednake 1. Potrebno je uneti koordinatni sistem i pronaći koordinate svih tačaka. Imamo:

Uvodimo koordinatni sistem sa ishodištem u tački A:

1. Osa OX je usmjerena paralelno sa ivicom AB;
2. OY osa je paralelna sa AD. Pošto je ABCD kvadrat, AB ⊥ AD;
3. Konačno, usmjeravamo OZ os prema gore, okomito na ravan ABCD.

Sada izračunavamo koordinate. Dodatna konstrukcija: SH - visina povučena do osnove. Radi praktičnosti, bazu piramide ćemo postaviti u poseban crtež. Pošto tačke A, B, C i D leže u ravni OXY, njihova koordinata je z = 0. Imamo:

1. A = (0; 0; 0) - poklapa se sa ishodištem;
2. B = (1; 0; 0) - korak za 1 duž ose OX od početka;
3. C = (1; 1; 0) - korak za 1 duž ose OX i za 1 duž ose OY;
4. D = (0; 1; 0) - korak samo duž ose OY.
5. H = (0,5; 0,5; 0) - centar kvadrata, sredina segmenta AC.

Ostaje pronaći koordinate tačke S. Imajte na umu da su x i y koordinate tačaka S i H iste, budući da leže na pravoj paralelnoj sa OZ osi. Ostaje pronaći z koordinatu za tačku S.

Razmotrimo trouglove ASH i ABH:

1. AS = AB = 1 po uslovu;
2. Ugao AHS = AHB = 90°, pošto je SH visina, a AH ⊥ HB kao dijagonale kvadrata;
3. Strana AH je uobičajena.

Dakle, pravougli trouglovi ASH i ABH jednaka po jedan krak i po jedna hipotenuza. To znači SH = BH = 0,5 BD. Ali BD je dijagonala kvadrata sa stranicom 1. Stoga imamo:

Ukupne koordinate tačke S:

U zaključku, zapisujemo koordinate svih vrhova pravilne pravokutne piramide:

Šta učiniti kada su rebra drugačija

Šta ako bočne ivice piramide nisu jednake ivicama baze? U ovom slučaju, razmotrite trokut AHS:

trokut AHS - pravougaona, a hipotenuza AS je također bočna ivica originalne piramide SABCD. Nog AH se lako izračunava: AH = 0,5 AC. Pronaći ćemo preostalu nogu SH prema Pitagorinoj teoremi. Ovo će biti z koordinata za tačku S.

Zadatak. Zadata je pravilna četvorougaona piramida SABCD, u čijem dnu leži kvadrat sa stranicom 1. Bočna ivica BS = 3. Odredite koordinate tačke S.

Već znamo koordinate x i y ove tačke: x = y = 0,5. To proizilazi iz dvije činjenice:

1. Projekcija tačke S na ravan OXY je tačka H;
2. Istovremeno, tačka H je centar kvadrata ABCD, čije su sve strane jednake 1.

Ostaje pronaći koordinate tačke S. Uzmimo u obzir trougao AHS. Pravougaona je, sa hipotenuzom AS = BS = 3, krak AH je polovina dijagonale. Za dalje izračune potrebna nam je njegova dužina:

Pitagorina teorema za trougao AHS: AH 2 + SH 2 = AS 2. Imamo:

Dakle, koordinate tačke S:

Kada osoba čuje riječ "piramida", odmah se sjeti veličanstvenih egipatskih građevina. Međutim, drevni kameni divovi samo su jedan od predstavnika klase piramida. U ovom članku ćemo sa geometrijske tačke gledišta razmotriti svojstva pravilne četverokutne piramide.

Šta je uopšte piramida?

U geometriji se podrazumijeva kao trodimenzionalna figura, koja se može dobiti povezivanjem svih vrhova ravnog poligona sa jednom tačkom koja leži u drugoj ravni od ovog poligona. Slika ispod prikazuje 4 oblika koji zadovoljavaju ovu definiciju.

Vidimo da prva figura ima trokutastu osnovu, druga - četverouglastu. Posljednja dva su predstavljena pentagonalnom i heksagonalnom bazom. Međutim, bočnu površinu svih piramida čine trokuti. Njihov broj je tačno jednak broju stranica ili vrhova poligona u osnovi.

Posebna vrsta piramide, koja se razlikuje od ostalih predstavnika klase po svojoj idealnoj simetriji, je pravilna piramida. Da bi cifra bila tačna, moraju biti ispunjena sljedeća dva preduslova:

• baza mora imati pravilan poligon;
• bočna površina figure treba da se sastoji od jednakih jednakokračnih trokuta.

Imajte na umu da se drugi obavezni uslov može zamijeniti drugim: okomita povučena na bazu sa vrha piramide (tačka presjeka bočnih trouglova) mora presjeći ovu bazu u njenom geometrijskom centru.

Pređimo sada na temu članka i razmotrimo koja svojstva pravilne četverokutne piramide karakteriziraju. Prvo, pokažimo na slici kako ova figura izgleda.

Njegova osnova je kvadrat. Stranice predstavljaju 4 identična jednakokračna trougla (mogu biti i jednakostranična u određenom omjeru dužine stranice kvadrata i visine figure). Visina spuštena sa vrha piramide će preseći kvadrat u njegovom centru (tačka preseka dijagonala).

Ova piramida ima 5 lica (kvadrat i četiri trokuta), 5 vrhova (od kojih četiri pripadaju bazi) i 8 ivica. četvrti red, prolazeći kroz visinu piramide, pretvara je u sebe rotirajući za 90o.

Egipatske piramide u Gizi su pravilne četvorougaone.

Četiri osnovna linearna parametra

Počnimo naše razmatranje matematičkih svojstava pravilne četvorougaone piramide sa formulama za visinu, dužinu stranice osnove, bočnu ivicu i apotemu. Recimo odmah da su sve ove veličine povezane jedna s drugom, pa je dovoljno znati samo dvije od njih da bi se preostale dvije nedvosmisleno izračunale.

Pretpostavimo da su visina h piramide i dužina a stranice kvadratne osnove poznate, tada će bočni rub b biti jednak:

b = √(a 2 / 2 + h 2)

Sada dajemo formulu za dužinu a b apoteme (visina trokuta, spuštena na stranu baze):

a b = √(a 2 / 4 + h 2)

Očigledno, bočna ivica b je uvijek veća od apoteme a b.

Oba izraza se mogu koristiti za određivanje sve četiri linearne karakteristike ako su poznata druga dva parametra, na primjer a b i h.

Površina i zapremina figure

Ovo su još dva važna svojstva pravilne četvorougaone piramide. Osnova figure ima sljedeću površinu:

Svaki školarac zna ovu formulu. Površina bočne površine, koju čine četiri identična trokuta, može se odrediti preko apoteme a b piramide na sljedeći način:

Ako je a b nepoznat, onda se može odrediti pomoću formula iz prethodnog stava kroz visinu h ili rub b.

Ukupna površina figure koja se razmatra je zbir površina S o i S b:

S = S o + S b = a 2 + 2 × a × a b = a (a + 2 × a b)

Izračunata površina svih strana piramide prikazana je na donjoj slici u obliku njenog razvoja.

Opis svojstava pravilne četvorougaone piramide neće biti potpun bez razmatranja formule za određivanje njenog volumena. Ova vrijednost za dotičnu piramidu se izračunava na sljedeći način:

To jest, V je jednako trećem dijelu proizvoda visine figure i površine njegove baze.

Svojstva pravilne skraćene četvorougaone piramide

Ovu cifru možete dobiti iz originalne piramide. Da biste to učinili, trebate odrezati vrh piramide ravninom. Figura koja ostane ispod presečene ravni će se zvati skraćena piramida.

Najpogodnije je proučavati karakteristike krnje piramide ako su njene baze paralelne jedna s drugom. U ovom slučaju, donja i gornja baza će biti slični poligoni. Kako je u četverougaonoj pravilnoj piramidi osnova kvadrat, presjek koji se formira tokom rezanja također će predstavljati kvadrat, ali manje veličine.

Bočna površina skraćene figure nije formirana od trokuta, već od jednakokračnih trapeza.

Jedno od važnih svojstava ove piramide je njen volumen koji se izračunava po formuli:

V = 1/3 × h × (S o1 + S o2 + √(S o1 × S o2))

Ovdje je h razmak između osnova figure, S o1, S o2 su površine donje i gornje osnove.

Ovaj video vodič će pomoći korisnicima da steknu ideju o temi Piramida. Ispravna piramida. U ovoj lekciji ćemo se upoznati sa pojmom piramide i dati mu definiciju. Hajde da razmotrimo šta je pravilna piramida i koja svojstva ima. Zatim dokazujemo teoremu o bočnoj površini pravilne piramide.

U ovoj lekciji ćemo se upoznati sa pojmom piramide i dati mu definiciju.

Razmislite o poligonu A 1 A 2...A n, koja leži u α ravni, i tačku P, koji ne leži u α ravni (slika 1). Hajde da povežemo tačke P sa vrhovima A 1, A 2, A 3, … A n. Dobijamo n trokuti: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R i tako dalje.

Definicija. Poliedar RA 1 A 2 ...A n, sastavljen od n-kvadrat A 1 A 2...A n I n trouglovi RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 se zove n-piramida uglja. Rice. 1.

Rice. 1

Zamislite četverokutnu piramidu PABCD(Sl. 2).

R- vrh piramide.

A B C D- osnova piramide.

RA- bočno rebro.

AB- osnovno rebro.

Sa tačke gledišta R hajde da ispustimo okomicu RN na osnovnu ravan A B C D. Nacrtana okomica je visina piramide.

Rice. 2

Kompletna površina piramide sastoji se od bočne površine, odnosno površine svih bočnih površina i površine osnove:

S puni = S strana + S glavni

Piramida se naziva ispravnom ako:

• njegova osnova je pravilan poligon;
• segment koji povezuje vrh piramide sa središtem baze je njena visina.

Objašnjenje na primjeru pravilne četverokutne piramide

Zamislite pravilnu četvorougaonu piramidu PABCD(Sl. 3).

R- vrh piramide. Osnova piramide A B C D- pravilan četvorougao, odnosno kvadrat. Dot O, tačka presjeka dijagonala, je centar kvadrata. znači, RO je visina piramide.

Rice. 3

Objašnjenje: u ispravnom n U trokutu, centar upisane kružnice i centar opisane kružnice poklapaju se. Ovaj centar se naziva središte poligona. Ponekad kažu da je vrh projektovan u centar.

Visina bočne strane pravilne piramide povučena iz njenog vrha naziva se apothem i određen je h a.

1. sve bočne ivice pravilne piramide su jednake;

2. Bočne strane su jednaki jednakokraki trouglovi.

Dokaz ovih svojstava ćemo dati na primjeru pravilne četverokutne piramide.

Dato: PABCD- pravilne četvorougaone piramide,

A B C D- kvadrat,

RO- visina piramide.

Dokazati:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Vidi sl. 4.

Rice. 4

Dokaz.

RO- visina piramide. To jest, pravo RO okomito na ravan ABC, a samim tim i direktni JSC, VO, SO I DO ležeći u njemu. Dakle, trouglovi ROA, ROV, ROS, ROD- pravougaona.

Zamislite kvadrat A B C D. Iz svojstava kvadrata slijedi da AO = VO = CO = DO.

Zatim pravokutni trouglovi ROA, ROV, ROS, ROD nogu RO- general i noge JSC, VO, SO I DO su jednaki, što znači da su ti trouglovi jednaki na dvije strane. Iz jednakosti trouglova slijedi jednakost segmenata, RA = PB = RS = PD. Tačka 1 je dokazana.

Segmenti AB I Ned su jednake jer su stranice istog kvadrata, RA = PB = RS. Dakle, trouglovi AVR I VSR - jednakokraki i jednaki sa tri strane.

Na sličan način nalazimo te trouglove ABP, VCP, CDP, DAP su jednakokraki i jednaki, kao što je potrebno dokazati u stavu 2.

Bočna površina pravilne piramide jednaka je polovini umnoška opsega osnove i apoteme:

Da bismo to dokazali, izaberimo pravilnu trouglastu piramidu.

Dato: RAVS- pravilna trouglasta piramida.

AB = BC = AC.

RO- visina.

Dokazati: . Vidi sl. 5.

Rice. 5

Dokaz.

RAVS- pravilna trouglasta piramida. To je AB= AC = BC. Neka O- centar trougla ABC, Onda RO je visina piramide. U osnovi piramide leži jednakostranični trokut ABC. primeti, to .

Trouglovi RAV, RVS, RSA- jednaki jednakokraki trouglovi (po svojstvu). Trouglasta piramida ima tri bočne strane: RAV, RVS, RSA. To znači da je površina bočne površine piramide:

S strana = 3S RAW

Teorema je dokazana.

Poluprečnik kružnice upisane u podnožje pravilne četvorougaone piramide je 3 m, visina piramide je 4 m. Nađite površinu bočne površine piramide.

Dato: pravilna četvorougaona piramida A B C D,

A B C D- kvadrat,

r= 3 m,

RO- visina piramide,

RO= 4 m.

Nađi: S strana. Vidi sl. 6.

Rice. 6

Rješenje.

Prema dokazanoj teoremi, .

Hajde da prvo pronađemo stranu baze AB. Znamo da je poluprečnik kružnice upisane u podnožje pravilne četvorougaone piramide 3 m.

Zatim, m.

Pronađite obim kvadrata A B C D sa stranicom od 6 m:

Zamislite trougao BCD. Neka M- sredina strane DC. Jer O- srednji BD, To (m).

Trougao DPC- jednakokraki. M- srednji DC. To je, RM- medijana, a time i visina u trouglu DPC. Onda RM- apotema piramide.

RO- visina piramide. Onda, pravo RO okomito na ravan ABC, a samim tim i direktni OM, ležeći u njemu. Nađimo apotemu RM iz pravouglog trougla ROM.

Sada možemo pronaći bočnu površinu piramide:

Odgovori Površina: 60 m2.

Poluprečnik kružnice opisane oko osnove pravilne trouglaste piramide jednak je m Bočna površina je 18 m 2. Pronađite dužinu apoteme.

Dato: ABCP- pravilne trouglaste piramide,

AB = BC = SA,

R= m,

S strana = 18 m2.

Nađi: . Vidi sl. 7.

Rice. 7

Rješenje.

U pravouglu ABC dat je poluprečnik opisane kružnice. Hajde da nađemo stranu AB ovaj trokut koristeći teoremu sinusa.

Poznavajući stranu pravilnog trougla (m), nalazimo njegov perimetar.

Prema teoremi o bočnoj površini pravilne piramide, gdje je h a- apotema piramide. onda:

Odgovori: 4 m.

Dakle, pogledali smo šta je piramida, šta je pravilna piramida i dokazali smo teoremu o bočnoj površini pravilne piramide. U sljedećoj lekciji ćemo se upoznati sa skraćenom piramidom.

Bibliografija

1. Geometrija. 10-11 razred: udžbenik za učenike opšteobrazovnih ustanova (osnovni i specijalizovani nivoi) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. izdanje, rev. i dodatne - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr.
2. Geometrija. 10-11 razred: Udžbenik za opšteobrazovne ustanove / Sharygin I.F. - M.: Drfa, 1999. - 208 str.: ilustr.
3. Geometrija. 10. razred: Udžbenik za opšteobrazovne ustanove sa dubljim i specijalizovanim proučavanjem matematike /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. izd., stereotip. - M.: Drfa, 008. - 233 str.: ilustr.

1. Internet portal "Yaklass" ()
2. Internet portal “Festival pedagoških ideja “Prvi septembar” ()
3. Internet portal “Slideshare.net” ()

Zadaća

1. Može li pravilan mnogokut biti osnova nepravilne piramide?
2. Dokazati da su disjunktne ivice pravilne piramide okomite.
3. Nađite vrijednost ugla diedara na strani osnove pravilne četverougaone piramide ako je apotema piramide jednaka strani njene osnove.
4. RAVS- pravilna trouglasta piramida. Konstruirajte linearni ugao diedarskog ugla u osnovi piramide.

Ovdje možete pronaći osnovne informacije o piramidama i srodnim formulama i konceptima. Svi se oni izučavaju sa mentorom matematike u pripremi za Jedinstveni državni ispit.

Zamislite ravan, poligon , koja leži u njemu i tačka S, a ne leži u njoj. Povežimo S sa svim vrhovima poligona. Rezultirajući poliedar naziva se piramida. Segmenti se nazivaju bočna rebra. Poligon se naziva baza, a tačka S je vrh piramide. U zavisnosti od broja n, piramida se naziva trokutasta (n=3), četvorougaona (n=4), petougaona (n=5) i tako dalje. Alternativni naziv za trouglastu piramidu je tetraedar. Visina piramide je okomica koja se spušta od njenog vrha do ravni osnove.

Piramida se naziva pravilnom ako pravilan poligon, a osnova visine piramide (osnova okomice) je njeno središte.

Komentar nastavnika:
Nemojte brkati koncepte “pravilne piramide” i “pravilnog tetraedra”. U pravilnoj piramidi, bočne ivice nisu nužno jednake ivicama baze, ali u pravilnom tetraedru svih 6 ivica je jednako. Ovo je njegova definicija. Lako je dokazati da jednakost implicira da se centar P poligona poklapa sa visinom osnove, tako da je pravilan tetraedar pravilna piramida.

Šta je apotema?
Apotema piramide je visina njene bočne strane. Ako je piramida pravilna, onda su svi njeni apotemi jednaki. Obrnuto nije tačno.

Nastavnik matematike o svojoj terminologiji: 80% rada s piramidama izgrađeno je kroz dvije vrste trokuta:
1) Sadrži apotemu SK i visinu SP
2) Sadrži bočnu ivicu SA i njenu projekciju PA

Da bi se pojednostavile reference na ove trouglove, zgodnije je da nastavnik matematike nazove prvi od njih apothemic, i drugo costal. Nažalost, ovu terminologiju nećete naći ni u jednom udžbeniku, a nastavnik je mora uvesti jednostrano.

Formula zapremine piramide:
1) , gdje je površina osnove piramide, a visina piramide
2) , gdje je polumjer upisane sfere, a površina ukupne površine piramide.
3) , gdje je MN udaljenost između bilo koja dva ruba koja se ukrštaju, i površina paralelograma formiranog sredinama četiri preostale ivice.

Svojstvo osnove visine piramide:

Tačka P (vidi sliku) poklapa se sa središtem upisane kružnice u podnožju piramide ako je ispunjen jedan od sljedećih uslova:
1) Sve apoteme su jednake
2) Sve bočne strane su podjednako nagnute prema bazi
3) Sve apoteme su podjednako nagnute prema visini piramide
4) Visina piramide je podjednako nagnuta prema svim bočnim stranama

Komentar nastavnika matematike: Imajte na umu da su sve tačke ujedinjene jednim zajedničkim svojstvom: na ovaj ili onaj način, bočne strane su svuda uključene (apoteme su njihovi elementi). Stoga nastavnik može ponuditi manje preciznu, ali pogodniju za učenje formulaciju: tačka P se poklapa sa centrom upisane kružnice, osnovom piramide, ako postoje jednake informacije o njenim bočnim stranama. Da bismo to dokazali, dovoljno je pokazati da su svi trouglovi apotema jednaki.

Tačka P poklapa se sa središtem kruga opisanog blizu osnove piramide ako je jedan od tri uslova tačan:
1) Sve bočne ivice su jednake
2) Sva bočna rebra su podjednako nagnuta prema bazi
3) Sva bočna rebra su podjednako nagnuta prema visini

Važne napomene!
1. Ako vidite gobbledygook umjesto formula, obrišite keš memoriju. Kako to učiniti u vašem pretraživaču piše ovdje:
2. Prije nego počnete čitati članak, obratite pažnju na naš navigator za najkorisnije resurse za

Šta je piramida?

Kako ona izgleda?

Vidite: na dnu piramide (kažu “ u bazi") neki poligon, a svi vrhovi ovog poligona su povezani sa nekom tačkom u prostoru (ova tačka se zove " vertex»).

Cijela ova struktura još uvijek postoji bočne strane, bočna rebra I bazna rebra. Još jednom, nacrtajmo piramidu zajedno sa svim ovim imenima:

Neke piramide mogu izgledati vrlo čudno, ali one su i dalje piramide.

Ovdje je, na primjer, potpuno "koso" piramida.

I još malo o nazivima: ako je u podnožju piramide trokut, onda se piramida zove trokutna, ako je četverokut, onda je četverokut, a ako je petougao, onda... pogodite sami .

U isto vrijeme, tačka gdje je pao visina, zvao visina osnove. Imajte na umu da u "krivim" piramidama visina može čak završiti izvan piramide. Volim ovo:

I u tome nema ništa loše. Izgleda kao tupougao.

Ispravna piramida.

Mnogo komplikovanih reči? Hajde da dešifrujemo: "U osnovi - tačno" - to je razumljivo. Sada zapamtite da pravilan poligon ima centar - tačka koja je centar i , i .

Pa, riječi "vrh je projektovan u centar baze" znače da osnova visine pada tačno u centar baze. Pogledajte kako izgleda glatko i slatko pravilne piramide.

Hexagonal: u osnovi je pravilan šestougao, vrh je projektovan u centar baze.

Quadrangular: osnova je kvadrat, vrh je projektovan na tačku preseka dijagonala ovog kvadrata.

Triangular: u osnovi je pravilan trougao, vrh je projektovan na tačku preseka visina (one su i medijane i simetrale) ovog trougla.

Veoma važna svojstva pravilne piramide:

U desnoj piramidi

• sve bočne ivice su jednake.
• sve bočne strane su jednakokraki trouglovi i svi ti trokuti su jednaki.

Volumen piramide

Glavna formula za volumen piramide:

Odakle je to tačno došlo? Ovo nije tako jednostavno i u početku samo trebate zapamtiti da piramida i konus imaju volumen u formuli, ali cilindar ne.

Sada izračunajmo zapreminu najpopularnijih piramida.

Neka je stranica osnove jednaka, a bočna ivica jednaka. Moramo pronaći i.

Ovo je površina pravilnog trougla.

Prisjetimo se kako tražiti ovo područje. Koristimo formulu površine:

Za nas je “ ” ovo, a “ ” je također ovo, eh.

Sad hajde da ga nađemo.

Prema Pitagorinoj teoremi za

Koja je razlika? Ovo je radijus kruga u jer piramidaispravan a samim tim i centar.

Pošto - i tačka preseka medijana.

(Pitagorina teorema za)

Zamijenimo ga u formulu za.

I zamijenimo sve u formulu volumena:

pažnja: ako imate pravilan tetraedar (tj.), onda formula ispada ovako:

Neka je stranica osnove jednaka, a bočna ivica jednaka.

Nema potrebe tražiti ovdje; Na kraju krajeva, baza je kvadrat, i stoga.

Naći ćemo ga. Prema Pitagorinoj teoremi za

Da li znamo? Skoro. pogledajte:

(vidjeli smo to gledajući).

Zamijenite u formulu za:

A sada zamjenjujemo i u formulu volumena.

Neka je stranica osnove jednaka i bočna ivica.

Kako pronaći? Gledajte, šestougao se sastoji od tačno šest identičnih pravilnih trouglova. Već smo tražili površinu pravilnog trokuta kada smo izračunali volumen pravilne trokutaste piramide, ovdje koristimo formulu koju smo pronašli.

Sada hajde da pronađemo (to).

Prema Pitagorinoj teoremi za

Ali kakve to veze ima? Jednostavno je jer je (i svi ostali) u pravu.

Zamenimo:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PIRAMIDA. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA

Piramida je poliedar koji se sastoji od bilo kojeg ravnog mnogougla (), tačke koja ne leži u ravni osnove (vrh piramide) i svih segmenata koji povezuju vrh piramide sa tačkama osnove (bočnim ivicama).

Okomita pala sa vrha piramide na ravan osnove.

Ispravna piramida- piramida u kojoj u osnovi leži pravilan poligon, a vrh piramide je projektovan u centar osnove.

Svojstvo pravilne piramide:

• U pravilnoj piramidi, sve bočne ivice su jednake.
• Sve bočne strane su jednakokraki trokuti i svi ti trokuti su jednaki.

Volumen piramide:

Pa, tema je gotova. Ako čitate ove redove, to znači da ste jako cool.

Zato što je samo 5% ljudi sposobno nešto samostalno savladati. A ako pročitate do kraja, onda ste u ovih 5%!

Sada najvažnija stvar.

Razumjeli ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, ovo... ovo je jednostavno super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što ovo možda nije dovoljno...

Za što?

Za uspješno položen Jedinstveni državni ispit, za upis na fakultet na budžetu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću vas ni u šta ubeđivati, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su stekli dobro obrazovanje zarađuju mnogo više od onih koji ga nisu stekli. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavna stvar je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što se pred njima otvara još mnogo mogućnosti i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Šta je potrebno da biste bili sigurni da ćete biti bolji od drugih na Jedinstvenom državnom ispitu i na kraju biti... sretniji?

STVARITE SE RJEŠAVANJEM PROBLEMA NA OVU TEMU.

Od vas se neće tražiti teorija tokom ispita.

Trebaće ti rješavati probleme protiv vremena.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu grešku ili jednostavno nećete imati vremena.

To je kao u sportu - morate to ponoviti mnogo puta da biste sigurno pobijedili.

Pronađite kolekciju gde god želite, obavezno sa rješenjima, detaljnom analizom i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (opciono) i mi ih, naravno, preporučujemo.

Da biste bolje koristili naše zadatke, morate pomoći da produžite život YouClever udžbenika koji trenutno čitate.

Kako? Postoje dvije opcije:

1. Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku -
2. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - Kupite udžbenik - 499 RUR

Da, u našem udžbeniku imamo 99 takvih članaka i pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima može se otvoriti odmah.

Pristup svim skrivenim zadacima je omogućen za CIJELI vijek trajanja stranice.

U zakljucku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati na teoriji.

“Razumijem” i “Mogu riješiti” su potpuno različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!