Dijagonala pravilne heksagonalne piramide. piramide

Važne napomene!
1. Ako umjesto formula vidite abrakadabru, obrišite keš memoriju. Kako to učiniti u vašem pretraživaču piše ovdje:
2. Prije nego počnete čitati članak, obratite pažnju na naš navigator za najkorisniji resurs za

Šta je piramida?

Kako ona izgleda?

Vidite: na piramidi ispod (kažu " u bazi"") neki poligon, a svi vrhovi ovog poligona su povezani sa nekom tačkom u prostoru (ova tačka se zove " vertex»).

Cijela ova struktura ima bočne strane, bočna rebra i bazna rebra. Još jednom, nacrtajmo piramidu zajedno sa svim ovim imenima:

Neke piramide mogu izgledati vrlo čudno, ali one su i dalje piramide.

Evo, na primjer, prilično "koso" piramida.

I još malo o imenima: ako se u osnovi piramide nalazi trokut, onda se piramida naziva trokutastom;

U isto vrijeme, tačka gdje je pao visina, zove se visina osnove. Imajte na umu da u "krivim" piramidama visina možda čak i izvan piramide. Volim ovo:

I nema ništa strašno u tome. Izgleda kao tupokutni trokut.

Ispravna piramida.

Mnogo teških reči? Hajde da dešifrujemo: "U osnovi - tačno" - to je razumljivo. A sada zapamtite da pravilan poligon ima centar - tačka koja je centar i , i .

Pa, riječi "vrh je projektovan u centar baze" znače da osnova visine pada tačno u centar baze. Pogledajte kako izgleda glatko i slatko desna piramida.

Hexagonal: u osnovi - pravilni šestougao, vrh je projektovan u centar baze.

četvorougaona: u osnovi - kvadrat, vrh je projektovan na presek dijagonala ovog kvadrata.

trouglasti: u osnovi je pravilan trougao, vrh je projektovan na presek visina (one su i medijane i simetrale) ovog trougla.

Veoma važna svojstva pravilne piramide:

U desnoj piramidi

• sve bočne ivice su jednake.
• sve bočne strane su jednakokraki trouglovi i svi ti trokuti su jednaki.

Volumen piramide

Glavna formula za volumen piramide:

Odakle je to tačno došlo? Ovo nije tako jednostavno, i u početku samo trebate zapamtiti da piramida i konus imaju volumen u formuli, ali cilindar ne.

Sada izračunajmo zapreminu najpopularnijih piramida.

Neka je stranica osnove jednaka, a bočna ivica jednaka. Moram da nađem i.

Ovo je površina pravokutnog trougla.

Prisjetimo se kako tražiti ovo područje. Koristimo formulu površine:

Imamo "" - ovo, i "" - ovo takođe, eh.

Sad hajde da nađemo.

Prema Pitagorinoj teoremi za

šta to ima veze? Ovo je polumjer opisane kružnice u, jer piramidaispravan a samim tim i centar.

Pošto - tačka preseka i medijana takođe.

(Pitagorina teorema za)

Zamjena u formuli za.

Ubacimo sve u formulu volumena:

pažnja: ako imate pravilan tetraedar (tj.), onda je formula:

Neka je stranica osnove jednaka, a bočna ivica jednaka.

Ovdje nema potrebe tražiti; jer je u osnovi kvadrat, i stoga.

Hajde da nađemo. Prema Pitagorinoj teoremi za

Da li znamo? Skoro. pogledajte:

(to smo vidjeli pregledom).

Zamjena u formuli za:

A sada zamjenjujemo i u formulu volumena.

Neka je stranica osnove jednaka, a bočna ivica.

Kako pronaći? Gledajte, šestougao se sastoji od tačno šest identičnih pravilnih trouglova. Već smo tražili površinu pravilnog trokuta pri izračunavanju zapremine pravilne trokutaste piramide, ovdje koristimo pronađenu formulu.

Sada hajde da pronađemo (ovo).

Prema Pitagorinoj teoremi za

Ali kakve to veze ima? Jednostavno je jer je (i svi ostali također) u pravu.

Zamjenjujemo:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PIRAMIDA. UKRATKO O GLAVNOM

Piramida je poliedar koji se sastoji od bilo kojeg ravnog poligona (), tačke koja ne leži u ravni osnove (vrh piramide) i svih segmenata koji povezuju vrh piramide sa tačkama baze (bočne ivice ).

Okomita pala sa vrha piramide na ravan osnove.

Ispravna piramida- piramida, koja u osnovi ima pravilan poligon, a vrh piramide je projektovan u centar osnove.

Svojstvo pravilne piramide:

• U pravilnoj piramidi sve su bočne ivice jednake.
• Sve bočne strane su jednakokraki trouglovi i svi ti trokuti su jednaki.

Zapremina piramide:

Pa, tema je gotova. Ako čitate ove redove, onda ste veoma cool.

Jer samo 5% ljudi je sposobno nešto samostalno savladati. A ako ste pročitali do kraja, onda ste u 5%!

Sada najvažnija stvar.

Shvatili ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, to je... jednostavno je super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što ovo možda nije dovoljno...

Za što?

Za uspješan položen ispit, za upis na institut na budžetu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću vas ni u šta ubeđivati, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su stekli dobro obrazovanje zarađuju mnogo više od onih koji ga nisu stekli. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavno je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što se pred njima otvara mnogo više mogućnosti i život postaje svjetliji? Ne znam...

Ali razmislite sami...

Šta je potrebno da biste bili sigurni da ćete biti bolji od drugih na ispitu i na kraju biti ... sretniji?

NAPUNI RUKU, RJEŠAVAJUĆI PROBLEME NA OVU TEMU.

Na ispitu vas neće tražiti teorija.

Trebaće ti rješavajte probleme na vrijeme.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu grešku ili jednostavno nećete to učiniti na vrijeme.

To je kao u sportu - morate ponoviti mnogo puta da biste sigurno pobijedili.

Pronađite kolekciju gdje god želite obavezno sa rješenjima, detaljnom analizom i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (nije neophodno) i svakako ih preporučujemo.

Da biste nam pomogli uz pomoć naših zadataka, morate pomoći da produžite život YouClever udžbenika koji trenutno čitate.

Kako? Postoje dvije opcije:

1. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u ovom članku -
2. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka vodiča - Kupite udžbenik - 499 rubalja

Da, imamo 99 takvih članaka u udžbeniku i pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima može se otvoriti odmah.

Pristup svim skrivenim zadacima je omogućen za cijeli vijek trajanja stranice.

U zakljucku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati sa teorijom.

“Razumijem” i “Znam kako riješiti” su potpuno različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

piramide

Razmotrimo proizvoljnu ravan α, proizvoljan konveksni n-ugao A 1 A 2 ... A n , koja se nalazi u ovoj ravni, i tačka S koja ne leži u ravni α .

Definicija 1. Piramida ( n - piramida uglja) nazovimo figuru koju čine segmenti koji povezuju tačku S sa svim tačkama poligona A 1 A 2 ... A n (Sl. 1) .

Napomena 1. Podsjetimo da je poligon A 1 A 2 ... A n sastoji se od zatvorene isprekidane linije A 1 A 2 ... A n i dio ravni koji je njime omeđen.

Definicija 2.

Tetraedri. Pravilni tetraedri

Definicija 5. Proizvoljna trouglasta piramida naziva se tetraedar.

Izjava. Za bilo koju pravilnu trokutastu piramidu, suprotne ivice su po paru okomite.

Dokaz. Razmotrimo pravilnu trouglastu piramidu SABC i par njenih suprotnih ivica, kao što su AC i BS. Neka D označava sredinu ivice AC. Kako su segmenti BD i SD medijane u jednakokračnim trouglovima ABC i ASC , tada su BD i SD okomite na ivicu AC (slika 4).

gde slovo D označava sredinu ivice AC (slika 6).

Po Pitagorinoj teoremi iz trougla BSO nalazimo

Odgovori.

Formule za zapreminu, bočnu i ukupnu površinu piramide

Uvodimo sljedeću notaciju

Onda su sledeće istinite formule za izračunavanje zapremine, površine bočne i pune površine piramide:

Ovdje su prikupljene osnovne informacije o piramidama i srodnim formulama i konceptima. Svi oni se izučavaju sa mentorom matematike u pripremi za ispit.

Zamislite ravan, poligon koja leži u njemu i tačka S koja ne leži u njoj. Povežite S sa svim vrhovima poligona. Rezultirajući poliedar naziva se piramida. Segmenti se nazivaju bočnim rubovima. Poligon se naziva baza, a tačka S se naziva vrh piramide. U zavisnosti od broja n, piramida se naziva trokutasta (n=3), četvorougaona (n=4), petougaona (n=5) i tako dalje. Alternativni naziv za trouglastu piramidu - tetraedar. Visina piramide je okomica povučena od njenog vrha do ravni osnove.

Piramida se naziva ispravnom ako pravilan poligon, a osnova visine piramide (osnova okomice) je njeno središte.

Komentar nastavnika:
Nemojte brkati koncept "pravilne piramide" i "pravilnog tetraedra". U pravilnoj piramidi, bočne ivice nisu nužno jednake ivicama osnove, ali u pravilnom tetraedru svih 6 ivica ivica su jednake. Ovo je njegova definicija. Lako je dokazati da jednakost implicira da je centar P poligona sa visinskom bazom, pa je pravilan tetraedar pravilna piramida.

Šta je apotema?
Apotem piramide je visina njene bočne strane. Ako je piramida pravilna, onda su svi njeni apotemi jednaki. Obrnuto nije tačno.

Nastavnik matematike o njegovoj terminologiji: rad s piramidama je 80% izgrađen kroz dvije vrste trokuta:
1) Sadrži apotemu SK i visinu SP
2) Sadrži bočnu ivicu SA i njenu projekciju PA

Da bi se pojednostavile reference na ove trouglove, zgodnije je da nastavnik matematike imenuje prvi od njih apothemic, i drugo costal. Nažalost, ovu terminologiju nećete naći ni u jednom udžbeniku, a nastavnik je mora uvesti jednostrano.

Formula zapremine piramide:
1), gdje je površina osnove piramide, a visina piramide
2) , gdje je polumjer upisane sfere, a ukupna površina piramide.
3) , gdje je MN rastojanje bilo koje dvije ivice koje se ukrštaju, a površina paralelograma formiranog sredinama četiri preostale ivice.

Svojstvo baze visine piramide:

Tačka P (vidi sliku) poklapa se sa središtem upisane kružnice u osnovi piramide ako je ispunjen jedan od sljedećih uslova:
1) Sve apoteme su jednake
2) Sve bočne strane su podjednako nagnute prema bazi
3) Sve apoteme su podjednako nagnute prema visini piramide
4) Visina piramide je podjednako nagnuta prema svim bočnim stranama

Komentar nastavnika matematike: imajte na umu da su sve tačke ujedinjene jednim zajedničkim svojstvom: na ovaj ili onaj način, bočne strane učestvuju svuda (apoteme su njihovi elementi). Stoga nastavnik može ponuditi manje preciznu, ali prikladniju formulaciju za pamćenje: tačka P se poklapa sa centrom upisane kružnice, osnovom piramide, ako postoje jednake informacije o njenim bočnim stranama. Da bismo to dokazali, dovoljno je pokazati da su svi apotemski trouglovi jednaki.

Tačka P poklapa se sa središtem opisane kružnice blizu osnove piramide, ako je jedan od tri uslova tačan:
1) Sve bočne ivice su jednake
2) Sva bočna rebra su podjednako nagnuta prema bazi
3) Sva bočna rebra su podjednako nagnuta prema visini

Uvod

Kada smo počeli da proučavamo stereometrijske figure, dotakli smo se teme "Piramida". Ova tema nam se dopala jer se piramida vrlo često koristi u arhitekturi. A budući da je naša buduća profesija arhitekta, inspirisana ovom figurom, mislimo da će ona moći da nas pogura u velike projekte.

Snaga arhitektonskih objekata, njihov najvažniji kvalitet. Povezujući snagu, prvo, s materijalima od kojih su izrađeni, i, drugo, sa karakteristikama dizajnerskih rješenja, ispada da je čvrstoća konstrukcije direktno povezana s geometrijskim oblikom koji je za nju osnovni.

Drugim riječima, riječ je o geometrijskoj figuri koja se može smatrati modelom odgovarajuće arhitektonske forme. Ispada da geometrijski oblik također određuje snagu arhitektonske strukture.

Egipatske piramide dugo su se smatrale najtrajnijom arhitektonskom strukturom. Kao što znate, imaju oblik pravilnih četverokutnih piramida.

Upravo ovaj geometrijski oblik pruža najveću stabilnost zbog velike površine baze. S druge strane, oblik piramide osigurava da se masa smanjuje kako se visina iznad tla povećava. Upravo ta dva svojstva čine piramidu stabilnom, a time i snažnom u uslovima gravitacije.

Cilj projekta: naučite nešto novo o piramidama, produbite znanje i pronađite praktične primjene.

Za postizanje ovog cilja bilo je potrebno riješiti sljedeće zadatke:

Saznajte istorijske informacije o piramidi

Zamislite piramidu kao geometrijsku figuru

Pronađite primjenu u životu i arhitekturi

Pronađite sličnosti i razlike između piramida koje se nalaze u različitim dijelovima svijeta

Teorijski dio

Istorijski podaci

Početak geometrije piramide položen je u starom Egiptu i Babilonu, ali se aktivno razvijao u staroj Grčkoj. Prvi koji je utvrdio koliki je volumen piramide bio je Demokrit, a Eudoks Knidski je to dokazao. Drevni grčki matematičar Euklid sistematizirao je znanje o piramidi u XII tomu svojih "Početaka", a iznio je i prvu definiciju piramide: tjelesna figura ograničena ravninama koje se u jednoj tački konvergiraju iz jedne ravni.

Grobnice egipatskih faraona. Najveće od njih - Keopsove, Kefrenove i Mikerinove piramide u El Gizi u antičko doba smatrane su jednim od sedam svjetskih čuda. Podizanje piramide, u kojoj su Grci i Rimljani već vidjeli spomenik neviđenom ponosu kraljeva i okrutnosti, koja je osudila cijeli narod Egipta na besmislenu gradnju, bio je najvažniji kultni čin i trebao je, po svemu sudeći, izraziti, mistični identitet zemlje i njenog vladara. Stanovništvo zemlje radilo je na izgradnji grobnice u dijelu godine bez poljoprivrednih radova. Brojni tekstovi svjedoče o pažnji i brizi koju su sami kraljevi (iako kasnijeg vremena) poklanjali izgradnji svog groba i njegovih graditelja. Poznato je i o posebnim kultnim počastima za koje se ispostavilo da je sama piramida.

Osnovni koncepti

Piramida Zove se poliedar čija je osnova poligon, a preostale strane su trouglovi koji imaju zajednički vrh.

Apothem- visina bočne strane pravilne piramide, povučena od njenog vrha;

Bočne strane- trouglovi koji konvergiraju na vrhu;

Bočna rebra- zajedničke strane bočnih strana;

vrh piramide- tačka koja spaja bočne ivice, a ne leži u ravni osnove;

Visina- segment okomice povučen kroz vrh piramide na ravan njene osnove (krajevi ovog segmenta su vrh piramide i osnova okomice);

Dijagonalni presjek piramide- presek piramide koji prolazi kroz vrh i dijagonalu osnove;

Baza- poligon koji ne pripada vrhu piramide.

Glavna svojstva ispravne piramide

Bočne ivice, bočne strane i apoteme su jednake.

Diedarski uglovi u osnovi su jednaki.

Diedarski uglovi na bočnim ivicama su jednaki.

Svaka visinska tačka je jednako udaljena od svih osnovnih vrhova.

Svaka tačka visine je jednako udaljena od svih bočnih strana.

Osnovne piramidalne formule

Površina bočne i pune površine piramide.

Površina bočne površine piramide (puna i skraćena) je zbir površina svih njenih bočnih strana, ukupna površina je zbir površina svih njenih strana.

Teorema: Površina bočne površine pravilne piramide jednaka je polovini umnoška opsega osnove i apoteme piramide.

str- perimetar osnove;

h- apotema.

Područje bočne i pune površine krnje piramide.

p1, str 2 - perimetri baze;

h- apotema.

R- ukupna površina pravilne skraćene piramide;

S strana- površina bočne površine pravilne skraćene piramide;

S1 + S2- bazna površina

Volumen piramide

Forma Skala volumena se koristi za piramide bilo koje vrste.

H je visina piramide.

Uglovi piramide

Uglovi koje formiraju bočna strana i osnova piramide nazivaju se diedarski uglovi u osnovi piramide.

Diedarski ugao formiraju dvije okomice.

Da biste odredili ovaj ugao, često morate koristiti teoremu o tri okomice.

Uglovi koje formira bočna ivica i njena projekcija na ravan osnove nazivaju se uglovi između bočne ivice i ravni baze.

Ugao koji čine dvije bočne strane naziva se diedarski ugao na bočnoj ivici piramide.

Ugao, koji formiraju dvije bočne ivice jedne strane piramide, naziva se ugao na vrhu piramide.

Sekcije piramide

Površina piramide je površina poliedra. Svaka njena strana je ravan, tako da je presek piramide dat sekantnom ravninom izlomljena linija koja se sastoji od zasebnih pravih linija.

Dijagonalni presjek

Presjek piramide ravninom koja prolazi kroz dvije bočne ivice koje ne leže na istoj površini naziva se dijagonalni presjek piramide.

Paralelne sekcije

Teorema:

Ako piramidu prelazi ravan paralelna bazi, tada su bočne ivice i visine piramide podijeljene ovom ravninom na proporcionalne dijelove;

Presjek ove ravni je poligon sličan bazi;

Površine presjeka i baze međusobno su povezane kao kvadrati njihovih udaljenosti od vrha.

Vrste piramida

Ispravna piramida- piramida čija je osnova pravilan poligon, a vrh piramide je projektovan u centar osnove.

Na pravoj piramidi:

1. bočna rebra su jednaka

2. bočne strane su jednake

3. apoteme su jednake

4. Diedarski uglovi u osnovi su jednaki

5. Diedarski uglovi na bočnim ivicama su jednaki

6. svaka visinska tačka je jednako udaljena od svih osnovnih vrhova

7. svaka visinska tačka je jednako udaljena od svih bočnih strana

Krnja piramida- dio piramide zatvoren između njene osnove i rezne ravni paralelne sa bazom.

Osnova i odgovarajući presjek krnje piramide nazivaju se osnove krnje piramide.

Zove se okomita povučena iz bilo koje tačke jedne baze na ravan druge visina krnje piramide.

Zadaci

br. 1. U pravilnoj četvorougaonoj piramidi tačka O je centar osnove, SO=8 cm, BD=30 cm.Nađi bočnu ivicu SA.

Rješavanje problema

br. 1. U pravilnoj piramidi sva lica i ivice su jednake.

Razmotrimo OSB: OSB-pravougaoni pravougaonik, jer.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

Piramida u arhitekturi

Piramida - monumentalna građevina u obliku obične pravilne geometrijske piramide, u kojoj se stranice konvergiraju u jednoj tački. Po funkcionalnoj namjeni piramide su u antičko doba bile mjesto sahrane ili bogomolja. Osnova piramide može biti trouglasta, četvorougaona ili poligonalna sa proizvoljnim brojem vrhova, ali najčešća verzija je četvorougaona osnova.

Poznat je znatan broj piramida koje su gradile različite kulture antičkog svijeta, uglavnom kao hramovi ili spomenici. Najveće piramide su egipatske.

Širom Zemlje možete vidjeti arhitektonske strukture u obliku piramida. Zgrade piramida podsjećaju na antičko doba i izgledaju veoma lijepo.

Egipatske piramide su najveći arhitektonski spomenici starog Egipta, među kojima je jedno od "sedam svjetskih čuda" Keopsova piramida. Od podnožja do vrha dostiže 137,3 m, a prije nego što je izgubio vrh, visina mu je bila 146,7 m.

Zgrada radio stanice u glavnom gradu Slovačke, koja liči na obrnutu piramidu, izgrađena je 1983. godine. Pored kancelarija i uslužnih prostorija, unutar volumena se nalazi prilično prostrana koncertna dvorana, koja ima jedne od najvećih orgulja u Slovačkoj. .

Luvr, koji je "tih i veličanstven kao piramida", pretrpeo je mnoge promene tokom vekova pre nego što je postao najveći muzej na svetu. Nastala je kao tvrđava koju je podigao Filip August 1190. godine, a koja se ubrzo pretvorila u kraljevsku rezidenciju. Godine 1793. palača je postala muzej. Kolekcije se obogaćuju zavještanjem ili kupovinom.

Prilikom rješavanja problema C2 koordinatnom metodom mnogi učenici se suočavaju sa istim problemom. Ne mogu da izračunaju koordinate tačke uključeno u formulu skalarnog proizvoda. Najveće poteškoće su piramide. A ako se bazne tačke smatraju manje-više normalnim, onda su vrhovi pravi pakao.

Danas ćemo se baviti pravilnom četvorougaonom piramidom. Tu je i trouglasta piramida (tzv. tetraedar). Ovo je složeniji dizajn, pa će mu biti posvećena posebna lekcija.

Počnimo sa definicijom:

Pravilna piramida je ona u kojoj:

1. Osnova je pravilan poligon: trokut, kvadrat, itd.;
2. Visina povučena do baze prolazi kroz njen centar.

Konkretno, osnova četvorougaone piramide je kvadrat. Baš kao Keops, samo malo manji.

Ispod su proračuni za piramidu sa svim ivicama jednakim 1. Ako to nije slučaj u vašem problemu, proračuni se ne mijenjaju - samo će brojevi biti drugačiji.

Vrhovi četvorougaone piramide

Dakle, neka je dana pravilna četvorougaona piramida SABCD, gde je S vrh, osnova ABCD je kvadrat. Sve ivice su jednake 1. Potrebno je uneti koordinatni sistem i pronaći koordinate svih tačaka. Imamo:

Uvodimo koordinatni sistem sa ishodištem u tački A:

1. Osa OX je usmjerena paralelno sa ivicom AB ;
2. Osa OY - paralelna sa AD. Pošto je ABCD kvadrat, AB ⊥ AD;
3. Konačno, OZ os je usmjerena prema gore, okomito na ravan ABCD.

Sada razmatramo koordinate. Dodatna konstrukcija: SH - visina povučena do osnove. Radi praktičnosti, bazu piramide ćemo izvaditi na zasebnoj slici. Kako tačke A, B, C i D leže u ravni OXY, njihova koordinata je z = 0. Imamo:

1. A = (0; 0; 0) - poklapa se sa ishodištem;
2. B = (1; 0; 0) - korak za 1 duž ose OX od početka;
3. C = (1; 1; 0) - korak za 1 duž ose OX i za 1 duž ose OY;
4. D = (0; 1; 0) - korak samo duž ose OY.
5. H \u003d (0,5; 0,5; 0) - središte kvadrata, sredina segmenta AC.

Ostaje pronaći koordinate tačke S. Imajte na umu da su koordinate x i y tačaka S i H iste, budući da leže na pravoj liniji paralelnoj sa OZ osom. Ostaje pronaći z koordinatu za tačku S.

Razmotrimo trouglove ASH i ABH:

1. AS = AB = 1 po uslovu;
2. Ugao AHS = AHB = 90° jer je SH visina, a AH ⊥ HB kao dijagonale kvadrata;
3. Strana AH - zajednička.

Dakle, pravougli trouglovi ASH i ABH jednaka jedan krak i jedna hipotenuza. Dakle SH = BH = 0,5 BD . Ali BD je dijagonala kvadrata sa stranicom 1. Dakle, imamo:

Ukupne koordinate tačke S:

U zaključku, zapisujemo koordinate svih vrhova pravilne pravokutne piramide:

Šta učiniti kada su rebra drugačija

Ali šta ako bočne ivice piramide nisu jednake ivicama baze? U ovom slučaju, razmotrite trokut AHS:

trokut AHS- pravougaona, a hipotenuza AS je također bočna ivica originalne piramide SABCD . Krak AH se lako smatra: AH = 0,5 AC. Pronađite preostalu nogu SH prema Pitagorinoj teoremi. Ovo će biti z koordinata za tačku S.

Zadatak. Zadata je pravilna četverougaona piramida SABCD , u čijoj osnovi leži kvadrat sa stranicom 1. Bočna ivica BS = 3. Pronađite koordinate tačke S .

Već znamo koordinate x i y ove tačke: x = y = 0,5. To proizilazi iz dvije činjenice:

1. Projekcija tačke S na ravan OXY je tačka H;
2. Istovremeno, tačka H je centar kvadrata ABCD, čije su sve strane jednake 1.

Ostaje pronaći koordinate tačke S. Razmotrimo trougao AHS. Pravougaona je, sa hipotenuzom AS = BS = 3, krak AH je polovina dijagonale. Za dalje izračune potrebna nam je njegova dužina:

Pitagorina teorema za trougao AHS : AH 2 + SH 2 = AS 2 . Imamo:

Dakle, koordinate tačke S.