Kako riješiti nejednakosti? Kako riješiti razlomke i kvadratne nejednakosti? Metoda intervala: rješavanje najjednostavnijih strogih nejednačina.

rješenje nejednakosti u modu online rješenje skoro svaku datu nejednakost online. Matematički nejednakosti na mreži da rešavam matematiku. Pronađite brzo rješenje nejednakosti u modu online. Web stranica www.site vam omogućava da pronađete rješenje skoro svaki dat algebarski, trigonometrijski ili transcendentalna nejednakost na mreži. Kada proučavate gotovo bilo koju granu matematike u različitim fazama, morate odlučiti nejednakosti na mreži. Da biste odmah dobili odgovor, i što je najvažnije tačan odgovor, potreban vam je resurs koji vam to omogućava. Hvala sajtu www.site rješavanje nejednakosti na mreži trajat će nekoliko minuta. Glavna prednost www.site kod rješavanja matematičkih nejednakosti na mreži- ovo je brzina i tačnost pruženog odgovora. Stranica je u stanju riješiti bilo koje algebarske nejednakosti na mreži, trigonometrijske nejednakosti na mreži, transcendentalne nejednakosti na mreži, i nejednakosti sa nepoznatim parametrima u modu online. Nejednakosti služe kao moćan matematički aparat rješenja praktični problemi. Uz pomoć matematičke nejednakosti moguće je izraziti činjenice i odnose koji na prvi pogled mogu izgledati zbunjujuće i složene. Nepoznate količine nejednakosti može se naći formulisanjem problema u matematički jezik u formi nejednakosti I odlučiti primljen zadatak u modu online na web stranici www.site. Bilo koji algebarska nejednakost, trigonometrijske nejednakosti ili nejednakosti koji sadrži transcendentalno funkcije koje možete lako odlučiti online i dobiti tačan odgovor. Kada studirate prirodne nauke, neminovno se susrećete sa potrebom rješenja nejednakosti. U ovom slučaju, odgovor mora biti tačan i mora se dobiti odmah u režimu online. Stoga za rješavati matematičke nejednakosti na mreži preporučujemo stranicu www.site, koja će postati vaš nezamjenjiv kalkulator rješavanje algebarskih nejednakosti online, trigonometrijske nejednakosti na mreži, i transcendentalne nejednakosti na mreži ili nejednakosti sa nepoznatim parametrima. Za praktične probleme pronalaženja online rješenja za razna matematičke nejednakosti resurs www.. Rješavanje nejednakosti na mreži sami, korisno je provjeriti primljeni odgovor koristeći online rješenje nejednakosti na web stranici www.site. Morate ispravno napisati nejednakost i odmah dobiti online rješenje, nakon čega ostaje samo da uporedite odgovor sa svojim rješenjem nejednakosti. Provjera odgovora neće trajati više od jedne minute, to je dovoljno rješavanje nejednakosti na mreži i uporedi odgovore. Ovo će vam pomoći da izbjegnete greške u odluka i ispraviti odgovor na vrijeme kada rješavanje nejednakosti na mreži bilo algebarski, trigonometrijski, transcendentalno ili nejednakost sa nepoznatim parametrima.

Jedna od tema koja od učenika zahtijeva maksimalnu pažnju i istrajnost je rješavanje nejednakosti. Tako slične jednadžbi, a u isto vrijeme vrlo različite od njih. Jer njihovo rješavanje zahtijeva poseban pristup.

Svojstva koja će biti potrebna za pronalaženje odgovora

Svi oni se koriste za zamjenu postojećeg unosa s ekvivalentnim. Većina njih je slična onome što je bilo u jednadžbi. Ali postoje i razlike.

• Funkcija koja je definirana u ODZ-u, ili bilo koji broj, može se dodati na obje strane izvorne nejednakosti.
• Isto tako, množenje je moguće, ali samo pozitivnom funkcijom ili brojem.
• Ako se ova radnja izvodi s negativnom funkcijom ili brojem, tada se znak nejednakosti mora zamijeniti suprotnim.
• Funkcije koje nisu negativne mogu se podići na pozitivnu potenciju.

Ponekad je rješavanje nejednakosti popraćeno radnjama koje daju strane odgovore. Treba ih eliminisati upoređivanjem DL domena i skupa rješenja.

Koristeći metodu intervala

Njegova suština je da se nejednakost svede na jednadžbu u kojoj se na desnoj strani nalazi nula.

1. Odredite područje u kojem se nalaze dozvoljene vrijednosti varijabli, odnosno VA.
2. Transformirajte nejednakost pomoću matematičkih operacija tako da desna strana ima nulu.
3. Zamijenite znak nejednakosti sa “=” i riješite odgovarajuću jednačinu.
4. Na numeričkoj osi označite sve odgovore koji su dobijeni tokom rješavanja, kao i OD intervale. U slučaju stroge nejednakosti, tačke se moraju nacrtati kao probušene. Ako postoji znak jednakosti, onda ih treba prefarbati.
5. Odrediti predznak izvorne funkcije na svakom intervalu dobivenom iz tačaka ODZ-a i odgovora koji ga dijele. Ako se predznak funkcije ne mijenja pri prolasku kroz tačku, onda je uključen u odgovor. U suprotnom je isključeno.
6. Granične tačke za ODZ potrebno je dodatno provjeriti i tek onda uključiti ili ne uključiti u odgovor.
7. Rezultirajući odgovor mora biti napisan u obliku kombinovanih skupova.

Malo o dvostrukim nejednakostima

Koriste dva znaka nejednakosti odjednom. To jest, neka funkcija je ograničena uslovima dva puta odjednom. Takve nejednakosti se rješavaju kao sistem dvojke, kada se original podijeli na dijelove. A u metodi intervala navedeni su odgovori iz rješavanja obje jednačine.

Da biste ih riješili, također je dozvoljeno koristiti gore navedena svojstva. Uz njihovu pomoć, zgodno je smanjiti nejednakost na nulu.

Šta je sa nejednačinama koje imaju modul?

U ovom slučaju, rješenje nejednačina koristi sljedeća svojstva, a ona vrijede za pozitivnu vrijednost “a”.

Ako "x" poprimi algebarski izraz, tada su važeće sljedeće zamjene:

• |x|< a на -a < х < a;
• |x| > a do x< -a или х >a.

Ako nejednakosti nisu stroge, onda su i formule tačne, samo što se u njima, pored znaka većeg ili manjeg, pojavljuje i “=”.

Kako se rješava sistem nejednakosti?

Ovo znanje će biti potrebno u slučajevima kada je takav zadatak zadan ili postoji zapis o dvostrukoj nejednakosti ili se modul pojavljuje u zapisu. U takvoj situaciji rješenje će biti vrijednosti varijabli koje bi zadovoljile sve nejednakosti u zapisu. Ako takvih brojeva nema, onda sistem nema rješenja.

Plan po kome se sprovodi rešavanje sistema nejednačina:

• riješiti svaki od njih posebno;
• prikazati sve intervale na brojevnoj osi i odrediti njihove sjecišta;
• zapišite odgovor sistema, koji će biti kombinacija onoga što se dogodilo u drugom paragrafu.

Šta raditi s razlomcima?

Budući da njihovo rješavanje može zahtijevati promjenu znaka nejednakosti, morate vrlo pažljivo i pažljivo pratiti sve točke plana. U suprotnom, možete dobiti suprotan odgovor.

Rješavanje frakcijskih nejednačina također koristi metodu intervala. A akcioni plan će biti ovakav:

• Koristeći opisana svojstva, dajte razlomku takav oblik da ostane samo nula desno od znaka.
• Zamijenite nejednakost sa “=” i odredite tačke u kojima će funkcija biti jednaka nuli.
• Označite ih na koordinatnoj osi. U ovom slučaju, brojevi dobijeni kao rezultat izračunavanja u nazivniku uvijek će biti iskucani. Svi ostali su zasnovani na uslovu nejednakosti.
• Odrediti intervale konstantnosti predznaka.
• Kao odgovor, zapišite uniju onih intervala čiji predznak odgovara onom u izvornoj nejednakosti.

Situacije kada se iracionalnost pojavljuje u nejednakosti

Drugim riječima, postoji matematički korijen u notaciji. Budući da se u školskom kursu algebre većina zadataka odnosi na kvadratni korijen, ovo će biti razmotreno.

Rješenje iracionalnih nejednakosti svodi se na dobijanje sistema dva ili tri koji će biti ekvivalentan izvornom.

Primjeri rješavanja različitih vrsta nejednakosti

Da bi se teoriji o rješavanju nejednakosti dodala jasnoća, u nastavku su dati primjeri.

Prvi primjer. 2x - 4 > 1 + x

Rješenje: Da biste odredili ADI, sve što trebate učiniti je pažljivo pogledati nejednakost. Formira se od linearnih funkcija, stoga je definiran za sve vrijednosti varijable.

Sada trebate oduzeti (1 + x) s obje strane nejednakosti. Ispada: 2x - 4 - (1 + x) > 0. Nakon što se otvore zagrade i daju slični pojmovi, nejednakost će poprimiti sljedeći oblik: x - 5 > 0.

Izjednačavajući ga sa nulom, lako je pronaći njegovo rješenje: x = 5.

Sada ova tačka sa brojem 5 mora biti označena na koordinatnoj zraci. Zatim provjerite znakove originalne funkcije. Na prvom intervalu od minus beskonačnosti do 5, možete uzeti broj 0 i zamijeniti ga nejednakošću dobivenom nakon transformacija. Nakon proračuna ispada -7 >0. ispod luka intervala treba da potpišete znak minus.

Na sljedećem intervalu od 5 do beskonačnosti, možete odabrati broj 6. Tada se ispostavi da je 1 > 0. Ispod luka je znak “+”. Ovaj drugi interval će biti odgovor na nejednakost.

Odgovor: x leži u intervalu (5; ∞).

Drugi primjer. Potrebno je riješiti sistem od dvije jednačine: 3x + 3 ≤ 2x + 1 i 3x - 2 ≤ 4x + 2.

Rješenje. VA ovih nejednakosti također leži u području bilo kojeg broja, pošto su linearne funkcije date.

Druga nejednačina će imati oblik sljedeće jednačine: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. Nakon transformacije: -x - 4 =0. Ovo proizvodi vrijednost za varijablu jednaku -4.

Ova dva broja moraju biti označena na osi, prikazujući intervale. Pošto nejednakost nije stroga, sve tačke moraju biti zasjenjene. Prvi interval je od minus beskonačnosti do -4. Neka bude izabran broj -5. Prva nejednakost će dati vrijednost -3, a druga 1. To znači da ovaj interval nije uključen u odgovor.

Drugi interval je od -4 do -2. Možete odabrati broj -3 i zamijeniti ga u obje nejednačine. U prvom i drugom, vrijednost je -1. To znači da ispod luka "-".

U posljednjem intervalu od -2 do beskonačnosti, najbolji broj je nula. Morate ga zamijeniti i pronaći vrijednosti nejednakosti. Prvi od njih daje pozitivan broj, a drugi nulu. Ova praznina se također mora isključiti iz odgovora.

Od tri intervala, samo jedan je rješenje nejednakosti.

Odgovor: x pripada [-4; -2].

Treći primjer. |1 - x| > 2 |x - 1|.

Rješenje. Prvi korak je određivanje tačaka u kojima funkcije nestaju. Za lijevu ovaj broj će biti 2, za desnu - 1. Treba ih označiti na gredi i odrediti intervale konstantnosti predznaka.

Na prvom intervalu, od minus beskonačnosti do 1, funkcija na lijevoj strani nejednakosti poprima pozitivne vrijednosti, a funkcija na desnoj strani poprima negativne vrijednosti. Ispod luka trebate napisati dva znaka “+” i “-” jedan pored drugog.

Sljedeći interval je od 1 do 2. Na njemu obje funkcije poprimaju pozitivne vrijednosti. To znači da postoje dva plusa ispod luka.

Treći interval od 2 do beskonačnosti će dati sljedeći rezultat: lijeva funkcija je negativna, desna funkcija je pozitivna.

Uzimajući u obzir rezultirajuće znakove, potrebno je izračunati vrijednosti nejednakosti za sve intervale.

Prvi proizvodi sljedeću nejednakost: 2 - x > - 2 (x - 1). Minus ispred dva u drugoj nejednakosti je zbog činjenice da je ova funkcija negativna.

Nakon transformacije, nejednakost izgleda ovako: x > 0. Odmah daje vrijednosti varijable. Odnosno, iz ovog intervala će biti odgovoreno samo na interval od 0 do 1.

Na drugom: 2 - x > 2 (x - 1). Transformacije će dati sljedeću nejednakost: -3x + 4 je veće od nule. Njegova nula će biti x = 4/3. Uzimajući u obzir znak nejednakosti, ispada da x mora biti manji od ovog broja. To znači da se ovaj interval smanjuje na interval od 1 do 4/3.

Ovo posljednje daje sljedeću nejednakost: - (2 - x) > 2 (x - 1). Njegova transformacija dovodi do sljedećeg: -x > 0. To jest, jednačina je tačna kada je x manje od nule. To znači da na traženom intervalu nejednakost ne daje rješenja.

U prva dva intervala ispostavilo se da je granični broj 1. Potrebno ga je posebno provjeriti. Odnosno, zamijenite ga izvornom nejednakošću. Ispada: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Brojanje pokazuje da je 1 veće od 0. Ovo je tačna tvrdnja, tako da je jedan uključen u odgovor.

Odgovor: x leži u intervalu (0; 4/3).

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti vaše lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Ne znaju svi kako riješiti nejednakosti, koje u svojoj strukturi imaju slične i karakteristične karakteristike s jednačinama. Jednačina je vježba koja se sastoji od dva dijela, između kojih se nalazi znak jednakosti, a između dijelova nejednakosti može biti znak „više od“ ili „manje od“. Dakle, prije nego što pronađemo rješenje za određenu nejednakost, moramo shvatiti da je vrijedno razmotriti predznak broja (pozitivan ili negativan) ako postoji potreba da se obje strane pomnožite bilo kojim izrazom. Istu činjenicu treba uzeti u obzir ako je za rješavanje nejednakosti potrebno kvadriranje, budući da se kvadriranje vrši množenjem.

Kako riješiti sistem nejednakosti

Mnogo je teže riješiti sisteme nejednakosti nego obične nejednakosti. Pogledajmo kako riješiti nejednakosti u 9. razredu na konkretnim primjerima. Treba shvatiti da je prije rješavanja kvadratnih nejednačina (sistema) ili bilo kojeg drugog sistema nejednačina potrebno svaku nejednakost riješiti posebno, a zatim ih uporediti. Rješenje sistema nejednakosti će biti ili pozitivan ili negativan odgovor (da li sistem ima rješenje ili nema rješenje).

Zadatak je riješiti skup nejednačina:

Riješimo svaku nejednačinu posebno

Gradimo brojevnu pravu na kojoj prikazujemo skup rješenja

Pošto je skup unija skupova rješenja, ovaj skup na brojevnoj pravoj mora biti podvučen najmanje jednom pravom.

Rješavanje nejednačina sa modulom

Ovaj primjer će pokazati kako riješiti nejednakosti s modulom. Dakle, imamo definiciju:

Moramo riješiti nejednakost:

Prije rješavanja takve nejednakosti potrebno je riješiti se modula (znaka)

Napišimo, na osnovu podataka iz definicije:

Sada trebate riješiti svaki od sistema posebno.

Konstruirajmo jednu brojevnu pravu na kojoj prikazujemo skupove rješenja.

Kao rezultat, imamo kolekciju koja kombinira mnoga rješenja.

Rješavanje kvadratnih nejednačina

Koristeći brojevnu pravu, pogledajmo primjer rješavanja kvadratnih nejednačina. Imamo nejednakost:

Znamo da je graf kvadratnog trinoma parabola. Također znamo da su grane parabole usmjerene prema gore ako je a>0.

x 2 -3x-4< 0

Koristeći Vietinu teoremu nalazimo korijene x 1 = - 1; x 2 = 4

Nacrtajmo parabolu, odnosno njenu skicu.

Tako smo otkrili da će vrijednosti kvadratnog trinoma biti manje od 0 na intervalu od – 1 do 4.

Mnogi ljudi imaju pitanja kada rješavaju dvostruke nejednakosti kao što je g(x)< f(x) < q(x). Перед тем, как решать двойные неравенства, необходимо их раскладывать на простые, и каждое простое неравенство решать по отдельности. Например, разложив наш пример, получим в результате систему неравенств g(x) < f(x) и f(x) < q(x), которую следует и решать.

U stvari, postoji nekoliko metoda za rješavanje nejednačina, tako da možete koristiti grafičku metodu za rješavanje složenih nejednačina.

Rješavanje frakcijskih nejednačina

Razlomke nejednakosti zahtijevaju pažljiviji pristup. To je zbog činjenice da se u procesu rješavanja nekih frakcijskih nejednačina predznak može promijeniti. Prije rješavanja frakcijskih nejednačina, morate znati da se za njihovo rješavanje koristi metoda intervala. Razlomka nejednakosti mora biti predstavljena na način da jedna strana znaka izgleda kao frakcioni racionalni izraz, a druga strana kao „- 0“. Transformisanjem nejednakosti na ovaj način dobijamo kao rezultat f(x)/g(x) > (.

Rješavanje nejednačina metodom intervala

Intervalna tehnika se zasniva na metodi potpune indukcije, odnosno potrebno je proći kroz sve moguće opcije da bi se pronašlo rješenje nejednakosti. Ova metoda rješavanja možda nije potrebna učenicima 8. razreda, jer bi trebali znati kako riješiti nejednakosti 8. razreda, a to su jednostavne vježbe. Ali za starije razrede ova metoda je nezamjenjiva, jer pomaže u rješavanju frakcijskih nejednakosti. Rješavanje nejednakosti ovom tehnikom također se temelji na takvom svojstvu kontinuirane funkcije kao što je očuvanje predznaka između vrijednosti u kojima se pretvara u 0.

Napravimo graf polinoma. Ovo je kontinuirana funkcija koja poprima vrijednost 0 3 puta, odnosno f(x) će biti jednaka 0 u tačkama x 1, x 2 i x 3, korijenima polinoma. U intervalima između ovih tačaka, predznak funkcije je sačuvan.

Budući da nam je za rješavanje nejednakosti f(x)>0 potreban predznak funkcije, prelazimo na koordinatnu liniju, ostavljajući graf.

f(x)>0 za x(x 1 ; x 2) i za x(x 3 ;)

f(x)x(- ; x 1) i na x (x 2 ; x 3)

Na grafikonu su jasno prikazana rješenja nejednačina f(x)f(x)>0 (rješenje prve nejednačine je plavo, a rješenje druge crveno). Da biste odredili predznak funkcije na intervalu, dovoljno je da znate predznak funkcije u jednoj od tačaka. Ova tehnika vam omogućava da brzo riješite nejednačine u kojima je lijeva strana faktorizirana, jer je u takvim nejednačinama prilično lako pronaći korijene.

Prvo, malo stihova kako biste stekli osjećaj za problem koji rješava metoda intervala. Recimo da trebamo riješiti sljedeću nejednakost:

(x − 5)(x + 3) > 0

Koje su opcije? Prvo što većini učenika padne na pamet su pravila „plus na plus daje plus“ i „minus na minus daje plus“. Stoga je dovoljno razmotriti slučaj kada su oba zagrada pozitivna: x − 5 > 0 i x + 3 > 0. Tada ćemo razmotriti i slučaj kada su oba zagrada negativna: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Napredniji učenici će (možda) zapamtiti da je na lijevoj strani kvadratna funkcija čiji je graf parabola. Štaviše, ova parabola seče osu OX u tačkama x = 5 i x = −3. Za dalji rad potrebno je otvoriti zagrade. Imamo:

x 2 − 2x − 15 > 0

Sada je jasno da su grane parabole usmjerene prema gore, jer koeficijent a = 1 > 0. Pokušajmo nacrtati dijagram ove parabole:

Funkcija je veća od nule gdje prolazi iznad ose OX. U našem slučaju, to su intervali (−∞ −3) i (5; +∞) - ovo je odgovor.

Napomena: slika pokazuje tačno dijagram funkcija, ne njen raspored. Jer za pravi graf treba brojati koordinate, računati pomake i ostalo sranje od kojeg za sada nemamo nikakvu korist.

Zašto su ove metode neefikasne?

Dakle, razmatrali smo dva rješenja iste nejednakosti. Ispostavilo se da su i jedni i drugi prilično glomazni. Prva odluka se nameće - samo razmislite! — skup sistema nejednakosti. Drugo rješenje također nije posebno lako: morate zapamtiti graf parabole i gomilu drugih malih činjenica.

Bila je to vrlo jednostavna nejednakost. Ima samo 2 množitelja. Sada zamislite da neće biti 2, već najmanje 4 množitelja, na primjer:

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

Kako riješiti takvu nejednakost? Proći kroz sve moguće kombinacije za i protiv? Da, brže ćemo zaspati nego što pronađemo rješenje. Crtanje grafa također nije opcija, jer nije jasno kako se takva funkcija ponaša na koordinatnoj ravni.

Za takve nejednakosti potreban je poseban algoritam rješenja, koji ćemo danas razmotriti.

Šta je intervalna metoda

Intervalna metoda je poseban algoritam dizajniran za rješavanje kompleksnih nejednakosti oblika f (x) > 0 i f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. Riješite jednačinu f (x) = 0. Dakle, umjesto nejednačine, dobijamo jednačinu koju je mnogo jednostavnije riješiti;
2. Označite sve dobijene korijene na koordinatnoj liniji. Tako će prava linija biti podijeljena na nekoliko intervala;
3. Pronađite predznak (plus ili minus) funkcije f (x) na krajnjem desnom intervalu. Da biste to učinili, dovoljno je u f (x) zamijeniti bilo koji broj koji će biti desno od svih označenih korijena;
4. Označite znakove u preostalim intervalima. Da biste to učinili, samo zapamtite da se prilikom prolaska kroz svaki korijen znak mijenja.

To je sve! Nakon ovoga ostaje samo da zapišemo intervale koji nas zanimaju. Označavaju se znakom “+” ako je nejednakost oblika f (x) > 0, ili znakom “−” ako je nejednakost oblika f (x)< 0.

Na prvi pogled može izgledati da je intervalna metoda neka sitna stvar. Ali u praksi će sve biti vrlo jednostavno. Samo malo vježbajte i sve će vam biti jasno. Pogledajte primjere i uvjerite se sami:

Zadatak. Riješite nejednačinu:

(x − 2)(x + 7)< 0

Radimo metodom intervala. Korak 1: zamijenite nejednačinu jednadžbom i riješite je:

(x − 2)(x + 7) = 0

Proizvod je jednak nuli ako i samo ako je barem jedan od faktora jednak nuli:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Imamo dva korena. Pređimo na korak 2: označite ove korijene na koordinatnoj liniji. Imamo:

Sada korak 3: pronađite predznak funkcije na krajnjem desnom intervalu (desno od označene tačke x = 2). Da biste to učinili, trebate uzeti bilo koji broj koji je veći od broja x = 2. Na primjer, uzmimo x = 3 (ali niko ne zabranjuje uzimanje x = 4, x = 10, pa čak i x = 10.000). Dobijamo:

f (x) = (x − 2)(x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

Nalazimo da je f (3) = 10 > 0, pa stavljamo znak plus u krajnji desni interval.

Pređimo na posljednju tačku - trebamo primijetiti znakove na preostalim intervalima. Sjećamo se da se prilikom prolaska kroz svaki korijen znak mora promijeniti. Na primjer, desno od korijena x = 2 nalazi se plus (u to smo se uvjerili u prethodnom koraku), tako da mora biti minus lijevo.

Ovaj minus se proteže na cijeli interval (−7; 2), tako da postoji minus desno od korijena x = −7. Dakle, lijevo od korijena x = −7 nalazi se plus. Ostaje označiti ove znakove na koordinatnoj osi. Imamo:

Vratimo se prvobitnoj nejednakosti, koja je imala oblik:

(x − 2)(x + 7)< 0

Dakle, funkcija mora biti manja od nule. To znači da nas zanima znak minus, koji se pojavljuje samo na jednom intervalu: (−7; 2). Ovo će biti odgovor.

Zadatak. Riješite nejednačinu:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Korak 1: postavite lijevu stranu na nulu:

(x + 9)(x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Zapamtite: proizvod je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli. Zato imamo pravo da svaku pojedinačnu zagradu izjednačimo sa nulom.

Korak 2: označite sve korijene na koordinatnoj liniji:

Korak 3: saznajte znak krajnje desne praznine. Uzimamo bilo koji broj koji je veći od x = 1. Na primjer, možemo uzeti x = 10. Imamo:

f (x) = (x + 9)(x − 3)(1 − x);
x = 10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197;
f (10) = −1197< 0.

Korak 4: postavljanje preostalih znakova. Sjećamo se da se prilikom prolaska kroz svaki korijen znak mijenja. Kao rezultat, naša slika će izgledati ovako:

To je sve. Ostaje samo da zapišete odgovor. Pogledajte još jednom originalnu nejednakost:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Ovo je nejednakost oblika f(x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Ovo je odgovor.

Napomena o znakovima funkcije

Praksa pokazuje da se najveće poteškoće u intervalnoj metodi javljaju u posljednja dva koraka, tj. prilikom postavljanja znakova. Mnogi učenici počinju da se zbunjuju: koje brojeve uzeti i gdje staviti znakove.

Da biste konačno razumjeli metodu intervala, razmotrite dva zapažanja na kojima se zasniva:

1. Kontinuirana funkcija mijenja predznak samo u tim točkama gdje je jednak nuli. Takve tačke dijele koordinatnu osu na dijelove, unutar kojih se predznak funkcije nikada ne mijenja. Zato rješavamo jednačinu f (x) = 0 i na pravoj liniji označavamo pronađene korijene. Pronađeni brojevi su „granične“ tačke koje razdvajaju prednosti i nedostatke.
2. Da biste saznali predznak funkcije na bilo kojem intervalu, dovoljno je zamijeniti bilo koji broj iz ovog intervala u funkciju. Na primjer, za interval (−5; 6) imamo pravo uzeti x = −4, x = 0, x = 4 pa čak i x = 1,29374 ako želimo. Zašto je to važno? Da, jer sumnje počinju da grizu mnoge studente. Na primjer, šta ako za x = −4 dobijemo plus, a za x = 0 dobijemo minus? Ali ništa slično se neće dogoditi. Sve tačke na istom intervalu daju isti predznak. Zapamtite ovo.

To je sve što trebate znati o metodi intervala. Naravno, analizirali smo ga u najjednostavnijem obliku. Postoje složenije nejednakosti - nestroge, frakcijske i s ponovljenim korijenima. Za njih možete koristiti i metodu intervala, ali ovo je tema za zasebnu veliku lekciju.

Sada bih želio pogledati naprednu tehniku ​​koja dramatično pojednostavljuje metodu intervala. Tačnije, pojednostavljenje utiče samo na treći korak - izračunavanje predznaka na krajnjem desnom delu linije. Iz nekog razloga ova tehnika se ne uči u školama (bar mi to niko nije objasnio). Ali uzalud - jer je ovaj algoritam zapravo vrlo jednostavan.

Dakle, predznak funkcije je na desnom dijelu brojevne prave. Ovaj komad ima oblik (a ; +∞), gdje je a najveći korijen jednadžbe f (x) = 0. Da vas ne bi oduševili, razmotrimo konkretan primjer:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x);
(x − 1)(2 + x)(7 − x) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Imamo 3 korijena. Napišimo ih rastućim redoslijedom: x = −2, x = 1 i x = 7. Očigledno, najveći korijen je x = 7.

Za one kojima je lakše grafički zaključivati, označit ću ove korijene na koordinatnoj liniji. Da vidimo šta se dešava:

Potrebno je pronaći predznak funkcije f (x) na krajnjem desnom intervalu, tj. do (7; +∞). Ali kao što smo već primijetili, da biste odredili znak, možete uzeti bilo koji broj iz ovog intervala. Na primjer, možete uzeti x = 8, x = 150, itd. A sada - ista tehnika koja se ne uči u školama: uzmimo beskonačnost kao broj. Preciznije, plus beskonačnost, tj. +∞.

„Jeste li kamenovani? Kako možete zamijeniti beskonačnost u funkciju?" - mogli biste pitati. Ali razmislite o tome: ne treba nam vrijednost same funkcije, potreban nam je samo znak. Stoga, na primjer, vrijednosti f (x) = −1 i f (x) = −938 740 576 215 znače istu stvar: funkcija na ovom intervalu je negativna. Dakle, sve što se od vas traži je da pronađete znak koji se pojavljuje u beskonačnosti, a ne vrijednost funkcije.

Zapravo, zamjena beskonačnosti je vrlo jednostavna. Vratimo se našoj funkciji:

f (x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

Zamislite da je x vrlo veliki broj. Milijardu ili čak trilion. Sada da vidimo šta se dešava u svakoj zagradi.

Prva zagrada: (x − 1). Šta se dešava ako od milijardu oduzmete jedan? Rezultat će biti broj koji se neće mnogo razlikovati od milijarde, a ovaj broj će biti pozitivan. Slično sa drugom zagradom: (2 + x). Ako dodate milijardu na dvije, dobijete milijardu i kopejke - ovo je pozitivan broj. Konačno, treća zagrada: (7 − x ). Ovdje će biti minus milijarda, od koje je “oglodan” patetični komadić u obliku sedmice. One. rezultirajući broj neće se mnogo razlikovati od minus milijardu - bit će negativan.

Ostaje samo pronaći znak cijelog djela. Pošto smo u prvim zagradama imali plus, a u posljednjoj minus, dobijamo sljedeću konstrukciju:

(+) · (+) · (−) = (−)

Konačni znak je minus! I nije važno kolika je vrijednost same funkcije. Glavna stvar je da je ova vrijednost negativna, tj. krajnji desni interval ima predznak minus. Ostaje dovršiti četvrti korak metode intervala: rasporediti sve znakove. Imamo:

Prvobitna nejednakost je bila:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

Stoga nas zanimaju intervali označeni znakom minus. Pišemo odgovor:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

To je cijeli trik koji sam ti htio reći. U zaključku, evo još jedne nejednakosti koja se može riješiti metodom intervala korištenjem beskonačnosti. Da vizualno skratim rješenje, neću pisati brojeve koraka i detaljne komentare. Napisat ću samo ono što zaista trebate napisati kada rješavate stvarne probleme:

Zadatak. Riješite nejednačinu:

x (2x + 8)(x − 3) > 0

Nejednačinu zamjenjujemo jednadžbom i rješavamo je:

x (2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Označavamo sva tri korijena na koordinatnoj liniji (odjednom znakovima):

Na desnoj strani koordinatne ose nalazi se plus, jer funkcija izgleda ovako:

f (x) = x (2x + 8)(x − 3)

A ako zamijenimo beskonačnost (na primjer, milijardu), dobićemo tri pozitivne zagrade. Pošto originalni izraz mora biti veći od nule, zanimaju nas samo pozitivni. Ostaje samo da napišete odgovor:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)